福建宁德市2025-2026学年第二学期八年级期末考试数学试题（试卷+解析）

2025-2026学年第二学期八年级期末考试

数学试题

（满分100分；考试时间120分钟）

注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息,考生要认

真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2.选择题每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应

位置书写作答，在试题卷上答题无效.

3.作图可先使用25铅笔画出，确定后必须用0・5毫米黑色签字笔描黑.

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.己知。<6,则下列不等式一定成立的是（）

A.。+2<力+2B.—a<—bC.~~D.a-b>0

22

2.我市是畲族的主要聚居地，畲族服饰纹样承载着民族特色文化，不少纹样既有美好寓意，又具备鲜明的

几何特征.下列畲族常见服饰纹样中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

有意义，则x的取值范围是（

A.x=5B.xH5C.x>5D.xwO

4.在中，ZC=90°,D是BC上一点、,力。平分/切C.若80=8,CD=6,则点。到

的距离是（）

A.2B.3C.6D.8

5.如图，将四边形48c。沿。〃方向平移得到四边形mG〃.则下列结论错误的是（）

A.CG//DHB.CG=DHC.AB=EFD.BC=GH

6.如图所示的大矩形，由2个边长为〃的正方形，1个边长为匕的正方形和3个宽为。，长为b的长方形拼

接而成.利用该图形的面积关系，可以验证的因式分解是（）

A.=2。（。+26）B,2a2+3ab+b2=a^2a+b）

C./+3。6+2/=（。+/?）（。+26）D.2a2+3aZ?+Z?2=（a+Z?）（2a+Z?）

7.已知平行四边形48CO,45=/。，则下列条件中，能判定四边形48CQ为正方形的是（）

A.NBAD=NBCDB.ACLBD

C./.BAD=90°D.AD=BC

8.数学课上老师提出问题：在△48C中，AC<BC,用尺规作图法在边8c上确定一点。，使

AD=BD.下面是四位同学的作图过程，其中正确的是（

A.B.

B

BD

A

c.D.

B

BD

9.为普及科技知识，学校举办人工智能知识竞赛.竞赛共20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣2

分.小明在本次测试中获得优秀18（）分或8（）分以上为优秀）若设他答对了x道题，则下列不等式中满足题

意的是（）

A.5x+2（20-x）>80B,5x+2（20-x）80

C.5x—2（20—x）>80D,5x—2（20—x）280

10.已知直线^=云+力经过点（-3,0）,与直线y=+〃（阳<0）相交于点（-1,2）.则关于x的不等

式h+6<+〃的解集是（）

A.x>-lB.x<-1C.x>2D.x<2

二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分.

11.如图，在平行四边形力中，对角线4。与8。相交于点。.若力。=6,则OC=.

12.一个一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，写出该不等式的一个整数解：

14.中国传统建筑中的冰裂纹窗格以桦卯木雕构成几何纹样，兼具实用与美学价值.图1是某冰裂纹窗格的

实物图，其整体图案主要由正六边形与正三角形构成.图2是它的局部示意图，图中N1的大小是

图1图2

15.学习了“分式的加减法运算”后，叶老师设计了如图所示的计算流程图.小明按照该流程图计算』-二^

a5a

的过程中，正确的路径是：.（填写序号）

16.如图，在梯形48co中，AB//CD,//。C=90。，点E是腰4C的中点，点/在线段C。上，且

三、解答题：本题共9小题，共58分.

17.因式分解:

(1)x2-xy；

(2)a2b—4b.

18.如图，点。是8E的中点，ZJ=ZD=90°,AB=CD.求证：AC=DE.

x+3>5

⑼解不等式组Zf并把解集表示在数轴上.

20.如图，已知：在平行四边形/BCD中，点七、厂分别在边力4、CO上，AE=CF.求证：四边形

。£8厂是一个平行四边形.

D

21.物理学中，电功率表示电能消耗的快慢，其大小等于消耗的电能与所用的时间之比，公式为夕=

(%为消耗的电能，单位：J;，为所用的时间，单位：S；。为电功率，单位：W).实验课上，老师要

求利用电能表和秒表测量并计算两盏小型护眼灯的电功率.小明通过实验得到以下数据：A护眼灯消耗电

能2700J,B护眼灯消耗电能3600J,B护眼灯的工作时间比A护眼灯多60s.已知A,B两盏护眼灯的

电功率相同.

(1)求A、B两盏护眼灯分别工作了多长时间；

(2)求A护眼灯的电功率.

22.如图，在平面直角坐标系中，△048的三个顶点坐标分别是0(0,0),4(-3,3),3(-4,0).

(1)将△O/B先向右平移6个单位，再向上平移2个单位，得到△«4片，画出△«4片，并直接写出

点4的坐标：

(2)将aO/B绕点。逆时针方向旋转90。，得到AOA层，画出△。4%；

(3)△04当也可以由△Q/4绕点。逆时针旋转90。得到，请直接写出旋转中心点。的坐标.

23.观察下列关于正数运算的式子：

12117一5

当忖=+,N=——+——时，•/M=-,N=-,.

1+12+11+12+166

k/f213N177

--1JW—9・时，,：M=——,N=——,:.M>N；

2+13+12+13+11212

1

I

74N二J—十1713

当八十+一，4+1时,vM=—,N=一,：.M>N；

44+1-+11515

2

2

25

z113931

当二十二时，vM=—,N=石，:.M>N；

-+1-+135

32

32

（1）根据上述式子的特征，分别用含。，b的代数式表示：当必=,N=时,

M>N：

（2）探究：对于正数。，b,当它们满足什么条件时，（1）中的规律一定成立.请说明理由；

（3）小明发现：若。是正数，〃是负数，（1）中的规律不一定成立，请你举一个不成立的例子.

24.将一个多边形进行〃次折叠，若翻折后的图形恰好拼成一个无缝隙的矩形（矩形内每一点都有且只有上

下两层），则称该矩形为折拼矩形，原多边形为该折拼矩形的〃折原图形.

例如，将菱形力BCD按图1方式折叠，得到矩形因为矩形ER7,内每一点都只有二下两层，所

以矩形EFGH是折拼矩形，四边形/1BC。是该矩形的4折原图形.

（1）如图2,已知菱形力BCO是折拼矩形的2折原图形，小明画出了其中一条折线£/（EP所

在的直线是力。的垂直平分线），请在图2中画出其余的折线；（折拼矩形4EFG的轮廓线用实线，其它的

辅助线用虚线，并简要说明折线的作法）

（2）在（1）的条件下，若2折原图形48CO的对角线交于点。，且4c=6,BD=8.求折拼矩形

AEFG的周长；

（3）请分别构造2个多边形（边数不小于4）,使它们是某个折拼矩形的〃折原图形，画出草图，简要说

明画法.（画图要求：①所构造的2个多边形的边数要不相等：②所构造的多边形的边数要尽可能多：③

若构造的多边形是四边形，则该四边形不能是平行四边形）

25.如图，已知等边三角形48C,CO由线段4C绕点。逆时针旋转。（0。<a<60。）得到.力。的延

长线交C8延长线于点E,与CQ相交于点尸.

AA

图1

(1)当a=30。时,求NE的度数;

(2)求证：N"C=2/£；

(3)延长BD交CA的延长线于点G（如图2）.请从以下2个问题中选择一个问题作答.（选择第①题作

答满分3分：选择第②题作答满分4分；若两题都答，只按第②题评分）

①写出线段E8,AF,b之间的数量关系，并加以证明;

②写出线段CG,AF,6之间的数量关系，并加以证明.

2025-2026学年第二学期八年级期末考试

数学试题

（满分100分；考试时间120分钟）

注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息,考生要认

真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2.选择题每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应

位置书写作答，在试题卷上答题无效.

3.作图可先使用25铅笔画出，确定后必须用0・5毫米黑色签字笔描黑.

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.己知。＜6,则下列不等式一定成立的是（）

A.。+2＜力+2B.—a＜—bC.~~D.a-b＞0

22

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的性质逐一判断各选项即可，解题关键是掌握不等式的

性质规则，准确判断不等号方向.

【详解】解：

对于A选项：・・・。＜6,不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，

・・・。+2＜6+2,该选项正确，符合题意；

对于B选项：・・・。＜力，不等式两边同时乘负数-1,不等号方向改变，・•・-〃＞-力，原选项错误，不符合

题意：

对于C选项：•••。＜人，不等式两边同时除以正数2,不等号方向不变，..•二＜与，原选项错误，不符合

22

题意：

对于D选项：〈力，移项可得原选项错误，不符合题意.

2.我市是畲族的主要聚居地，畲族服饰纹样承载着民族特色文化，不少纹样既有美好寓意，又具备鲜明的

几何特征.下列畲族常见服饰纹样中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

A卷节W”懑

【答案】A

【解析】

（分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可.

【详解】解：A.是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项A符合题意；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项B不符合题意；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形故选项C不符合题意：

D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项D不符合题意.

3.要使分式,有意义，则x的取值范围是（）

x-5

A.x=5B.XH5C.X>5D."0

【答案】B

【解析】

【分析】本题考杳分式有意义的取值范围，利用分式有意义的条件•：分母不为0,列不等式求解即可.

【详解】解：•・•分式有意义，

X—5w0,

解得xw5.

4.在RtZV/BC中，ZC=90°,。是8C上一点，力。平分4％C.若BD=8,。。=6,则点。到

A.2B.3C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】根据角平分线的性质求解即可.

【详解】解：过点。作于点如图，

B

则有DE的长为点D到AB的距离，

•••ZC=90°,

：.DC工AC,

•・•力。平分N8/C,且。。，力C,DE1AB,

:.DE=CD=6,

•••点。到48的距离是6.

5.如图，将四边形48CQ沿。〃方向平移得到四边形由G”.则下列结论错误的是（）

A.CG//DHB.CG=DHC.AB=EFD.BC=GH

【答案】D

【解析】

【分析】根据平移性质逐项判断即可解答.

【详解】解：••・将四边形/次第沿。〃方向平移得到四边形£FG〃，

/.CG//DH,CG=DH,AB=EF,BC=FG,

故选项A、B、C结论正确，不符合题意，选项D结论错误，符合题意.

6.如图所示的大矩形，由2个边长为〃的正方形，1个边长为匕的正方形和3个宽为。，长为8的长方形拼

接而成.利用该图形的面积关系，可以验证的因式分解是（）

A.2a2+4ab=2a(4/4-2b)B.2a2+3ab+b2=a(^2a+b)

C.a2+3ab+2b2=^a+b)(^a+2b)D,2a2+3ab+b2=(a+/))(2a+/))

【答案】D

【解析】

【分析】根据图形的面积的两种表达方式，进行求解即可.

【详解】解：图中大长方形的长为2。+力，宽为Q+b,面积可以表示为：

(2a+b)(a+b)；

图中大长方形可以看作三个长方形和三个正方形的面积和，则大长方形面积可以表示为：

2/+3"+〃，

・•・利用该图形的面积关系，可以验证的因式分解是：

2a2+3ab+b2=(a+b)(2a+b).

7.已知平行四边形/8cO,AB=AD,则下列条件中，能判定四边形为正方形的是()

A.ZBAD=ZBCDB.ACLBD

C.NB力D=90。D.AD=BC

【答案】C

【解析】

【详解】解：•,•平行四边形48CZ),AB=AD,

・•・平行四边形48CO是菱形.

/BAD=/BCD、ACLBD.4。=8c均为菱形48。。的性质.

若/BAD=90。,则菱形43C。为正方形.

即能判定四边形ABCD为正方形的是C.

8.数学课上老师提出问题：在△49C中，AC<BC,用尺规作图法在边BC上确定一点。，使

力。=80.下面是四位同学的作图过程，其中正确的是()

AA

【答案】B

【解

【分析】作力B的垂直平分线交8c于点。，则力。=3。，再观察各选项即可得出答案.

【详解】解：要使4。=8。，则作43的垂直平分线交8C于点。即可，观察各选项，只有B选项符

合.

9.为普及科技知识，学校举办人工智能知识竞赛.竞赛共20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣2

分.小明在本次测试中获得优秀〔80分或80分以上为优秀）若设他答对了x道题，则下列不等式中满足题

意的是（）

A.5x+2（20-x）>80B,5x+2（20-x）>80

C.5x-2（20-x）>80D,5x-2（20-x）>80

【答案】D

【解析】

【详解】解：设他答对了x道题，则他答错或不答（20-x）道题，

由题意可列不等式为5x-2（20-x）280.

10.已知直线歹=履+8经过点（-3,0）,与直线y=+〃（阳<0）相交于点（一1,2）.则关于x的不等

式h+6v+〃的解集是（）

A.x>-\B.x<-1C.x>2D.x<2

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，不等式依+人<〃氏+〃的解集是直线y=b+〃落在

直线+”下方时对应x的取值范围，结合交点坐标和函数增减性即可求解.

【详解】解：•・•直线丁二玄+人经过（-3,0）和交点（一1,2）,

・•・将点（一3。和点（一1,2）代入直线y=履十方中得,

-3k+b=0

-k+b=2

k=\

解得：

b=3

・•・直线y=x+3,

=1>0,

・•・对于直线y=X+3,y随X增大而增大；

又・,・y=〃7X+〃中〃？<0,

.・.y=〃岚+〃随犬增大而减小，

•・•两直线交点为（-1,2）,

又1•不等式履+〃<〃a+〃表示y=h+b的函数值小于y=〃戊+〃的函数值，

结合函数增减性可得，当不<一1时，、=去+6落在>=〃a+〃下方，满足不等式，

，不等式的解集为x<-l.

二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分.

11.如图，在平行四边形力8C。中，对角线力。与4。相交于由O.若/C=6,则OC=

4K--------------KD

【答案】3

【解析】

【详解】解：•••四边形是平行四边形，且对角线/。=6,

..0C=-AC=3.

2

12.一个一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，写出该不等式的一个整数解:

嗜噌/小工第翻

【答案】x=\（大于或等于-1的整数均可）

【解析】

【分析】根据数轴写出不等式的解集是xN-l,写出一个符合条件的整数即可.

【详解】解：由数轴可知工2-1,

...不等式的整数解是1（大于或等于-1的整数均可）.

2

13.方程一^=1的解是_____.

x-3

【答案】x=5

【解析】

【分析】先去分母，化成一元一次方程，求解，检验分母不为0,即可.

【详解】去分母得：2=x-3,

解得：x=5,

检验：x—3=5-3=2工0,

•••原方程的解为-5.

故答案为：x=5.

本题考查解分式方程，注意结果耍代入分母，检验分母是否为。

14.中国传统建筑中的冰裂纹窗格以柳卯木雕构成几何纹样，兼具实用与美学价值.图1是某冰裂纹窗格的

实物图，其整体图案主要由正六边形与正三角形构成.图2是它的局部示意图，图中N1的大小是

图1图2

【答案】60

【解析】

【分析】根据正多边形的外角的性质求解即可.

【详解】解：根据图形得：N1为正六边形的一个外角，

.-.21=360°-6=60°.

15.学习了“分式的加减法运算”后，叶老师设计了如图所示的计算流程图.小明按照该流程图计算上-守

a5a

的过程中，正确的路径是：.（填写序号）

【答案】②③

【解析】

【分析】按照异分母分式加减的步骤进行选择即可.

5a-\525a-\540-a

【详解】解:

由计算知，正确的路径：是先通分，化为同分母分式的加减，再按照同分母分式的加减进行，最后得到结

果，即经过②③完成计算.

16.如图，在梯形Z8CQ中，AB//CD,ZADC=90°,点E是腰5C的中点，点厂在线段C。上，且

DF=\-AB.若力D=3,CD=4,则£尸二

2

【解析】

【分析】过户作QJ.力8于P,延长48、FE交于点、H,先证明△BE”gACER（力力S）得到

BH=CF,EF=EH,再证明四边形力。灯是矩形得到巴"二力。=3,AP=DF，设公/二x,则

AP=BP=x,BH=CF=4—x,则尸"=4,在RtAFPH中,利用勾股定理求得2二5即可求

解.

【详解】解：如图，过尸作于P，延长FE交于效H,则乙==90。，

•・•梯形/BCD中，AB//CD,^ADC=90°,

・•・/LADF=Z.DAP=90°,AH=乙CFE,

•・•点E是腰8。的中点，

:・BE=CE,又/BEH=/CEF,

:“BEH知CEF(AAS),

:・BH=CF,EF=EH、

•・•/ADF=/DAP=/APF=90°

・•・四边形/oa是矩形，

APF=AD=3,AP=DF,

•・•DF=-AB,

2

・•・设=x,则=BH=CF=CD-DF=4-x,

・•・PH=BH+BP=4,

在RtAEPH中,FH={PF?+PH?=打+42=5,

：,EF=-FH=~.

22

三、解答题：本题共9小题，共58分.

17.因式分解：

(1)x2-xy；

(2)a2b-4b.

【答案】(1)x(x-y)

(2)b(a+2)(a-2)

【解析】

【小问1详解】

解：Y-Xy

=x-x-x-y

【小问2详解】

解：a2b-4b

=b(a+2)(a-2).

1&如图，点。是BE的中点，ZJ=Z£>=90°,AB=CD.求证：AC=DE.

【答案】证明：・.・C是8石的中点,

/.BC=CE

又ZJ=ZZ)=90°,

在和RtADCE中

AB=DC

BC=CE

RtA/5CgRtZ\QC£（HL）

AC=DE.

【解析】

【分析】利用直角三角形全等的判定证明即可.

【详解】略

x+3>5

19.解不等式组＜，并把解集表示在数轴上.

x+1>3x-7

【解析】

x+325①

【详解】解:

x+l〉3x-7②

解不等式①，得X之2,

解不等式②，得x<4,

所以，原不等式组的解集是2Kx<4,

在数轴上表示解集略.

20.如图，已知：在平行四边形中，点七、尸分别在边力3、CD上,AE=CF.求证：四边形

。臣厂是一个平行四边形.

【答案】证明：•・•四边形48。。是平行四边形，

AB//CD,AB=CD.

AE=CF,

：.AB-AE=CD-CF,即必=。尸.

又因为石在月3上、尸在C。上，结合4B//CD,可得EB〃DF.

二.四边形。E8尸是平行四边形.

【解析】

【分析】首先利用平行四边形的性质，得到边与。。的关系：平行且相等，结合已知条件

AE=CF,通过线段的和差关系推导8七和。尸的数量关系，同时根据与CO平行的性质得到8E和

。产的位置关系.依据平行四边形的判定定理，一组对边平行互相等的四边形是平行四边形，完成证明.

【详解】略

w

21.物理学中，电功率表示电能消耗的快慢，其大小等于消耗的电能与所用的时间之比，公式为尸=

(w为消耗的电能，单位：J；f为所用的时间，单位：S：p为电功率，单位：W).实验课上，老师要

求利用电能表和秒表测量并计算两盏小型护眼灯的电功率.小明通过实验得到以卜数据：A护眼灯消耗电

能2700J,B护眼灯消耗电能36D0J,B护眼灯的工作时间比A护眼灯多60s.已知A,B两盏护眼灯的

电功率相同.

(1)求A、B两盏护眼灯分别工作了多长时间；

(2)求A护眼灯的电功率.

【答案】(1)A护眼灯工作时间为180s,B护眼灯工作时间为240s

(2)A护眼灯的功率为15W

【解析】

【分析】（1）设A护眼灯的工作时间为未知数，根据B的工作时间比A多60s,用含该未知数的式子表

示B的工作时间.因为两灯电功率相同，根据尸=:，所以A的电能与时间的比值等于B的电能与时

间的比值，据此列方程求解两灯的工作时间.

W

（2）将已知A消耗的电能，求得的A的工作时间代入电功率公式尸=计算A的电功率.

【小问1详解】

解：设A护眼灯的工作时间为ZS.由题意得B护眼灯的工作时间为“+60）S.

•••两灯电功率相等，

wwW

・••根据公式尸=可得。•二一57，

ttr+60

代入％=2700J、代=3600J,

-27003600

得=~»

//+60

去分母，整理，得：900/=162000,

解得"180,

经检验Z=180是所列方程的解，且符合题意.

B的工作时间为：18（）+60=240s.

故A护眼灯工作时间为180s,B护眼灯工作时间为240s.

【小问2详解】

M72700,

解：代入公式计算A的电功率：P=^-=—-=15（W）.

ft180

答：A护眼灯的功率为15W.

22.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是。（0,0）,力（一3,3）,8（-4,0）.

（I）将力力先向右平移6个单位,再向卜平移2个单位,得到,画出并直接写出

点4的坐标:

（2）将△045绕点。逆时针方向旋转90。，得到△。4名,画出△。4当；

（3）△。4反也可以由△Q44绕点。逆时针旋转90。得到，请直接写出旋转中心点。的坐标.

【答案】（1）如图所示；

【蟀析】

【分析】（1）根据点的平移规律”横坐标右移加、纵坐标上移加”，分别计算。、力、“三点平移后的坐

标，描点后连接得到同时写出4的坐标.

（2）利用绕原点逆时针旋转90。的坐标变换规则，计算力、6旋转后的对应点4、々的坐标，O点坐标

不变，描点后连接得到△。4打.

（3）因为旋转中心到两组对应点的距离分别相等，所以旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交

点，选取两组对应点，分别作其连线的垂直平分线，交点即为点P,根据坐标系中的网格求解P的坐标.

【小问1详解】

解：根据平移规律：点（X，）向右平移。个单位、向卜平移力个单位后坐标变为（x+ay+6）.

V.4(—3,3),

平移后横坐标：一3+6=3,纵坐标：3+2=5,

・•・点4(3,5).

画图：平移后可得«(6,2),4(2,2),顺次连接三个顶点即可得到△。/4.

【小问2详解】

解：•••点绕原点。逆时针旋转90。的坐标变换规律：点(x,y)旋转后变为(-乂制，

；・可得4(一3,-3),&(0,-4),O仍为(0,0),

顺次连接三个顶点即可得到区■

【小问3详解】

解：连接OQ，4层，

•.•O(U,U),q(6,2),

.•.oq的中点为(3,1),设为〃，

・•・4(2,2),52(0,-4),

.•.4层的中点为。,一1)，设为N,

把MG绕点M顺时针旋转9()。，犯NB1绕点、N顺时针旋转90。•点，旋转后的对应点与点片旋转后的对

应点重合于一点，这点即为所求的点P,点尸的坐标为(4,-2).

理由：•••由作图知，=ZPMO}=90°,

.../尸@O=；(180。一ZPW,)=45°,

•・・PA/垂直平分。Qi，

：.OP=O\P,

:./POO]=4POQ=45。,

・•・NOPOi=90°,

同理PB\=PB2,NB\PB2=90°,PA\=尸4,4尸4=90°，

・••点/即为所求.

4

23.观察下列关于正数运算的式子:

12117z5

当M=」一+」-N=时，:.M>N；

1+12+11+12+166

231117、，7

N=时，*/M=­，N=—，:.M>N；

2+13+12+13+11212

1

24N=--+——.1713

当历=产+,4+1时,vM=—,/V=—,:.M>Nx

1十14+1

2

2

25

zJI

当必=片23931

4-二亍7时，--W=—,N=—

一+i-+13535

-4-132

32

（1）根据上述式子的特征，分别用含。，b的代数式表示：当"=,N=时,

M>N-

（2）探究：对于正数。，b,当它们满足什么条件时，（1）中的规律一定成立.请说明埋由；

（3）小明发现：若。是正数，力是负数，（1）中的规律不一定成立，请你举一个不成立的例子.

【答案】（1）号+£，'7+上

。+1h+\a+\h+\

（2）对于任意正数。，6满足曲＞1时，上面的规律成立，理由如下：

旦+-LJ-L1

•;M-N=4-----------

a+1〃+1b+\

(2〃〃+〃+/?)-(〃+1+b+l)

"S+i)优+i)

_2(小1)

(f/+l)(Z>+l),

a>0,b>0,

：.(Q+1)0+1)〉O.

•.•当1时，2(^-1)>0,

二当时，M—N>。，即M>N；

,,1

(3)。=1,b=—时

2

2x1x（---1

由（2）知M—N=―L:2）」=_3<0,即M<N.

（1+1乂-；+1

【解析】

【分析】（1）根据算式特点得到规律，即可完成：

（2）作差法判断即可.

（3）取。=1,6=时，由（2）得M—N<0即可.

2

【小问1详解】

解：由算式特点得：当“=一一，N二一二+1工时，则”>N；

a+i6+1a+16+1

【小问2详解】

解：略:

【小问3详解】

解：略.

24.将一个多边形进行〃次折叠，若翻折后的图形恰好拼成一个无缝隙的矩形（矩形内每一点都有且只有上

下两层），则称该矩形为折拼矩形，原多边形为该折拼矩形的〃折原图形.

例如，将菱形4BCO按图1方式折叠，得到矩形£尸6〃，因为矩形上尸GH内每一点都只有二下两层，所

以矩形EFGH是折拼矩形，四边形ABCD是该矩形的4折原图形.

（1）如图2,已知菱形/BCD是折拼矩形力ERG的2折原图形，小明画出了其中一条折线"（£尸所

在的直线是力。的垂直平分线），请在图2中画出其余的折线：（折拼矩形的轮廓线用实线，其它的

辅助线用虚线，并简要说明折线的作法）

（2）在（1）的条件下，若2折原图形44CO的对角线交于点。，且力C=6,BD=8.求折拼矩形

AEFG的周长;

（3）请分别构造2个多边形（边数不小于4）,使它们是某个折拼矩形的〃折原图形，画出草图，简要说

明画法.（画图要求：①所构造的2个多边形的边数要不相等；②所构造的多边形的边数要尽可能多；③

若构造的多边形是四边形，则该四边形不能是平行四边形）

【答案】（1）如图所示

作法是：4G所在的直线是的垂直平分线

73

(2)—

(3)

【解析】

【分析1（1）根据第一次折叠得到/力Eb=NBbE=9（）。，AH=CD=AB,要得到矩形只需要再作一个

垂直即可，根据AH=45取BH的垂直平分线AG即可:

（2）先由菱形的性质和勾股定理得到48=5C=CQ=4O=5,再根据折叠得到力七二,力八二*,根据

22

124

S菱形=4G•8C=£4C•80求出月G=彳,最后求折拼矩形4E/G的周长即可;

（3）可以先画一个矩形，再在矩形内部添加几个点把矩形分成不同图形，最后把每个图形向矩形外翻折即

可得到符合条件的多边形.

【小问1详解】

解：略

【小问2详解】

解：•・•四边形力BCD是菱形，AC=6,BD=8,

:.AC1BD,OA=OC=-AC=3,OB=OD=-BD=4,AB=BC=CD=AD,

22

・••根据勾股定理，得4B=J（）A2+OB2=5,

AB=BC=CD=AD=5,

由（1）得，四边形ZER7是矩形，EF是力。的垂直平分线，

/.AE=-AD=-

22t

S爰形ABCD=4G.BC=—AC-BD,

/.=—x6x8,

2

24

解得力G=彳，

J

（524、73

工折拼矩形4EFG的周长=2（北+/G