2026秋高一数学上册 第二章 等式与不等式 测试提升卷（人教B版必修第一册）解析版

2025-2026学年高一数学单元检测卷

第二章等式与不等式

建议用时：120分钟，满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.若关于x的不等式（〃队-l）（x-2）>。的解集为非空集合%则实数〃，的取值范围是（）

m

A./n>0B.0<w?<2C.ni>2D.加<0

【答案】D

【详解】因为（mx-l）（x-2）>0的解集为卜\<》<2卜

所以机<0且，<2,故用<0.

m

故选：D.

⑵+3>0

2.若关于x的不等式组，n的解集非空，则满足条件的最大整数。为（）.

x+3。v。

A.2B.1C.0D.-1

【答案】C

3

2x+3>0x>—（2x+3>0

【详解】由、八，可得：2,要使不等式组2人的解集非空,

[x<-3a

须使=,即：

22

故满足条件的最大整数。=（）.

故选：C.

3.已知〃>0,6〉0且a+6=l,则'a：%的最小值是（）

an

A.49B.50C.51D.52

【答案】A

【详解】因为。>0,b>0且a+b=l»

16。+9〃169169«16。9b、正，c

所以+—一+—a+/>)=25+—+一>25+2./-----9-b=49,

ab~bbaba

当且仅当竽=丝，即6=9,时取等号.

ba77

故选：A

4.命题p:手>0,命题中-1SXW3,则〃是4成立的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】由p:二>0=(x—2)(x-3)<0=2<x<3,而夕：-1WXW3,

3-x

所以P是4成立的充分不必要条件.

故选：A

5.若a=x2+/，6=43-5,则()

A.a<bB.a<hC.a>bD.a>b

【答案】C

【详解】因为a_bT+V_(4|^|-5)=X2+/-4\y\+5=x2+(|v|-2)i+1>0,所以a>b.

故选：C.

22

6.设集合6=卜|r+ax+l>0},P2=jx|x+av+2>o1,储=卜,+x+/)>o},2={x,+2x+/)>0

其中下列说法正确的是()

A.对任意a,々是g的子集：对任意62不是久的子集

B.对任意m［是巴的子集；存在爪使得Q是2的子集

C.对任意a,［不是鸟的子集：对任意田。不是2的子集

D.对任意a,片不是鸟的子集；存在从使得。不是久的子集

【答案】B

2

【详解】对于集合号={x，+ax+l>0},P2={x\x+ax+2>6\t

可得当加w耳即m2+am+1>0可得w?+am+2>0>

即有〃?€鸟，可得对任意a,［是A的子集；

22

当/>=5时，Q={x|x+x+5>0|=R,02={X|X+2X+5>O}=R

可得0是&的子集：

当方=1时，Q\=Jx|x2+x+l＞0|=R,&=卜,+2x+l＞0｝=卜,工l,x£R;

可得。不是久的子集：

综上可得，对任意。，A是4的子集，存在b,使得。I是0的子集.

故选：B

41

7.若max｛再，,马―｝表示三个数中的最大值，则对任意的正实数x，J',max＜.丫?乂7十二的最小值是

（）

A.1B.2C.4D.5

【答案】B

4141

【详解】则xWN,2y<N,—+—<;V,

x-rx-y

4i,41)4

因工＞0,歹＞0则得2盯—+—<N\乂因2个八—+~22xy=8,所以MZ8,

Iry\1厂yjxy

414I

当且仅当x=2y=r+F=2,即x=2,y=l时等号成立，故max＜x,2y,r+二卜的最小值为2.

厂y3门

故选：B.

8.若关于x的不等式（4-。）--4》+1＜0的解集中恰有3个整数，则。的取值范围是（）

A.型〈心”B.型。〈匕

93

,254925,49

C.—<a<—D.—<a<—

916916

【答案】C

【详解】由题意，。工4且A〉。n16—4（4一。）＞0n。＞0,且4一。＞0,解得。＜4,则0＜。＜4,

设不等式的解集为A.

因为x=0时，1＜0不成立，所以0e%；因为x=1时，1—色―2+1=—巴＜0,所以

2442

又因为A中恰有3个整数，所以这3个整数必定是1,2,3.

4-”4+1<0

（4-tz）x4-4x2+1<0

由，n”竺

（4-t/）x9-4x3+l<0916

（4-4）x16-4x4+120

综上所述

故选:C

【点睛】关键点点睛：不等式中所含有的整数解必定是连续的整数，弄清楚1,2,3满足不等式后，还要

注意0,4不满足原不等式.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分

9.（多选）十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“=''作为等号使用，后来英国数学家

哈利奥特首次使用“v”和“〉”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若

。>0乃>0,则下面结论正确的是（）

11I49

A.若则一<丁B.若一+工=4,则6有最小值二

abab4

C.若ab+b?=2,则a+6N4D.若a+b=2,则。力有最大值1

【答案】ABD

【详解】对于A,4>b>0,则£>与，即,<?，故A正确；

ababab

I4I/14、

对于B,。>0/>0,—+—=4,贝1。+力=一—+一（。+力）

abb）

当且仅当2=?，即/>=时取等号，故B正确；

ab2

对于C,。>0力>0,由帅+/=2,取a=l,/）=l,满足条件,

贝Ua+〃=2<4,故C不正确；

对于D,a>0力>0,a+b=2,则岁）=1,

当且仅当。=力=1时取等号，故D正确.

故选：ABD.

10.S={x||x|<l）,运算“㊉，，为。㊉/，=幺?，则（）

\+ab

A.（一。）㊉4=1B.=㊉a

C.（。㊉b）㊉c=a㊉（分㊉c）D.若a,beS,则。㊉〃eS

【答案】BCD

【详解】对于A,(-0㊉八(-岛a)+备a=。，故A错误;

对干B'皿=统=箸=,例,故B正确;

a+ba+b+c+abc

-----+c-----------

a+b+c+abc

对于C,3㊉6血=1+时—=--」

.a+b\+ab+ac+bc

1+----xc--------\-+-a-b-+ac+bc

\+ab\+ab

b+ca+abc+b+c

a㊉（6㊉c）=2U^L/+"+/…

I+axb+c1+bc+ab+ac1+bc+ab+ac

1+be1+be

所以（a㊉与㊉c=a㊉（6㊉c）,故C正确；

对于D,若GbsS,则向＜1,|耳＜1,

要证”㊉"S,只需要证即证|。+4＜|1+阙，

即证（。+〃『＜（1+时）2,即证l+印证（「/“I—/）〉。,

因为同<1,例<1,所以上式成立，所以。㊉8eS,故D正确.

故选：BCD.

(\\

11.已知关于x的不等式(2。+3〃?”—(/>—3〃?)x-1>0(。>0力>0)的解集为(-%-l)u5,+。,则下列结

论正确的是()

A.2a+b=\B.的最大值为:

8

C.'+］的最小值为4D.J的最小值为四+；

ab。+1a+b2

【答案】ABD

【详解】由题意，不等式(2。+3⑼/一a.3m)x—l>0的解集为l：-8,-l)u(；,+8),

可得2a+3ni>0,且方程(2a+3m)x2-(b-3心-1=0的两根为-1和y,

.1b-3〃？

-1+-=------

所以，22a+3m,所以北+3加=2,b-3m=-\,

-lx-=-------

22a+3ni

所以2a+〃=l,所以A正确；

因为〃>0,b>0,所以24+6=12275茄，可得

O

当且仅当2a=b=：时取等号，所以八的最大值为:，所以B正确;

2X

,I212V.,..h.lb4a...

由一+—=—+-(2。+8)=4+—+——>4+2.1----=4+4=8,

abyab)ab、ab

当且仅当2时，即2a=b=：时取等号，

ab2

12

所以上+：的最小值为8,所以C错误；

ah

aII=xa=x1

设则

a+b=yb=y-x+i

­/2a+h=\,2(x-l)+y-x+l=1即x+y=2

二-+=2+L山+山=2+二+吗巨+上及+之

6f+la+bxyx2yx2y2\x2y22

[X2L

=x=4-2s/2

当且仅当Ix2ylip<

y=2-2

[x+y=2近

a=3-Z72>U

.•.(时，等号成立

Z>=4V2-5>0

所以々的最小值为&+］，所以D正确.

4+1a+b2

故选:ABD.

三、填空题：本题共3.小题，每小题5分，共计15分.

12.已知。>0,且2是方程/+笈-8=0的一个根，贝峰+2的最小值是

aa

【答案】8

【详解】由题意，可得(2>+丝-8=0,即得6=4。-2,

aaa

6,26，4

则1I方ltH—=4a---1—=4aH—,

aaaa

4/44

因。>0,故4a+—22,4«.—=8,当且仅当4a=—即a=1时等号成立，

a\aa

即当a=l,6=2时，b+9取得最小值8.

a

故答案为：8.

13.已知〃<6<c且4+26+3c=0,则2的取值范围是.

a

t答案】—-vl

5a

［详解】因为a<b<c,a+2/)+3e=0,

则c=_〃+26,且6。<。+28+3c<6c,即6a<0<6c,:.a<0,c>0.

3

由/><c得b<-竺竺，则鲂<—〃，即色>一1,UP->--,

3aa5

又"b,,

a

因此s的取值范围是-

a5a

故答案为：一"<g<L

14.已知关于X的不等式ad+bx+c>0的解是-l<x<2,则关于x的不等式公+f+〃<0的解为

X

【答案】-l<x<0或x>2

【详解】由关于x的不等式ad+版+。>o的解是_1<x<2,

则用=-1和演=2是方程依2+及+《=o的两个实根，

a<0

a<0

由根与系数的关系得-1+2=-^

整理微b=-a,

a

c=-2a

则当丫>0时,关于％的不等式口+£+方<0转化为X2—X—2=(X+1)(X—2)>0,解♦得X>2：

X

当x<0时，关于X的不等式以+£+力<0转化为/-x-2=(x+l)(x-2)<0,解得7<x<0.

X

综上关于X的不等式G+£+b<0的解为-1VXV0或x>2.

X

故答案为：-<<0或x>2.

四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

34a

5⑴分）⑴已知"“求”I+E的最大值;

(2)已知且2xy+x+2y=15,求2x+y的最小值.

4a-3+3.333II

【详解】（1）Q+1+---=a+1斗--------=a+2+---。—+-----+—.................2分

4a-34tz-34a-344。-34

33

因为"“所以丁”。,

一("扑不Ep2K=2后=△

当且仅当d5/3a;七单时,等号成立,

..................................5分

I4）-（467-3）4

故有“一:卜3

(4f

即a+l+^^4的最大值为—⑺十2......................................................7分

4a-34

(2)2人丁+彳+2p="+1)(2歹+1)-1,又因为2个，+.丫+2?=15,

故有(x+l)(2y+l)=16,..............................................................1()分

因为x>—l,)，>—；,所以x+l>0,2y+l>0,

令x+1=m,2y+\=n

2x+y=2nm+J----5>2。^/n~m——5=—11,

-2222

当且仅当2加即4x+3=2y时，取得最小值?.............................................13分

乙乙

16.（15分）如图，某学校为庆祝7（）周年校庆，准备建造一个八边形的中心广场，广场的主要造型是由两

个相同的矩形ABCD和EFG”构成的面积为100me的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价

为2900元/m,在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地面，造价为350元/m一再在四个空角

（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/nf.设总造价为沙（单位：元），4。长为x（单位：m）.

(1)当x=4m时，求草坪面积：

(2)当X为何值时，匹最小?并求出这个最小值.

【详解】(1)四个直角三角形均为等腰直角三角形，直角边长为外上.......................2分

4x

当】=4时，—卫一故草坪面枳为=—m2：......................................................5分

4x42\4)8

(2)花坛的造价为2900/元，四个相同的矩形总造价为350(100--)元，

四个直角三角形为等腰直角三角形，直角边长为一厂........................................................................7分

4x

24

如-w•+而附M'生〃xxonA।100-x100000—2000x~+1Ox—czk

214A)厂

故吟29。。八350(1004)+幽叱等2

=2560/+122222+33000>2^2560x2.122222+33000=65000元，............................12分

当且仅当2560/=W2吧，即x=;时，等号成立，

x2

故x=5时，"最小，最小值为6500()元.....................................................15分

17.(15分)己知函数y=af_(2a+2)x+4.

⑴若。=-3,求不等式P>0的解集；

⑵是否存在实数〃使得方程y=0有两个不相等的实数根且，+，=1成立，若存在求出〃的值，若不存在,

X|x2

请说明理由；

(3)若关于x的不等式7〉-(』+2)的解集是实数集R,求实数〃的取值范围.

【详解】(1)当”=-3时，y=-3x、+4x+4,由y>0,得-3x>+4x+4>0,即3/-4.丫一4<0........2分

整理得(3x+2)(x-2)v0,解得-|<x<2,则不等式y>0的解集为卜卜■|vx<21.........................4分

(2)不存在实数。符合题意，理由如下：...................................................5分

由¥=0,得a/一(2tz+2)x+4=0,

若存在实数。使得方程卜=。有两个不相等的实数根且,+’=1成立，

玉X?

2a+2

X+吃=-----

则4/0,占。0,工2#0，玉H七，由韦达定理得，4a，..........................7分

2a+2

由2+]=得窘川,则三解得〃印,

此时方程为--4x+4=0,即(X-2)2=0,解得』=.0=2,

因此，不存在实数。符合题意...............................................................9分

(3)由y>-(/+2),得尔-(2a+2)x+4>-(/+2),整理得(。+1)/_(2q+2)x+6>0,....11分

当。+1=0,即。=-1时，不等式为6>0,此时不等式恒成立，符合题意：.....................13分

当。+1工0,即"T时，由不等式的解集是实数集R,

〃+1)0

得，C。\2V解得一

A=(2«+2)-24(〃+1)<0

综上所述，-1<6f<5

因此，实数〃的取值范围为11,5).......................................................15分

18.(17分)已知不等式24"2+6X+CW3的解集为{<|2WxV3}.

⑴若。>0,且不等式”+e-3)》-cKO有且仅有1()个整数解，求1的取值范围;

(2)若。为非零实数，解关于x的不等式：ax2+(b-\)x+5<0.

【详解】(1)因为。>0,不等式246+6+cW3的解集为32WXW3｝,

故ad+6x+cW3的解集为｛工|24工43｝且如2+6(+。22的解集为1<»........................2分

2+3=--

所以ad+8x+c=3的根为x=2,x=3,故，“，化简得〃=-5〃，C=6Q+3,.........5分

--c-3

2x3=---

a

又ax2+bx+c=ax2-Sax+6a+3>2的解集为R,即ax2-5ax+6a+1N0恒成立，

所以25/-446。+1)40,解得0<〃W4,................................................7分

不等式♦+(/)-3)工-0«0等价于ad-(54+3)..(64+3)<0,[ip(x+1)(ar-6tz-3)<0,

333

所以-14x46+-,由题意得8工5+一<9,解得

综上所述，。的取值范围为1,T.......................................................10分

(2)若。>0,由(1)得原不等式可化为小+(-5〃-1卜+5<0,HP(OA-1)(X-5)<0,

当0<。<］时，不等式解集为(5,；｝..................................................11分

当。=；时，不等式解集为0..........................................................12分

当白“44时，不等式解集为(；5)：

若*0,原不等式等价于奴2+6+CN2的解集为"I2WXW3｝且办2+加+cK3的解集为R,

所以方程ax2+bx+c-2=0的根为2和3,

hc-2

则2+3=—,2x3=----,所以-5a,c=2+6a,....................................14分

aa

不等式ad+bx+c=a/—5G+6Q+2«3恒成立，故256—4“6Q—1)«0,解得-4"<0,

不等式分？十(6—1)3十5二(分一1)(工-5)<0,4军得x<—或x>5,.............................16分

a

1

综上所述，当-40。<0时，解集为•x|x<£或x>5｝；

当0<4<:时，不等式解集为

5a

当“=g时，不等式的解集为0;

当!时，不等式的解集为「己<：不<51............................................17分

5a

19.(17分)教材中的基本不等式可以推广到〃阶：〃个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即:

若4M2,…4>°，则有％+'"+一旦…〃之2，当且仅当q=%=…=为时取等.利用此

n

结论解决下列问题：

(1)若x,y,z>(),求'+在+把的最小值；

xyz

(2)若xe(0,；)求Y(l-2x)的最大值，并求取得最大值时的x的值；

(3)对任意左eN,判断与11+存J的大小关系并加以严格证明.

【详解】(1)因为xj,z>0,所以由三阶基本不等式可得：2+&+把23?/匕&•竺二6,