江苏省七年级数学开学分班考试：竞赛知识（原卷版+解析）

江苏省七年级开学分班考专项复习06竞赛知识（4种题型）

jQ考点剖析1

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题型一：整数的综合运用

一、单选题

1.（2021•全国・竞赛）从正整数里取出4个不同的数，使得这攵个数中任意两个数之差的绝对值是质数，则

攵的最大值是（）.

A.3B.4C.5D.6

二、填空题

2.（2021.全国・竞赛）下列竖式是1995减去一个三位数其差仍为一个三位数的算式，每个“。”内盖住一个

数字.设被“。”盖住的六个数字之和为。，六个数字之积为b,则f的最小值是___________.

b

1995

一OOO

000-

3.（2021・全国•竞赛）一个十位数，其数码只能是2或3,且没有2个3是相邻的，则这样的十位数共有

个.

4.（2021.全国.竞赛）一本书共有61页，顺次编号为1,2,....61,某人将这些数相加时，有两个两位数

的页码都错把个位数和十位数弄反了（形如油的两位数被当成了两位数应），结果得到总和是2008,那么

书上这两个两位数页码之和的最大值是.

5.（2021・全国•竞赛）把正整数1,2,3,…，10分成两组，其中A组：q吗，，金；3组：瓦也,也.现

从A、8两组中各取出一个数，把取出的数相乘，则所有不同的两个数乘积的和的最大值为.

6.（2021.全国.竞赛）将〃个棋子放于10个盒子内，可以找到一种放法，使每个盒子内都有棋子，且这10

个盒子内的棋子数都不同.若将（〃+1）个棋子放入11个盒子内，都找不到一-种放法，能使每个盒子内都

有棋子，并且这11个盒子内的棋子数都不相同，则〃的最大值等于,最小值等于.

三、解答题

7.（2021・全国・竞赛）对某个正整数〃进行一次操作：如果〃为偶数，则将〃除以2,得到5；若〃为奇数,

则,加上1再除以2,求证：对任意正整数〃，经过有限次操作后必变为1

8.（2021・全国・竞赛）在黑板上写上三个整数，然后将其中一个擦去，换上其他两个数之和与I的差.将

这个过程重复若干次后得到（17,2011,2027）.问一开始黑板上写出的三个数是否可能是（2,2,2）或（3,3,3）?

9.（2021.全国.竞赛）在8x8格子纸的每一个方格中放上一个正整数，我们每次可进行如下的操作：在8x8

格子纸上任取一个3x3或4x4的子棋盘，并将这个子棋盘内每个数都加上1,问是否能经过有限次这样的操

作，使得这个8x8格子纸上的64个方格中的数均为10的倍数？

10.（2021・全国.竞赛）黑板上写着从1到1988的正整数，对这些数交替进行操作A和操作“，即先A后"，

再A,再8,并这样继续下去.操作A为将黑板上写的每一个数都减去同一个正整数（在不同次的操作A中，

减去的数可以不同）：操作8为擦去某两个数，然后写上该两数的和，操作过程一直进行到某次8之后，黑

板上仅剩下一个数时为止.已知该数非负，求这个数.

11.（2021•全国•竞赛）有一堆火柴共有1千万根，甲、乙两人送行如下游戏：甲先取并且两人轮流取火柴,

在每一步中游戏者可从堆中取走/根火柴，其中〃为质数，〃=0,L2,3,….谁取到最后根火柴，谁就获胜.问

甲、乙两人谁有必胜策略？怎样获胜？

12.（2021・全国•竞赛）桌上有3堆火柴，根数分别是100,200,300,甲、乙两人进行游戏.甲先开始并

轮流进行如下操作：每次取走一堆火柴，再把余下的两堆火柴中的一堆分成非空的两堆，轮到谁不能进行

操作，就算谁输.问在两人都能确操作的前提下，谁有必胜策略？说明理由.

13.（2021・全国•竞赛）甲、乙两人进行数学游戏，先写出数0,1,2,1024.甲先从中勾掉512个数,

然后乙从余下的数中勾去256个数，然后甲再勾掉128个.如此继续下去，在第10步乙勾掉一个数后还剩

下两个数，此时乙应付给甲分数，分数之值等于余下两个数之差，试问怎样勾数对甲有利，怎样勾数对乙

有利？如果两人都以最佳的方式执步，乙将付给甲多少分？

14.（2021.全国•竞赛）2006个都不等于119的正整数叩出，，/06排列成一行数，其中任意连续若干项的

和都不等于119,求4+4++%»6的最小值.

15.（2021・全国・竞赛）某学生在黑板上写出了17个自然数，每个自然数的个位数码只能是0,123,4这5

个数字中的一个，求证：从这17个数中可以选出5个数，它们的和能被5整除.

16.（2021・全国•竞赛）从1,2,205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对干取出来的数

中的任意三个数小b,c（a<b<c）都有必HC.

17.（2021・全国•竞赛）如果两个整数工，1y的和、差、积、商的和等于100,那么这样的整数有几对？并求

工与），的和的最小值，及工与），的积的最大值.

18.（2021・全国・竞赛）设小b,c,a+h-c,a+c-b,b+c-a,a+〃+c是七个两两不同的质数，且

b,c中两数之和是800.设d是这七个实数中最大数与最小数的差，求d的最大可能值.

19.（2021・全国•九年级竞赛）如图，在4x4方格内已填有16个数字，可以对问题格中数字进行如下的操

作：将一行或一列或一条对角线上的4个数同时加上或减去同一个正整数一问能否经过有限次操作使16个

数都相等？

1876

2010

3245

5689

3

2。.（2。21・全国・竞赛）已知三个正整数倒数之和等于丁求这三个数.

21.（2021・全国•竞赛）从1,2,3,…，50这50个正整数中任取〃个数，在这〃个数中总能找到3个数,

它们两两互质.求〃的最小值.

22.（2021•全国•竞赛）设正整数〃有如下性质：1,2,…，〃中任取99个不同的数，这99个数中必有两

个数的差等于7,求〃的最大值.

23.（2021・全国•竞赛）从1,2,3,…，2010这2010个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于任意

取出的一个数工，都有15x不在取出的数中？

24.（2021・全国•竞赛）已知〃个（〃22）正整数与8，，%，把它们从小到大排列为不工看4若

这〃个正整数的和等于这八个正整数的积，求4的最大值.

25.（2021・全国・竞赛）（1）证明：在任意连续13个正整数中，必存在一个数，它的各位数字之和被7整

除；

（2）在任意连续12个正整数中，是否一定存在一个数，它的各位数字之和被7整除？如果一定存在，请

给出证明；如果不一定存在，请举出实例说明.

题型二：十进制整数及表示法

一、填空题

1.军训基地购买苹果慰问学员.已知苹果总数用八进位制表示为嬴，七进位制表示为砺.那么，苹果

的总数用十进位制表示为.

二、解答题

2.把(0.1101001)2化为十进制小数.

3.将十进制数2002化成二进制数.

4.有一个写成七进制的三位数，如果把各位数码按相反顺序写出，并把它看成是九进制的三位数，且这两

数相等，求这个数.

5.在哪种进位制中,16324是125的平方?

6.N是整数，它的/，进制表示是777,求最小的正整数从使得N是十进制整数的4次方.

7.在哪种进位制中,413=100?

8.化(1325%为二进制数.

9.求证：对于任意进位制的数，10201都是合数.

10.将(2010)”,化为下列进位制的数:

(1)二进位制的数；

(2)八进位制的数.

11.设在三进位制中,数N的表示是20位数：12112211122211112222,求N在九进位制中表示最左边的一

位数字.

12.设1987可以在〃进位制中写成三位数町，z,且x+y+z=l+9+8+7,试确定出所有可能的x,y,z和b.

13.计算：

(1)(11O1IO1O)2+(1011011),；

(2)(11011()1)2-(101011()),；

(3)(10(XW))2-(1(X)11),-(101101)2.

题型三：整除性

一、填空题

I.大约1500年前,我国伟大的数学家祖冲之,计算出T的值在3.1415926和3.1415927之间,成为世界上

第一个把乃的值精确到7位小数的人，现代入利用计算机已经将乃的值计算到了小数点后515亿位以上.这

些数排列既无序又无规律，但是细心的同学发现：由左起的第•位3是质数，31也是质数，但314不是质

数，那么在3141,31415,314159,3141592,31415926,31415927中，质数是.

2.在0,1,2,…，49,50这51个数中，能同时被2,3整除的数共有个.

3.已知p,9均为质数，其中有一个是一位数，"+4=1994,如果今天是星期一，且夕勺天后的那一天不是

星期一，那么是星期.

二、解答题

4.已知1176a=/,。为正整数，求。的最小值.

5.任给5个整数，证明必能从中选出3个，使得它们的和被3整除.

6.从1,2,3,…，2010中最多能挑出多少数，使其中的任何两个数之和不被其差整除？

7.（1）求出所有的正整数小使2"-1被7整除.

（2）求证：没有正整数〃能使22"+1被7整除.

8.能同时被6,7,8,9整除的五位数有多少个?

9.〃是质数，设。/=犷+〃4+4也是质数，试确定q的值.

10.已知〃为大于3的质数.证明：〃的平方被24除的余数为1.

题型四：素数、合数、最大公因数与最小公倍数

一、单选题

1.满足个位数字与百位数字之和是十位数字的5倍的三位数共有（）

A.8个B.9个C.18个D.29个

二、填空题

2.已知。是质数，〃是奇数，且/+〃=2001,则〃二.

3.若a,b,。是1998的三个不同的质因数，且々〈bvc,则（6+c）“二

4.己知pqpq+l都是质数，且p-q>40,那么满足上述条件的最小质数〃=,q=.

5.立方体的每一个面都写着一个自然数，并且相对两个面所写两个数之和相等，10,12,15是相邻三面上

22

的数,若10的对面写的是质数〃，12的对面写的是质数415的对面写的是质数c,则/+b+c-ah-hc-ca

的值等于.

6.在算式Ax(B+C)=110+C中，A,从。是三个互不相等的质数，那么8=.

7.已知ax0+6=x,其中“，。均为小于1000的质数，x是偶数，那么x的最大值是_____.

8.9个连续的正奇数中，最多有个质数.

9.已知〃，q,「为素数，且仅7,整除/r+在+6-1,则〃+q+〃=.

10.若素数〃，«满足7〃夕2+p=/+43/+l,则〃+4=.

三、解答题

H.若〃和乡都是质数，并且关于x的一元一次方程*+5q=97的根是1,求p2-〃的值.

12.有三个连续的自然数，它们的平均数分别能被三个不同的质数整除，要使它们的和最小，这三个自然

数分别是多少？

13.两个正整数的最大公约数是7,最小公倍数是105,求这两个数.

14.已知，是正整数，且"+2/-124+15表示质数，求这个质数.

15.设a,Ac,4是四个整数，且使得加=（。〃+〃）2-；（42+力2“：_42）2是一个非零整数，求证：|川一定是

合数.

16.设X是一个四位数，X的各位数字之和为，〃，x+1的各位数字之和为〃，并且，〃与〃的最大公约数是一

个大于2的素数.求x.

江苏省七年级开学分班考专项复习06竞赛知识（4种题型）

jQ考点剖析1

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题型一：整数的综合运用

一、单选题

1.（2021•全国・竞赛）从正整数里取出A个不同的数，使得这攵个数中任意两个数之差的绝对值是质数，则

〃的最大值是（）.

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【详解】解法一首先4个数1,3,6,8满足题目要求，故所求2的最大值24.

若抡5,记第〃个数为％5=12-»）,且＜4,贝J分下列几种情形：

（1）%为奇,。2为奇,于是何一⑷为偶数.

又何一见|为质数，故生一6=2,即生=4+2.

若火为奇数，又心工生，故G-4为不等于2的偶数，即4-4为不小于4的偶数，即6-4为合数，矛盾.故

%为偶数，4也只能为偶数.

那么，若生为奇，则%22为偶数，即%-6为不小于4的偶数，从而%-%为合数，矛盾.

若火为偶数，则%-4＞《-。3之2为偶数，从而%-%为合数，矛盾.

（2）%为奇，。2为偶，于是。2-4为奇数,即。2-q之3.

若出为奇数，则%423为偶数，故为-卬为合数，矛盾.

所以如为偶数，且4-%=2.

若明为奇数，则4-4＞。3-423为不小于4的偶数，即为合数，矛盾.

若由为偶数，则。＞%=2为不小于4的偶数，即4-%为合数，矛盾.

（3）%为偶,%为奇或偶，都类似于（1）,（2）可导致矛盾.

综上得所求攵的最人值是4,故选B.

解法二同解法一得A之4.若&N5,则将全体正整数分为4个不相交的子集,A/2,A/-W-其中",

由全体被4除余i的正整数组成"=。,1,2,3）于是任取&N5个数，其中必有2个数mbCa>b）属于同一个

子集于是〃被4整除，〃不是质数，矛盾.故所求2的最大值等于4.

二、填空题

2.（2021・全国・竞赛）下列竖式是1995减去一个三位数其差仍为一个三位数的算式，每个“Q”内盖住一个

数字.设被“。”盖住的六个数字之和为m六个数字之积为瓦则泊最小值是------------

1995

一OOO

000-

【详解】要减数及差均为三位数，数值结构必如图所示，其中x+y=15,6<x<9,6<y<9,故

a=4x9+x+y=51,〃=94R，，易知”的最大值是7^56,故£的最小值为=.

b9x7x8367416

1995

-99%

99y

3.（2021.全国.竞赛）一个十位数，其数码只能是2或3,且没有2个3是相邻的，则这样的十位数共有

个.

【答案】144

【详解】设满足题目条件的〃位数有明个，则q=2,%=3（2位数只有3个数:22,23,32）.对任意吟3,

当首位数字是2时，只要余下的n-l位数满足题目条件，这样的n-1位数有41个，当首位数字是3时，前

两位数只能是32,只要余下的〃-2位数满足题目条件，这样的〃-2位数有。，一2个，于是得到氏=。1+。,一2,

由此递推得用=%+4=3+2=5,%=43+=5+3=8,6=《+%=

8+5=13,%=%+%=13+8=21,%=%+%=21+13=34,氏=%+%=34+21=55,

%=4+%=55+34=899。=%+4=89+55=144.即满足条件的十位数有144个.

4.（2021・全国•竞赛）一本书共有61页，顺次编号为1,2,....61,某人将这些数相加时，有两个两位数

的页码都错把个位数和十位数弄反了（形如必的两位数被当成了两位数而），结果得到总和是2008,那么

书上这两个两位数页码之和的最大值是.

【答案】68

【详解】解：注意到1+2+3++61=如等=1891,2008-1891=117.因为形如7的页码被当成而后，

加得的和将相差lOOb+a)-(10々+仪|=9|力一并且4方只能在1,2,…,9中取值,|6-。区8,9出一。区72.设

弄错的两数是正和万，则9|〃-c|+9|d-c|=117,而将117写成两个正整数之和，其中每个数既要不大于

72,又要是9的倍数，只有下列两种可能：117=72+45=63+54.

当9|〃-a|=72,9|d-c|=45时，\d-c\=5,则只有元=19,而％可取16,27,38,49,此时

ab+cd的最大值是19+49=68.

当9|〃一。|=63,9|d-c|=54,即一。|=7,\d-c\=6,此时不可取18,29,当可取17,28,39,则7+%

的最大值是29+39=68.

综上所述，%+万的最大值是68,故应填68.

5.(2021・全国•竞赛)把正整数1,2,3,…，10分成两组，其中A组：%,%M”；8组:〃也，・也.现

从A、8两组中各取出一个数，把取出的数相乘，则所有不同的两个数乘积的和的最大值为.

【答案】756

【详解】解：设所有不同的两个数乘积的和为S,并记x=q+q++%，则

伪+4++2=1+2++10-x=^|^-^=55-x,依题意得

S=(4+生+,1+4”)(4+4++〃)=M55-x)=.

55I（1A2rssV

因为x为整数，X-}■之彳，所以S4—■!■+3=756.

2212）（2）

当q=1,4=2,q=3,a4=4,4=7,4=10,b、=5,b2=614=8,b4=9,即x=q+4+4+&+4=27

时，等号成立，S取到最大值756,故应填756.

注本题中S取到最大值的情况不唯一.例如4=i(i=l,2,,7),4=8,瓦=9,4=10,即x=28时，S也

取最大值.

6.(2021・全国・竞赛)将〃个棋子放于10个盒子内，可以找到一种放法，使每个盒子内都有棋子，且这10

个盒子内的棋子数都不同.若将〔〃+1)个棋子放入11个盒子内，都找不到一种放法，能使每个盒子内都

有棋子，并且这11个盒子内的棋子数都不相同，则〃的最大值等于，最小值等于.

【答案】6455

【详解】要使10个盒子内每个都有棋子且各盒子内棋子数互不相同，则需要最少棋子的放法是这10个盒

子内分别放了1,2,3,…，10个棋子，所放棋子总数为1+2+，+l()=；xl()xll=55.同理，要使11个

盒子内每个都有棋子且各盒子内棋子数互不相同，则需要最少棋子的放法是这11个盒子内分别放了1，2,

3....11个棋子，一共放了1+2++10+11=55+11=66,所以只有当即55«〃464时，〃才

yz+l<65

满足题目的条件，其中〃的最大值为64,最小值为55.故填最大值等于64,最小值等于55.

三、解答题

7.(2021・全国・竞赛)对某个正整数〃进行一次操作：如果〃为偶数，则将〃除以2,得到］；若〃为奇数,

则，加上I再除以2,求证：对任意正整数〃，经过有限次操作后必变为1

【答案】见解析

【详解】证明对任意正整数〃，令/=〃.

为偶数)25为偶数)

2,则f=,

如果/工1,经过•次操作后得到的数为工』1,故只要

等(n23,为奇数)号(n23,为奇数)

/工1,每次操作后，f至少减小1,但正整数不可能无限次减少下去.所以，经过有限步操作后，得到的数

必是1.

8.(2021・全国•竞赛)在黑板上写上三个整数，然后将其中一个擦去，换上其他两个数之和与1的差.将

这个过程重复若干次后得到(17,2011,2027).问一开始黑板上写出的三个数是否可能是(2.2,2)或(3.3,3)?

【答案】有可能,是(3,3,3)

【详解】解由于三个数在题述过程中的奇偶性变化关系为：

(偶，偶，偶)一(偶，偶，奇)一(偶，偶，奇)(奇偶性不变量)，所以(2,2,2)无法经过若干次操作

达到(17,2011,2027).

由于(奇，奇，奇)一(奇，奇，奇)，故(3,3,3)可能是操作过程中的初始状态.

先考虑(3,3,3)经过若干次操作达到(17)(a<b),「是〃=17+a-l=a+16,显然2027=2011+16,固定

17,选择尽可能小的使(17,a,a+16)经过若干次操作能达到(17,20若2027).

对于(17,a,a+16),擦去叫经过噪作后得到(17,4+16,4+2x16)(不分顺序)，再擦去a+16,操作后得

(17M+2X16M+3X16),…,经过〃次操作得(17,a+16〃,a+16(”+l)).

由于2011=125x16+11,故取a=ll,于是(17/1,27)经过125次操作可达到(17,2011,2027).

又因为有如下的逆推：(17,11,27)-(7,11,17)—(5,7,11)—(3,5,7)—(3,3,5)—(3,3,3),故(17,11,27),可由

(3,3,3),经过5次操作得到.可见(17,2011,2027)可由的(3,3,3),经过125+5=130次操作而得到.

9.(2021.全国・竞赛)在8x8格子纸的每一个方格中放上一个正整数，我们每次可进行如下的操作：在8x8

格子纸上任取一个3x3或4x4的子棋盘，并将这个子棋盘内每个数都加上1,问是否能经过有限次这样的操

作，使得这个8x8格子纸上的64个方格中的数均为10的倍数？

【答案】不是任何数表都能经过有限次操作使表中64个数都是10的倍数

【详解】解(不变量方法)如图(a)将8x8格子纸上20个小方格染成黑色，则任意一个3x3或4x4的子

棋盘恰会有偶数个黑格(2、4或6个).因此我们可取一个数表，使得这20个黑格内的数字之和为奇数，

那么，一次操作不会改变黑格内数字之和的奇偶性.即操作过程中，这20个黑格内的数字和永远是奇数，

从而不能是10的倍数.这表明不是任何数表都能经过有限次操作使表中64个数都是10的倍数.

10.(2021・全国•竞赛)黑板上写着从1到1988的正整数，对这些数交替进行操作A和操作8,即先A后8,

再A,再并这样继续下去.操作A为将黑板上写的每一个数都减去同一个正整数(在不同次的操作A中，

减去的数可以不同)；操作4为擦去某两个数，然后写上该两数的和，操作过程一直进行到某次“之后，黑

板上仅剩下一个数时为止.已知该数非负，求这个数.

【答案】1

【详解】解因为操作A不减少黑板上数的个数，操作B每次使数的个数减少1,故当A和/T各进行1987次

后，黑板上仅剩下一个数.设第攵次操作A时减去的正整数是&依=1,2,…,1987).由于第A次操作A时黑板

上仅剩下1989-2个数，故进行第k次操作A后，黑板上各数之和应减少(1989-幻而操作8不改变各数

之和的值.所以交替进行1987次操作A和B后，黑板上所写的数应为

x=(1+2+…+1988)—(19884+1987&+…+24知)

二1988(1-4)+1987(1-4)+…+2。―4987)+1.

而4为正整数，。(&=1,2，…,1987),又让0,所以4=1伏=1,2,…,1987),从而x=l.即黑板上最

后剩下的一个数是I.

II.（2021•全国・竞赛）有一堆火柴共有1千万根，甲、乙两人进行如下游戏：甲先取并且两人轮流取火柴,

在每一步中游戏者可从堆中取走P”根火柴，其中〃为质数，〃=0/，2,3「一.谁取到最后根火柴，谁就获胜.问

甲、乙两人谁有必胜策略？怎样获胜？

【答案】甲，甲取，•根火柴，使余下的火柴数又是6的倍数，甲每次都按此方法办事，最后必然获胜

【详解】解注意到游戏者每步可取1，2,3,4,5根火柴，但不能取64（4=1,2,3,…）火柴，所以甲第1次

只要取4根火柴，余下的火柴数必是6的倍数.无论乙怎么取，他取的余下的火柴数一定不是6的倍数，

设它除以6的余数为"「£{1,234,5}）,则甲取「根火柴，使余下的火柴数又是6的倍数，甲每次都按此方

法办事，最后必然获胜.

注本题中败局由所有6的正整数倍组成，胜局则由所有不是6的倍数的正整数组成.

12.（2021・全国•竞赛）桌上有3堆火柴，根数分别是100,200,300,甲、乙两人进行游戏.甲先开始并

轮流进行如下操作：每次取走一堆火柴，再把余下的两堆火柴中的一堆分成非空的两堆，轮到谁不能进行

操作，就算谁输.问在两人都能确操作的前提下，谁有必胜策略？说明理由.

【答案】甲有必胜策略，见解析

【详解】解注意，3堆火柴的根数可写成100=22x25,200=2,x25,300=2:x75.我们就3堆火柴为2%,

27,Tc加，〃为整数，b,。均为奇数）⑺的一般情形进行讨论.

甲可先取走根数为2%的那堆火柴，并将根数为2"k的那堆火柴分为两堆，两堆的根数分别为2"和

2"（2"'-1）,于是甲操作以后，3堆火柴的根数可写成2%，2%,2%（6,%,生均为奇数）

接下来轮到乙操作，不妨设他取走了根数为的那一堆.而将根数为2"生的分成两堆，根数分别为2"也，

2与打，其中乙，b2均为奇数且n}>n2.因为2"0=2"2"b2,所以或者有〃广巧工〃，或者有&二〃，々>〃，

无论哪种情形3堆的火柴数又化为（*）式所示的情形.于是，甲又可以按上述方式操作并使过程进行到某

次乙无法操作为止，所以甲有必胜策略.

注本题中的胜局就是3堆中的火柴数能写成（*）式所示的情形，败局则是3堆中的火柴数能写成（**）

式所示的情形.

13.（2021・全国•竞赛）甲、乙两人进行数学游戏，先写出数0,1,2,…，1024.甲先从中勾掉512个数,

然后乙从余下的数中勾去256个数，然后甲再勾掉128个.如此继续下去，在第10步乙勾掉一个数后还剩

下两个数，此时乙应付给甲分数，分数之值等于余下两个数之差，试问怎样勾数对甲有利，怎样勾数对乙

有利？如果两人都以最佳的方式执步，乙将付给甲多少分？

【答案】甲每次勾掉数时，应使所余的数中两数之差的最小值越大越好：乙勾数时，应使所余的数中两数

之差的最人值越小越好；乙应付给甲的分数为32

【详解】解由于最后两数之差越大时甲越有利，因此，甲每次勾掉数时，应使所余的数中两数之差的最小

值越大越好.乙勾数时，应使所余的数中两数之差的最大值越小越好.

甲第一次把所有奇数勾掉，然后不论乙怎样勾数，甲第二次将所有4的倍数勾掉，若不够，再任意勾掉一

些数，宜到够数为止，直到第5次，甲把所有32的倍数都勾掠，于是所余的数中任何两数之差都不小于32,

所以甲最后至少要得32分.

第一次轮到乙时，甲已勾掉512个数，乙必须认清0〜512及5137024中哪一组余下的数多，然后乙只须将

其中数少的一部分全勾掉，不够时再接着在另一组勾下去，只到够数为止，于是所余的数中两数之差的绝

对值不超过512.以后每次轮到乙时，都按此方法办事，每次总可以把两数差的最大值缩小到未来的一半，

直到第10步勾掉1个数后，余下的两数之差不超过32.

可见，两人都正确执步时，乙应付给甲的分数为32.

14.（2021.全国・竞赛）2（X）6个都不等于119的正整数％,生，，町期排列成一行数，其中任意连续若干项的

和都不等于119,求4+%++%06的最小值.

【答案】3910

【详解】解：首先我们证明119个正整数生&，，如9中必有连续若干项（至少一项，至多119项）之和是

119的倍数.事实上考察下列119个和：

S]=4,S2=bt+b2,邑=4+4+4，…，5||9=bx+b2+-+bll9.

其中若有一个数是119的倍数，则结论成立，否则它们除以119的余数只能是1,2,3,...»118,这118

119-1'

个数之一.由抽屉原理知，,$2，,%9中必有――+1=2个数除以119的余数相同，设这两个数是S,.和与

11O

（1</<J<H9）,于是4一人=如+/2+…+与是H9的倍数.

对干，/皿中任意连续119个数，由上述结论可知，其中一定有若干连续项之和是119的倍数.又由

题设知它不等于119,所以它大于或等于2x119.又2006=119x16+102,所以

4+4++^xx>^16x2x119+102=3910.①

取49=%8==4佃=120,其他数都等于1,①中等号成立，所以4+生++。06的最小值为3910.

注①中等号成立的条件不唯一，例如取4=%=4==4904=2,。⑼修二八^二=。皿=】，也使①中等

号成立.

15.（2021.全国.竞赛）某学生在黑板上写出了17个自然数，每个自然数的个位数码只能是。,123,4这5

个数字中的一个，求证：从这17个数中可以选出5个数，它们的和能被5整除.

【答案】见解析

【详解】证明：如果17个数的个位数字0J2,3,4都有，那么可选5个数，它们的个位数字恰好是0J2,3,4,

则这5个数之和的个位数字为零，故这5个数之和被5整除.

如果17个数的个位数字最多只有4种不同数字，那么由抽屉原理，至少有+1=5个数的个位数字相

同，这5个数字之和能被5整除.

16.(2021・全国・竞赛)从1,2,…，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数

中的任意三个数a,b,cCa<b<c)都有而wc.

【答案】193个

【详解】解：若取出的数为1,x,x+1,x+2,…，205,则只要1%+1)>205,即“14,就可使取出的

数具有题设的性质.当x=14时，取出的数为1,14,15,…，205,它们一共有的5-13+1=193个,并且

又寸其中任意3个数a,b,c{a<b<c).若a=l,贝=若a>1,贝iJ«Z?N14xl5=210>c,故取

出的数满足题目条件.

另一方面，考虑下列12个三数组：{13,14,13x14},{12,15,12x15),{11,16,11x16),{3,24,3x24},

(2,25,2x25},它们是互不相等的39个数,最小的是2,最大的是13x14=182<205,所以每组中至少有一

个数不能取出，即至少有12个数不能取出，故至多只能取出205-12=193个数.

综上所述，在1,2,3....205中，最多能取出193个数，满足题设条件.

17.(2021・全国•竞赛)如果两个整数->的和、差、积、商的和等于100,那么这样的整数有几对？并求

x与)，的和的最小值，及又与)，的积的最大值.

【答案】7对，一202,400

X

【详解】解：依题意(x+y)+*-y)+盯+—=1«0()，工0)①

y

即上8+1)2=12x22x52.

y

因为X,y是整数，所以x+y,x-y,孙为整数，由①知3也为整数.

X

(1)当一=25,(y+l>=22时,y+l=±2,

(2)当2=4,(y+l>=52时,v+l=±5,

)'

比或.x=-64

所以

y=4j=-6

(3)当m=1，()，+1产=1。2时，y+l=±10,

x=9x=-\1

所以JnV.

)，二9一y=-l1

(4)当土=100,(>+1)2=12时，y+1=±],

x=0x=-200

所以JA(舍去)或《

y=°n

由上可知，满足题意的整数x,y共7对，其中。+y)四=(一200)+(—2)=-202,(^)max=(-200)x(-2)=400.

18.(2021・全国・竞赛)设a,b,c,a+b-c,a+c-b,b+c-a,a+〃+c是七个两两不同的质数，且

b,c中两数之和是800.设d是这七个实数中最大数与最小数的差，求d的最大可能值.

【答案】1594

【洋解】解：不妨设于是七个数中〃+b-C,最小，〃+8+C最大，从而有

d=(a+b+c)-(a+b-c)=2c.问题转化为求c的最大值.因〃+〃一c>0,所以c<a+〃<a+c<Z?+c.

又因为〃+〃，a+c,Z;+c中有一个数为800,所以c<8(X).

由于799=17x47和798都不是质数，而797为质数，故有c<797,J=2c<1594.

另一方面，当。二797时，若〃+。=800,贝=又a<b,所以a=2,此时〃+。=802为合数，不符合

题意.

若〃+c=800,则a=3,由于。+b-c>0,b>c-a=794.

又〃<c=797,而795,796皆为合数，故此时也不符合题意.

所以。+人=800,注意至l]〃<c=797,«>800-6>3,并且。=5,Z?=795；。=7,6=793=13x61,«=11,

人=789=3x263都不全是质数，从而不能满足题目要求.

而<7=13,〃=787都是质数，c=797是质数，a十〃一c=3是质数，a+c—〃=23也是质数，容易g佥证

人+c—a=1571和a+》+c=1597也都是质数.

综上所述知，d的最大可能值为1594.

19.(2021♦全国•九年级竞赛)如图，在4x4方格内已填有16个数字，可以对问题格中数字进行如下的操

作：将一行或一列或一条对角线上的4个数同时加上或减去同一个正整数.问能否经过有限次操作使16个

数都相等？

1876

2010

3245

5689

【答案】不能

【详解】解任何一次操作中，4个数加上或减去同一个正整数，所以这16个数之和除以4的余数不变（同

余不变量）.如果16个数相等，那么这16个数之和除以4的余数等于0,而一开始16个数之和为67,它

除以4的余数为3Mo.因此，无论经过多少次操作，不可能使16个数都相等.

3

20.（2021・全国・竞赛）已知三个正整数倒数之和等于二，求这三个数.

4

【答案】符合题意的三个正整数有6组：2,5,20；2,6,12；2,8,8；3,3,12；3,4,6；4,4,4

【详解】解：设三个正整数为x，yz,xw），wz,则由平均值原理知

xyz4yzj4xyz

中必有一个不小于!，所以其中较大者，之!.又，<=,且x是正整数，故，只可能是:或:或即x=2

4x4x4x234

或3或4.

当x=2时，；①，故，」中必有一个不小于J，所以其中较大的，

yz421yzy18yz8y8

l<y<8,y=2,3,4,5,6,7,8,代入①验证知y=2,3,4,7时z不为正整数，舍去.当y=5,6,8时，z分别等于

20,12,8.

当工=3时，②，故中较大的,不小于三，从而）心乡.

yz\2yzy245

又yNx23,所以），只可能为3,4,分别代入②得z=12,6.

当上=4时，'+'=:③，故!」中较大的,不小于!，从而）*4.

yz2yzy4

又），2xN4,所以y=4,代入③得z=4.

综上所述，得满足题意的三个正整数有卜.列6组：2,5,20;2,6,12;2,8,8;3,3,12;3,4,6;4,4,4.

21.（2021・全国・竞赛）从1,2,3,…，50这50个正整数中任取〃个数，在这〃个数中总能找到3个数,

它们两两互质.求〃的最小值.

【答案】〃的最小值等于34.

【详解】记5={1,2,3,,50},儿是S中能被i整除的正整数组成的集合(/.=1,2,3),冈，|4|分别4,A、中

数的个数，由容斥原理有卜阂+AHA2cAi=V+T-=25+16—8=33.

从4U4中任取3个数，其中至少有2个数属于4或中同一个集合，它们不互质.

故所求〃的最小值234.

2222

其次,设旦=[1,2,3,5,7.11.13.17.19,23,29,31,37,41,43,47}.B2={2.3,5,7}.区={2x23,3x17.5x9},则

%Bi中共有16+4+3=23个数，于是从S内任取34个数，其中至少有34-(50-23)=7个数属于

瓦员.由抽屉原理知，这7个数中至少有—+1=3个数属于用，与，员中同一个子集，它们两

两互质.

综上所述，所求〃的最小值等于34.

22.(2021.全国.竞赛)设正整数〃有如下性质：1,2,…，〃中任取99个不同的数，这99个数中必有两

个数的差等于7,求〃的最大值.

【答案】196

【详解】我们从1,2,…，197中取出如下99个数：1~7,15~21,29-35,43-49,57-63,71-77,85-91,

99-105,113-119,127-133,141-147,155-161,169-175,183-189,197,它们中任何两数之差不等于7,

故所求〃的最大值G96.另一方面，从1,2,…，196中任取99个数，由抽屉原理知其中至少有字+1=15

个数除以7的余数相同.设这个余数为心而在1,2,…，196中恰有196+7=28个数除以7的余数为小

故取出的15个被7除余数为r的数中一定有2个数之差等于7.

综上可知，所求〃的最大值为196.

23.(2021.全国.竞赛)从1,2,3,…，2010这2010个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于任意

取出的一个数心都有15工不在取出的数中？

【答案】最多能取出1884个数.

【详解】因为对任意正整数x,要使15%不在取出的数中,只要15A'>2010,即“>134,故135,136,137,...»

2010都可以在取出的数中，并且要使15x<135,只要x<9,故1,2,…，8也可在选取的数中，于是当我

们选取的数为1,2,8和135,136,…，2010时，对上述任何一个数x,15x都不在其中，满足题目

的要求，这时一共取出了2010—134+8=1884个数.

另一方面，对9,10,…，134中任意一个数工，x与15x中至少有一个数不能取出，即至少有134-8=126个

数不能取出，即取出的数至多为2010-126=1884个.

综上所述,最多能取出1884个数.

24.（2021・全国・竞赛）已知”个（n>2）正整数芭,与，…，土，把它们从小到大排列为N（七《若

这〃个正整数的和等于这〃个正整数的积，求&的最大值.

【答案】所求乙的最大值等于〃.

【详解】考察下面的一些特殊情形：

2x2=2+2,1x2x3=1+2+3,Ixlx2x4=1+1+2+4,Ixlxlx2x5=l+l+l+2+5»...

x=X=

我们猜出n〃，并且我们可构造一■个£=〃的实例如卜：X=工2==n-21