集合、常用逻辑用语及不等式（7年汇编）（天津专用）（解析版）

i集合的基本运算

1.（2026.天津.高考真题）已知全集。={-2,-1,0,1,2,3},集合k={-1,0,1,3},集合8={-2,0,1},则8/28=

（）

A.{-2|B.{-2,2}C.10,1,2}D.{-2,0,1,2）

【答案】D

【详解】由题可得&4）={-2,2},又因8口一2,0,1},

则44卜8={-2,0,1,2}.

2.（2025・天津・高考真题）已知集合£/={123,4,5}）={1,3},3二{2,3,5},则①（4=3）=（）

A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}C.{2,4}D.{4}

【答案】D

【详解】由4={1,3},8={2,3,5},则Au8={123,5},

集合U={123,4,5},

故d（AUA）={4}

故选：D.

3.（2024・天津・高考真题）集合4={123,4},B={2,3,4,5},则A<8=（）

A.{123,4}B.{2,3,4}C.{2,4}D.{l}

【答案】B

【详解】因为集合人={1,2,3,4},4={2,3,4,5},

所以A4={2,3,4},

故选：B

4.(2023•天津•高考真题)已知集合。={1,2,3,4,5},4={1,3},5={1,2,4},则Q/4=()

A.{1,3,5}B.{1,3}C.{1,2,4}D.{1,2,4,5}

【答案】A

【详解】由。*={3,5},而4={1,3},

所以e/JA={l,3,5}.

故选：A

5.(2022・天津・高考真题)设全集(/={-2,-1,0,1,2},集合4=",2}1={-1,2},则从n£出)=()

A.{0,1}B.{0J2}C.{-1,12}D.{0,-1,1,2)

【答案】A

【详解】。刀={—2,0,1},故在门(48)={0,1},

故选：A.

6.(2021・天津•高考真题)设集合A={T0,l}，8={l,3.5},C={024},则(4cB)=C=()

A.{0}B.{0,1,3,5}C.{0,1,2,4}D.{0,2,3,4}

【答案】C

【详解】VA={-l,0.1[,3={l,3,5},C={024},

「.AcB={l},.•.(AC8)DC={0,1,2,4}.

故选：C.

7.12020・天津•高考真题)设全集U={-3,—2,—1,0,1,2,3},集合4={-1。1,2},3={-3Q2,3},则4na8)二

()

A.{-3,3}B.{0,2}C.{Tl}D.{-3,-2,-1,1,3)

【答案】C

【详解】由题意结合补集的定义可知：Q：3={-2,7/},则Ac[QjB)={-U}.

故选：C.

【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.

充分必要条件

1.（2026•天津•高考真题）设xeR,则“1>0”是“x2+3x>0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】由f+3戈>0，解得：x<-3或x>0,

即工>0时.，d+3x>0成立，反之不成立，

所以是“V+3x>0”的充分而不必要条件.

2.（2025•天津・高考真题）设xwR,则“x=0”是气皿2戈=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】由x=0=sin2x=sin（）=（）,则“x=O”是“sin2x=O”的充分条件；

又当工=兀时，sin2x=sin2n=0,可知§访2刀=0*1=0,

故。=0”不是“sin2x=0”的必要条件，

综上可知，“x=0”是“sin2x=0”的充分不必要条件.

故选：A.

3.（2024・天津•高考真题）已知a/cR,则=产是"3。=3'”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，/=/和3"=3〃都当且仅当。=。，所以二者互为充要条件.

故选:C.

4.（2023•天津・高考真题）已知a/eR,二/，，是+从=2〃/尸的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【详解】由/=。，则。=±/?,当a=-0H0时/+/?'=不成立，充分性不成立；

由/+从=2",则（a-份2=o,即。=匕，显然/=从成立,必要性成立;

所以/=/是/+6=2a力的必要不充分条件.

故选：B

5.（2022・天津・高考真题）“x为整数”是“2x+l为整数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】当刀为整数时，2x+l必为整数；

当〃+1为整数时，』不一定为整数,

例如当2x+l=2时，x=~.

2

所以“x为整数”是“2x+1为整数”的充分不必要条件.

故选:A.

6.（2021.天津•高考真题）已知aeR,贝厂a>6”是>36”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】由题意，若。>6,则/>36,故充分性成立；

若f>36,则〃>6或推不出a>6,故必要性不成立；

所以“a>6”是“4>36”的充分不必要条件.

故选：A.

7.（2020・天津・高考真题）设awR,则“a>l”是“万〉〃”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】求解二次不等式可得：或〃<（）,

据此可知：是的充分不必要条件.

故选:A.

【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.

不等式

14

1.（2026.天津•图考真题）（x+—）（%+—）的最小值为（）

xx

A.10B.9C.8D.6

【答案】B

【详解】因为XH——1=x2H—-+5>2Jx21—+5=9,

（x八xJx2VX2

当且仅当/=5，即/=2,彳=±0时，等号成立，

所以+的最小值为9.

k工八X）

2.（2025.天津•高考真题）若a,bwR,对Wxw[-2,2],均有（2心力/+加一。一14。恒成立,则2.+。的最

小值为_______

【答案】-4

【详解】设，=2〃+/九原题转化为求，的最小值，

原不等式可化为对任意的-2WxW2,fx2+（f-2a）x-a-l<0,

不妨代入x=-5,得2。）-a-1W0,得/N-4,

当1=-4时，原不等式可化为-4%'十（-4-2〃）戈一。一1*0,

即-2x+3+l]+-a2<0,

[1244

观察可知，当a=0时，—（2x+l『W0对一2WXW2一定成立，当且仅当工=一;取等号,

此时，。=0,〃=-4,说明，二T时，均可取到，满足题意，

故1=加+〃的最小值为4

故答案为：-4

3.（2021.天津•高考真题）若〃>。">0,则的最小值为.

【答案】2&

【详解】a>0,b>0,

4+/心麻+〃="之2即=2日

当且仅时唱且尹6,即“八夜时等号成立，

所以*/人的最小值为26

故答案为：2vL

1IQ

4.（2020•天津•高考真题）已知々>0,。>0,且就=1,则一+丁+—r的最小值为_________

2a2ba+b~

【答案】4

8abab8

【详解】•.。>0力>0,「.。+〃>0,=—+—+

a+b2a2ba+b

二学+煮之2符福=4,当且仅当i=4时取等号,

结合而=1,解得4=2-J5,〃=2+J5,或。=2+石,0=2-6时，等号成立.

故答案为：4

【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，的合理变换是解题的关键，属于基础题.

I.（2026・天津北辰・三模）已知集合人={止2<段1},B={x\x<-2},则玲（4口4）=（）

A.{x|x>l}B.{x|xv-2}C.{巾2-2}D.{x|x>I）

【答案】D

【详解】由4={42〈工4},B={x\x<-2},得AuB={x|xWl},

所以％(ADB)={X|X>1}.

2.（2026.天津滨海新区.三模）已知全集〃={123,4.5},集合A={1,2,3},集合B={3,4},贝J句（A:8）=

（）

A.{1,3}B.{1,5}

C.{2,3,4}D.{124,5}

【答案】D

【详解】由A={1,2,3},B={3,4J,得Ac8={3},

又U={1,2,3,4,5},所以=(AcB)={1,2,4,5}.

3.（2026•天津北辰•二模）已知用，〃是两条不同的直线，3是两个不同的平面,若―〃a,〃〃尸,

则"_L〃”是“a_L分”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【详解】由〃〃/a,〃〃八若〃…〃，则。与夕可能平行也可能相交；

由机//a,〃//£,若。~L〃，则〃?与〃可能平行、可能异面也可能相交；

故_L〃”是“aJ•尸”的既不充分也不必要条件.

4.（2026♦天津和平•三模）已知全集"={]£可“<7},集合A={1,2,4},则中的元素个数为（）

A.0B.3C.4D.5

【答案】C

【详解】依题意，。={0,1,2,3,4,5,6},而4={1,2,4},

所以Q.A={0,3,5,6},有4个元素.

5.（2026・天津南开・二模）设集合4={-1,0,1},8=卜+切工€4”小，则3（4门8）=（）

A.{-2,-1,0J,2}B.{-2,2}C.{-1,0,1}D.{-2,0,2}

【答案】B

[详解]・,A={_l,0,l},4={x+MxwAycA},

={-2,-1,0,1,2）,

.-A（ACB）={-2,2}.

6.（2026・天津•模拟预测）已知集合4十色"工。卜3=卜卜—1|42},则A8=（）

A.[-3,3]B.（-3,3]0,卜K]D.卜仁

【答案】B

【详解】由题知生30=产-5）（：+普0,解得-3<x1，故4=（-3目,

x+3x+3工。2V2

|x-l|W2,解得一l«xW3,故B=[T,3],

.-.AU^=（-3,3].

7.（2026•天津河东•二模）已知全集〃={0,123,4,5},集合A={0,l,4},集合B={&|xeA},则

（喇c（㈤=（）

A.{2}B.{0.1}C.{3,5}D.{23,4,5}

【答案】C

【详解】由题可得,B={0,l,2},Q,A={2,3,5},

所以Q,8={3,4,5},则阚c（网={3,5}.

8.（2026・天津红桥・一模）集合4=卜，-16=0},8={y0,4},则4与3的关系为（）

A.AGBB.BeAC.ACBD.BCA

【答案】c

【详解】由题知从={和2-16=0}={-4,4},B={-4,0,4},

所以A与B的关系为

9.（2026.天津.二模）设〃，beR,则是“。同＞匕网”成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】充分性证明:当〃＞力

①若a"20、则有IaI＞1〃I,「是。I"I＞〃I勿；

②若a20＞〃、则有《《臼q＜0,于是aIaI＞〃I:

③若02。＞〃、则有a2v〃2,于是-/＞-力2,因为a|a|=一a2〃|b|=_b2,所以有。|a|＞力网成立.

tta＞b”是“aIa|＞勿勿”的充分条件.

必要性证明:当6网

（1）若4=0时，由小可得0＞。网，则匕＜0=4,于是a＞〃；

⑵6=0时，山4同＞〃附，可得44＞。，贝i」a＞》=0,于是“＞占；

⑶若。>02>0,则有/>乩于是

（4）若则有。|。|>0力2|<0,满足条件a|a|>b|b|,于是成立

（5）若。<0为>0,则。|。|>〃出I不成立，不满足条件；

2

（6）若avO,bvO,由。|。|>勿b|,可得-a>-从,即a?</,所以有0>a>6.

“a>力”是“aI。〃网”的必要条件.

综上所述,“〃>力”是“aI。R勿”的充要条件.

10.（2026・天津宝诋•三模）设。力eR,则是"ln/=]n卢’的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】当。=匕=0时，ln/,]n〃无意义，所以|〃1=1"推不出!na2=in〃，

当In储=ln/时，a-=b~>0,所以1。1二"，

即比"=卜]/能推出1。总川，

所以“Ia1=1〃I”是“In/=加/”的必要而不充分条件.

11.（2026・天津南开•二模）设x,ywR,则“丁+9>0”是"+,>0"的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】由丁+丁3=（工+3,）卜2-即+川=（彳+,,）%__1）+（炉，

Z、2々X_）_0

因x-2+士Vzo当且仅当1~2~,即x=y=（）时取等，

-4b=o

显然x，y不能全都为o,故1-L.2>O,则由丁十寸>0可得x+>>°；

反之，当x+y>。时，必有V+V〉。成立.

故得“V+>'3>0”是“x+丁>o”的充要条件.

12.（2026•天津河西•三模）设4：y=，x+A,l2:y=k2x+b2,则“一=网"是“"〃2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条，‘牛C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】B

【详解】由占=&，若4=8,则4：y=&/+。、小丁二七工+勿重合，充分性不成立，

由〃〃2,则必有>=成，必要性成立,

所以“K=网"是“/〃」的必要不充分条件.

13.（2026・天津滨海新区•三模）已知P：log?（x+1）41,q：^>1,则P是4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】因为log,（x+l）Wl=Ovx+lW2oTvxWl,->1<=>---<0<=>0<x<l,

XX

因为｛x[0<xWl｝是｛x|TcWl｝的真子集，

所以P是9的必要不充分条件.

14.（2026・天津东丽•二模）“不>>”是“lgx>lgy”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】若。>工>），，此时Igx、Igy无意义，故充分性不成立；

若igx>igy,由函数y=igx在定义域内单调递增，故即必要性成立；

故是，，lgx>lgy”的必要不充分条件.

15.（2026•天津滨海新区•三模）已知〃、bwR,则“lna>In〃”是“〃>〃”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条，‘牛

C.充耍条件D.既不充分也不必耍条件

【答案】A

【详解】若lna>ln〃，则反之，若贝即“Ina>>b>0”,

因为“a>/?>（）”时满足而“〃>人”时不一定有

即“lna>ln〃”时一定有而不能得至lj“lna>加〃”，

所以“lna>ln〃”是的充分K必要条件.

16.（2U26•天津滨海新区•二模）设aeR,则>0”是“。>1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】由1曲＞0可得〃2〉］,解得或

因为集合（1,内）是集合（f-1）51,芹）的真子集，

所以“In"＞0''是"a＞1''的必要不充分条件.

14

17.（2026・天津南开•二模）已知X#阮时，+-——丁的最小值为（）

sin-x2+cos）

979

A.—B.3C.—D.一

234

【答案】B

【详解】由工工质可知sin%＞0，易知Z+cosZ＞。，且sin，+2+cos%=3,

所以京+金4sin2x2+cos\

=-(sin2x+2+cos2x)——T-+----------+4

3'7\sin'x2+cos'x2+cos\sin，

、1(J4sin2x2+cos2x

>-5+2J--------x------；——=*+4)=3

3V2+cos-xsinw

当且仅当4sm“•：=2+c,s"时,即sin2x=l,cos2x=0时，等号成立，

2+cos-xsinw

I4

因此一7+r,的最小值为3.

sinx2+cos~x

41

18.(2026•天津红桥•一模)已知。>0,/?>(),若a+b=2,则——+一的最小值为(

1+«1+/?

79

A.2B.—C.~D.2+\/2.

【答案】C

【详解】因为。＞0,力＞0,且4+6=2,所以(l+a)+(l+b)=a+Z?+2=4,

l+j4(l+%]

1+/?\+a

1,cl+a4(l+z?)9

>-4+2J---------——^+1

4Nl+bl+a4

当且仅当事=陪即W、Y时等号成立•

的最小值为，

所以

19.(2026•天津河西•一模)已知。>0,/?>(),且2a+〃=l,则必的最大值为()

【答案】C

【详解】由基本不等式得到2访J妇吆［=，，即他工：,

I2J48

当且仅当为=匕，即/=(时-，等号成立.

。〃的最大值为:

O

20.(2026・天津•二模)已知。，bcR,函数/(力=,2-依-4在［0』上的最大值为加，若M21对任意。

恒戌立，则。的取值范围为.

【答案】(YO,7］U［3,M)

【详解】设g(x)=V一心，xe［0,l］,则/(x)=|g(x)-

对于固定的〃，在［0』的值域是［小股/，值域的区间长度为£="*-〃?，

此时函数/(x)=|g(x)-4在［0』的最大值为M的含义是：数轴上，点〃到区间［也加」上所有点的最大距

离为M.

若m4bWM*,则max{》一〃,％.-〃}2万，若〃<机或“/，则,所以

M之1对任意力恒成立等价于MninNl，即：M「〃N2,

v■>/a、)a~

^(zx)=x--ax=(%--)■--,

①当时，即：a«0时，g3)在［0』上单调递增，所以M*—〃7=g(l)-g(O)=(l-a)-O=l-a，令1—aN2,

解得aW-1,符合题意；

②当即：()<a<2时，机==一宁，而g(°)=0，g(l)=l一〃，

若0va<l,则：?=1-。，Mg-m=\-a-=―—―,因为Ovavl,所以l<(a-2『v4,则

!<(£ZrL<i,不满足条件;

44

若14"2,则以=0,此-〃2=0-/1?2卜?2，令9222,解得：心班或aW4ji，不满足条件;

③当葭之1,即：时，g。）在［0,1］上