高考数学专项练习：直接法模型（解析版）

专题8直接法模型

例1.已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共

有（）

A.240种B.360种C.480种D.600种

【解析】

用分类讨论的方法解决.如图中的b个位置，

123456

①当领导丙在位置1时，不同的持法有用二120种；

②当领导丙在位置2时，不同的持法有C；A：=72种；

③当领导丙在位置3时，不同的持法有+A；Al=48种；

④当领导丙在位置4时，不同的持法有A；4；+A；4；=48种；

⑤当领导丙在位置5时，不同的持法有C；A：=72种；

⑥当领导丙在位置1时，不同的持法有反=120种.

由分类加法计数原理可得不同的拌法共有480种.

故选C.

例2.有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男

生或女生，则这样的排法种数是（）

A.144B.216C.288D.432

【解析】

先排与老师相邻的：C：G8=18，再排剩下的：A：,所以共有18A：=432种排法种数，选D.

例3.李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中，到“东亚文化之都一泉州”“二日游”，若他们不

同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有

A.16种B.18种C.20种D.24种

【解析】

任意相邻两天组合一起，一共有6种情况，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥©,

若李雷选①②或⑥⑦，则韩梅梅有4种选择,

选若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥，则韩梅梅有3种选择，

故他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有2x（4+6）=20,

故答案为C

例4.2020年3月31日，某地援鄂医护人员A,B,C,D,E，F,6人（其中A是队长）圆满完成

抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎.当地媒体为了宣传他们的优秀事

迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且8c相邻,

而8。不相邻的排法种数为（）

A.36种B.48种C.56种D.72种

【解析】

•••让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且3C相邻

分2步进行分析：

①领导和队长站在两端，有&=2种情况，

②中间5人分2种情况讨论：

若8C相邻且与D相邻，有用人=12种安排方法，

若BC相邻且不与。相邻，有&gA；=24种安排方法，

则中间5人有12+24=36种安排方法，

则有2x36=72种不同的安排方法；

故选：D.

例5.将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、。四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到

A班，丁不能分配到8班，则共有分配方案的种数为（）

A.10B.12C.14D.24

【解析】

将分配方案分为甲分配到3班和日不分配到3班两种情况：

①甲分配至IJ8班：有留=6种分配方案；

②甲不分配到3班：有$44=8种分配方案；

由分类加法计数原理可得：共有6+8=14种分配方案.

故选：C.

例6.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序4只能出现在第一步或最后一步,

程序5和C在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有（）

A.144种B.96种C.48种D.34种

【解析】

试题分析：首先将B,C捆绑在一起作为整体，共有A；两种，又回A只能出现在第一步或者最后一步，故总

的编排方法为片xA：x2=96种,故选B.

例7.甲、乙、丙、丁四个人到4，。三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人

去，则甲不到A景点的方案有（）

A.18种B.12种C.36种D.24种

【解析】

由题意，可分为两种请况：

（1）甲单独一个人旅游，在8、C景点中任选1个，由2种选法，

再将其他3人分成两组，对应剩下的2个景点，有种情况，

所以此时共有2x6=12种方案；

（2）甲和乙、丙、丁中的1人一起旅游，

先在乙、丙、丁中任选I人，与甲一起在&C景点中任选1个，有C；C；=6种情况，

将剩下的2人全排列，对应剩下的2个景点，有A；=2种情况，

所以此时共有6x2=12种方案，

综上，可得甲不到A景点的方案有12+12=24种方案.

故选:B.

例8.某城市关系要好的A,B,C,。四个家庭各有两个小孩共8人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，

每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A户家庭的季生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车

的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）

A.18种B.24种C.36种D.48种

【解析】

若A户家庭的李生姐妹乘坐甲车，即剩下的两个小孩来自其他的2个家庭，有C；-22=12种方法.

若A户家庭的李生姐妹乘坐乙车，那来自同一家庭的2名小孩来自剩下的3个家庭中的一个.有C；-22=12.

所以共有12+12=24种方法.

本题选择8选项.

例9.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美

育；“射”和“御”，就是体育和劳动：“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开

展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第

三节,且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有()

A.12种B.24种C.36种D.48种

【解析】

由题意，“数”排在第三节，则“射"和“御''两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5

节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有用=2种，

剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有用二6种，

所以“六艺”课程讲座不同的排课Mi序共有3x2x6=36种不同的排法.

故选：C.

例10.2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有

五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A，医生乙只能分配到医院A或医院3,

医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一

名医生，则不同的分配方案共有()

A.18种B.20种C.22种D.24种

【解析】

根据医院人的情况分两类：

第一类：若医院A只分配1人，则乙必在医院8,当医院B只有1人，则共有种不同

分配方案，当医院8有2人，则共有C；用种不同分配方案，所以当医院A只分配1人时，

共有+C；$=10种不同分配方案；

第二类：若医院4分配2人，当乙在医院A时，共有A；种不同分配方案，当乙不在A医院，

在B医院时♦，共有C；用种不同分配方案，所以当医院A分配2人时，

共有A；+=10种不同分配方案；

共有20种不同分配方案.

故选：B

例11.用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是（）

A.72B.144C.150D.180

【解析】

根据题意，符合奇数的个位数字只能从1,3,5中选取，组成没有重复数字的四位奇数分三步；

第一步，排个位，共有C；种方法；

第二步，排千位，共有种方法；

第三步，排百、十位，共有国种方法；

所以，可组成C：C：A：=144个四位奇数，故答案选B。

例12.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询

问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；龙乙说：“你当然不会是最差的”.从组织者

的回答分析，这五个人的名次排列的不同情形种数共有（）

A.3（）B.36C.48D.54

【解析】

先排乙，有3种，再排甲，有3种，最后排剩余三人，有种

因此共有3x3x8=54,选D.

例13.现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、

司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任

四项工作，则不同安排方案的种数是

A.152B.126C.90D.54

【解析】

根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C3】xA33=18种；

②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；

1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一•份工作，有A32xC32xA22=3x2x3x2=36种；

2。甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：A32xC31xC2】xA22=72种；

由分类计数原理,可得共有18136•72-126种,

故选B.

例14.为了支持山区教育，某中学安排6位教师到A、B、C、Q四个山区支教，要求A、8两个山区各

安排一位教师，。、D两个山区各安排两位教师，其中甲、乙两位教师不在--起，不同的安排方案共有（）

A.180种B.172种C.168种D.156种

【解析】

由题可知，分三种情况讨论:

c2c2

(1)甲，乙两位教师均没有去C，。山区，共有A?・卡••4=12种;

共有心”窄

(2)甲,乙两位教师只有一人去。或。山区,=96种;

（3）甲，乙两位教师分别去。或。山区，共有=种,

故共有：12+96+48=156种安排方案.

故选：1）.

例15.某篮球队有12名队员，其中有6名队员打前锋，有4名队员打后卫，甲、乙两名队员既能打前锋又

能打后卫.若出场阵容为3名前锋，2名后卫，则不同的出场阵容共有种.

【解析】

分以下三种情况讨论：

①甲、乙都不出场，则应从6名打前锋的队员中挑选3人，从4名打后卫的队员中挑选2人，此时，出场阵

容种数为屐。：=120：

②甲、乙只有一人出场，若出场的这名队员打前锋，则应从6名打前锋的队员中挑选2人，从4名打后卫的

队员中挑选2人；若出场的这名队员打后卫，则应从6名打前锋的队员中挑选3人，从4名打后卫的队员中

挑选1人.

此时，出场阵容种数为C；・（C；C；+C；C：）=340：

③甲、乙都出场，若这两名队员都打前锋，则应从6名打前锋的队员中挑选1人，从4名打后卫的队员中挑

选2人：若这两名队员都打后卫，则应从6名打前锋的队员中挑选3人，从4名打后卫的队员中不用挑选；

若这两名队员一人打前锋、一人打后卫，则应从6名打前锋的队员中挑选2人，从4名打后卫的队员中挑选

1A,此时，出场阵容种数为C：C：+C；C：+C；C；C；=176.

综上所述，由分类加法计数原理可知，共有120+340+176=636种不同的出场阵容.

故答案为：636.

例16.有7张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,3,4,从中任取4张，可排出不同的四位数的个数是.

【解析】

根据题意，分4种情况讨论：

⑴取出的4张卡片中没有重复数字，即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4,此时A：=24种顺序，可以排

出24个四位数；

⑵取出的4张卡片中有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2,若重复的数字为1,在2、3、4中取出2

个，有C；=3种取法，安排在四个位置中，有A；=12种情况，剩余位置安排数字1,可以排出3X12=36个四位数,

同理，若重复的数字为2,也可以排出36个重复数字；

⑶若取出的4张・卜片为2张1和2张2,在4个位置安排两个1,有C：=6种情况，剩余位置安排两个2,则可以

排出6X1=6个四位数；

（4）取出的4张卡片中有3个重复数字，则重复的数字为1,在2、3、4中取出1个卡片，有C；=3种取法，安排

在四个位置中，有C；=4种情况，剩余位置安排1,可以排出3X4=12个四位数;所以一共有

24+36+36+6+12=114个四位数.

故答案为：114.

例17.从A,B.C,D,a,b,c,d中任选5个字母排成一排，要求按字母先后顺序排列（即按

&a）,8S）,C（c）,O（"）先后顺序，但大小写可以交换位置，如或4Aa都可以），这样的情况有

种.（用数字作答）

【解析】

分为四类情况：

第一类:在A、B、C、D中取四个，在a、b、c、d中取一个，共有2C：C：=8；

第二类：在A、B、C、D中取三个，在a、b、c、d中取两个，分两种情况：形如AaBbC（大小写有两个字

母相同）共有4C：C；,形如AaBCd（大小写只有一个字母相同）共有2C：C；；

第三类：在A、B、C、D中取两个，在a、b、c、d中取三个，取法同第二类情况；

第四类：在A、B、C、D中取一个，在a、b、c、d中取四个，取法同第一类情况；

所以共有：2（8+4C；C；+2C：C；）=160

例18.将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排，旦A,B均在C的同侧，则不同的排法共有

种（用数字作答）

【解析】

按C的位置分类，在左1,左2,左3,或者在右1,右2,右3,

因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可.

当C在左边第1个位置时，有A

当C在左边第2个位置时A

当C在左边第3个位置时，有A

共为240种，乘以2,得480.则不同的排法共有480种.

故答案为480.

例19.作家马伯席小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息.同名改编电视剧中，望

楼传递信息的方式有一种如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表

紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息.现要求每一行，每一

列上至多有一个紫色小方格（如图所示即满足要求）.则一共可以传递______种信息.（用数字作答）

【解析】

显然，紫色小方格顶多有3个.分类讨论：（1）若无紫色小方格，则只有1种结果:

（2）若有旦只有1个紫色小方格，则有C；=9种结果：

（3）若有且只有2个紫色小方格，从行来看，

先选出有紫色小方格的那两行，有第=3种选法，这两行的排法有C；C；=6种，

此种情况下共有18种结果；

（4）若有且只有3个紫色小方格，显然，这三行的排法有C；C；C：=6种.

综上，一共有34种结果，即一共可以传递34种信息.

故答案为：34

例20.某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课，如果第一节不排体育，最后一节不

排数学，那么共有排法种.（用数字作答）

【解析】

当体育课在最后一节时，此时另外3节课可在其余位置任意排列，故有用种排法；

当体育课不在最后一节时，此时体育课只能在第2节或第3节\故有AINA；种排法，

所以一共有：&+A；AA；=14种排法，

故答案为：14.

例21.某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲不能从

事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有种.

【解析】

根据题意，分3种情况讨论：

①，从五名志愿者中选派的四人中的有甲但没有乙，甲有3种安排方法，剩下三人全排列即可得,此时有

3x8刁8种选派方法;

②，从五名志愿者中选派的四人中的有乙但没有甲，乙有3种安排方法，剩下三人全排列即可得,此时有

3xA；=18种选派方法；

③，从五名志愿者中选派的四人中既有甲又有乙，

需要在剩下3人中选出2人，有C；种选法,选出4人的安排方法有+2x2x用种，

则此时有C；（用+2x2x用）=42种选派方法；

故一共有18+18+42:78种选派方法；

故答案为：78

例22.甲、乙、丙、丁、戊5个人站成一排照相，其中甲不站中间，甲、乙不相邻的