2027年高考数学一轮复习：指数运算与对数运算

§2.7指数运算与对数运算

【课标要求】1.理解有理数指数幕的含义，了解实数指数幕的意义、掌握指数幕的运算性质2理解对数的概念

及运算性质.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.3.掌握指数、对数运算在实际问题中的应

用.

・落实主干知识.

1.根式

(1)一般地，如果f=见那么x叫做a的〃次方根，其中

(2)式子距叫做根式，这里〃叫做根指数叫做被开方数.

⑶(狙)

当n为奇数时,'VH7r=4,

当〃为偶数时，饰=同=­：］，二

I-a,a<u.

2.分数指数靠

m__

正数的正分数指数幕：an=V2沆心1).

m11

正数的负分数指数寤：a~n=F=%

0的正分数指数事等于0,0的负分数指数恭没有意义.

3.指数塞的运算性质

arcf=^(abY=arbr(a>0,b>0j\seR).

4.对数的概念

一般地，如果"=N(G>0,且。工1),那么数人叫做以。为底N的对数，记作x=k)g,W,其中巨叫做对数的底

数，旦叫做真数.

以10为底的对数叫做常用对数，记作应△.

以c为底的对数叫做自然对数，记作InJV.

5.对数的性质与运算性质

⑴对数的性质：log/=Q,log4=La2ga"=Ma>0,且

⑵对数的运算性质

如果心0,且aHI,M>0,N>0,那么：

①logKMM=log"M+logqN；

②log,,=log«M—log“M

③logjVT=40gMs£R).

⑶对数换底公式：咋，=意3>0,且。#1;历>0;c>0,且cXl).

3自主诊断

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“4”或“x”)

(l)V(-4)4=-4.(X)

(2)若M=N,则logjW=log〃N.(X)

(3)2"0=2叱(X)

(4)lg2+lg5=l.(4)

2.(多选)下列运算正确的有()

A.lg24-lg3=lg5

B.logsl00=101og310

C.4lo^5=5

D.logj41og43=1

答案CD

解析1g2+Ig3=lg6,故A错误；

Iog310()=21og31().故B错误；

410g$5=5故c正确；

log34log43=1,故D正确.

3.若帝=23>0且启1),则log1等于()

A.-B.2C.7D.5

45

答案C

解析由欣=£，得log卷

-,.log-Q)2=1，•,•210^1=1，

，1。婿=也

4.27彳+41咱3—|g5-lg2=.

答案11

22

解析275+4叫43—怆5一除2=(33¥+3—(怆5+怆2)=32+3—怛10=9+3-1=11.

国微点提醒

1.灵活应用化简指数易常用的技巧

⑴（犷=（犷g。）；

（2）a=（而/"，而=（a码"（式子有意义）;

（3）1的代换，如l=a”3>0）,1=Q成3>0）等;

（4）乘法公式的常见变形，如（aW+质）（成一@=a一伙a/>0）,

（近±匕2）2=〃±2。21）2+仇为。>0）,

112112

（03+bW）（a并加历+b3）=a±b（a,b>0）.

2.谨防两个失误点

（1）凡涉及对数,其真数与底数的取值范围一定不能忽略.

（2）在使用运算公式时，注意指数和对数中的和积之间的转化.

---------------------------探究核心题型・

题型一指数运算

例1（1）（多选）下列各式正确的是（式中字母均是正数）（）

A.a6=

C.（6应）隹=36

D.a-3=—Va2

答案ABC

解析对于人,加=加=^^,故A正确；

对于B,V后=|a|=a,故B正确；

对于C,（6叼夜=60x6=62=36.收C正确；

2

1

-

3-_

对于D,a~2二歹引故D错误.

位

（2）（多选）下列运算正确的是（式中字母均是正数）（）

A.O.25i4-（Vrr）o-2",=O

2

0

B•偿尸一偿广+（0.008）4X±+（7I-1）=1

C.（2-6G需）+（-3窈版）-1

D.若短+/5=n，则余三=1

3

答案BD

解析对于A,0.255+（诉）。一2一|=0.5+1-1=1人错误；

52

对于B倍）吾-符+（0.008）-lx±+（Jt-l）0=g）--Z+（旷X»个一#25X»个一升

2=5B正确；

4

对于C,原式=（2成匕彳）（—6Q5房）+（—3a%bd）=[2X（—6）+（—3）J而斗丁不6区■牙飞=4。y=4a,C错误；

22

对于口,当%5+工-5=遥时,(%5+%-3)2=；1+2+工一|=6,得了+工一|=4油(无+工—1)2=%+2+工-2=16,得x^+x~

=4所以每白=七=扣正确.

思维升华（1）指数幕的运算首先将根式、分数的分数指数幕统一为整数的分数指数幕.以便利用法则计算.

还应注意：

①必须同底数幕相乘，指数才能相加.

②运算的先后顺序.

（2）运算结果不能同时含有根号和分数指数.也不能既有分母又含有负指数.

跟踪训练1计算下列各式（式中字母均是正数）:

⑴(严、/^7不

\4/(0.i)T(a3g-3”

(2)0.125三一(1)0+[(-2)2p+(V2xV3)6.

解⑴■

V4/(0.1)-i(a3m-3)2

333

1(4aG"8a2b-2

=4533

-二2・-

22

lOdiblOazb

(2)0.1254-Q)+[(-2)2p+(V2xV3)6

1

=(I)33-1+2+2如6义32

=2+14-8X9=75.

题型二对数运算

例2⑴（多选）下列运算中正确的是（）

1呜7

A.=log?5

log35

C.x=\ne'

zix-logz6

D.(a)+ln(lne)=6

答案BCD

解析对于A,容=logs7.故A错误；

log35

对于B，（卷尸=（1）*=涧B正确；

对于C,x=ln匕故C正确；

对于D,082+ln（lne）=2"g26+]n1=6+0=6,故D正确.

⑵（多选）（2025•焦作模拟）下列等式成立的是（）

AlgZ-lg5-lg8_]

•lg50-lg40

BIg4+ig5-i-2

*2lg0.5+lg8

C.lg14-21g；4-lg7-lg18=0

D.(lg2)24-lg2lg5+lg5=2

答案AC

Ig2+lg5Tg8

解析1,A成立；

lg50-lg40

坨4+怆5-1_lg20-1=l+lg2-l]B不成立.

2lg0.5-lg8Jg0.25+lg8ig2''

lg14-21g-+lg7-lg18=(lg7+lg2)-(21g7-21g3)+lg7-(21g3+lg2)=0,C成立；

«3

(lg2)2+lg2-lg5+lg5=lg2(lg2+lg5)+lg5=lg2+】g5=1,D不成立.

思维升华解决对数运算问题的常用方法

（1）将真数化为底数的指数幕的形式进行化简.

⑵将同底对数的和、差、倍合并.

（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.

跟踪训练2（1）（多选）设。力,c均为不等于1的正实数，则下列等式中不成立的是（）

A』og”logM=log,〃

B.Iog^logcZ?=log,。

C.IoguS+c)=log点=log”。

D.logXM=log/log〃c

答案BCD

解析对于AJog„/?-log^=j^~=督=logc〃，故A正确；

对于B,log〃"k)g(/?=^器而109〃=需，故B错误；

对于C,若lo劭S+c)=log/=log«cJiliJ/?+c=〃=c,故〃=c=0,显然不符合要求，故C错误；

对于D,log”Sc)=log/+log“c,，故D错误.

(2)(2025•八省联考)已知函数、公)=，3>0,〃#1),若4n2*n4)=8,则a=.

答案e

解析,Ain2加加4)=aln2a,nWn2+ln4

=a3ln2=(aln2)3=8,

6zln2=2,.*.tz=e.

题型三指对运算的应用

例3(1)(2024.重庆模拟)在经济学中，常用Logistic回归模型来分析还款信度评价问题.某银行统计得到

a-0.97+0.127X

如下模型：nb+n「八，其中星客户年收入(单位:万元)是按时还款概率的预测

LoJgisticP(x)=]-+---©---0.9/+0.127Xx.P(x)

值，如果某人年收入是10万元，那么他按时还款概率的预测值大约为(参考数据：In1.35乜).3)()

A.0.35B.0.46C.0.57D.0.68

答案C

…p-0.97+1.270.31or

解析由题意得In1.35之0.3,所以e°3汨.35,所以P(l0)=…A芸%^7.

(2)(2024・贵阳模拟)电动汽车逐渐成为当今也界的乘用车的发展方向.1898年Peukeri提出铅酸电池的容

量。(单位:Ah)、放电时间K单位:h)和放电电流/(单位:A)之间关系的经验公式:C=//,其中2为与

蓄电池结构有关的常数(称为Peukert常数)，在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为

60h；当放电电流为25A时，放电时间为15h,则该蓄电池的Peukert常数i约为(参考数据：1g

2^0.301,1g3^0.477)()

A.1.12B.1.13C.1.14D.1.15

答案D

解析由题意知C=7.51X60=25"X15,

所以吃)：符，=4

两边取以1()为底的对数，得理三=2电2,

古匚卜1121g22x0.3011,_

l-lg31-0.477

思维升华利用指数、对数运算解决实际问题时认清所给函数模型、变量、参数,利用待定系数法确定参数

的值•然后解决问题.

跟踪训练3(1)苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为了简化其中的大数之间的计算而发明了

对数.利用对数运算可以求人数的位数.已知1g5M.699,则231是()

A.9位数B.10位数

C.11;立数D.12位数

答案B

解析记23i=M,

则31Xlg2=lgM

Mlg.W=31X(l-lg5)-9.331,

则Af^lO933,G(lO9,lO10),

故23i是10位数.

(2)(2024.恩施模拟)区块链作为一种革新技术,已经应用于许多领域，在区块链技术中，若密码的长度设定

为256比特,则密码一共有2256种可能，因此为了破解密码，最坏情况需要进行22%次运算.现在有一台机器,

每秒能进行2.5X10"次运算，假设机器一直正常运转,那么在最坏情况下这台机器破译密码所需的时间

大约为(参考数据：1g2=0.301,IO的归4.5)()

A.4.5X1()65秒B.4.5X108■"秒

C.4.5Xlob秒D.4.5XICT秒

答案A

解析由题意知所需时间/=盛焉(秒)，

Alg/=2561g2-(lg2.5+11)

=2561g2-(lgy+ll)=2581g2-12-65.658,

.•#1065.658=100.658x1Q65~4.5XIO，/秒）

课时精练

［分值：90分］

IN知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.下列各式正确的是（）

A，（-3）2=-3B.log2XJ=21og2X

C.V22=2D.a（）=1

答案C

解析，（一3尸=3,故A错误;logMuZlogzH,故B错误；序=2,故C正确；4°=1,当。工0时成立.故D错

误.

221+1附56等于（）

A.4B.6C.8D.I0

答案B

解析因为log\，G/5=^^=log23,所以21+l°g近b=2i+】og23=2X2log23=2X3=6.

log222

3.若2（=|,lg2ko.301,则x的值约为1）

A.1.322B.1.4I0C.1.507D.1.669

答案A

解析因为2v=1,lg2^0.301,

所以k1小=号星=产上31R.322.

&2lg2Ig20.301

4.（2024・武汉模拟）已知1Jog“〃?=2Jogw?=34iJlog加〃等于（）

A.iB.|

656

答案D

解析由换底公式得［。叱=康=3咱，=氤=/

所以联血〃=蕨岛______i6

•ogma+logmb5-

5.数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当x较大时,1+：+/…+\nx+y（x£N：常数产

0.557…）.利用以上公式，可以估算9+++…+三的值为（）

J.\zALU/«3UU

A.ln30B.ln3

C.—In3D."In30

答案B

解析依题意可得1+：+：+…+梳产In300+y,

23300'

1+-+-+,,,+-^-~ln100+y,

23100,

两式相减可得--+二+…300-ln100=ln3.

101102300

6.（2024.大连模拟）本福特定律指出，一个没有人为编造的自然生成的数据（为正实数）中，首位非零的数字是

1~9这九个事件并不是等可能的，而是大约遵循这样一个公式：随机变量4是一个没有人为编造的首位非零

数字，则P《=k）=lg（l+£）（仁1,24,9）厕根据本福特定律，在一个没有人为编造的数据中，首位非零数字是

8的概率约是（参考数据：1g2-0.301,1g3口）.477）（）

A.0.046B.0.051C.0.058D.0.067

答案B

解析由题意可得P(E=8)=lgJ=lg9—1g8=21g3—31g2=2X0.477—3X0.301=0.051.

8

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.下列判断正确的有()

A.V(3-ii)4=兀-3

B.lnz?z-ln〃=ln(m+〃)(其中〃?>(),〃>0)

C.a-da•6=谈(其中〃>())

_1logi3

D.273=22

答案ACD

解析对于A,7（3—TT）4=|3—冗尸兀一3,A正确；

对于B,由对数性质可知hi（/M=ln〃,+ln〃,B错误;

对于C,加=而,C正确；

111logi3,,111logi3

对于D,27-5=(33)-5=3T=g22=2-iog23=2iog23-=3-i=l^27-3=2用，D正确.

8.以下运算中正确的有（）

A.若lg3=m,lg2=〃，则log.518=

1-n

B.[(l-V2)2]i-(1+V2)-1+(14-V2)°=3-2V2

C.Q)-2-21n(lnec)=7

D.logi3-log94=2

答案AC

解析对于A,log518=篙=竿署=喑署=暇；故A正病；

Ig51-Ig2l-lg21-n

对于B,［（一a20一（1+或尸+（1+&）0=/击+1=或_^^^=或+|一或=］故8

错误;

对于CG)2—21n(lnCe)=9-21n。=9-2=7,故C正确；

对于D,log231og94=log23・^^=log23=L故D错误.

logo9、2l，ogo3；

三、填空题（每小题5分，共10分）

9d+唾4百腕32+2-1喻3=

答案7

4

解析《尸+1唔41鸣2+2一喝3=（|广（下）

,O82

4-i|og23.1og324-2l=|+*+［=*

10.（2024•荆州模拟）己知108/〃1=嗾42岳=3=1。8唳力0=拳则四%—（"也…"而=

答案y

厂-

解析因为loga*l=loga2"2=3=logQio〃lO=/，则=(/=1,2,3,­,10\

叵叵叵0

所以脸…加出…如尸器普黑lg(Q：叼…°也一年(如。2…％0)2_W

怆(。1。2“。10)lg(ai22-aio)2'

四、解答题（共27分）

11.(13分)计算下列各式的值：

(1)(-31)~+0.0024-10X(75-2尸+(后-V3)0；(6分)

,n

(2)(log.32+log92)(log43+log83)-el(7分)

解(1)(-31)~+0.002-i-10X(V5-2尸+(a-V3)°

=(-Vx而+(犷-磊+1

=(|广一)+5005-10X(75+2)-1-1

=-+l0V5-10V5-20+1=.

99

ln

(2)(log32+log92)(log43+logs3)—e4

=(log32+^log32)Qlog23+^log23)-^

=1log32x|log23-j=|x|xlog32Xlog23-j=；-;=O.

O25

12.(14分)已知P=8XV2+(g)~-(-2024)°,G=21og32-log3^+log38.

(I)分别求尸和Q(8分)

(2)若2a=5h=m,H.-+：=Q，求〃z.(6分)

ab

解(1)P=8O25XV2+3-(—2024)°

=(8X2)U[(1)3]~-1

Q=21og32-log3^+Iog38=log3(4+藁x8)=log39=2.

(2)因为2“=5b=〃?>0,

所以a=log2”5=log5/n,

由换底公式得(=log”2l=log,”5,则加W1,

则3+3=l°g"2+log,”5=log,„l0,

由于3+