浙江宁波市慈溪市2025-2026学年第二学期高一年级期末测试数学试题（试卷+解析）

2025学年第二学期高一年级期末测试

数学学科试题

说明：本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，共150分.

考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上.

第I卷（选择题，共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，则（）

A.相等的角在直观图中仍然相等B.相等的线段在直观图中仍然相等

C.菱形的直观图是菱形D.三角形的直观图是三角形

2.己知向量N=（2,X）5=（7,2）,若GJL=则工=（）

A.-4B.-1C.1D.4

3.在△48C中，已知锐角8满足sin8=迈，AB=7,8C=8,则4C=（）

14

A.3B.9C.13D.V217

4.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2）,2个绿色球：标号为3

和4）,从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件4=”第一次摸到红球“，事件8=”第二次摸到绿球”,

事件C=“两次都摸到红球“，事件。二“两个球颜色不同”，则〔）

A.4与。是相等事件B.力与8是相互独立事件

C.4与。是互斥事件D.。与。是互为对立事件

5.已知样本数据玉，x2,x3,x4,x5,4的平均数为"方差为$2,若样本数据g+8,

”+8,…，aq+8的平均数为6三，方差为4s则亍=（）

A.-2B.2C.-2或1D.1或2

6.已知。，7是三个不同的平面，/,〃?，〃是三条不同的直线.下列四个命题：

①若m!/n,〃ua,则加〃。：

②若。0尸=〃？，〃〃a,〃〃夕，则〃〃/〃；

③若。_L/,a_Ly,则夕1人

④若二/,0cy,aDy=〃，则三条交线/,相，〃的交点个数为0或1,其中，真命题的个

数为（）

A.IB.2C.3D.4

7.在A/BC中，内角4B、C的对边分别为a、b、c,若2sinCcos（4-8）=l-sin2C,且

SgBc=p则1BC的外接圆半径为（）

A.1B.2C.20D.百

8.已知向量3,b»万满足同=1,=2，不1=4,若忸一5二2后，则方.1的最小值为（）

A.8B.7C.6D.5

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.暑假是学生旅游的黄金时段，某市为更好地提升学生旅游品质，该市文旅局随机选择100名学生游客对

该市旅游体验进行满意度评分（满分100分），90分及以上为优秀等级，80分至89分为良好等级.现根据

评分数据，制成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）

B估计样本数据的平均数为86

C.估计样本数据的80%分位数为95

D.若从评分为优秀等级与良好等级的学生中，用分层抽样的方法抽取14人进行交流，则抽到评分为良好

等皴的学生有6人

10.已知。是△力5。内一点，贝IJ：）

A.当场+砺+反=0时，。是△43C的重心

B.当厉+2彷+3反=0时，S&AOC:S^BOC=2：1

C.当正=2+-----（兄>0）时，O是△/BC的垂心

,Cos3|JC|cosC>

_____2___

D.当NNO8=120。，|而|_2|而|时，而在存上的投影向量为一,N5

11.已知正方体4BCO—4AGA的棱长为2,E为CG的中点，F,G为线段84，4。1上的动点，

则（）

A.三棱锥8-O4G的体积为与

B,直线4尸与。E所成角的最小角的正弦值为近

10

C./G的最小值为逅

3

D.当P为正方体表面上的一个动点，且后尸，8。1时，点p的轨迹所围成的面积为36

第n卷（非选择题，共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在直角梯形4BCO中，AB//DC,AB=2CD=20ND46=30。.若直角梯形43CQ以边8c

所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的侧面积为.

13.在△/BC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,若满足《=2,4=30。的△彳BC有两解，则/）

的取值范围为.

14.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则点数之和为完全平方数的概率是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知Z]=加2一加一2+（加+ljiG〃wR）,z2=2-i.

（1）若4是纯虚数，求〃?的值；

（2）若三L在复平面内对应的点在第二象限，求实数，〃的取值范围.

16.甲、乙两位同学进行某项体育运动比赛，约定赛制如下：比赛最多打5场，每场胜者得1分，败者不

得分，比赛进行到有一人比另外一人多2分或打满五场时比赛终止，分数多者获胜.现已知每场比赛中甲

21

同学获胜的概率是一，乙同学获胜的概率是一.

33

（1）求第二场比赛结束后比赛终止的概率；

（2）求甲最终获胜的概率.

17.如图，在平行四边形月Z7C。中，*6=4,40=2，^DAD-60°,E,尸分别是线段CO,AE

的中点，且荏=x而+y赤.

（2）若点G为线段C/7上的动点，求就的最小值.

18.（用坐标法不给分）如图，在三棱锥产一力8。中，平面48_L平面48C,PALPB,PA=PB,

AB=BC=2,4。=26，设三棱锥尸一43c的外接球球心为。.

（1）求侧面P8C与底面力8C所成二面角的余弦值；

（2）求证：A»B,C,。四点共面；

（3）求直线。尸与平面尸8c所成角的正弦值.

19.在△48C中，内角力，B,。的对边分别为明b,c,满足〃=acosC+ccos/T

（1）求人；

1T,___Q

（2）若△Z8C为锐角三角形，且4=7，石=2灰，当线段8。的长度取最大值时，求一；

3a

(3)记a/BC的面积为S,若IzJJs+c?-3/=15，求S.

2025学年第二学期高一年级期末测试

数学学科试题

说明：本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共150分.

考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上.

第I卷（选择题，共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，则（）

A.相等的角在直观图中仍然相等B.相等的线段在直观图中仍然相等

C.菱形的直观图是菱形D.三角形的直观图是三角形

[]D

【解析】

【详解】如图:

yA

C

D

0Bx

平面正方形03。的直观图为平行四边形O'8'C'。'，且OB=O'B',OD=2（/Df,

ZDOB=NOBC=90。,ZD'。®二45。，NO'B'C'=135。.

所以对A：/DOB=NOBC=90°,但直观图中ND'O®=45。,NO®C'=135。，故A错误;

对B：平面图形中，OB=OD,但直观图中，OB=O'B',OD=2O'D',所以O®工O'。，故B错

误；

对C：正方形OBCD（也是菱形）的直观图为平行四边形OEC'。'，因为O'8'wO'Q',所以四边形

O'8'C'。'不是菱形,故C错误;

根对D：据斜二测画法的规则可知，三角形的直观图是三角形，故D正确.

2.已知向量值=（2"）万=（-1,2）,若力3,则"=（）

A.-4B.-1C.1D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.

【详解】由向量£=（2,X）［=（—1,2）,

因为QJ_E,可得。=2x（—1）+xx2=0,解得x=l.

?同

3.在△43C中，已知锐角“满足sin8=±，43=7,5。=8,则力。=（）

14

A.3B.9C.13D.7217

【答案】A

【解析】

【分析】先得到C0S8,再由余弦定理求解

【详解】sini?=—,乂8为锐角，故cos8>0,cos^=Vl-sin2^=—,

1414

由余弦定理得AC=dAB?+BC、2ABBC3sB=/49+64—2x7x8*=3.

4.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2）,2个绿色球;标号为3

和4）,从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件4="第•次摸到红球“，事件8=”第二次摸到绿球”,

事件。=”两次都摸到红球”，事件力="两个球颜色不同”，则（）

A.4与。是相等事件B.4与8是相互独立事件

C.6与。是互斥事件D.。与。是互为对立事件

【答案】C

【解析】

【详解】用形如（。,6）表示摸出的两球，其中。表示第1次摸出球的标号，表示第2次摸出球的标号，

则样本空间为｛（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,21（14）,（4,1）,（4,2）,（4,3）｝：

事件/包含（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）；

事件8包含（1,3）,（2,3）,（4,3）,（1,4）,（2,4）,（3,4）；事件C包含（1,2）,（2,1）；

事件。包含（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（4』）,（4,2）；

故A选项错误；C选项正确：D选项错误;

因为尸（⑷尸（3）=A=5工尸（/B）=2=；，故B错误.

5.己知样本数据演，x2,x3,x4,x5,4的平均数为.方差为$2,若样本数据时+8,

3+8,…，aq+8的平均数为6三，方差为4s则亍=（）

A.-2B.2C.-2或1D.1或2

【答案】D

【解析】

__a=2\a=-2

【详解】由题意可得，〃x+8=6x，/=4,得〈一。或〈一।.

x=2［X=1

6.已知a,B,7是三个不同的平面，/,〃?，〃是三条不同的直线.下列四个命题：

①若mlln,〃ua,则mHa；

②若aCB=m,n/ia,汕。,则〃〃/〃；

③若aJL£,al/,则/1人

④若aPl夕=/,pr\y=m,aV\y=n,则三条交线/,〃?，〃的交点个数为0或1,其中，真命题的个

数为（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根据线面平行的性质及线面平行的判定定理可判断①②，根据平面与平面的位置关系可判断③④.

［详解］对于①，若m//n,〃ua,则〃或加ua,错误.

对于②，过〃作平面与。交于。，与£交于6,由线面平行的性质可得"//a,n//b,所以a/〃九

由线面平行的判定定理可得a//£,又an#=〃？，则。//加，所以团〃〃，正确.

对于③，若。上，，,则相交或平行，错误.

对于④，若三条交线互相平行，则交点个数为0；若三条交线不平行，则交点个数为1,正确.

7.在△ZBC中，内角4B、C的对边分别为。、汰c,若2sinCcos（4-4）=l-sin2C,且

S2ABC=；,则”BC的外接圆半径为（）

A.1B.2C.2夜D.百

【答案】A

【解析】

【分析】利用三角函数的相关公式对已知条件进行化简，可得4sinCsin4sin4=l,再结合三角形面积公

式和正弦定理，即可求出外接圆半径.

【详解】已知2sinCcos（4-8）=l-sin2C,可得2sinCcos（4-B）=l-2sinCcosC,

移项得2sinCeos（力一3）+2sinCeosC=1,即2sinC[cos（4-4）+cos。]=1,

又,4+8+C=TI,所以C=兀一（月+8）,所以cosC=cos[兀一（4+8）]=-cos（4+8）,

则cos（4-8）+cosC=cos（4-8）-cos（4+8）=2sin/sin3,

所以2sinC[cos（力一8）+cosC]=4sinCsin/sin8=1,

又Sv"。力sinC=』，所以a/?sinC=l,

又根据正弦定理，可得〃=2Rsin4,b=2Rsh\B,

所以absinC=4R2sinAsinBsinC=1>

又4sinCsin4sin8=1,所以后=1，所以&=1.

8.已知向量3,h，云满足同=1，5京=2，不々=4,若h=2JI,则的最小值为（）

A.8B.7C.6D.5

【答案】B

【解析】

【分析】将向量问题坐标化，把已放在x轴上简化已知条件，结合二次不等式求出点积的最小值.

【详解】已知同=1,设5=（1,0）,5=区,必），c=（x2,y2）t

则由不石=2得X=2：由心|=4得々=4,

由彳_[=26\平方得a_工2）~+（乂―刈）〜=（2*75）代入玉=2,々二4,得

（一2『+（必一乃『=8,

化简得：（必一V2）2=4，即必2-2必必=4,

则鼠。=玉々+必为=8+必%，因此只需要求必必的最小值，

由（必一为『二4,不妨设乂二为±2,代入得：必为=%（乃±2）=（%±1）2-12-1即,必的最小值

为一1,

因此Bg的最小值为8-1=7.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.暑假是学生旅游的黄金时段，某市为更好地提升学生旅游品质，该市文旅局随机选择100名学生游客对

该市旅游体验进行满意度评分（满分100分），90分及以上为优秀等级，80分至89分为良好等级.现根据

评分数据，制成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）

B.估计样本数据的平均数为86

C.估计样本数据的80%分位数为95

D.若从评分为优秀等级与良好等级的学生中，用分层抽样的方法抽取14人进行交流，则抽到评分为良好

等级的学生有6人

【答案】ACD

【解析】

【详解】对于A,由10x（0.005+0.010+0.015+x+0.040）=l,解得工=0.030,故A正确；

对于B,各组中点依次为55,65,75,85,95,

则平均数x=55x0.05+65x0.1+75x0.15+85x0.3+95x0,4=84^86,故B错误;

对于C,由图知，在[50,80）内的累计频率为0.3,在[50,90）内的累计频率为0.6,故80%分位数落在

[90,100].

设80%分位数为，,则0.6+分一90）x0.040=0.8,解得，=95,故C正确:

对于D,良好等级人数0.030x10x100=30,优秀等级人数0.040x10x100=40.

分层抽样抽取14人，抽样比-------=一，故良好等级抽取30x：=6人，故D正确.

30+4055

10.已知。是△力内一点，则：）

A.当万「4■丽+反=0时，。是人力AC的重心

B.当万+2方+3无=。时，S二2：1

_(ABAC}

C.当力0=4——-+^=-----(4>0)时，。是△48C的垂心

(cosB|JC|cosC)

——―2’―

D.当乙4。4=120。，|。0=2|。川时，CM在布上的投影向量为一,43

【答案】ABD

【解析】

【分析】对A,取力8中点用，将已知向量式化简得到反=-2两，结合重心的定义与性质判断；对

B,利用三角形分点的性质，得到面积比等于对应向量的系数比，直接推出50“：5/优=2:1；对C,

给已知等式两边同时点乘前，化简后可得而•就工0，因此。不是△48C的垂心；对D,设

|可=。，结合已知条件计算出况.而=-2/、|方『二7八代入投影向量公式可得结果为-g方.

【详解】对于A：取力3中点。，则方+砺=2而，由况+丽+1=。得2历=一无，

说明。在中线。。上，且。。：。。=2:1,符合重心的性质，A正确；

对干B：对./鸟。内一点。，连接4。,8。,。。，延长4。交BC于。，

梯・篇就+微耨荏

_S&AOB^D_^dc-a4^^-黑3(砺-刀)=久3(灰-刀)砺-刀)

S&ABC5&诋S&ABC

葭ABDS/BCS^ACD

S”(用方।S.A

即1--空竺0C-5c=6,整理得

\3ABC°AAHC7°A/1«C

S8,04+S4“.OB+Sn0C=6,

△0八.c△ZiC/CA/i\J4n()

由刀+2砺+31=0,得心”：，双=1：2,即L.:%x=2:1,B正确:

对干C：前反"萼々•琴“阿I西+国

该式不恒为()，所以4。不恒与

8C垂直，C错误；

对于D：设10d=1,则|。,=2,<Z4-OB=|OJ||(9B|COS1200=-1,AB=OB-OAf

则：弧刀二瓦(砺-网二弧砺-网2=-1-1=-2»

画2=\OB-O^=|同+研-2次.赤=4+1+2=7,

__04,4B2

向量近在海上的投影向量为：网2D正确.

11.已知正方体［8。一481GA的棱长为2,七为CG的中点，F,G为线段82，4G上的动点，

则（）

A.三棱锥3-。4G的体积为4

B.直线//与AE所成角的最小角的正弦值为画

10

C./G的最小值为逅

3

D.当P为正方体表面上的一个动点，且£P_L8。时，点尸的轨迹所围成的面积为3G

【答案】CD

【解析】

【分析】根据题意，利用三棱锥8-Q4G的体积等于正方体的体积减去四个三棱锥的体积，可判定A错

误；根据正方体的性质，结合异面直线所成角的定义，可判定B不正确；由尸G的最小值为异面直线

84,4G的公垂线段的长度，可判定C正确：过点£■作与平面4G。平行的平面，得到截面为正六边

形EEF2E3E4E5,可判定D正确.

【详解】对于A,由正方体力BCD—44GA的棱长为2,可得其体积为P=23=8，

又由三棱锥B-D4G的体积等于正方体的体积减去四个三棱锥4-力3。,G-3C。，

D_A©D\,B_A\B\C\的体积，且四个三棱锥的体积相同，

1114

因为匕“一皿=§S“8D•=§X5X2X2X2=§，

48

所以三棱锥8-O4G的体积为VB_DAiCx=V-^VAi.ABD=8-4x-=-,所以A错误；

对干B,延长8乃到点〃，使得B〃=l,再取的中点可得。£//4小，

又由力”//441，可得力”//。£,

所以异面直线AF与D.E所成角为NE4H,

因为点尸在上运动，当点”与点〃重合时，NE4〃取得最小值,

在直角△48"中，AH=ylAB2+BH2=722+12=>/?»

可得sin/E4H="二=3=要，即直线//与所成隹的最小角的正弦值为好，所以B错误;

AHy[555

对于C,因为£G为线段4G上的动点，

所以/G的最小值为异面直线8仅，4G的公垂线段的长度，

在正方体彳BCD-44GA中，可得3瓦_L平面44GA，

因为4GU平面4片GA,所以4G_L84，

又因为4G，因为,且BBIn4久=4,BB],B°u平面BBR,

所以4G，平面8BQ,

因为BAu平面BB,D\,所以4G1BD、,同理可证：4。_LBD、,

又因为4GC4Q=4,且4G,4。u平面4G。，所以8。_L平面4G。，

设BD,n平面4G。=F',因为△4G。为边长为20的等边三角形，

可得k为“C。的中心，在平面4G。中，过尸'作UG'_L4G，

因为39_L平面4G。，F'G'u平面4G。，BD1工PG',

即F'G'为异面直线BD],4G的公垂线段，可得F'G=逅，

3

即EG的最小值为尸'G'=逅，所以C正确；

3

对干D,由选项C知：3。_1平面46。，

当P为正方体表面上的一个动点，且七夕,台。时，

过点E作与平面4G。平行的平面，交正方体/BCD-44GA的表面，

如图（2）所示，得到截面为六边形E&Ez4&U，

且六边形EEF2E3E4E5为边长为6的正六边形，

过点均作的垂线，垂足为〃，如图（3）所示，

在直角△/£//中，可得£/=加闾-E3H2=逅,

EH

所以等腰梯形EE3E4E5的面积为S}=-（E4E5+EE3）•4=7（^2+2>/2）x—=—,

2222

所以截面的面积为S=2S|=2xW=3jJ，所以D正确.

第H卷（非选择题，共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在直角梯形43co中，AB//DC,AB=2CD=2E=30。.若直角梯形45CZ）以边8C

所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的侧面积为.

【答案】66兀

【解析】

【分析】先判断直角梯形绕直角腰旋转所得几何体为圆台，分别求解圆台的上下底面半径与母线长，再代

入圆台侧面积公式计算即可.

【详解】•・•直角梯形48C。中，AB//DC,AB=2CD=25/DAB=30°,8c为直角腰，

・•・以8C为轴旋转一周所得几何体为圆台，其上底面半径r=CO=J5,下底面半径R==

过点。作OE_LAB于点E,可得/E=48-CD=2百一百二.

•・•在中，ZDJE=30°»

/=JO==丫=7

・•・圆台母线长'-cos300一有

T

S.V1=7rx（2V3+V3jx2=6V37r.

13.在△N8C中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,若满足。=2,4=30。的△力3C有两解，则力

的取值范围为.

【答案】（2,4）

【解析】

【分析】点C的轨迹为与刖线48轴夹角为30“的刖线4C，不包括点力，结合图形分析求解即可.

【详解】在△X8C中，/力=30"边AC=b,边BC=a=2,

固定顶点力，则点。的轨迹为与肘线44轴夹角为30,的射线/C，不包括点力，

ob

点C到AB边的距离为力=JCsin/=＞sin30=—.

2

要使△48C有两解，等价于以。为圆心、半径。=2作圆，该圆与射线有两个不同的交点，即对应两

个符合条件的点8,

需同时满足两个约束条件：

①圆与射线44相交，即圆心到射线的距离小于半径，得

②两个交点均在射线48的正半轴上，即B在4的右侧，得力＞〃.

/

因为〃＜。=＞一＜2=＞6＜4,且6＞。=2,

2

联立得2＜方＜4,所以人的取值范围为(2,4).

14.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则点数之和为完全平方数的概率是…

17

【答案】向

【解析】

【分析】根据题意总共有6x6x6=216种，再结合完全平方可知，点数之和可以为4,9,16,再列举计算

概率即可.

【详解】由题可知总共有6x6x6=216种，

点数之和为4的有(11,2),(1,2,1),(2,1,1)共3个；

点数之和为9的有。2,6),(1,6,2),(6,1,2),(2,1,6),(2,6,1),(6,2,1),

(1,3,5),(1,5,3),(5,1,3),(3,1,5),(3,5,1),(5,3,1),(1,4,4),(4,1,4),(4,4,1),

(2,2,5),(2,5,2),(5,2,2),(2,3,4),(2,4,3),(3,2,4),(3,4,2),(4,2,3),(4,3,2),(3,3,3)共25个；

点数之和为16的有(4,6,6),(6,4,6),(6,6,4),(5,5,6),(5,6,5),(6,5,5)共6个.

综上，点数之和为完全平方数的有34种，则概率为意.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知Z]=加2一加一2+(加+lji(〃zwR),Z2=2-i.

(1)若4是纯虚数，求〃?的值;

(2)若&•在复平面内对应的点在第二象限，求实数，"的取值范围.

【答案】(1)〃？=2

(2)0<m<—

2

【解析】

【小问1详解】

2

已知4=m-m-2+(〃？+GR),z2=2-i.

若马为纯虚数，则实部等于0,虚部不等于0.

m2-m-2=0

列出方程组解得〃7=2或〃7=-1.

+1工0

由/〃+1H0舍去〃/=一1,故/〃=2.

【小问2详解】

出刈曾五zi_(^2-w-2)+(w+l)i[(w2-m-2)+(m+l)i](2+i)

TUTU|BJt~—.=---------------------------

z2z?2-1(2-i)(2+i)

l(m~一m—2)—(〃？+1)+[(〃/一〃7—2)+2(m+1)]i

亨

2"广一3〃？-5m~+m.

=-------------------------+---------------1.

55

复数幺对应点在第二象限，则实部小于0,虚部大于0,得不等式组

z?

Ini1-3m-5

"5<小〃"(2加-5)(m+1)<0

,,，等价于《

nr+tn,、[相(机+1)>0

------>U

5

解不等式(2加-5)(加+1)<0,得一1<加<』.

2

解不等式加+得或加>0.

所以0cmeg,即实数〃，的取值范围为(0卷).

16.甲、乙两位同学进行某项体育运动比赛，约定赛制如下：比赛最多打5场，每场胜者得1分，败者不

得分，比赛进行到有一人比另外一人多2分或打满五场时比赛终止，分数多者获胜.现已知每场比赛中甲

21

同学获胜的概率是、，乙同学获胜的概率是A.

JJ

（1）求第二场比赛结束后比赛终止的概率;

（2）求甲最终获胜的概率.

【答案】（1）|

188

(2)—

243

【解析】

【分析】（1）根据比赛终止条件，拆分互斥事件，再利用独立事件概率相乘，最后求和即可;

（2）根据题意得出比赛结束场次为第2场、第4场或第5场，计算相应概率并求和.

【小问1详解】

设4二“打i场后甲获胜”，瓦二“打i场后乙获胜”，C=”第二场比赛结束后比赛终止”，。二“甲最终获

胜”，

因为尸（4）七J=履0⑸七J二履

所以P（C）=P（4+82）=P（4）+P（82）=，

【小问2详解】

由题设条件，比赛可能在第2场、第4场或第5场终止,

甲连胜两场:尸（4）=（|、=|；

前两场双方1:1,第3、4场甲连胜:

<2?_16

前4场双方2:2,第5场甲获胜:

2_32

3333~243

所以P(0=P(4+4+4)=P(4)+尸⑷+P(4)=：+9+W=燃.

17.如图，在平行四边形43C。中，/8=4,AD=2,ZBAD=60°,E,尸分别是线段CO,AE

的中点，且力七=x4方+歹力方.

（1）求x-y的值;

（2）若点G为线段C尸上的动点，求就的最小值.

【答案】（1）x-y=-^

,361

(2)----

52

【解析】

【分析】（1）法一：根据已知得近二方+,历即可得；法二：通过已知条件构建合适的直角坐标系，

2

标注相关点坐标并确定相关向量的坐标，由向最线性关系的坐标运算列方程求参数值，即可得；

（2）法一：设用=几斤（0W/IW1）,根据已知得灰二野-7片+万、

CG=^A~^7B+—~AD,再应用向量数量积的运算律及定义得到方.且关于％的表达式，即可

42

求最值：法二：设G（x,y）,FG=2FC（O</1<1）,应用坐标法表示出相关向量，再由向量数量枳的坐

标运算得到彳3.且关于X的表达式，即可求最值.

【小问1详解】

法一:因为AE=AD+DE=AD+'AB,因AE=xAB+yAD,

则工二;，v=i，所以工一卜二一;

法二：建立如图所示的直角坐标系，则8（4,0）,C（5,Ji）,。（1,、万），£（3,、万卜

所以衣二（3,石），[方=（4,0）,而二（1,6），

因赤=孤+＞而，

3=4x+y

则可得〈,解得＜

[Vr3=岛rI

歹=1

所以x_y=_g；

【小问2详解】

法一：由（1）知，JF=-AE=-AB+-~AD,

242

设的=%正

则记=%（次一万）=义（万+而荔而）=；义标+而,

—•——•1+32—1+2—•

所以4G=++--AD,

42

又因为函=（九一1）同=3（：-1）方+勺力,A§Z5=4X2XCOS60°=4,

则怒・且=(匕"7万+匕41万］.3—1)刀+£1彳］=13/2-7义一6=13(/1

142J42

因为0WZW1,所以当4=1"时，(AGCG}=--

26\)min52

法二：设G(x,y),FG=ZFC(O<2<1),

713

x=—A+—

22

则<［-L，

_V3.V3

y=—A+—

/22

所以恁=（14+3,立几十，卓

222

所以前•诙=13/P-7/l-6,

因为。。“所以当4唳时，国帚1「一等

18.（用坐标法不给分）如图，在三棱锥产一力8。中，平面48_L平面48C,PALPB,PA=PB,

AB=BC=2,4。=26，设三棱锥产一/3C的外接球球心为。.

B

（1）求侧面P8C与底面力BC所成二面角的余弦值;

（2）求证：/,B,C,。四点共面；

（3）求直线。尸与平面尸8c所成角的正弦值.

【答案】（1）叵

7

（2）设△48C的外接圆圆心为。'，则O'在线段的中垂线上，连接。'4,O'B,O'D,O'P,

由正弦定理知，O，A=O'B=O'C=2,

所以O'。=JL

由（1）知，PD1DOf,PD=\,所以O'P=2,

即。N=0'8=0'C=0'P,所以O'与。重合，

所以4,B,C,。四点共面；

⑶叵

7

【解析】

【分析】（1）构造二面角的平面角，利用三角形的边角关系求二面角的余弦.

（2）先求△/8C的外接圆半径，初步确定△ABC的外接圆圆心。'的位置，再求O'P的距离,即可证明O'

就是三棱锥外接球球心，所以4,B,C,。四点共面.

（3）利用体积法求点到面的距离，进而可求直线0P与平面尸8c所成角的正弦值.

【小问1详解】

因为48=8C=2,AC=2日

BA2+BC2-AC24+4-12_1

所以由余弦定理得,cosZABC=

2BABC-2x2x2~~T

所以//8C=120。，

取,48中点为。，连接尸。，因为P4=PB,所以尸01/18,

又因为平面H8JL平面48C,平面HBCI平面48c=48,PQu平面P4B,

所以PO_L平面43C.

过点。作。E18C,交线段。的延长线于点E,连接PE,

因为PO_L平面N8C,8Cu平面力8C,所以PDJ.BC,

PD,DEu平面PDE,且PQIDE=D,所以5C_L平面尸0E.

因为在'u平面夕。£,所以8clp£.

所以APED就是侧面尸8c与底面4BC所成二面角的平面角.

又因为PA=PB,AB=BC=2,

所以PO=1,7)£=—,所以PE=",

22

所以cosNPEO=—=—，

PE7

即侧面PBC与底面44c所成二面角的余弦值为叵.

7

【小问2详解】

略

【小问3详解】

设。到平面P8C的距离为/?,

因为%-F8C=—P-O,BC，即SNBC'h=S△o、B