浙江杭州市2025-2026学年高一年级下册期末教学质量检测数学试题（含解析）

2025学年第二学期杭州市高一年级教学质量检测

数学试题卷

考生须知:

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，请核对考生条码信息，确认无误后，将条码贴在答题卡上的“条码粘贴处”，并将

自己的学校、姓名、试场号、座位号填写在答题卡相应的位置上.

3.回答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净

后，再选涂其他答案标号,回答非选择题时，用黑色水笔将答案写在答题卡相应的答题区内,答

案写在试题卷上一律无效.

4.考试结束，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.三知i为虚数单位，若z=4+2i,则目=()

A.76B.2AAC.275D.2y/6

【答案】C

【解析】

【详解】z=4+2i,所以忖="2+2?=2亚.

2.已知tana=2,则()

11

A.-B.-

54

【答案】D

【解析】

【分析】使用齐次式化简原式并代入tana=2即可求解.

1sin2a+cos2a

sin2a

22

分子分母同时除以cos2a得、cos2a,tana_2_4_4

2-2-

sinacosatana+l24-l-4+751

---^―+--j-

cos-acosa

/、card(AcB)/、

3.在机器学习中，常用1(45)=嬴//J方来衡量两个集合4,4之间的相似度，其中ca2(4)表

示集合4的元素的个数.已知〃={1,2,3,4},7V={2,4,6},则J（",N）=（）

2331

A.-B.-C.-D.—

5543

【答案】A

【解析】

【分析】由条件求McN和MuN,再结合定义求结论.

【详解】因为M={1,2,3,4},N={2,4,6},

所以McN={2,4},MuN={l,2,3,4,6},

所以card（A/cN）=2,card（MDN）=5,

所以J”小喊第4

card1M2N）5

4.已知组数据的平均数和方差分别为20,26,若向该组数据中添加个数据20,记这组新数据的平均数

和方差分别为三，$2,则（）

A.三>20B.7<20C.?>26D.52<26

【答案】D

【解析】

【详解】设有〃个数据，则原数据总和为20〃，引入数据20后，新总和为20〃+20-20（〃+1）,

因此新平均数%=烟芋=20.

n+l

原样本方差为26,根据方差定义26二,火（七—20了,可得原数据的离均差平方和方（七-20>=26〃.

〃»=|/=1

添加数据2°后’新增偏差平方项（2。-2。六。，因此新方差八.（加-2。）2+。）二".

ST—<26,因此/=----<26.

〃+1n+1

5.设a,夕是两个不同的平面，加是一条直线，且〃zua,则“小〃尸”是“a〃4”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】由面面平行的判定定理与性质定理判断充分性和必要性即可.

【详解】先验证充分性：当〃?ua且加//£时，若a与夕相交，则得到机与两平面交线平行，

故a//p不一定成立，即充分性不成立；

再验证必要性：当加ua且a//6时，，〃///?,必要性成立.

综上，在给定条件下，“〃"/夕”是“alip”的必要不充分条件.

6.已知函数/（x）=F+奴+6,且/（一1）>/（2）,则（）

A.M+41cb-2|B.pz+4|<|a-2|C.|64-4|>|/）-2|D.|a+4|>|6/-2|

【答案】B

【解析】

【详解】/（-1）=1-〃+4/（2）=4+2〃+力，

又因为/（-1）>/（2）,所以l-a+b>4+2a+J,

所以。<一1,所以A、C无法判断，

对于B、D,（4+4）2—（a—2『=12。+12<0,

所以（々+4）2<（〃一2）2,即卜+4|<,-2|.

7.若单位向量万，万，*满足M+E+缶=。，则向量后一5与分一己夹角的正弦值为（）

34

A&B&CD

2255

【答案】A

【解析】

【分析】由关系5+囚=一岳两边平方可得雇坂=0,再结合数量积性质求伍-—外，|。一同,

h-c\,根据向量的夹角公式求垢论.

【详解】同=B=同=1,

由+=可得2+5=-上3,两边取平方，同2+B?+2万Z=2同2

所以1+1+2小B=2,解得限B=O,即万_LB，

又由日十分+\Fic-6»可得1=一&g,

P+

卜争][T\八

设问量3—己与另一己的夹角为0,。€[0,可，

（a-cY（b-c\及+1_及+1

则CQS0=-----------------

\a-c[b-c2+V2~V2（V2+1）-2

所以sin。=71-cos20-.

2

8.已知。〉1,点4,8和C分别在函数y=/,y能和y=的图象上,8。平行于％轴,

4B=BC=2,且乐.万心=(),则点4的横坐标约为()

（参考数据：lg2。0.3010,lg3=0.4771）

A.8.8B.7.8C.6.8D.5.8

【答案】C

【解析】

【分析】设出点力坐标，根据题意得到伉。的坐标根据题意列出方程求出x即可.

已知8c7/x轴，ABBC=O^故力即力4J.x轴.

设点力的横坐标为八，则”（x,/）,8卜3〃'）

由.43=2得炉一大。'=2,化简得〃x=4,两边取常用对数，戈lg。=21g2①.

2

（1、

x+2

又BC=2,C与8纵坐标相同，故。的横坐标为工+2,即Cx+29-a.

k3）

由以=凡得?。"2=,优，所以/二之，两边取常用对数整理得，&J3—怆2②

3222

皿-«-/7\I-4lg3-lg2o.41g24x0.30101204zo

联"①与②，k=21g2nx="0协-。3。］。=丽”6.8・

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.三知函数/（X）二.+1（〃£R）为奇函数,则（）

A.a=OB.小”2

C./"）的图象关于原点对称D./（x）在区间（0,1）上单调递减

【答案】ACD

【解析】

【详解】对于A,函数/（x）=『2+1（。eR）的定义域为*|X工。｝,

x-a

因为函数/（切=土竺里.cR）为奇函数，所以定义域关于原点对称,

x-a

所以。=0,此时/（工）==土/㈠）二（7J1=-之：1二_/卜）,是奇函数，A正魂;

“\x+11

对于B,/W-=x+7当x>0时，/'（x）N2

因为函数/（X）为奇函数,所以当XV。时,/（x）<-2,

所以/。）22或/（x）W—2,B错误；

对于C,奇函数图像关于原点对称，故C正确；

对于D,任取0<玉<x2<1，则王一工2<0，

所以/（3）-/伍）"+'7「'=<*72）（中2-1）>0,

X]x2x]x2

所以/'（x）在区间（0』）上单调递减，故D正确.

10.函数/（不）=然吊（5+夕）（4>0,。>0,0<囤<5的部分图象如图所示，则（）

Iz/

A.(o=2

B./(8)=0

C.VXGR,/(X)=/~~X

I1，z

D.函数y=/（x）—1在区间0,—上有3个零点

【答案】ABD

【解析】

271

【分析】对于A,结合正弦函数图象特征确定周期r,再用公式⑷:一求解公；对于B选项，将已知点代

T

入函数表达式，结合0<|同<5的条件求解>,得至U/5）的解析式，然后代入求俏.；对于C选项，先求/（八）

的对称轴方程，再判断X二-■^是否为对称轴；对于D选项，令〃X）=1,求解X在区间0,”上的解

14J

的个数.

【详解】由图象可知，函数最大值为1,且%>0,故4=1,

最高点(一警小到上升零点C的距离为y3T兀/_7兀、3兀

,所以6——12,=T=R,

44

2K.

由。=—得。=2,A正确:

T

7兀17C_.._571__

将①二2,最高点坐标代入./(x)=sin(2x+(p)：2.——+S=—+2A兀,keZ=>(p=—+2kit,

12j23

结合0＜网＜§,得夕二一三，因此函数为/(x)=sin2x—g

兀

/(夕)=/:43J=sin(-7i)=0,B正确;

(5n\x+|---x

fM=f~—~x说明函数对称轴为(12)5兀,

I12Jx=——--------=----

224

/(x)的对称轴满足2]=]=]+内1：=丫=得+年，显然一号不是对称轴，c错误:

N=/(%)-1的零点即/(x)=l，解得：2x--=—+2ICK=＞x=—+ht,^eZ,

31

要求0,2,即042+EW胆，得％=0,1,2,共3个零点，D正确.

3123

11.在三棱锥尸一/AC中，尸/_!.平面/8C,平面0J_平面尸8C,PA=2,则(•)

A.直线尸8与4C所成角的最大值为90。

B.若NPC4=30。，/PBA=45。,则NPCB=45。

C.若NPd=30。，ZPCB=45°,则二面角力一PC-3的正切值为正

D.若△力8c的面积为4,则直线PC与平面N8C所成角的正切值的最大值为；

【答案】BCD

【解析】

【分析】若PBLAC,结合已证的BC_LPB,则PBL平面ABC,与P4J.平面ABC矛盾.，可判

断A；由已知分别求出PC和P5,在Rt&PBC中求ZPCB可判断B；过力作力b_L尸。和NG_L4C,

证明乙4FG为二面角的平面角，在直角三角形中计算正切值可判断C；直线PC与平面力8c所成角

为/PCA,其正切为二一,由面积条件结合均值不等式求AC的最小值，可得正切最大值即可判断D.

AC

(详解】如图，作力E尸4,因为平面PAB±平面P8C,平面力3n平面PBC=PB,4Eu平面P4B,

所以/EJ.平面P8C，因为8Cu平面尸8C,所以ZEJ.8C,

因为•平面48。，8Cu平面48C,所以尸4_L4C,

因为=4P44Eu平面平面产力3,所以8cl,平面尸48,

又因P8u平面尸48,所以8C_LP3,

对于A,假若直线尸8与ZC所成角的最大值为90。，即存在ZC_LP5,因/Cc8C=G,4C,8Cu平

面ABC,

则P81平面4?。，这与题设P4JL平面44c矛盾，故A错误；

对于B,因为P4J_平面力8C,易得P4上4C,PA上AB,若/尸。=30。，PA=2,则P。=4,

因为NPa1=45。，所以AB=2.PB=2g,又因BC_L平面45,可得8CJ.P8,

所以sinNPC8=£"=Y2,所以NPC8=45。，故B正确；

PC2

对于C,因为NPC4=30。，所以尸C=4,4C=2百，

NPCB=45。,BCLPB,所以=3。=4cos45。=2及，所以AB=7AC?-BC?=2,

作。于b，作4G_L4C,交C8延长线于点G,连接G/,

因为41.平面4?C,NGu平面45C,所以力G_L尸/,

又因4c/C=4尸4%Cu平面尸/C,所以ZGJ_平面/MC,

因为PCu平面尸4C,所以力G_LPC,

因为NblPC,GALPC.4Fc4G=44£4Gu平面G/尸，则PC_L平面GZ/，

又因Gbu平面G/b,所以PCJ_Gb,N/PG是二面角力-PC-8的平面角，

因为NPO=30。，力。=2百，所以//ML/CMG，易得tanN4C8=W^=任，即斗=绊，

2BCAC2\J22\3

解得AG=>/6,

J1、

在•△ZGb中，lanZJFG=----=J5,所以C正确；

AF

DA2

对于D,因尸/_!.平面力8C,则直线PC与平面48。所成角为/尸。1,tanZPCJ=——=——，

ACAC

又因三角形力3C面积为4,即1/18-BC=4,故45・BC=8,

2

21

因,4。2=力炉+8。222/8・8C=16，故4CN4,所以正切最大值二二二，故D正确.

42

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量值二(8跖sinx),坂=(3,4),则相6的最大值为.

【答案】5

【解析】

【分析】由向量数量积的坐标表示，和辅助角公式化简计算即口:求解.

..(34、3

【详解】由题意可得展b=3cosi+4sinK=5-cosx+—siar=5sin(x+cr),tanor=—,

155J4

当工+a=2E+工,A£Z,3cosx+4sinx取最大值5,

2

所以万•5的最大值为5.

13.设随机事件用，N相互独立，且尸(〃)=0.5,P(N)=0.4,贝ij尸(M+N)=

7

【答案】0.7##—

10

【解析】

【分析】由独立事件的乘法公式结合随机事件的加法公式即可求解.

【详解】由题意得P(MN)=P(M)P(N)=0.5x0.4=0.2,

则P1M+N)=P(M)+P(N)_P(MN)=0.5+0.4-0.2=0.7,

14.用max"表示数集M中最大的数.若x=l是函数N=or2+bx+c的零点，且〃bc=16,则

max{a,ZAC}的最小值为.

【答案】4

【解析】

【分析】因为X=1是函数零点，所以代入二次函数表达式得到。、氏C的第一个关系式，结合已知的

abc=16,将三个变量转化为两个变量的关系，设max{a/,c}=〃，将问题转化为求A7的最小值，根据

变量间的关系建立关于〃的不等式，利用均值不等式求解.

【详解】因为x=l是函数卜=〃/+笈+C的零点，代入得：a+b+c=O,

又abc=16>0,三个数和为0、乘积为正，说明三个数必为一正两负，

因此最大数就是唯一的正数，设〃=max{〃/4},则例>0,另外两个数均为负数.

设两个负数为一巷一)'(x,y>0),则由〃+%+c=0得：M=x+y,

代人欣=16得:M-(-x)(-j)=Mry=16,

4+疔M216=火”号泻

由基本不等式=—,代入得:

4

整理得历3264,即A/24,当工二歹=2时，等号成立,

此时三个数为4,-2,-2,满足。+力+。=(),。加,=4x(-2)x(—2)=16,符合条件.

因此max{〃此,c}的最小值为4.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.某校全体学生参加体能测试，现用简单随机抽样的方法从中抽取1()0人的测试分数作为样本，将样本数

据分为5组：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并绘制出频率分布直方图，如图所示.

(1)估计该校学生的体能测试分数的第25百分位数(精确到。【)；

(2)采用比例分配的分层随机抽样方法，在分数段为[50,60)和[80,90)的学生中抽取5人，再从这5人

中随机抽取2人进行访谈，求这2人分数均小于60的概率.

【答案】(1)62.9

(2)—

10

【解析】

【分析】(1)根据频率分布直方图的性质求出。，结合百分位数的定义求解即可.

(2)根据分层随机抽样方法及古典概型的概率计算公式求解即可.

【小问1详解】

由题意得：10X(0.005+0.010+Q+0.035+0.035)=1,解得。=0.015,

设第25百分位数为％,则10x0.015+(x—60)x0.035=0.25,解得x、62.9,

用样本估计总体，所以估计总体的第25百分位数为62.9.

【小问2详解】

按照分层随机抽样，分数位于［50,60)内有3人，记为工，z,

分数位于［80,90)内有2人,记为加，〃，

则样本空间Q={(x,y),(x,(乂〃)(乂〃〃),(〃［,〃)},共10个样本点,

记两人分数均小于60为事件/,则4={(1,»),(x,z),(y,z)},有3个样本点，

所以尸(/)4.

a—cci—b

16.在。中，角4,B,C所对的边分别为。，b,C.已知-------；—=——.

sL+sin8sinC

(1)求A；

(2)设6=3,=且8。为48。的平分线，求BD.

【答案】(1)B=-

3

(2)BD=2

【解析】

【分析】(1)由条件化角为边可得/+C2-/=QC，再由余弦定理求结论；

(2)由条件结合角平分线性质可得〃=2c,再结合余弦定理求。，。，

方法一：根据关系S/8c+54切结合三角形面积公式求结论.

方法二：证明△3/C为直角三角形，解△84。可得结论.

【小问1详解】

,ci—cu—b.a—cct—b-,>

-------=和f正弦定T理IT1得----=-，即a+rtc-b~=ac，

siM+sinBsinCa+bc

22>21

由余弦定理，可得cosB=1+♦一"二"二’.

2ac2ac2

又Bw(Oi),所以8=g.

【小问2详解】

、，---------“-4D1

因为2/1。=。。，所以定=彳，

cAH1

由角平分线性质得一二==不，所以Q=2C,

aDC2

由余弦定理得9=b2=(2c)2+c2-2.2Lccosg=3c2,解得C=G，0=2百，

方法一：由'ABC=SAABD+SACBI)可得，

—xV3x2Gxsin60°=—xVJxBDxsin30°+—xBDx2由xsin30°，

222

解得BD=2.

方法二：因为a=2力=3,c=",

所以/=/十/,故△Me为直角三角形，

所以△氏为直角三角形，由2万二丈可得/。=;4。=1，

所以BD=dAB?+AD2=2•

(1)设。=2,

(i)求/(1)的值；

(ii)解不等式/(%+1)>/(奴)；

(2)若玉旌仁,”)，/(x+l)=/")+/(1),求a的取值范围.

【答案】(1)(i)0；(ii)人<一,或x>l；

3

⑵[3-石,2)

【解析】

【分析】(1)(i)由解析式即可求解，(ii)结合对数函数单调性即可求解;

4x0+2

(2)由对数的运算性质，结合分离参数法得到。=2,再令4/+2=/>2,结合基本不等

x(；+2x()+2

式求得范围即可求解.

【小问1详解】

当。=2时，

9

(i)/(x)=log2-——7»所以/⑴=log21=0；

22

⑴由题知噫声沙>噫而斤

22

由对数函数)，=log,x的单调性可得：T.—7>7TT2一：

(1+x)+1(2x)+1

化简得：3——2x-1>0，解得xv或1>1；

【小问2详解】

由f(x+l)=/(x)+/(l),

Q.a.a

设%＞。，使得1。当

(1+%)+1AQI1N

aa

即(1+/『+广2(片+1厂

所以a=2(1+%):2、十2=2(1+2>+2)-4/-2=?_4%+2

(1+x0)"+1片+2/+2xl+2x0+2XQ4-2x0+2

设4x°+2=f>2,所以x°=T，

1⑹-2-

所以一产+4/+20一/+型+4，

因为£+子+422/小—+4=40+4

当且仅当/=2石时等号成立,

3->/5<2-2()<2

I+一+4

故〃的取值范围是［3-石,2).

18.如图，在正三棱台44。-44G中，AB=4,44=44=2.

（1）求证：AA]±BC；

（2）求棱台-44G的体积；

（3）若棱台4BC-481G内有一个正方体，且此正方体在该棱台内能任意转动，求此正方体棱长的取值

范围.

【答案】（1）延长BB「eq交于点P,

因为/8=4,=44=2,所以尸4=2

所以三棱锥P-43。是边长为4的三棱锥，

设下底面的中心分为〃，BC中且为D,连NO,PD,

△48C是正三角形，D为BC中效,故AD1.BC,

△P8C是正三角形，。为8。中点，故.PDA.BC,

又4DcPD=D，且4D,PDu平面P4D,根据线面垂直判定定理，得BC工平面P/D,

因为44[<=平面产力。，所以44_LBC.

⑵竽

272

⑶0,—

【解析】

【分析】（1）取“C中点，连接该点与力、与正二棱台上下底面中心连线，利用正二角形二线合一性质证

明BC垂直于包含AA｝的平面，根据线面垂直的性质即可证明线线垂直；

（2）先计算正三楼台上下底面的面积，结合已知侧棱长求出台沐的高，再代入棱台体积公式计算体积：

（3）正方体能任意转动等价于正方体的外接球完全在棱台内部，先求棱台的内切球半径，再杈据正方体外

接球直径与棱长的关系，即可得到正方体棱长的取值范围.

【小问1详解】

略.

【小问2详解】

由（1）知尸〃=述，所以棱台的高力=也，

33

所以正三棱台的体积为

【小问3详解】

正方体在棱台内能任意转动，问题等价于正方体的外接球能放置在棱台内.

由于正三棱锥P—48C的表面积s=16，体积忆=电2.

3

所以三棱锥夕一力3。的内切球。半径氏=叱=