第六章《平面向量及其应用》单元检测卷（原卷版+解析）

第07讲第六章平面向量及其应用

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.）

1.（2023上•广东深圳•高三珠海市第一中学校联考阶段练习）在梯形A8CO中，设AD=b，若

AB=-2CD^则AC=（）

111r।r

A.—a+hB.—a+bC.a+—bD.a—b

2222

2.（2023•四川南充•统考一模）已知正方形"CD的边长为1,则河+8。-例=（）

A.0B.>/2C.2&D.4

3.（2023上•江苏连云港•高三校考阶段练习）已知长方形A8CD的边AB=3,A力=2,E为3c的中点，则

AEBD=（）

A.-7B.7C.-11D.H

4.（2023上•广东深圳•高三深圳中学校考阶段练习）如图，在/BC中，AN-tNC（t>0）,BP=APN（A>0）,

若"="3—C1—-则/+/的值为（）

44

5.（2023・全国•高三专题练习）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫作1密位

的角.在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短

线，如1周角等于6000密位,写成“60-00”,578密位写成“5-78”.若在y8c中，4。。分别是角A民C

所对的边，且有/-。2+从=".则角C用密位制表示正确的是（）

A.2-50B.5-00C.10-00D.20-00

6.（2024上•四川成都•高二成都七中校考期末）记-ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,分别

以“，b,c,为边长的正三角形的面积依次为，，邑，S-且S-S?-5=-手反，则4=（）

ititn3兀

A.-B.-C.-D.—

6434

7.（2024上♦浙江宁波•高一镇海中学校考期末）在/5C中，点。为AC边上的中点，点E满足£C=34E，

点P是直线8。，人石的交点，过点P做一条直线交线段AC于点交线段8C于点N（其中点M,N均

不与端点重合）设CM=,〃CA，CN=〃C/3，则〃?+〃的最小值为（）

A.-B.XJD.3

5555

8.（2024・陕西咸阳•校考模拟预测）我国油纸伞的制作工艺非常巧妙.如图1,伞不管是张开还是收拢，伞

柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角N84C,且A8=AC,从而保证伞圈。能够沿着伞柄滑动.如

图2,伞完全收拢时，伞圈。已滑到”的位置，且A仇。三点共线，AD'=40cm,8为4y的中点，当伞从

完全张开到完全收拢，半圈。沿着伞柄向下滑动的距离为25cm,则当伞完全张开时，NB4C的余弦值是（）

PP

图1图2

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.）

9.（2024上•湖南长沙•高一长沙一中校考期末）下列各组向量中，不能作为基底的是（）

A.4=（0,0）,e2=（1,1）

B.4=（1,2）,e2=（-2,1）

C.1（-3,4）,

D.e,=（2,6）,e2=（-1,-3）

10.（2024上•云南曲靖•高二曲靖一中校考期末）在中，A=30。为=6o=2,这个三角形的周长可能

等干（）

A.I+V2+V3B.3+夜+6C.5+收D.4+6

11.（2024•贵州•校联考模拟预测）在中，内角A,B,。所对的边分别为mb,c,则下列说法正确

的是（）

/

ABACABACi

A若悯问衣肛且向一r.a/，则ABC为直角三角形

B.若a=2G，b=4,A=0,要使满足条件的三角形有且只有两个，则可09）

C.若一A8C平面内有一点O满足：Q4+O8+OC=0,且|。川=,则JSC为等边三角形

D.若tanA+tan8+tanC>0,贝ij.工8c为钝角三角形

12.（2024•全国•模拟预测）在新农村建设中，某村准备将如图所示的/84C内区域规划为村民休闲中心,

其中NC4O区域设计为人工湖（点。在284C的内部），2D48区域则设计为公园，种植各类花草.现打

算在4C,A3上分别选一处E,凡修建一条贯穿两区域的直路后/，供汽车通过，设与直路环的交

点为P,现已知A8=AC=400米，ZBAC=y,AP=200米，PE,PF段的修路成本分别为

10。万元/百米，50万元/百米，设=修路总费用为关于。的函数S（a）,（单位万元），则下列说

法正确的是（）

C.修路总费用最少要400万元D.当修路总费用最少时，。尸长为400米

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）

13.（2024上•山东聊城•高三统考期末）已知向量a=（3/+l,2）,b=（U）,若〃与人所成的角为钝角，则实

数I的取值范围：.

14.（2024上•河南•高二伊川县第一高中校联考阶段练习）已知向量。二（・1,〃?）/=（〃,2）,若atb，且

,一@二V10,则〃2+〃=.

15.（2024上•湖南张家界•高一统考期末）17世纪德国著名的天文学家、数学家约翰尼斯•开普勒

（JohannesKepler）曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股

定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比

的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36。的等腰三角形（另一种是顶角为108。的等腰三角

形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图，在其中一个黄金"WC中，生=坛1,

AC2

根据这些信息，可得sin954o=.

A

BC

16.（2024上•北京大兴•高三统考期末）如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆。，外椎是以为

。中心，边长为2的正六边形ABCDEF,则。到线段AC的距离为；若P是圆。上的动点，则ACAP

的取值范围是.

四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过

程或演算步骤.）

17.（2024上•辽宁大连•高一统考期末）已知向量。=（2,3）,力

⑴求〃+的坐标及卜+2“；

（2）若“十助与布+〃共线，求实数义的值.

18.（2024上•河南三门峡•高三校联考期末）在中，分别是的内角所对的边，且

b_a-c

sinA+sinCsin5-sinC

⑴求角A的大小；

（2）若sin“sinC-工，he=2,求边

4

19.（2024・全国•高一假期作业）已知向量”，力不共线，AP=a—ib，BPi+2b，BQ=3u-2b.

⑴若f=-2,AP=xBP+yBQ,求x,y的值;

⑵若A,P,。三点共线，求实数/的值.

20.（2024上•云南德宏•高三统考期末）已知函数/（x）=2sinxcos1

⑴求/（冷的最小正周期和单调递增区间；

⑵锐角》水?中,=日〃=6,求4+C的取值范围.

21.（2024上•四川成都・高三石室中学校考期末）为加强学生劳动教育，成都石室中学北湖校区将•块四边

形园地A8CO用于蔬菜种植实践活动.经测量，边界A8与AO的长度都是14米，/84。=60。，

4c0=120°.

⑴若DC的长为6米，求8C的长；

⑵现需要沿实验园的边界修建篱笆以提醒同学们不要随意进入，问所需要篱笆的最大长度为多少米？

22.（2024上•北京海淀•高三统考期末）在“8c中，2eosA=2Z?-a.

⑴求NC的大小；

⑵若。=有，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使么存在，求4c边上

中线的长.

条件①：，为灰?的面积为2b；条件②：sinB-sinA=g；条件③：b2-2a2=2.

注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

第07讲第六章平面向量及其应用

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.）

1.（2023上•广东深圳•高三珠海市第一中学校联考阶段练习）在梯形A8CO中，设AD=bt若

AB=-2CD，则4C=<）

]..1--]r।r

A.—a+bB.—ci+bC.a+—bD.a一二b

2222

【答案】A

【分析】由向量基本定理进行求解.

【详解】AC=AD+DC=b+-AB=b+-a.

22

2.（2023•四川南充・统考一模）已知正方形A8CD的边长为1,则河+8C-CA卜（）

A.0B.V2C.2x/2D.4

【答案】C

【分析】利用向量运算法则得到k8+8。一。|=2,4=2夜.

[详解]\AB+BC-C^=\AC-C^=2\AC\,

因为正方形A8CQ的边长为1,所以==拒，

故卜8+8。-。卜2夜.

故选:C

3.（2023上•江苏连云港•高三校考阶段练习）已知长方形A8CD的边4B=3,AO=2,£为的中点，则

AE,BD=（）

A.-7B.7C.-11D.11

【答案】A

【分析】根据平面向量数量积运算求得正确答案.

UlUULK（UIU1IIUU\,UUULIIB1._2[_2]—I

【详解】AEI3D=\A4+-A。\\AD-AB}=-AB'+-AD=.

\2；'>222

4.12023上•广东深圳•高三深圳中学校考阶段练习)如图，在_/U3C中，AN=lNC(t>0),BP=W>0),

若心则人/的值为()

【答案】C

【分析】表达出AP，利用平面向量基本定理求出2」，即可求出zl+/的值.

【详解】由题意及图可得，

BP=APN，

AP=AB+BP=AB+-^—BN=AB+-^—(-AB+AN}=^-^^-,

4+12+r)1+/11+2

AN=tNC(t>0),

AN=—ACfAP=—+——-——AC.

t+11+2(1+/)(1+.Z)

­,-AP=-AC--BC=-AC--(-AB^AC\=-AB+-AC,

4444、f42

Tj(1+白+Q='解得"=3,f=2,NE

故选：c.

5.(2023•全国•高三专题练习)密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫作1密位

的角.在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短

线，如1周角等于6000密位，写成“60-00”,578密位写成"5-78".若在A8C中，。也。分别是角A3,C

所对的边，^a2-c2+b2=ab.则角C用密位制表示正确的是()

A.2-50B.5-00C.1()-(X)D.20-0()

【答案】C

【分析】利用余弦定理求角C，然后根据1周角等于6000啻位进行转换即可.

【详解】m^Ja2-c2+b2=ah,

a2+b--c2ab_1

所以cosC=

lab2ab~2

又C«0,7i),所以C=1,

由题知，2k6000密位，所以?=1000密位，

6

依题意，1000密位表示为10-00.

故选：C

6.（2024上•四川成都•高三成都七中校考期末）记的内角A,B,。的对边分别为。，b,c,分别

以“，b,。为边长的正三角形的面积依次为，，52,S*且S「S,-&=-逅枇，则A=（）

4

ititit3兀

A.-B.-C.-D.—

6434

【答案】B

【分析】利用三角形面积公式、余弦定理计算可得答案.

【详解】由S1—S2—S、=一旦bc得La2义立一L产x®—Lc2义B=—见bc,

42222224

a2-b2-c2--41bc»-a2+Z?2+c2-y/2bc»

由余弦定理得cosA==正生=①，

2bc2bc2

因为OVAVTT,所以A=f

4

故选：B.

7.（2024上•浙江宁波•高一镇海中学校考期末）在ABC中，点D为AC边上的中点，点E满足EC=38E，

点P是直线30,的交点，过点尸做一条直线交线段4c于点用，交线段AC于点N（其中点M,N均

不与端点重合）设CM=〃?C4，CN=nCB.则〃?+〃的最小值为（）

A.-B,且C.LD.3

5555

【答案】B

pp|1一3一

【分析】由题意作样〃AC交80于凡可推出生=：，利用向量的线性运算推出。尸结合

AP455

题意推出C0二」1-CM•+3LC-N,根据三点共线可1得3）=结合“1”的妙用，即得

5m5m5n

川+〃=（/%+〃）（『1+?3）,展开后利用基本不等式，即可求得答案.

5m5n

EFPE

【详解】作律〃AC交8。于R连接“，则△EEPsAWP,故K=

A

M

BNEC

由丁点。为AC边上的中点，故4)=8,

BE1EFBE\

EC=3BE，故行=7，乂△3E7?s△BCQ，A5(—=—=--

oC4CDt>C4

故笠=竺」，

APCD4

44

则CP=C4+AP=CA+-A£=C4+-(CE—C4)

55

,-3

由于&W=〃2cA，CN=nCB，故b=『CM+二CN，

5，〃5n

I3

因为”,P,N三点共线，故白+}=1,

jmjn

口-I」...I3.4n3m4_f

m以in+n=(in+〃)(---F—)=—4-——+——>—+2J-

5m5n55m5n5,fm5〃5

当且仅当£上=群，结合J—+R=1,即〃?=_L芭,〃=w叵时等号成立,

5m5n5m5n5

即+〃的最小值为'+2c,

5

故选：B

8.(2024・陕西咸阳•校考模拟预测)我国油纸伞的制作工艺非常巧妙.如图1,伞不管是张开还是收拢，伞

柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角N84C,且A8=AC,从而保证伞圈。能够沿着伞柄滑动.如

图2,伞完全收拢时，伞圈。已滑到府的位置，且48,77三点共线，AZ)'=40cm,8为47的中点，当伞从

完全张开到完全收拢，半圈。沿着伞柄向下滑动的距离为25cm,则当伞完全张开时，NMC的余弦值是()

A

B(Q

O，

P

图2

23193

A.B.——C.——D.

323288

【答案】A

【分析】先通过题意求出AD.AB.BD,再通过余弦定理求出COS4AD,进而通过倍角公式可得/明。的值.

【详解】当伞完全张开时，AO=40-25=15cm,

因为8为AD'的中点，所以A8=AC=;ADf=20cm,

当伞完全收拢时，AA+4O=AO'=40cm,所以AO=20cm,

AB2+AD2-BD24004-225-400_3

在2X48。中,cos/B4/)=

2ABAD2x20x15--8

g23

所以cos/HAC=COS2/3AO=2cos2/ZM。-l=2x—-1=--

6432

故选：A.

二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.)

9.(2024上•湖南长沙•高一长沙一中校考期末)下列各组向量中，不能作为基底的是()

A.et=(0,0),e2=(U)

B.et=(1,2),e2=(-2,1)

D.e}=(2,6),e2=(-1,-3)

【答案】ACD

【分析】分别判断四个选项中的两个向量是否共线得到答案.

【详解】对于A,弓=(0,0),4=。，1)，由零向量与任意向量共线，可知两个向量不能作为基底;

对于B,因为4=(1,2),/=(-2/)，所以1X1—2X(—2)=5H。，所以两个向量不共线，可以作为基底；

对于C,因为自=(-3,4),s=7所以-3x(-4x?=0,可知两个向量共线，故不可以作为基底；

对于D,由4=(2,6),4=(-1,一3),得：2x(-3)-6x(-l)=0,可知两个向量共线，故不能作为基底；

故选:ACD

10.(2024上•云南曲靖•高二曲靖一中校考期末)在/8C中，B=30°,b=6,c=2,这个三角形的周长可能

等于()

A.1+0+GB.3+&+班C.5+五D.4+6

【答案】AB

【分析】由余弦定理先求出“，注意检验是否满足三角形三边关系，由此即可得解.

【详解】由题意，由余弦定理有加=/+c?-24Zccos/3,即2=a、4-2ax2x博，

化简得/-26〃+2=0，解得a=6+1或4=75-1,

经检验a=G+1或a=J5-1均满足三角形三边关系，

所以这个三角形的周长可能为1+及+6或3+及+G.

故选:AB.

11.（2024•贵州•校联考模拟预测）在_>48C中，内角4,8,C所对的边分别为。，b,c,则下列说法正确

的是（）

ABACABAC1

A.若•BC=0,且］---1'I-----1,则.ABC为直角三角形

\AB\\AC\2

B.若a=2丛,b=4,A=6,要使满足条件的三角形有且只有两个，则。《（吟）

C.若乂8c平面内有一点O满足：OA+O6+OCH，且|。4卜|。@二|oc|,则/8C为等边三角形

D.若tanA+tan4+tanC>0,贝为钝角三角形

【答案】BC

【分析】A：由已知确定/A的角平分线与8c垂直，所以A8=AC,所以N8=NC,再利用向量夹角的余

弦得出N4=g,最后得出是等边三角形，判断A错；由正弦函数值确定角的范围判断B正确；由向

量模长关系得到角的大小，再用全等关系得出等边三角形判断C正确；D利用弦切互化，三角恒等变换和两

角和与差的正余弦展开式判断D错误.

/\

【详解】对于选项A,因为等+普1。=。，—,/£分别为单位向量，所以/A的角平分线与

[\AB\|^C|J\AB\\AC\

ARAC\

AC垂直，所以AB=AC,所以NB=NC.又因为*二;，

\AB\\AC\2

即cosA=；,因为所以44=^，所以N8=NC=4=g,所以幺8C为等边三角形，故选项A

错误;

对于选项B,要使满足条件的三角形有且只有两个，则/2sin4<a<8,因为4=2>/5"=4,所以4面人<2>/5,

即sinA<当，所以0<A<1,故选项B正确；

对于C,因为QA+O8+OC=0，故|OA+O8|2=|—OC|2,即|。4『+|08/+2。4・=|OC『，又

\OA\=\OB|=|OC\,所以|OA『+2|OA||O81cosZAO8=0,故cosNAO8=-J,由于ZAOBe[0,7i],故

乙

=同理可得NA0C=NB0C=彳，结合IOAR03ROCI，故X\OC9MCOB、可得

JJ

\AB\=\AC\=\BC\f故"IBC为等边三角形,C正确;

4十sinAcosB+cosAsinBsinCsin(Z+B)sinCsinCsinC.「

又寸于D.tanA+tan8+tanC=-------------------------------1---------=-----------------1--------=-----------------1--------=SinC-

cosAcosBcosCcosAcosBcosCcosAcosBcosC

rcosC+cosAcosB.八cos/lcos/3-cos(A+B)sinAsinBsinC

-----------------------=sinC----------------------------------=----------------------=tanAtanBtanC>0.

IcosAcosBcosC)cosAcos/?cosCcosAcosBcosC

而A8,C£(0,TT),所以A,B,C都为锐知，D错误；

故选:BC.

12.(2024•全国•模拟预测)在新农村建设中，某村准备将如图所示的NBAC内区域规划为村民休闲中心,

其中NC4。区域设计为人工湖(点。在N6AC的内部)，2。山区域则设计为公园，种植各类花草.现打

算在AC,AB上分别选一处E,F,修建一条贯穿两区域的直路石/，供汽车通过，设4。与直路的交

717JT

点为P,现已知/W=AC=4(X)米，ZBAC=—fZCAD=-t<P=2(X)米，PE,段的修路成本分别为

10。万元/百米，50万元/百米，设44FP=a,修路总费用为关于二的函数S(a),(单位万元)，则下列说

100100八九

S(a)=0<a<—

B.sina3J

C.修路总费用最少要400万元D.当修路总费用最少时，P/长为400米

【答案】ACD

【分析】对A,在△田中，由正弦定理判断即可；对&由题意再分别分析小"段的修

(.10010()

路成本相加即可：对CD,由B可得(的=二7m+/石，再根据三角恒等变换，换元结合三角函数的

(6)

单调性判断即可.

【详解】

APPE

对A,在△4£9中,由正弦定理故A正确;

sinZAEPsinNEAP

对B,在AAPW中，因为=NCAO=J,故色.

3o2

100+0.5x电100100

AP..D£?AP20047s（0=lx+------

故叱二而，故吟而=而，故itsina兀sina.0<a<3r

-+a-+a

66

故B错误;

100sina+lOOcosi—+a

H\(6)_lOOsinor+50\/3cos«-50sina

对CD,S(a)=------------------

it(y/31

sintzcos-+asin。——cosa—sina

1622

l00sin(a+()

lOOsina+(400sin[a+"

I3J

如sin2a」sin2a苴sin2a+—cos2a—2sin|2a-\-71y\-\

424446

因为故会。+会学设则等＜sin"L

400sin0400sin0400sin0400

S(a)=

22

2sin(2"2-1-2(l-2sin6>)-l4sin<9-34sin^_3

sin，

伺3400

设f=sin。，四＜/Wl,则y=4i—为增函数，）一人3为减函数.

2t4/—

故当r=sin〃=l,即〃+1=］时，a=2时，S（a）取最小值400万元，故C正确;

326

对D,S（a）取最小值时呜唠故4门哈此时可就=400米,故D正确.

故选：ACD

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）

13.（2024上•山东聊城•高三统考期末）已知向量。=（3/+1,2）,力=（1"）,若。与〃所成的角为钝角，则实

数/的取值范围:

【答案】（〜，-1）。

【分析】a与〃所成的角为钝角即a小＜0且〃与〃不平行，列式求解即可.

【详解】«与〃所成的角为钝角即〃.〃＜（）且a与〃不平行,

1

3r+1+2r<0/<一

即《(3f+l)fw2n5

3产+，一2=0

一『打

故答案为：（一8,-l）D

14.(2024上•河南•高二伊川县笫一高中校联考阶段练习)已知向量。二(・1,〃?),〃二(〃,2),若且

,一.=则〃z+〃二.

【答案】±3

【分析】由向量垂直的坐标表示利向量的模长组成方程组，求出结果即可.

【详解】因为£_LA,

所以一〃+2m=0,①

又因为卜一〃卜"75,a-Z>=(-1-njn-2),

所以J(-l叫？+(〃?-2)2=M，②

由①②解得"7=1,"=2；或〃2=-1,〃=-2,

所以〃?+〃=3或一3,

故答案为：±3.

15.(2024上•湖南张家界•高一统考期末)17世纪德国著名的天文学家、数学家约翰尼斯•开普勒

(JohannesKepler)曾经这样说过："几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股

定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比

的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36。的等腰三角形(另一种是顶角为108。的等腰三角

形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图，在其中一个黄金.•工8c中，生=在二1,

AC2

根据这些信息，可得sin954o=.

A

BIM

【答案】-恒11

4

【分析】利用正弦定理得到边角关系，再通过二倍角公式转化求解cos36,最后借助诱导公式得解.

【详解】在等腰源3C中，Z/MC=36,

贝ljZABC=ZACB=180-36=72，

2

由正弦定理得生=好[=也至=—必理一

AC2sin722sin36cos362cos36

故cos36=-J—="+],

x/5-14

所以sin954°=sin234=-sin54=-cos36°=-+.

4

故答案为：-避士！.

4

16.（2024上•北京大兴•高三统考期末）如图是六角螺母的横截而，其内圈是半径为1的圆。，外框是以为

。中心，边长为2的正六边形ABCDEF,则。到线段AC的距离为；若乃是圆。上的动点，则ACAP

的取值范围是.

【答案】1[6-2瓜6+2向

【分析】根据正六边形的性质即可求解空1,利用向量的坐标运算即可由三角函数的性质求解.

【详解】取AC中点为

由于正六边形ABCDEF的边长为2,所以NAOC=12（）,04=OC=2,

因此。到线段AC的距离为0历=^OA=\f

建立如图所示的直角坐标系，则人(-2,0),C(l,-G)j(cosasin®),e€R,

AC=(3,-当bAP=(cos夕+2,sinG).

AC-AP=3cosO+6-\/3sin0-2\/3cosf^+―|+6,

由R,1.COS0+弓力”

故AC.AP=26COSR+^)+6e[6-2>/3,6+2>/3],

四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过

程或演算步骤.）

17.（2024上•辽宁大连•高一统考期末）已知向量〃=（2,3）,〃=

（1）求〃+2b的坐标及卜+2〃；

（2）若4+劝与》/+力共线，求实数丸的值.

【答案】⑴（4,-1）,47

（2）1或一1

【分析】（1）由向量坐标的线性运算以及模的坐标公式即可得解.

（2）由向量平行的充要条件列出方程即可得解.

【详解】（1）由题意1=（2,3）,。=（1,一2）,所以〃+%=（2,3）+20,-2）=（2,3）+（2,-4）=（4,-1）,

所以卜+2“="不了=

（2）由题意髭+"=（2+；1,3-24与痴+）=（2九+1,3•一2）平行,

所以当且仅当（2+2）（32—2）—（2幺+1）（3—24=0,化简得7/12—7=0,

解得义=±1,即实数4的值为1或-1.

18.（2024上•河南三门峡•高三校联考期末）在.M8C中，。也c分别是58C的内角A及C配对的边，且

b

siiM+sinCsin3—sinC

⑴求角A的大小;

(2)若sinBsinC=，,be=2,求边

4

【答案】（1）60

(2)76

【分析】（1）由题设和止弦定理化角为边，利用余弦定理即可求得角A；

（2）由题i殳条件得到.J：.,,=8,利用正弦定理替换即可得到边。长度.

sinnsinC

【详解】⑴由正』=焉一和正弦定理可得：2=公，整理得：2”

由余弦定理得：8sA="一"=!,

因0<A<180，

故得：A=60.

.be_2

(2)由sin4sinC=：,庆=2可得：sinBsinC-T

44

bed.a.->be

又由正弦定理:----=-----=-----可得：(-----)~=---------=8o,

sin4sinCsinAsinAsinAsinC

由（1）知A=60，代入解得：a=y/6.

19.（2024,全国•高一假期作业）已知向量〃，〃不共线，AP=a-ib，BP=—a+2b，BQ=3a-2b.

⑴若f=-2,AP=xBP+yBQ,求x,y的值；

⑵若A,P,。三点共线，求实数/的值.

【答案】⑴x=2,y=\

（2）1

【分析】（1）由平面向量基本定理建立方程组即可得出答案.

（2）三点共线转化为向量共线，再用平面向量共线定理求解即可.

【详解】（1）当，=-2时，AP=a+2b>BP=—a+2b，BQ=3a-2b,

xBP+yBQ=-xa+2xb+3ya-2yb=（3y-x）a+（2x-2y）b

3y7=1

所以解得x=2,y=l.

2x-2y=2

（2）PQ-PB+BQ=a-2b+3a-2b=4a-4b-AP=a—ib，

由于4,P,。三点共线，所以存在4（%工0）,使PQ=/UP,

则4a-4b=2a-Atb，

整理，得（4-4"+3-4）b=0.

因为。，力不共线,

4-4=0

所以

力一4二0

故实数/的值为1.

20.（2024上•云南德宏•高三统考期末）已知函数f（x）=2sinxcos[+V

⑴求/“）的最小正周期和单调递增区间；

⑵锐角/8C中，=p且6=6，求“+C的取值范围.

【答案】⑴丁=兀，单调递增区间为3,履+9（kGZ）

3o_

（2）（3网

【分析】（1）先利用三角恒等变换对函数进行化简，进而通过三角函数的图象和性质的应用得到答案；

（2）利用正弦定理进行边化角，然后借助三角恒等变换进行化简，最后通过三角函数的图象和性质的应用

求出结果.

【详解】（1）由题意有/（x）=2sinxcos（x+2=2sinx\-^cosx-isinx

1-cos2x—sin2x+-cos2x—i-=sinf2x+-'

^sinxcosx-sin2x=且3

2~2~222I2

rhxeR，0)=2,有/=@=九；

(t)

得ki—Wx工灼c+—,keTj.

36

故函数/(x)的最小正周期为九，单调递增区间为履-9,而+?(&wZ).

3o

⑵由(1)有/图"巾+/=;g|Jsin(B+-j=l,

又。<5<W，所以?<4+m<=,所以8+m=9即8=)

2663623

_e_=_^=_±_=2

由力=JJ,所以sinAsinC3n兀，

sin—

3

贝！Ja=2sinA,c=2sinC=2sinn—(/!+—)=2$in(人+")=sinA+VJcos人.

兀

0rx<A4<—0<A苫

9

因为.ABC是锐角三角形，所以即《,所以

nno2