实际问题与一元二次方程（一）导学案-2026-2027学年人教版九年级上册数学

25.3实际问题与一元二次方程（1）导学案

课题实际问题与一元二次方程（1）学科数学年级九年级上册

1.能根据具体问题中的数量关系，列出.一元二次方程.

学习

2.根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.

目标

重点重点：列一元二次方程解决传播问题、增长率问题.

难点难点：利用传播问题、增长率模型解决相关类似的问题.

学习过程

知识链接1、列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤？

合作探究探究1、传染型问题

有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了

几个人？

思考：（1）本题中有哪些数量关系？

（2）如何理解“两轮传染”？

（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？

设每轮传染中平均一个人传染X个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了

人；第一轮传染后，共有____________人患了流感；

在第二轮传染中，传染源是人，这些人中每一个人又传染了________人，那么第二

轮传染了____________人，第二轮传染后，共有____________人患流感.

（4）根据等量关系列方程并求解：

（5）为什么要舍去一解？（6）如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？

交流讨论:解决这类传播问题有什么经验和方法？

探究2、增长率问题

两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，

随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的

成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？

思考：（1）怎样理解下降额和下降率的关系？

（2）若设甲种药品平均下降率为x,则一年后，甲种药品的成本下降了________元，

此时成本为元：两年后，甲种药品下降了元，此时成本为一元。

（3）对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根？

（4）同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的平均

下降率较大。

（5）思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也

较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？

例题讲解、惠州市开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人

次，其中第一年培训了20万人次，设每年接受科技培训的人次的平均增长率为多？

小结：对于变化率问题，若平均增长（降低）率为x,增长（或降低）前的基数是a,

增长（或降低）n次后的量是b,则有：“（1土心"="（常见n=2）

自主尝试探究1巩固练习：

1.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和

小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支？

想一想：本题与探究1中的数量关系有何区别？

2.要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两队之间都赛一场，计划安排15场比赛,

应邀请多少个球队参加比赛？

篮球单循环赛问题：甲和乙比赛与乙和甲比赛在同一次进行，所以总数要除以2.

(类似的有握手、喝酒、跳舞等)

3.要组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场，计划安排90场比赛，应邀请多少个球队参

加比赛？

篮球联赛问题：甲与乙比赛与乙与甲比赛各自积分故总数不要除以2.(类似的有互赠

贺卡等)

4.某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电

脑被感染.请解释：每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制,

被感染的电脑会不会超过700台？

当堂检测1、据调查，2023年5月兰州市的房价均价为7600元加2,2025年同期将达到8200

元/m2,假设这两年兰州市房价的平均增长率为x,根据题意，所列方程为

()

A.7600(1+X%)2=8200B.7600(l-x%)2=8200

C.7600(1+X)2=8200D.7600(l-x)2=8200

2、某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，设该厂八、九月份

平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是()

A.50(1+X)2=196B.50+50(l+x)2=196

C.50+50(l+x)+50(1+x)2=196I).50+50(1+x)4-50(1+2x)=196

3、党的“十六大”提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产

总值到2025年比2005年翻两番,到21世纪的头20年(2006〜2025年),要实现这一

目标，以十年为单位计算，设每个十年的国民生产总值的增长率都是x,那么x满足的

方程为.

4、青山村种的水稻2023年平均每公顷产7200kg,2025年平均每公顷产8450kg,求水

稻每公顷产量的年平均增长率.

5、菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目

扩大种植，造成该蔬菜滞销.李伟为了加快俏售，减少损失，对价格经过两次下调后，

以每千克3.2元的单价对外批发销售.

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供

选择：

方案一：打九折销售；

方案二：不打折，每吨优惠现金200元.

试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由.

小结反思通过本节课学习，你学会了什么？你掌握了以下问题吗？

1.列一元二次方程解应用题的步骤：

2.用“传播问题”建立数学模型、篮球赛问题。

3.对于变化率问题，若平均增长（降低）率为x,增长（或降低）前的基数是a,

增长（或降低）n次后的量是b,则有：〃（1±幻"=人（常见n=2）

25.3实际问题与一元二次方程（1）导学案

课题实际问题与一元二次方程（1）学科数学年级九年级上册

3.能根据具体问题中的数量关系，列出.一元二次方程.

教学4.根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.

目标5.经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模

型.

重点重点：列一元二次方程解决传播问题、增长率问题.

难点难点：利用传播问题、增长率模型解决相关类似的问题.

教学过程

知识链接1、列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤？

①审题：②设未知数；③找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥答

为继续学习建立一元二次方程的数学模型解实际问题,这节课我们一起来学习一元

二次方程实际问题中的两个重要模型（板书课题）

合作探究探究1、传染型问题

有一人患了流感，经过两轮传染后，W121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了

几个人？

思考：（1）本题中有哪些数量关系？

（2）如何理解“两轮传染”？

（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？

设每轮传染中平均一个人传染X个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了

人；第一轮传染后，共有____________人患了流感；

在第二轮传染中，传染源是人,这些人中每一个人又传染了_______人,那么第二

轮传染了____________人，第二轮传染后，共有_____________人患流感.

（4）根据等量关系列方程并求解：

解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有X+1人患了流

感,第二轮传染后有x（l+x）人患了流感.于是可列方程：

i+x+x（l+x）=121

解方程得X!=10,X2=12（不合题意舍去）

因此每轮传染中平均一个人传染了1（）个人.

（5）为什么要舍去一解？（6）如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？

（使学生通过多种方法解传播问题，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对•比，体

会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验.）

交流讨论:解决这类传播问题有什么经验和方法？

（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；

（2）可利用表格梳理数量关系；

（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.

探究2、增长率问题

两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产I吨乙种药品的成本是6000元,

随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的

成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？

思考：（1）怎样理解下降额和下降率的关系？

（2）若设甲种药品平均下降率为x,则一年后，甲种药品的成本下降了元，

此时成本为元；两年后，甲种药品下降了元，此时成本为

元。

（3）对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根？

解：设甲种药品成本的年平均下降率为x,

则一年后甲种药品成本为5000（l-x）元，两年后甲种药品成本为5（）（X）（1-x）元.

依题意,得5000（l-x）2=3000

解得：X]Q（L225,x2^1.775（不合题意，舍去）

（4）同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的平均

下降率较大。

设乙种药品成本的平均下降率为y.

则：6000（1-y）2=3600

整理，得：（1-y）2=0.6

解得：尸0.225

答：两种药品成本的年平均下降率一样大

（5）思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也

较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？

经过计算，成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后

的价格.

例题讲解、惠州市开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人

次，其中第一年培训了20万人次，设每年接受科技培训的人次的平均增长率为多？

分析：本题中的两等关系为第一年培训人数+第二年培训人数+第三年培训人数=95万。

解：设增长率为x,列出方程：

20+20（1+JC）+20（1+x）2=95

7

解得:xi=0.5,X2=---（舍）

2

・•・每年接受科技培训的人次的平均增长率为50%

注意：增长率可以超过1但是不能为负！

小结：对于变化率问题，若平均增长（降低）率为x,增长（或降低）前的基数是a,

增长（或降低）n次后的量是b,则有：”（1±心”=力（常见n=2）

自主尝试探究1巩固练习：

1.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和

小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支？

解:设每个支干长出x个小分支，

l+x+x»x=91解得,X|=9,X2=—10（不合题意,舍去）

答:每个支干长出9个小分支.

想一想：本题与探究1中的数量关系有何区别？

每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染.

2.要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两队之间都赛一场，计划安排15场比赛,

应邀请多少个球队参加比赛？

解：设应邀请x个球队参加比赛.

—。=15解得：XI=6,X2=-5（舍去）

2

答：设应邀请：6个球队参加比赛.

篮球单循环赛问题：甲和乙比赛与乙和甲比赛在同一次进行，所以总数要除以2.

（类似的有握手、喝酒、跳舞等）

3.要组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场，计划安排90场比赛，应邀请多少个球队参

加比赛？

解：设应邀请x个球队参加比赛.

x（x—1）=90解得:xi=10,X2=-9（舍去）

答：设应邀请10个球队参加比赛.

篮球联赛问题：甲与乙比赛与乙与甲比赛各自积分故总数不要除以2.（类似的有互赠

贺卡等）

4.某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感奥后就会有81台电

脑被感染.请解释：每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制,

被感染的电脑会不会超过70（）台？

解：设轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑

l+x+x（i+x）=81

解得xi=-10（舍去）,X2=8

第三轮感染中：81+81x8=729>700

:.会超过700台

当堂检测1、据调查，2023年5月兰州市的房价均价为7600元/m2,2025年同期将达到8200

元加2,假设这两年兰州市房价的平均增长率为X,根据题意，所列方程为

()C

A.7600(1+X%)2=8200B.7600(l-x%)2=8200

C.7600(1+X)2=8200D.7600(l-x)2=8200

2、某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，设该厂八、九月份

平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是()C

A.50(1+X)2=196B.50+50(1+X)2=196

C.50+50(l+x)+50(1+x)2=196I).50+50(1+x)+50(1+2x)=196

3、党的“十六大”提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产

总值到2025年比2005年翻两番,到21世纪的头20年(2006〜2025年)，要实现这一

目标，以十年为单位计算，设每个十年的国民生产总值的增长率都是x,那么x满足的

方程为.答案：(x+l)z=4

4、青山村种的水稻2023年平均每公顷产7200kg,2025年平均每公顷产8450kg,求水

稻每公顷产量的年平均增长率.

解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x.

7200(1+x)2=8450.

X,%0.08x2比一2.08(不符合实际，舍去).

答：水稻每公顷产量的年平均增长率约为8%