2026高二数学：平面的性质及空间直线、平面的平行（解析版）

【知识点1与平面有关的基本事实】

1.与平面有关的基本事实及推论

(I)与平面有关的基本事实

文字语言图形语言符号语言作用

(1)确定一个平面；

过不在一条直线A,B,C三点不共线=

基本(2)判断两个平面是否重

上的三个点，有且有且只有一个平面a,

事实1合；

只有一个平面使A6a,BEa,CEa

(3)证明点、线共面

如果一条直线上

的两个点在一个Ael\

基本

Bel

平面内，那么这条Inlua判断直线在平面内

事实2Aea\

直线在这个平面Bea)

内

如果两个不重合

的平面有一个公⑴证明"三点共线三线

基本

共点，那么它们有且Pel共点”；

事实3

月.只有一条过该(2)确定两平面的交线

点的公共直线

平行于同一条直

基本八,

线的两条直线互证明线线平行

事实4

相平行

如果空间中两个

角的两条边分别4

两常相等或及II露｝=乙=乙V判断或证明两角相等或互

对应平行，那么这/IC||/IU

互补的定理或乙4+44'=兀补

两个角相等或互

赴

(2)基本事实2的三个推论

准论内容

推论1一条直线和该直线外•点确定一个平面

推论2两条相交直线确定一个平面

推论3两条平行直线确定一个平面

注意：三点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在一条直线

上的三点才能确定一个平面.

【知识点2空间点、直线、平面之间的位置关系】

类别位置关系图形表示符号表示公共点个数

平行a\\h0个

共面

直线与直线相交aC\b=AL个

异面/小、A/a,〃异面。个

\

直线a在无数个，就是直

aua

平面a内z^=/线。上的所有点

a

直线与平面直线。与平面a平行Q_个

乙_/aDa=0

直线在平面

外

直线〃与平面a相交aC\a=AL个

%/all«=

平面a与平面//平行0个

q/aC\p=0

平面与平面

7无数个，就是交

平面a与平面//相交ZXzaQfi=l

线/上的所有点

【知识点3异面直线判定及异面直线所成的角】

1.异面直线的判定定理

过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.

2.异面直线所成角

（1）定义：已知两条异面直线〃，b,经过空间任一点。作直线dim，b'\\b,把"与»所成的锐角（或直角）

叫做异面直线。与5所成的角（或夹角）.

（2）范围：（0,\.

【知识点4直线与平面平行的性质定理与判定定理】

文字语言图形语言符号语言

一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与

性质定理此平面相交,那么该直线与交线平行（简记为“线面公

平行=线线平行”）\Za?\p=aJ

如果平面外一条直线与一匕平面内的一条直线平行，

-------（仁a）

判定定理那么该直线与此平面平行（简记为“线线平行=线面/

------aaua[=>/||a

/l\\a）

平行，，）

注意：应用判定定理时，要注意“外”“内”“平行''三个条件必须都具备，块一不可.

【知识点5平面与平面平行的性质定理与判定理】

文字语言图形语言符号语言

两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面/Tlyhzall/?、

性质定理\\,

相交,那么两条交线平行应修7

PC\Y=b

—

aua、

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面//

bua

判定定理平行，那么这两个平面平行（简记为“线面平行=k」"aC\b=A卜

面面平行“）a/

b\\p)

注意三种平行关系的转化

_________________性质定理

▼判定定理判定定理

线线平行S性质i足詈理啜面平行,'面面平行

【题型1平面的基本性质】

I.（25-26高一下,广东茂名•期中）下列条件一定能确定一个平面的是（）

A.空间三个点B.空间一条直线和一个点

C.两条相互垂直的直线D.两条相交的直线

【答案】D

【详解】对于A,如果三点共线，则无法确定一个平面，所以A错误；

对于B,如果点在直线上，则尢法确定一个半而，所以B错误；

对于C,如果两条直线是异面垂直，则无法确定一个平面，所以C错误；

对于D,由平面的基本性质，两条相交直线可以确定唯一的一个平面，所以D正确.

2.（25-26而一下•广西南宁•期中）如果空间四点A,B,C,。不共面，那么下列判断正确的是（）

A.直线A8与C。平行B.直线A8与CQ相交

C.A,B,C,。四点中可以有三点共线D.A,B,C,。四点中不存在三点共线

【答案】D

【详解】若直线AB9CO平行，则空间四点A,B,C,D共面，故A不正确：

若直线A8与C。相交，则空间四点A,B,C,D共面，故B不正确；

若A,B,C,D四点中有三点共线，则空间四点A,B,C,D共面，与题设矛盾，故C错误，D正确.

3.（21-22高一.全国.课后作业）已知。,仅为平面，为点，。为直线，下列推理中错误的是

（）

A.AGQ,AG0、BGCI,BG0,则au仅

B.Mwa、MsB、Nca、NsB，则直线MNua.直线MNu£

C.A挝7,AP,则cl〃=4

D.且ARM不共线，则a］重合

【答案】C

【详解】对于A中，由根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面

内，可得au6,所以A正确；对于B中，由根据直线.上有两个点在平面

内，则这条直线在这个平面内，可得直线MNua,直线所以B正确；

对于C中，由Ae/Aw/，则平面。和平面夕是一条经过点A的直线，所以C不正确；

对于D中，由A氏Mea,A丛Me/?,且A叫M不共线，根据过不共线的三点唯一确定一个平面，可得

。,尸重合，所以D正确.故选：C.

4.（25-26高一.北京）与正四面体的4个顶点的距离都相等的平面个数为（）

A.4个B.6个C.8个D.前三个答案都不对

【答案】D

【详解】按平面两侧正四面体的顶点数分类.情形——侧有1个顶点，另外一侧有3个顶点.此时四个

顶点对应的中截面符合要求，共乙个.情形二两侧各有2个顶点，此时两组对棱的四个中点构成的平行

四边形所在的平面符合要求，共3个.综上所述，符合题意的平面共有7个.故选：D

【题型2异面直线的判断】

1.（25-26高一下•江西）设是正方体A用GR的一条对角线，则这个正方体中，面对角线与

8〃异面的有（）

A.0条B.4条C.6条D.12条

【答案】C

【详解】

如图，面对角线共有12条，其中与8R异面的有用A,AC,GA，G。，A。，共计6条.

2.（25-26高一下.黑龙江牡丹江.阶段检测）如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则下列

说法中正确的是（）

©CeGH；②CD与三尸是共面直线；③ABHEF；④G〃与是异面直线.

A.①②B.②③C.③④D.①②④

【答案】D

【分析】利用展开图还原为正方体，找重合的点与重合的棱，根据立体图形判断即可.

【详解】

由图可知，还原正方体后，点C与G重合，点FhjB重合，则CwG",故①正确：

可知CD与EF是平行直线，即共面直线，故②正确；

AB与EF是相交直线，故③错误；GH与EF是异面直线，故④正确.

3.（25-26高一下•浙江嘉兴•期中）如图，AM在正方体48CO-A瓦GA中，M、N分别为棱的

中点，有以下四个结论：①直线AM与BC是相交更线；②直线AM与3N是平行直线；③直线8N与

wq是异面直线；④直线人”与是异面直线.其中正确的结论为（）

【答案】A

【详解】因为8Cu平面ABC。，M4Q平面ABC7）=A,且八史3C,故直线AM与BC是异面直线，故①

错误；因为平面〃平面8QG，A4u平面A88M，MVu平面所以AB,MN没有公共

点＞

又AB//CD,MN,CD不平行,故A及MN不平行，即A及MN为异面直线，即A8,M,N四点不共面,

所以直线AM。8N也是异面直线，故②错误；因为8Nu平面片4C£,M用仆平面3/CC产用,

B、wBN,

所以直线BN与M耳是异面直线，故③正确；因为。"u平面AAQR,但AM】平面/\人。。=人，

AiDDi,

所以直线AM与。2是异面直线，故④正确.

4.（2025高三・全国•专题练习）在底面半径为1的圆柱OQ中，过旋转轴。«作圆柱的轴截面A8CO,其

中母线A8=2,七是6C的中点，厂是AB的中点，则（）

A.AE=CF,AC与瓦•是共面直线B.AE^CF,AC与EF是共面直线

C.AE=CF,AC与Q是异面直线D.AE*CF,AC与是异面直线

【答案】D

【分析】在RtzMBE中计算AE长度，在9C中计算C尸长度，进而判定是否相等；由异面直线的判

定定理可判断AC与EF是异面直线.

【详解】连接跖，CE,如图，易知BC是圆。的直径，所以8EJ_CE,

又因为七是8c的中点，故BE=CE,

BC_2

=V2,

所以在等腰Rt中，BC=2〃=2,则8E=正二正

因为AB是圆柱。。的母线，所以A8_L平面8CE,乂BE,BCu平面8CE,

故AB工BE,AB工BC,

所以在RtAABE中，AEny/ABrBE?=44+2=瓜，

在RtZXBFC中，由尸是A8的中点得8r=3人8=1，

^CF=yjBF2+BC2=VI+4=>/5»所以AEHCV，

可以看到，ACu平面ABC,EFT平面入9C=产，FAC,

所以4C与£尸是异面直线.

故选：D.

【题型3异面直线所成的角】

1.（25-26高一下•河南•阶段检测）在正四棱锥P-ABCD中，AB=AP,E是棱PC的中点，则异面直线

P8与OE所成角的余弦值是（）

A.3B.立C.亚D.叵

6336

【答案】A

【分析】构造异面直线所成的角，利用三角形的边角关系求所成角的余弦.

【详解】如图：

E

取BC中点尸，连接。尸，EF,则律//P8,则NDE产或其补角为异面直线P3与PE所成的角.

不妨设钻=2,则二•中，DF=5EF=1,DE=y[3,

DE'+EF?-D卢3+1-5V3

所以cos/.DEF=

2DEEF

所以异面直线心与OE所成角的余弦为9.

6

2.（25-26高一下•湖南益阳•期中）在正三棱柱ABC-A4G中，AB=AA]t设A4和3G所成的角为a,

【答案】D

【分析】将正三棱柱ABC-44G补成直四棱柱A8CO-A&GA，平移A4到。G即可解.

【详解】将正三棱柱ABC-ABC补成直四棱柱ABC。-ABIGA，

使正三棱柱HOC-ARG与正三棱柱ABC-AB©全等，

则由直棱柱性质可知。CJ/A4，Ag所成角为NOC/（或其补角）；

因为3=08=2&,Z£>CB=120°,

所以O8=』22+22—2X2X2X26,

(2同+(2可一(2石丫

所以=1.

2x2>/2x2x/24

3.(25-26高一下•河南新乡•阶段检测)《几何原本》中称轴截面为正三角形的圆锥为等边圆锥，如图,

若AB,C。都是等边圆锥SO底面圆的直径，且:则异面直线”与8。所成角的余弦值为

()

A.立B.正C.如D.正

4442

【答案】B

【分析】连接A。,SO,取人。中点〃，SD中点F,连接。”,。匕"，从而得/尸”。或其补角为异面直

线”与50所成的角，利用几何关系得△7770的三边长，再由余弦定理，即可求解.

【详解】如图，连接AO,SO.取AO中点H,SO中点〃，连接OH,OF,HF,

因为。是A8中点，则0H//BD,HF//AS,所以N/7/。或其补角为异面直线SA与8。所成的角，

设初=2,因为圆锥SO是等边圆徒，则SA=W>=2,HF=\,

又SO_L圆面0,则0/=[SO=L又40。=：,OA=OD=\,则立，

232

…八HF2+HO2-FO2

在△"70中,由余弦定理得3"〃。=2疗，。

2x|x

2

所以异面直线必与30所成角的余弦值为立

4

4.（25-26高一下•云南昆明•期中）已知正三棱台ABC-A用G的体积为28,4B=8,A4=4,M,N

分别是4c和8C的中点，则异面直线MN与八国所成角的余弦值为（）

A.叵RG「V13

10613。•普

【题型4四点共面、三点共线、三线共点问题】

1.（19-20高一下•全国•课后作业）如图所示，ABr\a=P,CDca=P,A,。与8,。分别在平面。

的两侧，ACna=Q,BDca=R.求证：P,Q,H三点共线.

【答案】证明见解析

【分析】推导出〜、。、R是平面。与平面AC3O的公共点，由此能证明P,Q,R三点共线.

【详解】证明：・・・A8ca=P,CDca=P,A,。与8,。分别在平面。的两侧，

:.ABr>CD=P,:.A.C、B、D构成一个平面，

vACna=Q,BDca=R.ABca=P,CDca=P,

.•.P、Q、R是平面。与平面4C3。的公共点，

:.P、。、R都在平面々与平面4c8。的交线上，

:.P,Q,A三点共线.

2.（25-26高一下.山东泰安・期中）在正方体ABCO-ABGR中，反厂分别为。G，Bg的中点,

ACIBD=P,ACJEF=Q,如图.

⑴求证：。，伐£,产四点共面;

（2）作出直线与平面BDEF的交点R的位置.并给出理由.

【答案】（1）证明见解析

（2）4。与P。的交点R就是所求的交点，理由见解析

【分析】（1）通过证明直线CG与打、、OE分别相交于同一点。，得出。片与3尸相交，从而证明

O.B,F,E四点共面；

（2）先确定平面。小石与平面4AGC的交线为PQ,再根据A。在平面AAGC内，得出4。与平面7）4庄

的交点即为A。与PQ的交点.

【详解】（1）如图，CG和在同一个平面内且不平行，故必相交，设交点为0,因为F为BG的中

点，所以厂G//C8且/G=；8C：则。G=GC：同理直线OE与cc也相交，设交点为o',则

O'G=GC,故O'与0重合.由此可证得QEcB/=0,故D,B,F,E四点共面.

（2）设平面03庄为。.由于A4//CG，所以A，4C，G四点共面（设为夕）.

因为PtB。，BDua,所以Pea.又尸GAC,ACu0,所以Pe/7,

所以Pe（a/）.同理可证得Qw（a0）,从而有ac4=PQ.连接,交P。于点R,

因为A。u夕，所以40与平面a的交点就是AC与PQ的交点.

所以AC与PQ的交点R就是所求的交点.

3.（25-26高二上.四川达州.期中）如图，A8CDABE厂是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，G,

（1）证明：D,G,H,尸四点共面.

（2）证明：直线。G,AB,F”经过同一点.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【详解】⑴连接CE,因为GH是.3CE的中位线，所以GH//CE,GH=?CE.

因为ABCD,ABEF是两个全等的矩形，

同〒以CD//A民CD=AB.EF"AB,EF=AB、

所以EF//CD,EF=CD,则四边形CDEF为平行四边形，从而DF//CE.

又因为G”〃CE,所以DF//GH,故D,G,H,F四点共面.

（2）由（1）的证明过程知DGHF为梯形，设力GcH7=P,

因为7X;u平面八BC。,“户uf®ABEF,所以Pw平面八BCO,Pw平面ABEF.

又因为ABCQcABEb=A8,所以PeAA,即直线DG,AB,FH经过同一点P.

4.（22-23高二上•上海虹口•阶段检测）如图，在长方体A8CO-AAGA中，E、尸分别是4G和GA的

（1）证明：E、F、。、8四点共面：

（2）对角线A。与平面8DG交于点0，AC,BD交于点、M,求证：点G，。加共线;

（3）证明：BE、DF、CG三线共点.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析;（3）证明见解析.

【详解】（1）连接样,8。,8a

•/在长方体ABCD-ABCR中B、D\3BDE、F分别是g和GR的中点，EF〃B、D、：.EF//BD,

E、F、。、8四点共面

⑵・・・4A〃CG，A，A，C，G确定一个平面AACC

DF

OrAC面4ACU面MCC•对角线与平面交于点o，。白面/，）co在面AAG。与

面BQC1的交线上•.ACcBZA仞「.A/w面A4CC且用丘面8。6.•.面A4.GCc面8£>G=C,/W,-.OG

G"

即点G，QM共线.

（3）延长。EBE交于G

1.Z)GuMilZX7G.tGeOGGemZX7G二BEu面8CGGe8E「.GtIIBCGIHIDCGcBCG=CC]

GeCC,/.BE、DF、CG三线共点.

【题型5空间几何体的表面积计算】

1.（25-26高一下•河北•期中）已知根，〃是两条不同的直线，a,4是两个不同的平面，则下列说法正

确的是（）

A.若m//a,mlIn,则〃〃aB.若〃z//a,〃ua,则相〃〃

C.若m小i,〃ua,则〃"/aD.若〃z//a,mu0，a0=n,则"?//〃

【答案】D

【详解】对于A：若〃？a,〃？，；，〃可能落在平面。内，此时不满足〃a,A错误；

对于B：若〃7a,〃ua,加与〃可能是异面直线，不一定平行，B错误；

对于C：若机|〃，〃ua,加可能落在平面。内，此时不满足“a,C错误：

对于D：该命题就是线面平行的性质定理，D正确.

2.（25-26高一下.江苏扬州.阶段检测）如图，在长方体人BCD-AMaR中，A8=AO=2,从4=4,点

"为棱中点.

(1)求证：&V/平面附G

⑵求异面直线8。与CP所成角的大小；

【答案】(1)证明：如图所示，连接正方形A8C。的对角线8。，交AC于点。，则。是8。的中点,

又P是。。的中点，因此在，8。4中，0P是中位线，故BDJ/OP.

又。Pu平面幺C,8A/平面PAC,所以8Q“平面?人。，得证.

(2)7(2)由⑴知BDJ/OP,因此异面直线股与“所成角等于。夕与。户所成的角/CTO.

6

正方形A8CD边长为2,故8。=2&，则OO=OC=Ji;

PD1DC,PD=2,DC=2,

在RlP0C中：CP=y/Pb1+DC2=>/22+22=2^：

。尸是.30。中位线，BD、=+DD；=J(2扬2+1=26,

故0P=；BD、=瓜.

2222

在LCOP中，OC+OP=(V2)+(通产=2+6=8=(2夜尸=CP,

因此,C0P是直角三角形，ZCOP=p

故：sinZCPO=-=^=-,得NCPO=二,

CP2V226

即异面直线与CP所成角的大小为J.

0

3.(25-26高一下•四川遂宁•期中)如图所示.正四棱锥S-A4CD中,。为侧棱,S。卜靠近。点的四等分

点，Q为侧棱SO的中点.

⑴证明：伙2〃平面PAC；

（2）若£是侧棱竟上靠近点C的三等分点，求证：BE，平面PAC.

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【详解】（1）如图：

连接80,交AC于0,连接8。,。夕，由于分别是肘）,。/）的中点，所以40/OP,由于5Q（z平面

PAC,OPu平面Q4C,所以8。〃平面PAC.

（2）连接B£,QK,由于炒=普=2,所以EQ〃PC,由于EQa平面幺C,PCu平面幺C,

所以EQH平面PAC.lh于BQH平面PAC.BQcEQ=Q,BQ,EQu平面BQE,所以平面8QE〃平面PAC,

由于8Eu平面6。石，所以8£〃平面人AC.

4.（25-26高一下•河南新乡•阶段检测）如图，在四棱锥Q-A8CZ）中，底面为平行四边形，侧面

PAD是边长为2的正三角形，平面21。_1_平面八8。。，AB=\..=M为线段PO上一点，N

为BC的中点.

⑴当“为P。的中点时，求证：MN〃平面PA3.

⑵若PBH平面AMN,

①试确定点M的位置并说明理由；

②求三棱锥M-ABN的体积.

【答案】（1）证明见解析

（2）①点M为PO上靠近尸点的三等分点，理由见解析；@7

【详解】（1）证明：如图，取AP的中点为E,连接EW,EB.

丁在△R4O中，M为，。的中点，E为40的中点,

：yb\

\卜W\

BNC

「EM//AD,EM=^-AD.

2

••在平行四边形A8CD中，N为BC的中点，

:.BN"AD,BN=-AD,

2

:.BN//ME且BN=ME,

二.四边形8VME为平行四边形，

:.MNHBE.

A1N。平面RW,4Eu平面QW，

「.MN〃平面

（2）①如图，连接8。交4N于点0,连接。M.

7L"：vPBH平面AMN.

PBu平面PBD，平面PBD1平面AMN=OM,

4d卞廿分\

B'NC

PB//OM.

PMOB

MDOD

.四边形A8CO是平行四边形，〃为BC的中点,

:.AOBN△OOA,

OBBN_\

0D~7D~2

•••学=；，即点M为PO上靠近P点的三等分点.

②在四边形A8CO中，AB=\,BN=1,ZABC=y,

•**SABN=—■AB-BNsinZABC=—xlxlxsin—=—

2234

取八。的中点F,连接尸尸.

QV%。是正三角形，

：.PFVAD,且。尸=石.

，,立面Q4O_L平面A8CO,且平面尸AOc平面A8CD=AZ）,Mu平面尸AO,

:.PFL^ABCD.

A4为尸。上靠近尸点的三等分点，

二M点到平面ABCD的距离为ZpF二组.

33

，三棱锥M-A8N的体积V='s语小='@乂"3

3种3436

【题型6线面平行的性质定理应用】

1.（25-26高一下•海南•阶段检测）已知“，人是两条不同的直线，。，?是两个不同的平面，以下说法正

确的是（）

A.若aPa,bPa,则a。》

B.若a〃?，aPa,则bPa

C.若a\0=1,aua,bu0,则〃与人相交

D.若bua,则。与〃至多有一个公共点

【答案】D

【详解】对于A,若aPa,bPa,则a,b可能平行、可能相交、可能异面，A错误.

对FB,若。b,aPa,则力Pa或buc,B错误.

对于C,若aCI4=/,aua,Au?，则a,h可能平行、可能相交、可能异面，C错误.

对尸D,若"Ua,则"与仪平行或相交，当a//a时，因为人ua,所以“与〃无公共点；当々与〃相交于

一点时，因为人ua,所以。与b至多有一个公共点.综上，D正确.

2.（25-26高一下•河南濮阳•期中）三棱柱44C-A4G中，E是棱CG的中点，。是棱8。上一点,

BD=/DC,若平面A£>£,则实数a的值为（）

A.yB.1C.2D.4

【答案】C

【详解】如图，连接4C,设ACcAE=o,连接oa

因为A8//平面4OE,平面48Cc平面=A^u平面48。，所以48//。。.

在三棱柱A8C-AgG中，侧面ACGA为平行四边形，所以AAJ/CG，即A4J/CE.

所以-AOA与其簿E相似，则野二经，又在6ABe中，由。。//A8可得能=笑

OCCEDCOC

=2,即儿=2.

3.（25-26高二下.江苏南通•阶段检测）如图，在四棱锥P-AACO中，底面A8CO为梯形，其中，BC/I

点E为棱。。的中点.

⑴求证：AD//BC；

⑵求证：CE〃平面PAB；

（3）若M为CE上的动点，则线段上是否存在点N,使得MN〃平面八48?若存在，请确定点N的位

置，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）因为8。〃平面0AD,BCu平面A3CD,且平面RlDc平面AB8=AD,

根据线面平行的性质定理，可得：AD//BC.

C

因为石是尸。中点，所以所是△叫£＞的中位线，得EF//AD,且=由题设AO=28C,结合

（I）中4O〃8C,可得BC//EF^.BC=EF,因此四边形8CEF是平行四边形，得CE//BF.又BFu平面

PAB,CEa平面八钻，根据线面平行的判定定理，可得：CEi/平面PAB.

（3）线段A。上存在点N,当N是AO中点时，MN〃平面P43.理由如下：

由BC//AO,AD=2BC,可得BC//AN且BC=AN,因此四边形8CN4是平行四边形，得CN//AB.

又CN（Z平面EAB,ABu平面所以CN〃平面结合（2）的结论CE//平面Q钻，且

CE\\CN=C,CE.CNu平面CEN,根据面面平行的判定定理，可得平面CEM/平面P48.因为M是CE上

动点，MNu平面CEN,根据面面平行的性质，可得MN〃平面小氏因此，线段AO上存在点N,当N

为人。中点时满足MNH平面PAB.

4.（25-26高一下•河北雄安•期中）如图，在正方体ABC。-A可GA中,F,尸分别为棱MG，的中点.

⑴设平面A〃Oc平面A8CQ=/,求证：BQ//1.

⑵棱陪上是否存在一点M,使加〃平面。始若存在,求瑞的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）如图，连接BQ,因为在正方体A8C加一AMGR中.DR//8用旦力。=B旦，所以四边形

为平行四边形，所以DB//BR.

方法一：因为s平面，8£>u平面所以用口〃平面4〃。.因为用Ru平面46GR,

平面43OC平面A4G〃=/，所以BQJ/1.

方法二：因为gRu平面4瓦。囚，8。0平面AAGA，所以BD〃平面A8GR.因为A/)u平面

ABD,平面ABOc平面AB|GR=/,所以BD/〃.所以旦R〃/.

方法三：在正方体ABC7)-AeG。1中，平面48C。//平面A4G。］,平面4BDC平面A4CD=3£>,平面

ABDC平面八圈。自=1，所以3D/〃，则8a〃/.

(2)存在，且馈■="，理由如下：取AA的中点G,连接AG,FG,

因为F,G分别为的中点，所以bG//A4，FG=A,B,,因为/18//4耳，AB=AlBl,所以

FG//A13,FG=AB,所以四边形ABFG为平行四边形，所以B///4G,设M为AG的中点，贝U

PMHAG,所以/W〃4P.因为8尸u平面DBF,PM(Z平面DBF,所以PM〃平面DBF,故存在所求的

占M且4"

MDt3

【题型7面面平行的判定定理及应用】

1.(25-26高一下•湖南•阶段检测)设小〃是两条不同的直线，a,尸是两个不同的平面，贝！。〃尸的一

个充分条件是()

A.存在无数条直线与夕，夕都平行

B.存在无数个平面与。，夕都垂直

C.存在两条平行直线〃，b,aja,bj/3,a〃/,b//a

D.存在两条异面直线a,b,a三a,bj0,a"0、b//a

【答案】D

【详解】A,如图，作长方体ABCD-AeGR,取平面ABCD,平面。CGR分别为平面。，P.

因为ac/?=OC,且AA〃OC,且AM<Za,(Zp,则A瓦〃a,AA〃P，

显然可作无数条与A4平行且不在平面a,夕内的直线，即存在无数条直线与。，夕都平行，但。，夕不

平行，错误；

B,因为平面BCG片与平面。，夕均垂直，且显然可作无数个与平面8CGM平行的平面，即存在无数个平

面与a,夕都垂直，但a,尸不平行，错误；

C,若。与夕相交，可在。内取a平行于交线，在夕内取b也平行于交线，

满足B,。〃。，但无法推出a〃/，错误；

D,异面宜线aqa,bj。、a〃/，b//a,可在用内作出在a内作出加〃匕，

可得"，b是夕内的相交直线，a,方'是。内的相交直线，且都平行于另一个平面，

根据面面平行判定定理可推出。〃分，符合要求.

2.（25-26高一下•广东忠州•期中）设外力是两条不同的直线，。,人/是三个不同的平面则下列选项正确

的为（）

A.若a〃〃,a〃a,则〃//0

B.若a〃£,£〃y,则a//y

C.若aua,bua,alIB，bl1。,则a〃£

D.若a〃/?,aua,bu/?,则a//〃

【答案】B

【详解】对于A,若。〃b,a〃a,则力〃a或。ua,故A错误；

对于B,根据平面平行的传递性可知，若。〃△夕///,则。//人故B正确；

对于C,maua,bua«l/0、bi甲,当相交时，可得。//夕，当a//b时，6〃可能相交，故C错误:

对「D,若a”B、aua,bu0,则a〃力或。与。异面，故D错误.

3.（25-26高一下•吉林长春•期中）如图已知四棱锥S-"8,底面A8CD为梯形，AD//BC,

SA=AB=BC=2,AD=3,P、。为侧棱SO上的点，且。P：PQ：QS=3:2:4,点加为SA上的点，且

3AM=AS.

⑴求证：CP//平面SAB；

(2)求证：平面8MQ〃平面ACP.

【答案】(1)证明：连接“尸，

SM2sp2

在-%。中，因为，所以MP//4。，且MPu7AOrZ.

又ADUBC,BC=2,所以MP//BC且MQ=8C,所以四边形MPC8为平行四边形，所以CP//BM.

又BMu平面SAB,CPE平面”B,所以CP〃平面SAB.

(2)证明：由(1)得CP//8W,又BWu平面创7。，CPE平面BM。，所以CP//平面4"。.在一SAO中,

因为OP:PQ:QS=3:2:4,所以等=：=普，所以MQ//AP.又MQi平面8MQ,AP(z平面BMQ,

所以AP〃平面8MQ.乂