2026秋高一数学上册 第二章 等式与不等式 测试基础卷（人教B版必修第一册）解析版

2025-2026学年高一数学单元检测卷

第二章等式与不等式

建议用时：120分钟，满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知a>b>c>0,则()

a+ca,-II(2A

A.---->—B.ac>C.---->----D.a(c-l)>/?(c-1)

b+cbb+ca+c'

【答案】C

【详解】因为a>b>e>0,所以力+则A错误；

b+cb

当G=6,〃=4,c=l时满足。>5>c>0,此时ac=6vl6=4,=Z>2,B错误：

由c>0,a>b>0,得「一>」一，C正确：

b+cQ+C

当0<C<1时，?-1<0,此时。卜2一1)<6卜2_]),D错误.

故选:C

(1V1、

2.不等式弓一》--X>0的解集是()

12八J/

【答案】B

【详解】由(g——x)>0得1―—£|>0,解得或

故选：B.

3.上聿的最小值为()

x

A.276B.V6C.6D.24

【答案】A

【详解】因为亡地=/+£226，

xx

当且仅当/=?,即x=±%时，等号成立.

所以的最小值为2卡，

X*,

故选：A

aba-ba-a

4.若规定=ad-be(a,beR,且。工〃)，则E=与尸=的大小关系为（）

cdhabb

A.E<FB.E>FC.E£FD.E3F

【答案】B

a-ba-a

【详解】由题意得,E==aa-b(-b)=a2+b2,F=ab-(-a)7?=lab,

babb

：,E-F=a2+b2-lab=(a-/))2>0.

,：a手b、：,E-F>0,&UE>F.

故选：B.

5.已知正数MV满足x+2y=3,则互+；的最小值为（）

x2y

A1+V31+2百「>/3

R口音

333

【答案】B

【详解】门+2尸3,

当且仅当之=6,即"="亚，^=迈口时取等号,

x6尸2z4

・二型+；的最小值为上芈.

x2y3

故选：B

6.若不等式4小+2⑪-4<2/+4.1对任意实数x均成立，则实数。的取值范围是（）

A.-2<a<2B.”-2或a>2

C.-2<a<2D.a<-2

【答案】C

【详解】不等式+2ar-4<+4x可化为：（a-2）x2+（2<?-4）x-4<0,

当。-2=0,即a=2时，不等式为-4<0,恒成立，.•“二2满足题意:

a-2<0

当°-2工0,即〃工2时，要使不等式恒成立，则需L八八2”,八八

A=（2a-4）+16（a-2）<0

解彳J：-2<a<2；

综上所述：。的取值范围为-2<。42.

故选：C.

14

7.已知x+V=-+-+8（xj>0）,则t+歹的最小值为（）

xy

A.5>/3B.9C.4+V26D.10

【答案】B

1414

［详解］由x+y=_+_+8（x,y>0）,得x+y_8=_+-,

xyxy

（］4

则（x+"8）（x+y）=—+—(x+y)=—+—+5>2-+5=9,

lx力,，/

y4V

当且仅当上二二，即y=2x时等号成立，

xy

令r+y="O,则（—8）29,解得YT（舍去）或壮9,

则f+y之9,当且仅当x=3,y=6时等号成立，

即x+V的最小值为9.

故选:B.

8.设命题p：对任意-iWxKl,不等式/-2x-4+〃?<0恒成立；命题g：存在OKxKl,使得不等式

2%-22/一3〃?成立，若p,夕中至少有一个是假命题，则实数小的取值范围为（）

A.卜〃1〃？<-1}B.{/«|0<m<3}

C.{m\0<m<1[D.(-<»,0)u[l,+a))

【答案】D

【详解】若夕为真命题，即对任意—IKXK1,不等式/-2%-4+加<0恒成立,

等价于当T«x«l时，w<(-x2+2x+4).,

当-14x41时，-X2+2X+4=-(A-1)2+5>-(-1-1)2+5=1,

即(f?+24+4%=1,所以，”1；

若为真命题，即存在04x41,不等式2x-2之〃??一3〃?成立,

等价于当04x41时，(2X-2)a一3〃?.

由于0W1,-2<2x-2<0,所以m2一3〃?40，解得047M43.

\m<\

若p，q都是真命题，贝必八，

［0<m<3

所以，若命题p,g中至少有一个是假命题，则〃?<0或用之1.

即阳W(YO,0)“l,+8),

故选：D.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分

9.已知ae(l,3)力£(2,3),则下面判断正确的是()

A.2<a+b<6B.-4<a-2b<-\

143

C.2<ab<9D.—<—<—

3h2

【答案】ACD

［详解］•/1<«<3,2<6<3：-3<-b<-2,-6<-2b<-4,—

362

根据不等式的同向可加性得:3<a+b<6,-2<a-b<\,-5<a-2h<-\,

根据同向正值不等式可乘性得：2<^<9,

3b2

综上，a+/)e(3,6),a-/)e(-2,l),a-2be(-5,-.

bU2J

故选：ACD.

10.已知关于x的不等式尔+A+c40的解集为{x|x«-4或x23},则()

A.a>0

B.a+b+c>0

C.不等式反+c>0的解集为{木<12}

D.不等式cxJbx+avO的解集为卜

34J

【答案】BCD

【详解】A：因为关于X的不等式打2+云+CK0的解集为{x|xS-4或23},

所以-4和3是方程ad+bx+c=o的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则a<0,错；

bc

B：由A得一4+3=—,-4x3=—,所以6=a,c=-\2a,

aa

因为a+b+c=a+a-12a=-10〃，a<0f所以a+6+c>0,对；

C：不等式加+c>0可化为"-12〃>0,因为a<0,所以x<12,对：

D：不等式ex?—bx+a<0可化为一12ax*—QX+Q<0,又。<0，

所以⑵2+..1<0,即（4x-l）（3x+l）<0,解得对.

故选：BCD

11.已知a,b均为正实数，且a+6=l,则下列命题正确的有（）

A.〃+/,+:的最小值为1B.G+〃的最大值为日

C.4必的最大值为0D.的最小值为2（拒+1）

【答案】ACD

【详解】对于A,因为a,6均为止实数，且"8=1,

所以/+6+—=/+1-。+—=a—V+1,0<<7<1>

44I2）

因为所以当q=g时，+1的最小值为1,故A正确;

对干B,4a+yfh=J(后+后)=y]a+b+2>/ah<yja+h+a+h=J2(a+b)=0>

等号成立当且仅当故B错误；

对于C,4必<4（竽）=4：=JI，等号成立当且仅当=g，故C正确;

b2+\b2+\b2+\

对于D,-----------=----------F-------

b("b)b\-b哈韦㈤

=/7+—+1—2=—H---1=(/)+l—Z>)-H——1—1=1+2+-—―+-^—1

h]-hh]-h\\h\-h)h\-h

\-b2br

=---+---+2,

b\-b

因为0<心所以宁+占+222向2,故D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共3.小题，每小题5分，共计15分.

12.不等式-2<上<2的解集是.

X

【答案】*|x<-g或x>；｝

【详解】由题可知，XHO，

当x>0,—2x<1<2x»解x>—7且x>—>所以x>—；

222

当x<0,—lx>1>2x,得且x<7，所以工<一不，

222

综上所述，不等式的解集为或x>；｝，

故答案为：或X>g｝.

13.为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为P（单位：升）的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药

液倒出5升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出4升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的

60%,则P的取值范围为.

【答案】5<r<20

【详解】第一次将桶中药液倒出5升后，桶中药液还有（>-5）升，

则加满水后药液含量占容积比例为匕9.第二次倒出的4升液体中，

4仅-5）p54（~5）

药液有」——^升，则加满水后药液含量占容积比例为，一3一一L

V----------—

V

4（展5）

由题有"7一~"丁二0y‘解得5"420,

又因为第一次将桶中药液倒出5升，所以P25,

故答案为：5<r<20.

21

14.已知。>0,b>0,a+b=\,若4=。+—,B=b+—,则.4+8的最小值是_____.

ab

【答案】4+20/20+4

21

【详角吊】因为〃>（）,Z>>0,a+h=\,且/=4+—,B=h+—,

ab

1）=4+"合4+2栏？=4+2近,

+-

h

2b=a_

aha=2-五

当且仅当《a+b=\时,即当「时，等号成立,

Z>=V2-1

a>0,b>0

因此，4+8的最小值为4+2及.

故答案为：4+272.

四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）（1）已知证明。+2>「一；

1-a

（2）已知。二/+产，b=x2y+xy2,其中x>0/>。且x/N,比较。力的大小.

【详解】(1)(a+2)--'=("2)(「止3=/+“+1...................................3分

\-a\-aa-\

/、2

由于/+a+l=(a+，］+—>—>0,

I2；44

所以当”>1时，«-1>0,即。+2>上.......................................6分

a-\1-i7

22

(2)解:因为b=xy+xy1

所以a—(x,+号,

=d+V-Fy一个/=(x-y)~(x+尸)..........................................................9分

因为x>(),y>0且工工儿所以x+y>。，(x-y)2>o,

所以。一/)>0,即a>b................................................................13分

16.（15分）如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的

矩形育苗区.设育苗区的长为x米，宽为y米.

III.I.[.[.].I.I.I」

V

1______

<-----------X------------►

（1）若育苗区面积为8平方米，则，y为何值时，所用篱笆总长最小；

（2）若使用的篱笆总长为10米，求三工的最小值.

【详解】（1）依题意，个=8,所用篱笆总长为x+2y,而x+2yN2历=8..................3分

当且仅当x=2y,即工=4,歹=2时取等号，.................................................5分

所以育苗区的长为4m,宽为2m时，所用篱笆总长最小.......................................7分

（2）依题意，x+2y=\0,

2x+y12112/.12y2x12y2x9

丁丁厂遥+”x+2j，)=历(5+丁丁蓬(5+2武丁=历................11分

当且仅当互=上，即工=y=日时取等号，

Xy3

所以^12的最小值2...............................................................15分

xy10

17.(15分)关于工的方程a/+bx-12=0的解集为⑶4}.

(1)求。力；

(2)求关于'的不等式(。+6)/+(8-12)x-。<0的解集；

(3)求关于x的不等式生;>6-6的解集.

x-2

【详解】(1)因为。d+加72=0的解集为{工4},

所以。工0且3+4=-2,4X3=—U.......................................................3分

aa

解得。=T〃=7；....................................................................5分

(2)(6t+Z))x2+(Z)-12)x+l<0<»6x2-5x+l<0,

所以(3X-1)(2A1)<0,...............................................................7分

所以不等式的解集为<xg<X<g，；....................................................1()分

2x-a,.,2x+l,2x+l,„…八

(3)———>6-6,n即r——->1,所以——--1>0......................................13分

x-2x-2x-2

即岩>0,所以(x+3)(x-2)>0,

因此不等式的解集为(-8,-3)u(2,+8)...................................................15分

18.(17分)如图是一份矩形的宣传单，其排版面积(矩形力8C。)为P,左右两边都留有宽为〃cm的空白,

顶部和底部都留有宽为2acin的空白.

(1)若48=20cm,BC=3()cm,且该宣传单的面积不超过lOOOcnf,则。的最大值是多少？

⑵若。=2cm,P=800cm2,则当力8长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？

【详解】(1)由宣传单的面积不超过lOOOcm?可得：(20+2a)(30+4a)V1000..................3分

化简得2。2+354—100工0=>(2。-5)(。+20)40,解得一20«〃4g,..........................6分

又。>0,所以故。的最大值为T...................................................9分

(2)设力8=xcm,则8C=&cm,设宣传单的面枳为S,

X

3200，

当且仅当8x=丝2a>0),即x=20时取等号.

-X,

所以当48长为20cm,宣传单的面积最小，最小的面积是1152cm2..........................15分

19.(17分)已知函数y=a—+0-+R).

⑴若”+(1-a)x+4Z0对一切实数x恒成立，求实数。的取值范围;

⑵解关于x的不等式"2+(1—a)x