一元二次方程根与系数的关系

第3讲：一元二次方程根与系数的关系

【考点梳理】

＞考点一：一元二次方程的根的判断式

＞考点二：判断式求参数问题

＞考点三：一元二次方程的根与系数的关系

＞考点四：由跟的分布求参数问题

＞考点五：根和系数与判别式的综合应用

【知识梳理】

知识点一、一元二次方程的根的判断式

一元二次方程a?+〃x+c=om工0)，用配方法将其变形为：5+2)2=邑孚

2a4a~

(1)当。2-44＞0时，方程有两个不相等的实数根：,

2a

(2)当"一4次：=0时，方程有两个相等的实数根：和二-2；

,2a

(3)当从-4ac＜0时，方程没有实数根.

由于可以用户-4〃c的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此，把从一4〃c叫做一元二

次方程or?+〃x+c=0(。/0)的根的判别式：\=b~-4ac.

知识点二、一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程以？+/次+。=()(4工0)的两个根为：

-b+\!b2-4ac-b-\Jb2-4ac

=~，x，="

2a~2a

m-b+\lb2-4ac-b-yJb2-4acb

所以:内+x2=-------------+-------------=一一

2a2a

-b+\lb2-4ac-b-yjb2-4ac(-b)2-(\lb2-4ac)24acc

定理：如果一元二次方程ad+/zr+c=0(aw0)的两个根为用,心,那么：

说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为

韦达定理.上述定理成立的前提是八20.

【题型归纳】

题型一：一元二次方程的根的判断式

1.(25-26高一上•全国)已知为，吃是关于土的方程Y-〃次-3=0的两个根，下面结论一定正确的是(

A.芭+工2>°B.KhW

C.冬工2>°D..<i<0,.v2<0

【答案】B

【分析】利用一元二次方程根的判别式以及韦达定理计算，逐项判断即可.

［详解］,.,A=(-/n)2-4x1x(-3)=m2+12>0,

・•.方程f一心_3=0有两个不相等的实数根，即x尸修，故B正确；

根据韦达定理，演+七=机，5•勺=-3<。，故C、D错误，A不一定正确.

故选：B.

2.(25-26高一上•四川宜宾•开学考试)关于x的一元二次方程W+依—2=()的根的情况是()

A,有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

【答案】A

【分析】根据判别式的符号可得正确的选项.

【详解】△=/+8>o,故方程—+履_2=0有两个不等的实数根，

故选：A.

3.（25-26高一上•湖南邵阳•开学考试）一元二次方程/一61+10=（）的根的情况是（）

A,有两个相等的实数根B.没有实数根

C.有两个不相等的实数根D.只有一个实数根

【答案】B

【分析】根据判别式即可判断.

【详解】•.•A=（-6）2-4xlxl0=36-40=-4<0,

此方程无实数根，

故选：B.

题型二：判断式求参数问题

4.（25-26高一上•全国•课前预习）关于x的方程（m-2八2一行布x+；=0有实数根，则用的取值范

围是（）

A."14?且〃7H2B.〃[>:

22

C.,n-2D./“W3且/〃金2

【答案】C

【分析】分类讨论〃?-2=0和机-2=0两种情况，利用根的判别式解决一元二次方程根的问题.

【详解】当加一2=0,即〃2=2时，关于x的方程（〃2-2）/一月而工+；=（）可化为一+：=（）,有一个

实数根，满足题意；

当机-200时，••・关于工的方程（小一2）/—+；=0有实数根，

.•.△=3—，〃一4（〃？一2>；20,解得,故机且加工2.

综上，的取值范围是加工|.

故选：C.

5.（2025高一•全国・专题练习）如果关于x的方程〃后一2（〃?+2）x+，〃+5=O没有实数根，那么，关于％的

方程（〃-5*一2（〃7+2）x+〃?=O的实数根的个数为（）

A.2B.1C.0D.1或2

【答案】D

【分析】由方程以2-2（〃7+2卜+m+5=。没有实数根，得到〃>4,然后分类讨论结合判别式分析方程

（加-5*-2（/〃+2）1+〃2=0的实数根的个数即可.

【详解】关于x的方程皿2-2（6+2卜+〃?+5=0没有实数根，

当机=0时，方程为~4x+5=0有解，不符合题意，

W工0

所以11/0\2.,"，整理得T"?+16v0，解得〃“4，

IA=4（ZM+2）-4w（/«+5）<0

贝lj方程（〃z—5）W-2（〃z+2）x+m=0,

当〃?=5时，-14x+5=0,此时方程有一个实数根；

当〃?工5且/〃>4时，△=4（〃2+2）~—4（川一5）〃?=36/〃+16>0

故此时方程有两个不相等的实数根，

综上：方程（〃-5卜2-2（6+2）»切=。的实数根的个数为1或2.

故选：D

6.（25-26高一上•湖南怀化•开学考试）已知关于x的一元二次方程f+（2m-1）62〃1=0中，〃?为实

数，则该方程解的情况是（）

A,有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.不能确定

【答案】B

【分析】判断△的符号，进而判断根的个数.

【详解】因为△=（2〃?一1）2一4（一2〃[-1）=4>+4/〃+5=4+4>0,

所以关于X的一元二次方程有两个不相等的实数根.

故选：B

题型三：一元二次方程的根与系数的关系

7.（25-26高一下•辽宁•开学考试）若关于x的一元二次方程3/_64-5=0的两个实数根分别为d和£,

则;+；的值是（）

人］42

A-R--C2D--

A-5B-56U-6

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用韦达定理列式计算得解.

【详解】依题意，X,+^=2,X,X2=-|,所以:+?二三”=一号.

J人I人2人I人2，

故选：R

8.（25-26高一上•山东潍坊•阶段练习）已知a，尸是方程f+2x-5=0的两根，求优+必+2a的值（）

A.MB.«C.0D.P

【答案】C

【分析】根据给定条件，结合韦达定理计算得解.

【详解】由原〃是方程/+21-5=0的两根，得夕=-2,

所以4+a/7+2a=a（a+6）+2a=0.

故选：C

9.（2025高一•全国・专题练习）已知方程2/7一4=0的两根为小七，则;+；=（）

人］人2

A.—2B.1C.1D.］

【答案】D

【分析】由韦达定理得出根与系数关系，化简即可求解.

【详解】由21一一x—4=0得％+%=5,用为二一2,

1

则_L+_L=.-2=2」.

X]x2x}x2-24

故选：D

题型四：由跟的分布求参数问题

10.（25-26高一上・安徽亳州•阶段练习）已知关于x的方程f+W+1）X+〃L1=O有两个负根，则实数相

的取值范围是（）

A.m>\B.in>\C.m<\D.mW1

【答案】B

A=（/H+1）2-4（/??-l）>0

【分析】由题意可得L（阳+1）<。，求解即可.

/??-1>0

【详解】因为关于x的方程丁+（m+1卜+帆-1=0有两个负根，

A=(W+1)2-4(W-1)>0A=nr-4m+5>0

所以一(m+1)<。,即

wz-1>0m>1

解得"Al,所以实数机的取值范围是（1,+。）.

故选：B.

11.（25-26高一上•福建•开学考试）已知两个不等实数，〃满足3〃“〃?-2=0,3〃2rL2=0,则'

的值为（）

A13nC113n13

A.—B.2C.2或—D.—

o6b

【答案】A

【分析】根据题意得“、〃为方程#7-2=0的两个根，得至+〃,^=-|,将生转化为

33nm

（〃7+〃）2-2加〃,然后代入计算即可.

nm

【详解】•••两个不等实数〃？，〃满足3m2一小_2=0,3/一〃—2=0,

12

•••加、”为方程3/_x-2=0的两个根，:.m^n=-,nm=--,

JD

nmmnmn_26

~3

tnn13

•,•一+—的值为一3.

nin6

故选：A.

12.（23-24高一上•浙江宁波•开学考试）关于x的方程V+x+2a=0有两个根，其中一个大于1,另一

个小于1时，贝卜的取值范围为（）

A.a<-\B.

o

5"-1或。<：D.4/<-l

88

【答案】A

【分析】根据方程根的个数以及根的分布情况解不等式即可求得结果.

【详解】根据方程/+x+2.=0有两个根，其中一个大于1,另一个小于1,

可知一9[A+=1l+-82t”/>0。，解…得

故选：A

题型五：根和系数与判别式的综合应用

13.（25-26高一上•全国•课前预习）关于x的方程/-（2&-1）工+公-2n3=0有两个不相等的实数根.

⑴求实数攵的取值范围；

⑵设方程的两个实数根分别为补马，存不存在这样的实数上,使得冈-冈=行？若存在，求出这样的

々值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）Q?

⑵2=4

【分析】（1）利用判别式大于0求解即得.

（2）利用根与系数的关系，结合根的符号及已知等式求解即得.

【详解】（1）由方程f一（2攵_1八+产_2八3=0有两个不相等的实数根，

得AW—Q攵-1）］2一4（公一2左一3）=4左一11>0,所以&>?.

4

（2）存在，

由（］）知，攵>,,耳+/=24-1>0,王工2二女二一2攵+3=（攵-1）2+2>0，贝I］芯>0,与>（）,

由㈤-闾=石,得%-芍=石,两边平方得X；-2X|X2+A=5,即（％+X2）2-4中2=5,

因止匕（247）2-4（/-2々+3）=5,即软—11=5,

所以女=4.

14.（2025高一上•河北保定・专题练习）已知关于x的一元二次方程x2-（〃?+2）X+〃LI=0.

⑴求证：无论〃，取何值，方程都有两个不相等的实数根；

（2）如果方程的两个实数根为工1,工2,且x；+石-%占=9,求，〃的值.

【答案】（I）证明见解析

（2）-2或1

【分析】（1）根据△来判断一元二次方程的根的个数；

（2）利用韦达定理解决问题.

【详解】（1）・;a=l力=-（/n+2）,c="Ll,

△=〃？—4ac=［—（^+2）］~-4XIX（7H_1）=+4/n4-4-4m+4=nr+8.

・.・MNO,

/.A>0,

「•无论〃?取何值，方程都有两个不相等的实数根；

（2）v方程丁一（,〃十2）八十,〃-1-。的两个实数根为斗”2,

xi+x2=m+2,A,X2=1.

•.•x；+考一%々=9,即（司+42丫-3平2=9,

.•.（“2+2）2—3（6-1）=9.

整理,得"F+/77-2=O.

解得/马二-2,色=1.

•.•川的值为-2或1.

15.（25-26高一上•上海松江・期末）已知关于x的一元二次方程2丁+4g-3=0的两个根为不占，其中

W>0,且|内_入21=^^.

（1）求实数机的值；

⑵求片*2+天玉和大+巧的值.

【答案】（1）1；

(2)3,-17.

【分析】（1）利用韦达定理及给定条件，建立方程求出味

（2）由（I）求出现+与小士，再借助因式分解计算即得.

玉+X2=-2〃？

【详解】（1）依题意，[3,由,得（百+%）2-4中2=10,

X\X2=--

则4"+6=10,而4>0,所以〃2=1.

X+x>=—2

（2）由（1）知，3

1«=-2

所以工汰+月引=不工2（芯+工2）=3；

3

+x?

X：2=(内+々)(4；一西9+£)=(芭+x2)-3内占(％+&)=(-2)'-3x(-^)x(-2)=-17.

【专题突破】

一、单选题

1.（2025高一逢国专题练习）若关于工的方程f+（2m+l）x+>=0有两个不相等的实数根，则实数加

的取值范围是（）

A1CI

Ani<—B>n>—

4,4

C."7V,且加工0D.in>--且,

44

【答案】B

【分析】由判别式大于。求解即可.

【详解】由题意可得：A=(2"?+lj=46+1>0,

解得心-；，

故选：B

2.(2025高一•全国・专题练习)已知关于x的一元二次方程心-2x7=0有两个不相等的实数根，则实

数A的取值范围为()

A.k>-]Q,k^()B.k>-\

C.k>-1且女工()D.k>-\

【答案】C

【分析】由判别式大于。即可求解.

【详解】由题意可得：]k4+0+4心。，

解得：k>-1且女工。,

故选：C

3.(2025高一上•河北保定・专题练习)若关于文的一元二次方程/+加+c=o的两个实数根分别为

^=-2^=4,则抛物线丁=./+法+。的对称轴为直线()

A.x=\B.x=-l

C.x=2D.x=-2

【答案】A

【分析】根据根与系数的关系求参数，再得出对称轴即可.

【详解】•・・•？+法+c=0的两个实数根分别为芭=-2丙=4,

••・抛物线广f+灰+。与.1轴的两个交点坐标为(-2,0),(4,0),.•.抛物线的对称轴为直线>年=1.

故选：A.

4(2025高一上•河北保定・专题练习历程/-(〃?+6)1+/=0有两个相等的实数根，且满足西+々=中2,

则m的值是()

A,-2或3B.3C.-2D.-3或2

【答案】C

【分析】根据根与系数的关系及判别式计算求解.

【详解】方程f-(〃?+6)x+>=o有两个相等的实数根，

则△=(m+6)"-4/n2=-3m1+12m+36=-3(m-6)(/n+2)=0,

解得〃i=6或〃?=-2①，

2

由韦达定理,%+&=〃?+6,xtx2=m,

又因为+当=不与，贝IJ得62—〃?一6=0,

解得〃1=3或〃?=-2②,

综合①②，可得机的值为-2.

故选：C.

5.(2025高一上•河北保定专题练习)已知〃。0,关于x的一元二次方程(x+l)(x-2)r〃=O的解为

X，W(X<9),则下列结论正确的是()

A.X)<-1<2<x2B.-1<X)<2<x2

C,-1<X)<x2<2DeA)<-1<x2<2

【答案】A

【分析】求出方程的根，再利用不等式的性质比较大小.

2

【详解】方程(x+l)0—2)—〃?=0化为：x-x-2-m=O,A=1+4(2+"?)=9+4〃〉9,

mil]-J9+4〃?I+>J9+4m

贝以"---------<-Ux2=--------->2,

所以玉<T<2<W.

故选：A

6(25-26高一上・贵州遵义•阶段练习潜占，士是一元二次方程依+〃=0的两个实数根且大；+*=3,

则a的值为()

A.-1B.3C.—1或3D.1或-3

【答案】A

【分析】利用根与系数关系来求得正确答案.

【详解】依题意，为，三是一元二次方程f-奴+〃=。的两个实数根，

所以A二c『-4〃>0.a<0或〃>4,

xy+x2=a,xtx2=a,

所以同+x;=(x1+x2)~-2耳/=/-2a=3,

解得a=3(舍去)或a=-l.

故选：A

7.(25-26高一上•广东湛江•阶段练习)一元二次方程-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的

取值范围()

A.k>0B,k<2,且攵工1

C.k<2D.Z>2且Zwl

【答案】B

【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根可得判别式大于0和二次项系数不等于0,求解即得

结果.

【详解】...4=1-2,b=-2,c=-l,一元二次方程有两个不相等的实数根，

.•.A=Z>2-4«C=(-2)2-4-(I-Z:)(-1)>0,解得k<2.

・••(1-攵)是二次项系数，不能为0,

:.k^]S.k<2.

故选：B.

8.(25-26高一上•广西钦州•开学考试)若实数力。，且〃，人是方程——8x+5=0的两个根，则代数式

的值为()

a~\<7-1'，

A.-20B.2C.2或-20D.2或20

【答案】A

b—1〃一1

【分析】利用韦达定理可得。+〃=8，刈=5，代入变形后的V+F3,即可求值.

a-\b-\

【详解】因为。，〃是方程f—8x+5=O的两个根，

故a+Z?=8,=5,

则+"1_(6-1)2+(4-]y_(a+〃)2-2(a+b)-2a〃+2

a-\b-1ab-(a+b)+\ab-(a+b)+\

64-16-10+2”

=-----------------=­zu.

5-8+1

故选：A.

9.(25-26高一上•湖北黄石•开学考试)若关于x的一元二次方程3/6x4■。的两个实数根为天和々，

则卜;的值是()

人]42

3322

A.-B.—C.-D.—

2233

【答案】B

【分析】本题由根与系数的关系，求出两根之和、两根之积，然后对所求式子因式分解，整体代换即

可得出结果.

【详解】•••一元二次方程“_6x-4=()的两个实数根为王和々，

••・由根与系数的关系可得%+占=-9=2,不•毛=-：，

JJ

11X)+x2_2_3

Xx2x(x2_42.

~3

故选：B.

10.(25-26高一上•浙江•开学考试)已知关于x的方程〃「-(〃?+2)工+2=()有两个不相等的正整数根，

则m的值为()

A.2B.1C.当^D.2或1

【答案】B

【分析】根据题意因式分解解方程可得％=1或”工，结合万程有两个不相等的正整数根列式求解即

m

可.

【详解】因为方程，--(，〃+2)x+2=0是一元二次方程，

、z2

贝1」机¥。,,gL(/rtr-2)(x-l)=0,解得x=1或x=,

又因为方程后-(〃任2)]+2=0有两个不相等的正整数根，

2一2

则上是正整数，且1,所以〃!二L

mm

故选：B.

11(25-26高一上•浙江•开学考试)已知a]是方程f—7x+8=0的两根，且尸，则?+的值为()

A.-(403-85V17)B.，403-85烟

C.95D.717

【答案】A

22

【分析】设〃=£+3〃应=豆+3片，利用韦达定理计算〃+夕，〃一夕计算即可.

22

【详解】解：设。='+3凭q=7+3〃,

.••〃+4=2(&；£)+3(口+1)2—64,q=2(夕&)+3(/7_a)()+a),

apap

•••a,4是方程f—7x+8=()的两根,ct>ft,

+p=l,aft=^>,a-p=yj(a+=A/T7,

2x7403

代入后得p+q=-^-+3x49-6x8=丁，

o4

p_//x（y）+3x（.布卜7二-竽,

.../?=1（403-85x/17）.

故选：A.

二、多选题

12.（25・26高一上•云南保山•阶段练习）已知一元二次方程/+法+°=0,下列说法正确的有（）

A.

B.若x=l是方程的根，则a+6+c=。

C.若从＞4戊，则方程有两个不等的实数根

D.若方程有两个不等的实数根分别为国,占，则有％+&=?,3=]

【答案】ABC

【分析】此题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的情况与判别式的关系，韦达定理.

【详解】选项A:根据一元二次方程的定义得。工0,A正确；

选项B：根据一元二次方程的根的定义得a+"c=0,B正确；

选项C:根据一元二次方程根的情况与判别式的关系得△=/一4叱＞0,一元二次方程有两个不等的实

数根。正确；

bc

选项D：根据韦达定理得%+占=--，%巧=一，D错误.

aa

故选：ABC.

13.（25-26高一上•四川内江•开学考试）己知“eR,关于“的方程-2or-3=0有两个不相等的正实

数根彳/,则片+芯可取的值为（）

A.2B.1C.gD.4

【答案】BC

【分析】分情况讨论当4=0,。/o时，结合韦达定理与判别式可得。＜-3,再根据韦达定理求解即可.

【详解】当。=0时，显然不合题意；

当。工0时，关于x的方程2aL3=0有两个不等的正实根X,-G,

A>04/+12。>0

则<%+々>0,即2>0，解得。〈―3,

XR>0

-->0

a

所以4+4=（再+工2『一2中2=4+£

•・•〃<—3,2,0）,

贝=4+^G（2,4）.

故选：BC.

14.（23-24高一上.安徽安庆・开学考试）关于I的方程ad—/”—2c=0有两个不相等的正实数根.则（

A.ab>0B.bc>0C.b1+Sac>0D.cic>0

【答案】AC

【分析】根据一元二次方程的根的情况列不等式，由此确定正确答案.

【详解】由于关于x的方程or?一反一2c=0有两个不相等的正实数根，

”0

△=从+8心0

〜h〜/+8a、>0

所以苒+%2，>。，所以八n，则正・<0,

-2c„ac<0

而超=---->0

-a

所以AC选项正确，BD选项错误.

故选：AC

15.（23-24高一上•辽宁沈阳阶段练习）已知，不修是关于工的一元二次方程寸-2米-2公=0（攵>0）的

两根，则下列说法正确的是（）

=-2

A.%+占=-2々B.x（x2=-2k-C.|西一七|=2&&D,­

【答案】BC

【分析】根据给定条件，利用韦达定理判断AB;借助韦达定理计算判断CD即可.

【详解】由小七是关于x的一元二次方程2k2=0仅>0）的两根，得玉+当=2太中2=-23,A错

误，B正确；

2

归-司=yj（x]+x2）-4xix2=」4k}+8〃=2限,C正确；

±十±==/二止_2=_4即有（为2+4.%+]=（）

2xx

x2X）x）x2xyx2-2k'22

解得:=-2-6或+=-2+6,D错误.

故选：BC

16.（23-24高一上•广东佛山・开学考试）抛物线），=以2+法+外。/4是常数，°<。）经过（L1）,（九0）,

（以。）三点，且〃23,下面正确的结论有（）

A.b<0;

B.4ac—b2<4a；

c.当〃=3时，若点（2,f）在该抛物线上，则/>1;

D.若关于X的一元二次方程以2+bx+c=x有两个相等的实数根，M0</n<l.

【答案】BCD

【分析】根据抛物线经过的点的坐标以及，后3可判断抛物线开口向下，代入点（LD可得〃>（）,即可知

A错误；依题意可知抛物线对称轴在直线x=1.5的右侧，利用顶点坐标可得4〃c-，即B正确；

根据抛物线性质可知（2#距离对称轴比点（11）较近，所以可得/>1,即C正确；根据判别式以及

a+/?+c=l可知〃=c,再由〃之3即可解得0</〃《g,可知D正确.

【详解】对于A,图象经过（1/）：c<0,即抛物线与丁轴的负半轴有交点，

如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的两个交点都在（1，。）的左侧；

又因为交点5，。）且〃之3,所以抛物线与x轴的一个交点一定在（3,0）或（3,0）的右侧，

所以抛物线的开口一定向下，即。<。；

把（11）代入y+hx+c可得a+/?+c=l,b=\-a-c;

又因为。＜0,c＜0,所以可得匕〉0,即A错误；

对于B,由。＜。,/?＞0,cvO,所以：＞。,即方程加^Z^+cuO的两根的积大于零，即"机＞0；

即可得〃?＞（）,所以竺皆＞1.5,即抛物线的对称轴在直线x=L5的右侧，

即抛物线的顶点在（1』）的右侧，所以士?乙＞1,由4a＜0可得4所-〃＜4。，即B正确；

4a

对于C,由m＞0,当〃=3时，等＞1.5,所以抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，

所以点（1』）到对称轴的距离大于（2J）到对称轴的距离，

又。＜0,抛物线的开口向下，所以距离抛物线对称轴越近的函数值越大，

所以"1,即C正确；

对于D,将方程〃，+/"+「=丫变形成加+（〃-l）x+c=O,

由方程有两个相等的实数根，可得他-l『-4ac=0,

又（1』）在抛物线y=6+c上,可得a+〃+c=l,SPb-\=-a-c;

所以（a+c•『一4＜心=0,即（a-c）2=o,可得°=c；

又因为（〃?,0）,（〃，0）在抛物线上，即”?为方程ad+/a+c=0的两个根,

所以的=£=1,即〃」,

am

又因为〃之3,即,23,所以可得0＜〃区），即D正确.

in3

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于熟练掌握二次函数图象和性质，根据已知条件判断得出抛

物线开口方向向下即。＜0,再对其他选项进行判断.

17.（23-24高一上•山东济南•开学考试）抛物线y-皿2十法十c（“0）的部分图象如图所示，与），轴交于

（O，T）,对称轴为x=l,则（）

A.abc>0

B.若(-2,凹)弓,乃)，(3,为)都在该抛物线上，则)—i

C.对于任意的实数〃z,都有利(皿+。)”+〃

D.方程辰2+〃x+d=k(心0,々为常数)所有根的和为4

【答案】AC

【分析】根据函数图象可得〃的符号及。，再根据对称轴可求出〃，即可判断A;根据二次函数的性

质即可判断B;将〃用。表示，作差化简即可判断C;方程向+6+4=&的解是函数2加+法+］与

直线产人的交点的横坐标，结合函数丁=辰2+次+d的图象即可判断D.

【详解】因为二次函数的部分图象与)，轴交于点(0,7)，对称轴为x=l,开口向上，

所以a>o,c=_l,_我=1,所以Z?=Q<0,

所以abc=2cr>0,故A正确；

当工<1时，)'随I.的增大而减小，

因为二次函数的图象关于x=l对称，

所以工=3时与x=-l时所对应的函数值相等，

又因-2v-lvg,所以力>为>)'2,故B错误；

因为人=—la,a>0,

所以m(am+b)-(a+b)=m(am-2a)-(a-2a)=a-2m+l)=a(/H-l)'>0,

Pfi^m(am+b)>a+b,故C正确；

方程时+bx+c|=k的解是函数)，=|加+/?x+c|与直线y=A的交点的横坐标，

作出函数)，=际+反+d的图象，如图所示：

由图可知，两函数交点的个数可能为2个或3个或4个,

因为抛物线)，=/+瓜+°(〃/0)的图象关于4］对称，

当交点为2个时，方程所有根之和为2,

当交点为3个时，方程所有根之和为3,

当交点为4个时，方程所有根之和为4,故D错误.

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：熟练的掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键.

三、填空题

18.(25-26高一上•四川白贡开学考试)已知一元二次方程/3xi1■。的两根为为上，贝1卜：-5%-2%的

值为.

【答案】-7

【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出片-3内=-1,内+占=3,再整体代入到

4-5再-2々中,即可求解.

【详解】：一元二次方程f-3x+l=0的两根为即七，

xf-3x1=-1,司+/=3,

.,.X：-5x,-2X2-3x,-2x)-2A2=K：-3玉一2($+x,)=-i-2x3=-7.

故答案为：—7.

19.（25-26高一上•全国•课前预习）若|〃-1|+&/^4=0,且一元二次方程k2+or+〃=0有实数根，则攵

的取值范围是.

【答案】人4且女工0

【分析】由题设易得/，=1，。=4，进而结合一元二次方程根的判别式求解即可.

【详解】由M—i|+Q=o,

贝-1|=0,Ja_4=0,即5=1,”=4,

即一元二次方程小+4x+l=0有实数根，

所以[；二；6-40，解得I且"

故答案为：人4且女工0.

20.（25-26高一上•江西・开学考试）若一元二次方程、2一2..1=。的两根分别为，则

26-4菁+（王+1）（工2+1）=.

【答案】4

【分析】利用韦达定理可得结果.

【详解】由一元二次方程-2x1=。的两根分别为3j,可得片-2玉-1-。，

由韦达定理知:x}+x2=2,x）x2=-1,

2工：一4*+（X]+1）（/+1）=2（工；_2*）+%玉+斗+x2+1=2+2-1+1=4.

故答案为：4.

21.（25-26高一上•河南郑州.阶段练习）已知一元二次方程/-5工-2=0的两个实数根为。，尸，则

crp^-ap1-.

【答案】-10

【分析】利用韦达定理列式计算即得.

【详解】依题意，。+6=5、邓=-2,所以+=羽（。+£）=-10.

故答案为：-10

22.（25-26高一上•河南南阳・期末）已知方程V—3工+1=（）的两根为彳占，则-++=______

X2X\

【答案】7

【分析】利用韦达定理求解即可.

【详解】方程V-3x+l=0的两根为。，为，

由韦达定理得再+工2=3,%工2=1,

_（玉+玉）2—2%毛_9-2

所以冷=7.

斗丫2I

故答案为：7.

23.（25-26高一下•上海•期中）已知关于r的方程/+g+4=0的两个根分别是。、P，若■一夕|=4,

则实数用的值为.

【答案】±4也或0

【分析】根据韦达定理即可得到方程，解出即可.

【详解】由题意得，的=4,

当△=/16之0时，“、尸均为实数，贝1]•一£|=4,即4M=4,

即J（T〃）2-4X4=4,解得m=±4”，符合题意；

当八=病-16<0时，。、/均为虚数，则性-刈=4,即,4加一（a+夕）2=4,

即而1^=4,解得"7=0,符合题意；

则实数加的值为±4及或0.

故答案为：±4&或0.

24.（25-26高一上•广东深圳•开学考试）已知实数也x满足：（，叼-2）（/%-2）=4.

①若=%=9,则与=；

②若阳、L、Z为正整数，则符合条件的有序实数对（不切有个・

【答案】187

【分析】把加=：,X=9代入求值即可；再由题意知：（，叫-2）,（，叱-2）均为整数，叫21,〃%之1,

/叫-22-1,心2-2N-1,贝Ij4=lx4=2x2=4xl,再分三种情况讨论即可.

【详解】①当,〃=：,为=9时，-x9-2x5占一2J=4,解得：占=18；

3)

②当〃：，为，工为正整数时，

(〃码一2),(〃%—2)均为整数，〃a121,/町21,"g一22一1,用七一22-1,(754=1x4=2x2=4x1,

，町-2=1啊-2=2，叫-2=4

0V彳qy

“x,-2=4"机x,-2=2"rnxy-2=1

，叼二3，叼=4f机再=6

=64或彳n\Xy=4或iWLT,=3'

*>4

"%=3'」

当、4时，相=1时,X,=3x,=6;m=3时，用=1x,=2

tnx..=6

故（菁㈤为（3,6）,（1,2）,共2个；

当）时，"?=1时，百=4,々=4；加=2时，x,=2,x,=2，机=4时，玉=1,%=1,

故&㈤为(4,4),(2,2),(1,1),共3个;

tnx.=6,,,-.

当,妹=3时，〃E时，Q6,%=3；吁3时，x=2,"】，

故(X，5)为(6,3),(2,1),共2个;

综上所述：共有2+3+2=7个.

故答案为：18；7.

四、解答题

25.（25-26高一上•全国•课前预习）已知关于上的一元二次方程f+（为+3八+>=0有两根々，夕

（1）求m的取值范围；

⑵若。+4+3=0.求机的值.

3

【答案】⑴吟-：

（2）3.

【分析】（1）利用根的判别式求解即可；

（2）根据根与系数的关系及题设求解即可.

3

【详解】（1）由题意知，A=（2/«4-3）2-4xlx//r>0,解得：m>~-,

3

即〃2的取值范围为，〃

4

（2）由根与系数的关系得：a+4=—（2〃?+3）,邓=府、

•.•。+6+羽=0（2///+3）+/H2=0,

3

解得：叫=T，叫=3,由（1）知〃此一7,

所以肛=-1应舍去，则加的值为3.

2

26.（25-26高一上•上海浦东新•期末）已知k是常数，设a、B是二次方程x-2k.x^k+20=0的两

个实根.

⑴求a+fl-2afl的值；

⑵当〃+夕取到最小值时，求k的值.

【答案】（l）T0

⑵T

【分析】（1）因为方程有两个实根，所以△对,求出k的取值范围，再根据韦达定理，得出两个之和和

两根之积，代入即可求值.

⑵利用韦达定理，把优+加表示成关于火的二次函数，即求出二次函数取最小值时攵的值.

【详解】（1）因为工2_2"+%+20=0有两个根，

所以A=（-2*4（k+20）20,

k2-k-20^0,

即（"5）（&+4）N0，解得kN5或^<-4,

由韦达定理，得。+A=2Z,切=2+20,

。+尸一23=2左一2(左+20)=-40

(2)1+夕2=(々+夕7-？。夕=(2攵丫-2(攵+20)=4/-2Z-40

设抛物线方程)，=4r-2%-40，定义域为{用425或k<-4},

开口向上，抛物线的对称轴仁：，

当kJ时，函数严格减函数，即在卜？，碍上是严格减函数,

k,时，函数为严格增函数，即在［5,+8)上是严格增函数，

当A=Y时，y取最小值32即a^p~取最小值.

27.(25-26高一上・广东广州•阶段练习)材料1:法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与

订正》中提出一元二次方程尔+瓜+C=omw()®-4«NO)的两根儿,以有如下的关系(韦达定理)：

bc

芯+毛=__aa,中工2=一；

材料2：如果实数血〃满足〉-〃1=0,n2-n-\=0,且〃件〃，则可利用根的定理构造一元二次方程

x2-x-l=0,然后将〃5看作是此方程的两个不相等实数根.

请根据上述材料解决下面问题：

(1)①已知一元二次方程2/-34-5=0的两根分别为%勺，则芮+七=,%,工2=，

②已知实数〃,力满足：a2+4«-3=0,b-+4b-3=0(a^b),贝+3=

(2)已知实数，几〃"满足：m2-4m=ll+/,n2-4n=11+r,且0<〃z<〃，求。〃+D(〃+D的取值范围；

⑶设实数出〃分别满足3/+侬+12=0,1m+19〃+3=0,且油工1,求"”一：。+3的值.

h

【答案】⑴①L5,-2.5;②g

⑵5V(〃?+1)(〃+1)<9；

(3)1

【分析】(1)结合韦达定理可直接填空.

(2)先根据一元二次方程有两个不等实根，可求/的取值范围，再结合韦达定理，可求(〃?+1)(〃+1)的

取值范围.

(3)先把。，[转化成方程3F+0r+I2=。的两解，再结合韦达定理可求值.

【详解】(1)①，.•一元二次方程—3x-5=0的两根分别为对士，

:.x]+x2=\.5,xix2=-2.5；

2

②•.•实数满足：a+4a-3=0，〃+4力一3=0(。。力)，

.•・4〃是方程x2+4x-3=0的解，

.\a+b=-4,ab=-3,

11a+b4

—F-=------=—.

abah3

(2)...实数满足：m2-4m=\l+t,n2-4n=\l+t,

•••〃?，〃是