第13章 三角形（单元自测卷）-人教版八年级数学上册（解析版）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1.（25-26七年级下•广东深圳•期中）以卜几组长度（单位：米）的绳索首尾顺次相接能围成三角形场地的

是（）

A.5,7,2B.5,9,3C.5,7,3D.4,5,10

【答案】C

【分析】只需验证两条较短边的和大于最长边即可，满足条件即可围成，不满足则不能围成.

【洋解】解：选项A中，较短边为2,5,最长边为7,2+5=7,不满足两边之和大于第三边，故不能围成

三角形；

选项B中，较短边为3,5,最长边为9,3+5=8<9,不满足两边之和大于第三边，故不能围成三角形；

选项C中，较短边为3,5,最长边为7,34-5=8>7,满足三角形三边关系，故能围成三角形；

选项D中，较短边为4,5,最长边为10,4+5=9<10,不满足两边之和大于第三边，故不能围成三角形.

2.（25-26七年级下•吉林长春•期中）如图，ADA.BC,BE上AC,CFLAB,CGLCB,垂足分别为点

D、E、F、C,中BC边上的高是（）

A.CFB.BEC.CGD.AD

【答案】D

【详解】解：△48C中8C边上的高是40.

3.（25-26七年级下•辽宁沈阳•期中）如图，AD为△ABC的中线，BE为△48。的中线.若△ABC的面积为

30,则△8DE的面积是（）

A

A.15B.10C.7.5D.5

【答案】C

【分析】利用二角形中线的性质：二角形的中线将二角形分成面积相等的两部分，先由初是8c的中线

求出△/IBD的面积，再由BE是△ABD的中线求出△BCE的面积.

【详解】解：•.乂。为△48C的中线，S^ABC=30,

：*S“BD=5s8c=Ex30=15,

•••BE为△480的中线，

dBDE—^S^ABD=gX15=7.5.

4.（25-26七年级下•北京•期中）如图，直线a||b,CD上AB于点D,若41=130。,则乙2等于（）

A.70°B.60°C.50°D.40°

【答案】D

【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补，得出的度数,再根据三角形的内角和为180度，即可解

答.

【详解】解：•.•直线allb,41=130。，

:2CBD=180°-zl=50°,

-CD1AB,

：ZBDC=90°,

Q=1800-ACBD-/LCDB=180°-50°-90°=40°.

5.下列图形丕县有稳定性的是（）

【答案】A

【分析】三角形具有稳定性，其他多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改

变.

【详解】解：根据三角形的稳定性可得B、C、D都具有稳定性，不具有稳定性的是A选项.

6.（25-26八年级下•广东深圳•期中）如图,三角形纸片A8C中,乙4=65。，Z-B=75°,将“沿DE对折,

使点C落在△48。外的点处，若41=30。，则42的度数为（）

C.125°D.130°

【答案】B

【分析】根据三角形内角和定理求出NC，根据折叠的性质求出N。'，根据三角形的外角的性质计算，得到答

案.

【详解】解:如图:

ZC=180°-65°-75°=40°,

由折叠的性质可知，乙。'=△。=40。,

Z3=zl+LC=70°,

Z2=43=110°.

7.（25-26七年级下•福建宁德・期中）如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）

上，黑棋力，B,C围成△ABC,白棋。，E,F,G在△4BC中，则正好与△48C的重心位置重合的白棋

是（）

B

A.DB.EC.FD.G

【答案】D

【分析】确定三边中线的交点即可得出答案.

【详解】解：由图可知△4BC边4C、8c边上的中线交于点G,

即正好与△A8C的重心位置重合的白棋是G.

8.如图，在△4BC中，Z/1=60*,zC=40°,是的高线，BE是△48C的角平分线，则NOBE的

度数是（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

【答案】A

【分析】先根据三角形内角和定理求出乙力BC的度数，再利用角平分线的定义求出乙/WE的度数，接着根据

高线的定义和直角三角形两锐角万余求出的度数，最后通过乙D8E=计算出上DBE的度

数，从而确定正确选项.

【详解】解：vz/l=60o,Zf=40°,

LABC=180°-Z/4-zC=180°-60°-40°=80°.

是△力BC的角平分线，

LABE=^ABC=1x80°=40°.

•••B0是△ABC的高线,

BD1AC,即NBZX4=90。.

v在Rt△48。中，

LABD=90。一乙4=90°-60°=30°.

:.2DBE=乙ABE—乙ABD=40。-30。=10°.

9.（25-26七年级下•山西吕梁・期中）如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内,

入的光线DE和反射光线CD分别位于法线。尸的两侧，入射角/血尸等于反射角〃W,DFLOA.若

乙DEB=乙EDF=60°,则44。8的度数为（）

【答案】A

【分析】根据题意，结合垂线定义求出相关角度，再由三角形外角性质，数形结合即可求出N4OB的度数.

【详解】解：•••入射角NEDF等于反射角乙。。心

:.Z.CDF=乙EDF=60°

・-•DF±OA,

Z.ODE=90。一乙EDF=30°,

LDEB=60°,且它是△。£。的一个外角，

:.LAOB=乙DEB—乙ODE=60°—30°=30°.

10.（25-26七年级下•辽宁丹东•期中）如图，已知EFIIGH,A、。为G”上的两点，A/、B为EF上的两点,

延长力M至点C,4B平分，D4C,点N在射线DB上，且8N平分/FBC,若NACB=110。.则下列结论：①

Z.MAB=/.BAD,（2）Z-ABM=乙BAM：③乙NBC=乙BDH；④若NCBM=a,则484。=55°-1a；⑤

zDB4=55。其中，正确的有（）个

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】由48平分N04C,得到=平行线的性质得到乙18M=484。，进而得到

乙力BM=484M,BN平分乙FBC,结合平行线的性质，得到乙NBC=MDH,三角形内角和求出乙CMB,平

行线的性质，得到乙£4。的度数，角平分线求出乙&4。的度数，设乙CBM=a,根据角的和差关系求出

乙DBA=55°.

【洋解】解：以8平分NDAC,

=^LBADX故①正确；

•••EFIIGH,

•••NA8M=乙BAD,

；ZABM=/.BAM；故②正确；

vEF||GH,

；/NBF-乙BDH,

•••BN平乙尸8C,

心BC=乙NBF,

二乙NBC=CBDH；故③正确；

"ACB=110°,“BM=a,

."MB=180—110°—a=70。-a,

vFF||GH,

.-./.CAD=(CMB=70°-a,

•••4B平分4。4C,

"BAD=^CAD=35°-1a；故④错误；

设“BM=a,则:乙CBN=乙FBN=1(180°-zCBM)=90。一)，

由④可知：^BAD=^CAD=35°-1a,

二.乙4BM=/.BAD=35°—

••/.ABC=a+35°—za=35°4-\a,

"ABN=35°+)+90°-1a=125°,

••.△DBA=180。一乙48N=55°：故⑤正确.

综上，正确的有①②③⑤，共4个.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11.如图，在△48。中，41=86。，△48C的两条内角平分线5E、CD交于点、P,则MPC的度数为

【分析】根据角平分线的定义，三角形内角和定理即可求解

【详解】•••BE、CO平分2ABe/AC8/4=86。

11

•••Z-PBC=q乙ABC,乙PCB=-Z/1CF

:.Z-PBC+Z.PCB

1

=-{Z.ABC+Z.ACB）

乙

1

=7（180。--）

1

=-x（180°-86°）

=47°

Z-BPC=180。一（NPBC+乙PCB）

=180°-47°

=133°

故答案为：133

【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练以上知识是解题的关键.

12.（25-26七年级下•陕西渭南•期中）如图所示，4D是△4BC的中线，力8=8卅C=6,△4CD的周长为

24,则△ABD的周长为.

【答案】26

【分析】先计算+C。的长度，由中线的定义得CD=8。，进而即可求解.

【详解】解：•••△4C0的周长为24,

•**AC+AD+CD=24,

•・•AD+CD=24-AC=24-6=18,

V4。是△NBC的中线，

CD=BD,

•••AD+BD=AD+CD=18,

•••AD+BD+AB=184-8=26.

即A/BD的周长为26.

13.（25-26八年级上•湖南邵阳•期末）若三角形的三边分别是3,4,无，且x是整数，则满足条件的三角形

有个.

【答案】5

【分析】本题主要考查了三角形三边关系的运用，熟练运用三角形三边关系确定第三边的取值范用，是做

题的关键.根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，列出不等式求解工的取值范闱，再取整数

值即可.

【洋解】解：由三角形三边关系，得：

3+4>%,即不<7；

3+%>4,即1；

4+x>3,即％>-1（恒成立），

所以》的取值范围为1<%<7,

由于X是整数，因此文可取2,3,4,5,6,共5个值，

即满足条件的三角形有5个.

故答案为：5.

14.（25-26七年级下•黑龙江哈尔滨•期中）如图，我校建筑多为东西方向“坐北朝南〃，初中部A和初中食堂

B在一条直线上，幼儿园C与小学部。在一条直线上，高中部E在初中食堂的南偏东，Z.ABE=110°,

乙CDE=140°,则NE为°.

AB

CD

E

【答案】30

【分析】延长CO交8E于点凡由题意可知/BIICF,根据两直线平行，同位角相等，可知

乙ABE=乙CFE=110°,根据三角形外角的性质即可求出ZE的度数.

【详解】解：如下图所示，延长CO交8E于点尸，

由题意可知/48IIC凡

•••LABE=Z-CFE,

­••LABE=110°,

/.LABE=Z-CFE=110°,

vLCDE=140。且乙。0£是△DEF的夕卜角，

ALCDE=Z.DFE+

11O°+ZF=140°,

乙E-30°.

15.（25-26九年级下•山东荷泽•期中）如图，将△4BC绕点力逆时针旋转一定角度得到△4DE,使点B的对

应点。落在8C上，OE与4。交于点工若立/55。,44cB=35。，则NE/C的度数为.

【分析】根据旋转的性质可得48=AD,AADE=乙ABC,乙DAE=^BAC,利用三角形内角和定理求出乙B4C

的度数，再根据等腰三角形的性质求出NBA。的度数，进而求出“女的度数，最后在尸中利用三角形

内角和定理求出乙八/。的度数，根据对顶角相等即可求解.

【详解】解：由旋转的性质可得，AB=AD,/.ADE=/.ABC=55°,Z-DAE=Z.BAC

在△48cLlJ,乙BAC=180°-^ABC-^ACB=180°-55°-35°=90°

•••^DAE=90°

•.•点。落在BC上，AB=AD

Z-ADB=Z-ABC=55°

在△48。中，乙BAD=1SO°-^ABC-Z.ADB=180°-55°-55°=70°

•••Z.DAC=^BAC-^BAD=90°-70°=20°

在△ADF^P,Z-AFD=180°-^DAC-^ADE=180°-20°-55°=105°

・・•/EFC与乙AFD是对顶角

“EFC=LAFD=105°

16.如图，在△48。中，41=a,41BC的平分线与乙1CD的平分线交于点人得乙力道。的平分线与4人

CD的平分线交于点4,得〃2,…二4"的平分线与“5。。的平分线交于点4,得46,则乙4=.

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，以及角平分线找到规律：后一个角是前

一个角的一半，然后表示11"。即可.

【详解】解；平分NABC,4C平分乙4CD,

:.乙A]BC=^Z.ABC,Z-A^CD=\z-ACD,

•••由三角形外角的性质可得44+/ABC=Z.ACD,4Al+乙AiBC=Z-A^D,

••.4彳1=Zu41co—ZJ418c=^Z.ACD—^Z.ABC==7,

22

以此类推乙的==(l)乙4=(1)a=m，

乙&=、&=G)乙A=G)«=

故答案为：^6-

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角

平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后•个角是前•个角的•半是解题的关键.

三、解答题（本大题共9小题，满分72分）

17.（6分）（25-26七年级下•吉林长春•期中）如图，在△4BC中，乙ACB＞乙B,4。平分匕B4C,P为线段

上的任意一点，七，15〃交直线8（；于点£

（1）若=40°,Z.ACB=80°,求乙E的度数;

（2）求证：Z.E=

【答案】（1）20。

（2）见解析

【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟知三角形内角和定

理和三角形外角的性质是解题的关键.

（1）根据三角形的内角和定理可求出4的度数，由角平分线的定义可得NBA。的度数，然后根据三角形

外角的性质可求出乙40c的度数，最后根据垂线的定义和三角形内角和定理可得答案；

（2）根据角平分线的定义可得乙B/W=巳847,然后根据三角形外角的性质和内角和定理可证乙1DC

=90。+-在4C8,最后根据垂线的定义和三角形内角和定理可证明结论.

【详解】⑴解:"=40。,LACB=80°,

•zBAC=180fB-zACB=60°,

•••4D平分N8AC,

.-./.BAD=^BAC=30°,

.•.Z.4DC=乙B+乙BAD=70°,

,•PE1AD,

9PE=90°,

心=180。一乙AOC-zZ)PE=20c：

(2)证明：以。平分NB4C,

•-Z.BAD=^Z.BAC,

•zBAC=180。一48-乙4。8,

“ADC=+乙BAD

1

=LB+-LBAC

乙

1

=zB+-(180。一匕

乙

=乙8+90°-1z^-1z/lCF,

,.PE1AD,

:.乙DPE=90°

；=180°-£DPE-£.ADC

(11

=180°-90°-(90°+-LB--

乙乙

11

=180°-90°-90°-5^+-LACB

乙乙

=gCB").

18.(6分)(25-26八年级上•重庆江津•期末)如图，4D是△4BC的中线，48>4C,DE.DF^^^ACD

的高与角平分线.

⑴若△A8D与△4CD的周长差为2,AB=7,求AC的长；

⑵若乙4c8=62°,Z.DAC=40°,求NED尸的发数.

【答案】⑴5

(2)11°

【分析】本题主要考查了三角形的中线，高线和角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知相关知识是解

题的关键.

(1)根据三角形的中线的定义可得BD=CD,再由三角形的周长公式推出力8-AC=2,据此可得答案；

(2)由三角形内角和定理求山乙1OC的度数，由高线和角平分线的定义求山乙。匕4,^ADF,再求出乙4DE的

度数即可得到答案.

【详解】（1）解：•••力。是△ABC的中线,

:.BD=CD,

•••△48。与△4CD的周长差为2,

(AB+80+DA)-(AC+CD+DA)=AB-AC=2,

-AB=7,

AC=5；

(2)解：=62。，ND/C=40°

LADC=1800-Z,DAC-Z-ACD=180°-40°-62°=78°,

•：DE、OF分别是△4?。的高与角平分线，

LDEA=90°,LADF=^ADC=1x78°=39°,

•••LADE=90。一4OAC=90°-40°=50°,

2EDF=^ADE-^ADF=50°-39°=11°.

19.(6分)(25-26八年级上•新疆吐鲁番・期中)如图，。是△力BC中AB边上一点,连接CD,且

⑴图中共有几个三角形，分别是哪些？

（2）CD是△48C的（填“高线”"中线"或"先平分线"）

（3）若4ICD=45。,48=35。，求NA的度数.

【答案】Q）图中共有3个三角形，分别是A/IC。，AABC,4BCD

（2）角平分线

（3）55°

【分析】（1）根据三角形的定义解答即可；

（2）根据角平分线的定义即可求解；

（3）由人1。。=45。可得/478=90。，再根据三角形内角和定理即可求解;

本题考查了三角形的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键.

【详解】（1）解：图中共有3个三角形，分别是△/1CD,△4BC,△BCO；

（2）解：-Z.ACD=\LACB,

••.CD是△ABC的角平分线，

故答案为：角平分线；

（3）解：•心8=45°,/-ACD=^ACB,

；ZACB=2Z.ACD=90°,

vz5=35°,

.'./.A=1800-Z.ACB-^B=180°-90°-35°=55°.

20.（8分）（24-25八年级上•贵州遵义•阶段检测）在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论.

如图，已知/A,乙B,乙。是的内角，求证：乙4++4C=180°.

小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法：

小颖作的辅助线如图①，过点C作。EII48；小星作的辅助线如图②，作4B的延长线力凡作BEIIAC；小红

作的辅助线如图③,作CGII4B；

请你认真阅读思考并完成如下问题：

⑴请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程.

（2）在图2中，求证：^CBF=Z/14-L.C.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明：

（1）利用平行线的性质即可证明；

（2）利用平行线的性质即可证明.

【详解】（1）解：选择小星的作图进行证明

•••BE||AC,

:.LA—乙EBF,乙C=Z.CBE,

•."ABC+乙CBE+乙EBF=180。，

:,乙A+LABC+ZC=180°：

选择小颖的作图进行证明：

-DE\\AB,

•••LA=Z.ACD.Z.B=乙BCE,

vLACB+乙BCE+Z.ACD=180°.

z/1+zF+Z-ACB=180°；

选择小红的作图进行证明：

•:CG||AB,

:.LA+LACG=180°,45=乙BCG,

乙4十乙ACB十乙BCG=180°,

+4ACB=180°：

（2）证明：vBEIIAC

•••Z/4=乙EBF,乙C=乙CBE,

LA+zC=Z.EBF+Z.CBE,

^LCBF=AA+ZC.

21.（8分）（25-26七年级下•吉林长春•期中）已知相交于点。，乙4=50。/0=40。.

⑴如图1,若施平分NA80交C。于点几CE平分乙AC。交AB于点G,求N8&C的度数；

(2)如图2,延长4c至点，，若直线8/平分乙48。交CD于点F,CM平分NOCH交直线8广于点M,求々BMC的度

数.

【答案】⑴45。

⑵45°

【分析】(1)根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得HkOBD=乙4CO+10。，由平分线的定义可得出

乙。"=5乙亿0+5。、乙。CG=/4C0,再结合三角形内角和定理即可得出乙BEC=40+5。，代入乙。度数

即可得出结论；

（2）由邻补角互补结合角平分线可得;1UDCM=90。-2力CD,根据三角形外角性质结合（1）中功所=3

44（；。+5。即可得出Z“汽：=4。+"乙4。）+5。，再根据三角形内角和定理即可得出NBMC=85。一/。，代

入/D度数即可得出结论.

【详解】（1）解：VZD+Z,OBD+ABOD=180°,Z-A+Z.ACO+Z-AOC=180°,Z-BOD=Z.4OC,

ZD+Z.OBD=Z.A+/.ACO,

•:乙A=50°,乙D=40°,

.•./。8。=/力。。+10。.

vBE平分乙ABD交CD于F,CE平分乙AC。交43于G,

:.乙DBF=^Z-OBD=^z.ACD+5°,乙OCG=^z.ACO.

vzD+乙DBF+乙BFD=180°=乙BEC+Z-OCG+乙CFE,乙BFD=4EFC,

•••ZD+|z/lCD4-5°=乙BEC4-\z-ACD,

ALBEC=ZD+5°=45°.

（2）解：'：AACD+^DCH=180°,CM平分NOCW交直线BF于M,

Z.DCM=^Z.DCH=1（18O0-ZZ1CD）=90。一144C〃，

•,"MFC=20+乙DBF=ZD+\LACD+5°,乙MFC+乙DCM+乙BMC=180°,

:.乙BMC=180。一4MFC—4。CM=180°-（zD4-|z/lCD+5°）-（90O-|ZT1CD）=85。一匕0=45°.

22.（9分）（25-26七年级下•广东湛江•期中）我们定义：

在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为"和谐三角形如：三个

内角分别为105。，60。，15。的三角形是“和谐三角形

M

.1

二

OJcBC

D

图1图2

【概念理解】

如图1,ZMON=60。，点4在边0M上，过点4作4B10M交ON于点B,以A为端点作射线4D,交线段OB于

点C(点C不与0,B重合)

(1)448。的度数为,AAOB(填“是"或"不是")"和谐三角形”；

(2)若41cB=84。，试说明：八力。。是"和谐三角形

【应用拓展】

(3)如图2,点2在△4BC的边上,连结DC,作乙4DC的平分线交AC于点E,在DC上取点凡使

乙EFC+4BCC=180。，乙DEF=LB.若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出的度数.

【答案】(1)30°,不是(2)见解析(3)4B=30。或者匕B=80°

【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质和判定，理解和谐三角形

的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键.

(1)根据481OM,得至汁乙。48=90°,求得448。=90°-4MON=30°,得至I」4048=3/48。，所以△AOB

不是“和谐三角形〃；

(2)因为4ACB是△力。。的一个外角，得到4ACB=40+N04C,求出乙O4C=24。，Z.ACO=96°,所以

LACO=440AC,所以得到△力0C是“和谐三角形”：

(3)由NEFC+4BDC=180°,乙/WC+乙BDC=180。，得到iEFC=4ADC,可以证明力DllEH得到

/.DEF=/-ADE,而tDEF=乙8,得至1吐8=zADE,由DEIIBC,得到根据△BCD是"和谐

三角形"，即可求解.

【详解】解：(1)-AB1.OM,

LOAB=90°,

LABO=90。一匕MON=30°,

•••Z.OAB=3/.ABO,

・••△AOB不是"和谐三角形”；

故答案为：30°＞不是；

(2)是△4。。的一个外角，

•••2.ACB=Z.0+乙OAC,

又40=60°,Z.ACB=84°

•••/OAC=24。，

/-ACO=180°-84°=96%

LACO=4Z.OAC,

△4。。是“和谐三角形”；

(3)-Z-EFC+Z-BDC=180°,LADC+/-BDC=180°,

LEFC=Z.ADC,

.'.AD||EF,

；•乙DEF—^.ADE,

而/DEF=乙B,

LB=乙ADE,

•••DEIIBC,

•••LCDE=乙BCD,

vDE平分乙4OC,

:.LADE=Z.CDE,

•••ZF=乙BCD,

v△BCD是“和谐三角形〃，

•••LBDC=448或者NB=4乙BDC

vZ-BDC+乙BCD+=180°

：.LB=30。或者NB=80°.

23.(9分)(25-26八年级上•山东日照・期末)在△4BC中，A8=AC,。为直线BC上任意一点，连接4D,

DELAB^^E,DFIAC^^F,BG工AC于点G.

⑴如图1,观察、测量、猜想、证明DE,DF,BG之间的数量关系，完善空格内容.

小明是这样证明的:•:S4ABC=+S^ACD.

^AC•BG=^AB-DE+.

-AB=AC,

⑵如图1,当点。为3c中点时，试判断8G与DE的数量关系.

⑶如图2,当点。在3C的延长线1•时，请猜想DF,3G之间的数量关系并证明.

【答案】(l)8G=0£+DF；S&ABD;^AC-DF；BG=DE+DF

(2)BG=2DE

(3)DE=BG+DF；证明见解析

【分析】(1)根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答；

(2)由点。为BC中点，得至后孙。!?=%5。凡结合AB=4C,推出0E=OF,然后结合BG=DE+DF

即可作答：

(3)同(1)的方法求解.

【详解】(1)解：BG=DE+DF；

证明：":S△ABC—S/SABD+SzMCD>

\AC-BG=\AB・DE+^AC-DF,

-AB=AC,

:.BG=DE+DF；

(2)解：•••点。为8c中点，

''^/sABD=^^,ACD

•••^AB•DE=^AC-DF,

-.-AB=AC,

:.DE=DF；

vBG=DE+DF,

:.BG=20E；

(3)解：DE=BG+DF,理由如下：

•:SAABD=^^ABC+^^ACD，

iii

•••2ABxDE=xBG十£4。xDF,

-AB=AC,

•'-DE=BG+DF.

24.(10分)(25-26八年级上•江西吉安•期末)【发现问题】

如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线48和CO经过凹透镜的折射后，折射

光线8E,。尸的反向延长线交于主光轴MN上一点P.

【提出问题】

小明提出：如图①匕BPO,乙/18P和"DP三个角之间存在着怎样的数量关系？

【分析问题】

已知平行，可以利用平行线的性质，把乙8P。分成两部分进行研究.

【解决问题】

⑴请你帮小明解决这个问题，并说明理由.

(2)如图②，求zP,Z.AMP,NCNP的数量关系，并说明理由.

⑶如图③，已知乙48c=25。,4c=60。,AEWCD,求N/L4E的度数.

【答案】(1)N8P0=N48P+4CDP,理由见解析

(2)LAMP=Z,P+Z.CNP,理由见解析

⑶145。

【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质，熟知平行线的性质与三角形外角的性质是解题的关

键.

(1)由平行线的性质推出Z8PN=Z.ABP,乙DPN=2CDP,得到/8PN+乙DPN=乙ABP+(CDP,即可解

决问题；

(2)由平行线的性质推出4MKP=4CNP,由三角形外角的性质即可得到2力MP=/P+乙CNP：

(3)延长E4交BC于点L,由平行线的性质推出乙力LC=乙。=60°,求出乙4LB=180。一乙4LC=120°,由三

角形外角的性质得到力E=+LAL8=145°.

【详解】(1)解：i8PD=〃BP+iCDP,理由如下：

"BIIMN||CD,

:/BPN=Z.ABP,乙DPN=4DP,

:/BPN+乙DPN=Z.ABP+乙CDP,

：.ABPD=Z.ABP+Z.CDP.

(2)解：Z.AMP=Z.P+Z.CNP,48.与NP相交于点K