福建省福州市鼓楼区某中学2025-2026学年九年级下学期学情自测数学试卷（含答案）

2025-2026学年九年级下学期学情自测数学试卷

一,选择题（共10小题，每题4分，共40分）

22_jr

1.在实数开，3.14159265,行，一8,正，0,底,1.010010001...（每两个1之间依次多一

个0）中，无理数的个数是（）

A.5B.4C.3D.2

2.据杭州第19届亚运会开靠式的相关报道，中央广播电视台全媒体多平台的跨媒体总阅读播放量达到

5030000000次，数据5030000000用科学记数法表示为（）

A.5.03xlO8B.5.03xlO9C.50.3x108D.0.53xl0lc

3.如图所示的几何体的左视图是（）

正面

A.C.D.

4.光的反射定律为:入射光线、反射光线和法线（垂直于反射面的直线）都在同一平面内，且入射光线和反

射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角（入射角）等于反射光线与法线的夹角（反射角），兴

趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜CO以改变光的路线，当太

阳光线与水平线4B的夹角N"E=30。时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底（即

FGtAB）,则调整后平面镜CD与水平线43的夹角4bC为（)

B.60°C.70°D.80。

5,下列计算正确的是)

（2必21二6"6

A.B.a2+/=C.D.t/10-rtf2=a

6.哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫

猜想的研究中取得了世界领先的成果.在质数2,3,5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是

（）

11八12

A.—B.—C.~D.一

4323

7.以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且

量角器与三角板只有一个公共点P,NPOB=40。，则NCBD的度数是（）

A.50°B.45°C.35°D.40°

8.一件商品按成本价提高40%后标价，再打八折（标价的80%）销售，售价为240元.设这件商品的成

本价为x元，根据题意，列方程正确的是（）

Ax,40%x80%=240B.x（l+40%）x80%=240

C.240x40x80%=XD.x•40%=240x80%

9.如图，/B=点8关于4C的对称点E恰好落在CO上.若NAW=a（00<a<180。），

/ACB=0,则下列关系正确的是（）

A.a-/7=90oB.a+/7=18O°

C.a=3/3D,a+2/?=180°

10.二次函数y=ad+/zx+c（〃工0）图像如图所示，下列结论：®2a+b=0；②当加wl时，

a+/）>〃〃/+加?；©a-b+c>0；④若。x；+如=,且x尸々，则%+々=2.其中正确结

论的个数是（）

二,填空题（共6小题，每题4分，共24分）

11.在实数范围内分解因式2/一6》-1=.

12.不等式l+2x<9的解集是.

13.2025年1月，西藏日喀则市定FI县发生地震后，某校组织师生进行献爱心活动，积极向灾区捐款，捐

款恃况如图1，图2所示，则捐款的众数为元.

14.《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，间折者高几何？”

意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC=9

尺，8。=3尺，则cosN/BC的值为.

4

15.考察函数y二一的图象，当工<一2时;y的取值范围是

x

16.七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板.用

边长为8的正方形力8C。，做了如图①所示的七巧板，其中，点。是正方形力8CQ的中心，点E、F，分

别为C。、8C的中点.将这个七巧板拼成如图②所示的图形（空白①中的903、△力和△。£尸组

成），则图中阴影部分的面积为

三,解答题（共9小题，满分86分）

17.计算：

（1）2屈十&廊一24；

-I

（右一1）（6+1）一（；）+"闾一（乃_2）。.

18.如图，在菱形Z6C。中，E、尸分别是边C。、6c上的点，CE=CF,连接6E,。尸交丁点G.求

证：BE=DF.

19.解答下列各题

（1）解分式方程：T—」一=0.

X"+XX"-X

Ij

（2）先化简x-1,然后从一1，1,2这三个数中选一个合适的数代入求值.

X+1)X24-2x+1

20.某校为迎接五一文化节活动，需要从甲乙两位候选人中选择一人担任策划人，于是对他们进行了文化水

平，艺术水平，组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩如下表所示：

候选人文化水平艺术水平组织能力

甲80分87分B2分

乙80分96分76分

（1）如果将两位候选人的各项成绩的平均数作为综合成绩，应友录取哪一位？说明你的理由.

（2）如果想录取一位艺术水平比坎高的候选人，把文化水平，艺术水平，组织能力三项成绩分别按照20%,

50%,30%的比例计入综合成绩，应该录取谁？说说你的理由.

21.如图，己知四边形44CZ）.请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）:

匕匕

5图①C8图②。

（1）在线段4c上找一点M，使得8A/=CM,请在图①中作出点〃：

（2）若48与C。不平行，且4B=CD,请在线段4C上找一点N,使得和△CQN的面积相等，

请在图②中作出点N.

22.无人快递车在我市的城市道路上已正式“上岗”.现有一条箝直的路上依次有力、B、。三个快递网点,

甲车由彳网点地驶往8网点，乙主由C网点地驶往4网点，两车同时出发，匀速行驶.如图是甲、乙两车

分别距离8网点的路程乂、y2（单位：千米）与乙车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象，结合图

象信息，解答下列问题：

》（千r米斗

26x（小时）

（1）甲车的速度是_______千米/时：

（2）求图象中线段。尸的函数解析式，并写出自变量x的取值范南.

（3）当两车距8网点的路程之和是360千米时，此时乙车的行驶时间为.

23.（1）反证法是数学中一种常用的证明方法，通常先假设求证的结论是错误的，再由此推导出与己知、

公理、定理或条件等相矛盾的结果，从而否定开始的假设，肯定先前求证结论的正确性.在证明“两直线

平行，内错角相等”时，采用反证法.

如图1,已知：N1与N2是宣战,4从8被直线即所截得到的一对内错角，4B〃CD,宜饯4B、CD

分别与直线即相交于点M、N.

求证：Z1=Z2

证明：假设,过点N画一条直线GH，使得N1二NENG,如图2所示，根据,可得AB//GH,

乂因为力8〃8,这样直线G"、CQ都过点N,这与矛盾.

说明假设不成立，所以N1=N2.

(2)如图3,已知△/8Cg/V)ERNC"=NC/£N1=30o,ND=105。，求/后的度数.

解：•・•△Z8C也△。斯

z.Z=Z()

又・・•ND=105。,4=30。

:"CAF=Z-Z=

•・•ACFA=/CAF

又•：/CFA=/+Z=()

/.ZB=45°

♦.FABCQADEF

:.4=/=45°()

3o3

24.已知抛物线y=——/+—X+3与x轴交于点力，点8,与卜轴交于点C,直线y=——x+3经过点8

444

和C.

(2)点。是抛物线上一动点，过点。作庄1_Lx轴于点E，交直线5c于点。，连接尸C.

①如图1,若动点?在直线8c上方运动时，过点。作PE_L8c于点尸，试求的周长的最大值.

②如图2,当点Q在抛物线上运动时，将△CTO沿直线CP翻折，点。的对应点为点。，若以C、D、P、

。为顶点的四边形能成为菱形，求点P的坐标.

25.如图，在菱形中，DHLAB于H,以。〃为直径的OO分别交力。,8。于点巴F,连接EF.

H

(1)求证：①CO是0O的切线;

②DEDA=DF-DB.

(2)若48=10,08=12,求352用.

2025-2026学年九年级下学期学情自测数学试卷

一,选择题（共10小题，每题4分，共40分）

二,填空题（共6小题，每题4分，共24分）

12.x<4.

13.100.

3

14.-

5

15.-2<^<0

16.24

三,解答题（共9小题，满分86分）

17.【小问1详解】

解：2而十工质-

5\2

=2x3V2+ix5V2-2x—

=672+72-72

=6\/2:

【小问2详解】

解：-1)(右十I)-1?+|1-V2|-(K-2)°

=(V5)2-l-2+V2-1-1

=5-1-2+72-1-1

18.证明：•••四边形/8CO是菱形,

...BC=DC,

在△C8£和&C。/7中,

BC=DC

ZC=ZC,

CE=CF

:ACBE-CDF(SAS),

:.BE=DF.

19.【小问1详解】

解：•・•一-----二二0

X~+XX”—X

.q_______一二。

**x(x+1)x(x-l)

方程两边都乘以x(x—I)(x+l),得5(x—l)—(x+l)=0.

整理，得4%一6二0

解得：x=1.5.

经检验：把x=1.5代入x(x-l)(x+l)/0,

x=1.5是原方程的解.

【小问2详解】

3YX2-4

解:

x+1)x2+2x+1

=(x-l)(x+l)3("if

x+1x+\X2-4

12-4(X+1)2

x+1x2-4

=J+1»

•・•从-1,1,2这三个数中选一个合适的数代入求值，且工工-1,xw±2,

，当x=l时，原式=1+1=2.

20.【小问1详解】

QA10*7.X?

解：甲的综合成绩为jJ--=83（分）,

3

乙的综合成绩为=80+：+76=84（分）.

因为乙的综合成绩比甲的高，所以应该录取乙:

【小问2详解】

解：甲的综合成绩x甲=0.2x80+0.5x87+0.3x82=84.1（分）,

乙的综合成绩x乙=0.2x80+0.5x96+0.3x76=86.8（分）.

因为乙的综合成绩比甲的高，

所以应该录取乙.

21.【小问1详解】

解：以点8和点。为圆心，大于,3。为半径画弧，两弧相交于点£和点E连接EF，

交力。于点M,

2

点M即为所求：

图①

【小问2详解】

解：延长84CZ）相交于点G,作/8GC的角平分线，交4C于点N,点N即为所求;

过氤N作NH上于点、H,NILCD于点、I,

■:CN平分NBGC,NH上AB,NILCD,

:・NH=NI,

,:AB=CD,

・•・和ACDN的面枳相等.

・••点N即为所求.

解：依题意，420+6=70千米/时：

故答案为：70.

【小问2详解】

解：乙车的速度为度0+2=60千米/时;

而420+60=7,

・・・/(9,420),

设直线DF的解析式为y2=kx+b,

\2k+b=0

1%+力=42()

>=60

解得：，

/)=-120

/.DF:y2=60x-120(2<x<9).

【小问3详解】

解：由题意设必=〃7氏+420,

/.6〃?+420=0，

解得：m=-70»

:.-=-70x+420(0<x<6),

同理可得：当0KxW2时，y2=-60x+120,

._J-60x+120(0<x<2)

~|60x-120(2<x<9)'

设乙车的行驶x小时后，两车距8的路程之和是360千米,

当乙未过6时，-70»+420-60》十120-360

解得：X=—

当乙经过4后，

-70x+420+60x-120=360，

x=-6（舍）

当甲到达后，

60120=360

x=8

1Q

答：乙车的行驶一或8小时后两车距〃的路程之和是360千米.

13

23.（1）证明：假设Nlw/2,过点N画一条直线G”，使得N1=NENG,如图2所示，根据内错角相

等，两直线平行，可得4B〃GH,又因为AB〃CD,这样直线G〃、CD都过点M这与过直线外一点,

有且只有一条直线与已知直线平行矛盾.

说明假设不成立，所以N1=N2.

（2）解：・.F4BC丝ADEF

ABAC=AD（全等三角形对应角相等）

又•・•/。=105。,/1=30。

Z.CAF=/BAC—N"75°,

ACFA=NCAF

又•••NCE4=N8+N1（三角形外角的性质）

NB=45。

♦;2ABe@小DEF

\DE=D5=45°（全等三角形对应角相等）

24.【小问1详解】

3Q

解：•••抛物线y=—―/+—X+3与X轴交于点点B,与y轴交于点C,

44

329

令了=0,则一一-x+3=0,解得：玉=T,x2=4,

4x+4

令x=0,则y=3,

.•“（-1,0）、3（4,0）,C（0,3）,

故答案为：（-1,0）、（4,0）、（0,3）；

【小问2详解】

39\

解:①设p〃?,m2I-W43,&PFD的周长为L,

44)

则。加,——〃?+3,PD=--m~+3ni,

I4J4

■:尸E_Lx轴，

:.PE//OC,

NPDF=Z.BCO,

•;/PFD=/BOC=900,

.FPFMABOC，

APORJ周长_PD

勺周长一而

由题意可知，00=3、08=4,

BC=y/oC2IOB2=5'

.•.△80C的周长为08+OC+8C=3+4+5=12,

322

——m+3m

LT，

•.,--_---4---------

125

92369/736

Lf=——nr+——m=——(rn-2)~H---,

5555

36

・'.当机=2时，L地大=—,

即△PF。的周长的最大值为费；

②将△CTO沿直线CP翻折后，以C、D、P、。为顶点的四边形能成为菱形,

/.CQ||PD,CD=PD,

.••点。落在y轴上,

如图2,过点。作OG_Ly轴于点G,

图2

设尸则D77,

4

在RSCGO中，CD=dcG?+GD?=

♦：PD=CD,

4S(3\5-

/.—n2+3〃=一〃①或一—n2+3〃=—n@,

44I4)4

7

解方程①得：〃=一或〃=0（不符合题意，舍去），

3

17