高一升高二（数学）第四章 圆的方程（解析版）

第四章圆的方程

知识梳理

1、求圆的标准方程的方法

确定圆的标准方程就是设法确定圆心cm,6)及半径r,其求解的方法：一是待定系数法，建立关于明

bfr的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径.常用到中点坐标公

式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为

圆心”等.一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷.

2、待定系数法求圆的标准方程的一般步骤

|设义程|------卜殳所求圆的方程为。-方乂V力齐产|

列施组|------1由已知条件,建在关于。也/•的方画

解方程组|------1解方程组，求出。力」

|得力程|------1将”为rf弋入所设方程，得所求回的标准方程

3、判断点与圆的位置关系的方法

(1)魏定圆的方程：化为(丫一0户+6一》)2=户.

2

(2)将点的坐标代入代数式(工-Q)2+(y-力产，比较代数式的值与r的大小关系.

(3)下结论：若(》-。户+。一〃户=/，表示点在圆上；^-(x-a)2+(j-Z»)2>r2,表示点在圆外；若(»一。)2+。

一力产v/，表示点在圆内.

此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径，的大小关系来判断.当d>/•时，点在圆外；%d=，时，点在

圆上；当dvr时，点在圆内.

4、圆的一般方程辨析

判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一

般方程的特征时，再看它能否表示圆.此时有两种途径：一是看加十月2-4尸是否大于零；二是直接配方

变形，看方程等号右端是否为大于零的常数.

5、方程好+」2+。工+耳>，+产=0表示的图形

条件图形

D2+E2-4F<0不表示任何图形

D2+E2-4F=()表示一个点(4,-2)

(I)成\lD2+E2—4F

。2+秒-4尸>0表示以(2，2)为圆心，以"—f~T半径的圆

6、利用待定系数法求圆的方程的解题策略

(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，

再用待定系数法求出«,b,r.

(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D,E,

F.

7、求与圆有关的航迹问题的方程

⑴直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.

(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.

(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.

用代入法求轨迹方程的一般方法

后五」建立适当的坐标系，如果题目中巳经建好坐标系

塔生我们可以省略此步骤

设点卜|设曲线上任意一点用&。

,、|把点M的坐标看作已知点，寻找在已知方程的

药图形的相关点，并表示相关点，代人已知方程，

|列出方程/G,>)=0_________________________

［化简)T化方程/G，y)=o为最简形式

8、判断直线与圆位置关系的方法

⑴几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径/■的大小关系判断.

(2)区数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.

9、过圆上一点(xo,则)的圆的切线方程的求法

先求切点与圆心连线的斜率鼠再由垂直关系得切线的斜率为一£由点斜式可得切线方程.如果斜率为零

K,

或不存在，则由图形可直接得切线方程y=y。或x=xo.

10、过圆外一点(xo,则)的切线方程的求法

设切线方程为y-yn=k(x-xn)t由圆心到直线的距离等于半径定立方程，可求得k,也就得切线方程.当

用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x=x0,因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆

外一点的切线有两条.一般不用联立方程组的方法求解.

11、求切线长(最值)的两种方法

(1)(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；

(2)(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.

12、求弦长的两种方法

(1)由半径长八弦心距d、弦长/的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理［2+你2=/求解,，这是常用

解法.

(2)式立直线与圆的方程，消元得到关于x(或刃的一元二次方程，利用根与系数的关系得到

两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解.此解法很烦琐，一般不

用.

13、坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”

14、判断两圆的位置关系的两种方法

(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判研出两圆的位置关

系，这是在解析几何中主要使用的方法.

⑵代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系.

15、公共弦长的求法

(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.

⑵几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定

理求解.

注：求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程

考点一求圆的方程

1.(2022秋・广东江门•高二台山市第一中学校考期中)设42,T),94/)，则以线段48为直径的圆的方

程为()

A.(x-3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=2C.(x+3)2+y2=2D.(x+3)2+y2=8

【答案】B

［分析］由题知圆心为(3,0),半径为五,再求方程即可.

【详解】解：由题知线段AA中点为(3,0),|AB|="^=2夜、

所以，以线段为直径的圆的圆心为(3,0),半径为,其方程为(x-3)2+)/=2

故选：B

2.(2022秋・广东清远•高二校联考期中)圆心为(3,1)且和＞轴相切的圆的方程是()

A.(x-3)2+(y-l)2=9B.(x+3)2+(y+1)2=1

C.(x-2)2+(y-l)2=10D.(x-3)2+(y-l)2=3

【答案】A

［分析］根据已知条件可求出/*=3,即可得到圆的方程.

【详解】由已知可得，圆心(3,1)到)，轴的距离"=3,

因为，轴与圆相切，所以r=3.

所以，圆的方程为(x—3)2+(y—1)2=9.

故选：A.

3.(2022秋•新疆乌鲁木齐・高二乌市一中校考期中)若“08的三个顶点坐标分别为A(4,0),8((),-2),

0(0,0),则“03外接圆的圆心坐标为()

A.(2,-1)B.(-1,-2)C.(1,-2)D.(-2,1)

【答案】A

【分析】△AO8是直角三角形，故线段A8的中点即为外接圆的圆心，利用中点坐标公式求解.

【详解】由题得AAOB是直角三角形，且N4O3=90.

所以的外接圆的圆心就是线段AB的中点，

由中点坐标公式得1=山4+0=2,)，=0上-2二=一1.

22

故选：A

4.(2022秋•福建漳州•高二校联考期中)已知圆C的圆心在直线y=2.x•上，且过点A(2,5)和B(-2,l),则

圆C的标准方程为()

A.(x-l)2+(y-2)2=IOB.(x-l)2+(y-2)2=Vi0

C.(x-2)2+(.y-l)2=16D.(x-2)2+(y-l)2=4

【答案】A

【分析】利用待定系数法设圆。的方程为(1-。)2+()，-202=/，将点的坐标代入方程列出方程组，解出

即可得结果.

［详解］设圆C的圆心坐标为C(4,2a),半径为「，则圆C的方程为(x->)2+(y-24)2=，,

由点A(2,5)和点8(—2,1)在圆。上,

可得(2-a)2+(5-202=/①，(-2-02+(1-2"=户②,

由①©可得。=1,产=］0,

故国C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=10.

故选：A.

5.(2022秋・广东茂名•高二统考期中)与圆"+2丫+()，-6)2=1关于直线3x-4y+5=0对称的圆的方程是

)

A.(x+4)'+(>,+2)2=1B.(x-4)2+(y-2)2=l

C.(x-4)2+(y+2)2=lD.(A+4)2+(y-2)2=l

【答案】C

［分析】设圆心(-2,6)关于直线3x-4y+5=。对称的点的坐标为(〃?,〃)，利用垂直以及中点在对称轴上,

求得〃J〃的值，可得对称圆的方程.

【详解】解：设圆心(一2,6)关于直线3%-4)，+5=0对称的点的坐标为(〃?,〃)，

?7-63

------------=-1

利+24*/7fvtm=4,,..,\

所以，3(〃?—2)4(〃+6)I5_o'牛寸2、故对称圆的圆心为(4,—2)

22

,对称圆的半径和原来的圆一样，

故对称圆的方程为（x—41+（y+2）?=1;

故选：C.

6.（2022秋・天津•高二天津市宁河区芦台第一中学校联考期中•圆C的圆心在1轴的负半轴上，与丁轴相

交于点A（0,«）,且直线y=-x被圆c截得的弦长为4夜.则圆。的方程为（）

A.（x+2）2+y2=9B.（x+l）2+y2=10

C.(X+2)2+/=I0D.(X+1)2+>-2=9

【答案】C

［分析］根据圆心的位置，圆过的一点可设出圆的标准方程，然后根据垂径定理求弦长即可.

【详解】依题意，设圆的标准方称为：。­）2+/=/（"0）,由圆又经过一点4（0,卡），故产=々2+6,

，又直线丁二一工被回。截得的弦长为夜，则

设困心到直线丁=一X的距离为d,则1=五4

4及=24一八2/2+6—<,解得片=4,又火。，故。=-2,于是圆的方程为:

(X+2)24-/=1O.

故选：C

7.（2022秋•黑龙江哈尔滨•高二哈尔滨市第六中学校校考期中）平面直角坐标系中，A（O,I）,W）,2）,若

动点。在直线y=x上，圆M过A,B,C三点，则圆的半径最小值为（）

A.—B.渔C.yD.1

232

【答案】A

［分析］先判断出C点需在第一象限内.可设C（a,a）M>0.设圆心M（〃4），半径为八由忸"|二|因=「,

得到加J/—3a+2,利用基本不等式求出厂二也，圆M的面积最小.

2a2

【详解】为使圆M的面积尽可能小，则C点需在第一象限内.

可设C(a,a),a>0.

3

因为40,1）,8（0,2）,所以线段48的垂直平分线方程为y=1

所以圆心在直线y=5上.

设困心半径为r,则忸M|=|MC|=r,

所以产=（"1一4）2十^一"）=""+（2-'|,

所以2am=2a2-3。+2,

所以,n=24—3〃+2=〃+2口-2=0(当且仅当〃即〃=1时等号成立).

2aa2Na22a

所以(An=出+(2-{|4-

此时r=^-,

圆M的面积最小.

2

故选：A

考点二点和圆的位置关系

8.（2022秋・江苏盐城・高二江苏省响水中学校考期中）若点（〃,0）在圆V+y2=i的内部，则实数”的取值

范围是（）

A.（-U）B.（5）C.[0,1）D.（1,-KO）

【答案】A

[分析】利用点与圆的位置关系可得出关于实数。的不等式，解之即可.

【详解】由题意可得&2<1，解行

故选：A.

9.（2022秋・河南郑州•高二郑州市回民高级中学校考期中）若点P（-l,2）在圆。:/十y2一2%+”+&=0的

外部，则实数上的取值范围是（）

A.(-5,5)B.(—15,5)

C.(y,-15)u(5,+8)D.(-15,2)

【答案】B

［分析］由方程表示圆的条件以及点到圆心的距离大于半径求解即可

【详解】圆C：X2+),2一2x+4y+&=0,

则回。:(、一1『+()，+2『=5-2,圆心C(l,-2),半径依〈5),

•.,点P(—1,2)在圆C:x2+y2-2x+4y+k=0的夕卜部，

.\\PC\>r,即J(l+lf+(-2-2)2>后耳,解得A>_15,

综上所述，实数2的取值范围是(-15,5).

故选：B.

10.(2022秋•内蒙古包头•高二包头一中校考期中)直线"+与』与圆/+),2=1有公共点是点P.,〃)在该圆

外的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】结合直线与圆的位置关系、点与圆的位更关系、充分和必要条件的知识确定正确答案.

【详解】圆/+/=1的圆心为(0,0),半径为］,

当直线以+勿=1,⑪+力丁-1=()与圆d+y2=1有公共点时,

1

41,/+〃论］,所以尸在圆上或圆外,

4a2+h2

所以直线侬+幻=1与圆V+)『=1有公共点是点尸(。力)在该圆外的必要不充分条件.

故选：B

11.(2022秋.江苏苏州.高二统考期中)已知4(0.0),以2,0),。(2,-2),£)(”7,-1)四点共圆，则实数，〃的值

为()

A.&±1B.V2+1C.V2-1D.1±>/2

【答案】D

【分析】先由4注C三点求出圆的方程，再把0(〃?,-1)代入方程即可求解

［详解】设过四点的圆的方程为r+y2+Dx+Ey+F=0^D2+E2-4F>0),

将A（0,0）,8（2,0）,C（2,—2）代入可得:

F=0F=0

）4+2。+尸=0,解得。=_2,

4+4+2D-2E+尸=0E=2

所以圆的方程为/+,2一2%+2），=0,

2

将代入圆的方程得m-2〃?-1=0,

解得/〃=1?忘,

故选：D

12.（2022秋•江苏连云港•高二花末）设“，〃为实数，若直线…g与圆/+）,2=］相交，则点P（〃㈤与圆

的位置关系是（）

A.在圆上B.在圆外C.在圆内D,不能确定

【答案】B

【分析】根据直线与圆的位直关系，求得，力满足的关系式，结合点与圆位直关系的判断方法，判断即可.

1故点尸（〃/）在圆f+y2=i外

［详解］根据题意即/+b2>1

\Ja2+b2

故选：B.

13.（2022秋・福建三明•高二校联考期中）过点（1,2）总可以向圆V+y2_2履+2丁+/-24=0作两条切线,

则上的取值范围是（）

A.k<-3B.k>5

Ckv—3或Z>5D.女<-5或左>3

【答案】C

【分析】过圆外的点总可以作两条切线，代入点得F+22_2hl+2・2+公-24>0,求解即可.

［详解］过圆外的点总可以作两条切线，故12+22-2h1+2・2+/一24=公一24一15>0=>女>5或攵〈一3.

故选：C

14.（2022秋•四川遂宁•高二校考期中）已知函数〃x）=|lgX,若0<〃<力，且/（4）=/（〃），则坐标原点

O与圆（工一右）+（>+〃）=2的位置关系是（）

A.点O在圆内B.点O在圆上C.点O在圆外D.不能确定

【答案】C

【分析】画出分段函数），=旭乂的图象，求出，力关系，进而根据点与圆的位置关系定义，可存答案.

［详解］画出y=|lg.r|的图象如图：

\-0<a<b,且/（〃）=/（〃），

.,.|lga|=|lg瓦且0<a<l,b>l,

:.-}ga=\g.b,^lg«+lg/?=lg（«/?）=O,即"=1,则〃+力>2，^=2,（当且仅当a=〃时，取得等号，故

等号取不到），

圆（x-G）?+（y+4/=2,圆心坐标（右，一耳），半径为亚，

坐标原点0到圆心的距离d=J（G）2+（G）2=疝1>41,

故坐标原点。在圆（X—6）2+（、+通）2=2夕卜.

故选：C.

考点三直线和圆的位置关系

15.（2022秋・辽宁•高二校联考斑中）圆/+（），+1）2=］与直线x+2y+3=（）的位邃关系是（）

A.相交B.相切C.相离D.不能确定

【答案】A

［分析］运用几何法d与「的关系判断圆与直线位置关系即可.

【详解】圆］?+（y+l）2=l的圆心为（0,-1）,半径为1,

所以圆心到直线x+2），+3=0的距离4=华士斗=更<1,

VI+225

所以直线与圆的位置关系为相交.

故选:A.

16.（2022秋.新赧巴音郭楞.高二校考期中）已知圆C（x-l『+.y2=2与直线x+.v—a=0相切,则〃=

A.1-2夜B.-1

C.1-2夜或1+2及D.-1或3

【答案】D

［分析］圆与直线相切，则圆心到直线的距离等于半径

【详解】由已知得C（1,O）,一近,由与直线x+y-a-o相切容1L爸,解得a=1或3.

故选：D

17.（2022秋・广东广州•高二校考期末）关于x的方程"77="+4有唯一解，则实数k的取值范围是

（）

A.k<-2^k>2

B.心-2或k22或&=±百

C.k<-2或&>2或&=±6

D.k<一2或左>2

【答案】C

【分析】将问题转化为曲线）与y=匕+4有唯一交点，采用数形结合的方式可确定临界状态，结

合园的切线方程的求解方法可求得临界值，结合图形可得结果.

［详解］方程“7?=去+4有唯一解等价于曲线尸“^/与丁="+4有唯一交点,

由>，=序）■得：x2+y2=4（y>0）,则其图形为以（0,0）为圆心，2为半径的圆的上半部分;

），=履+4为恒过定点（0,4）的直线;

作出y=与），="+4图象如下图所示,

由图象可知：当左=勺或％=心或长＞&1或左＜太2时，曲线y=与），=辰+4有唯一交点;

4

当直线y=Ax+4与圆/+了2=4（），20）相切时，n=2,解殍：&=±J5，

即匕=J5,kA=-V5；

4-06,4-0。

又片=----=2,k>=----=-2

0+2~0-2

二方程67=辰+4有唯一解时，实数人的取值范围为攵＜-2或k＞2或攵二土百.

故选：C.

18.（2022秋•江苏连云港•高二期末）设〃为实数，若圆Y+丁=4上恰有三个点到直线/：），=X+》的距离都

等于1,则匕的值是（）

A./?=2B.b=—\flC.b=＞/?.D.b=±5/2

【答案】D

［分析］根据圆上三个点到直线的距离等于I,可得圆心到直线的距离为2-1=1,利用点到直线的距离公式解

出力即可.

【详解】解:由题知圆的方程为/+丁=牝

所以圆心为（0,0）,半径为2,

因为圆f+丁=4上恰有三个点到直线1的距离都等于1,

所以只需要圆心到直线/：y=x+b的距离为1即可，

直线方程为:x-y+〃=（）,

所以圆心到直线的距离为:毯=1.

解得b=±\/2,

吉攵当〃=±五时,

圆上恰有三个点到直线1的距离都等于1.

故选:D

19.（2022秋•河南洛阳•高二统考期中）若圆/十/一4643，-10=0上至少有三个不同的点到直线/：

），=履的距离为2及，则直线/的倾斜角的取值范围是（）

71几it5n

A.

12,412,12

【答案】B

【分析】求出圆心和半径，由题可得圆心到直线的距离应小于等于血，进而可得上的取值范围，然后根

据直线斜率与倾斜角的关系，即得.

［详解］由圆％2+y2_4x_4y7O=0的标准方程(x—2)2+(y_2)2=(3应］,

则圆心为(2,2),半径为3后，

因为圆上至少有三个不同的点到直线/:丁=心一的距离为2及，

则回心到直线的距离应小于等于3夜-20=夜，

122及I

:.I,4Q,整理得X-4k+1W0,

71+A：2

解得2-64Z42+6，

设立线/的倾斜角为a,a€［0,兀)，即2-J5«tana42+J5,

JI兀

tan—tan-

_.71/兀兀、

又由tan—=tan(----)=——----^-=2-75,

,7T71

12461+tan—tan一

46

71

tan—7T+tan

5兀7t兀、

tan—=tanz(—+—)=46=2+6,

1246,兀n

I-tan—tan-

46

即“，一兀W,tana4,tan—3兀,

1212

所以直线I的倾斜角的取值范围是

故选:B.

考点四圆的弦长问题

20.(2022秋•江苏连云港•高二校考期末)圆工2+),2一4工+4〉+4=0被直线工一)，-5=0所极得的弦长为

()

A.5/2B.Gc.V14D.2V14

【答案】C

【分析】将圆化为标准方程，得到圆心坐标及半径，求出圆心到直线的距离，利用几何法求出圆的弦长即

可.

【详解】圆标准方程是（x-2）2+（y+2）2=4,圆心坐标为（2,-2）,圆半径为2,

J12+2-51V2

圆心到直线的距离是d=j.（[）2=

21.（2022秋・河南洛阳・高二统考期中）已知直线/：31+），一6二。和圆C：V+）,2-2y-4=0交于A,B两

点，则弦AB所对的圆心角的大小为（)

nh2兀

A.-BD.—

4iCI3

【答案］C

【分析】根据弦长公式可得弦长，根据AABC的边长关系，确定圆心角的大小.

22

【详解】由回C：x+y-2y-4=0t可得V+（,,_]/=5,圆心半径为石，

又直线/:3X+y-6=(),

所以|A8|=25-=如，又|6|=仁目=行,

所以|04『+|。『=|人用2,圆心角=

即弦AB所对的圆心角的大小为

故选:C.

22.（2022秋•江苏连云港•高二期末）已知直线/经过点心（3,-1）,且被圆/十）,2一8“一2），+12=（）截得的弦

长为4,则直线/的方程是（）

A.y=2B.x=3或3x—4y—13=0

C.x=3D.y=2或x-），+l=0

【答案】B

【分析】考虑直线斜率不存在和存在两种情况，验证后得到x=3满足要求，当斜率存在时，设出直线方程,

利用点到直线距离公式列出方程，求出&=±3,得到答案.

4

【详解】圆的标准方程为：（工一4『+（），一1『=5,

由题意圆心到直线/的距离d=

（1）当直线的斜率不存在时，直线方程为x=3,圆心到直线的距离4=1,符合题意,

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为），+l=k（x-3）,即米一），-1-3攵=0,

圆心到直线的距离为4=」心心［=1,解得&=3,则直线方程为3工一4），-13=0,

yj\+k24

综上，直线/的方程为x=3或3工一4），-13=（）.

故选：B.

23.（2022秋.四川成都.高二成都七中校考期中）过点。（2,1）的直线I与曲线y=交于M、N两点,

且满足|MN|=0,则直线/的斜率为（）

A.-B.—C--D.—

6789

【答案】B

［分析］依题意可得曲线），二Ji，表示以o（o,o）为圆心，半径厂印的半圆（x轴及以上部分），由弦长

求出圆心到直线的距离，设直线方程为y-l=Z（x-2）,利用点到直线的距离公式得到方程，解得k的值,

再检胎即可.

【详解】解：曲线y=则）*0,所以/+丁=1,（y>0）,表示以0（0,0）为圆心，半径广=1的半

圆（X轴及以上部分），

因为|MN|=V2,所以圆心到直线的距离”=

显然直线的斜率存在且大于零，设直线方程为y-l=Mx-2）,即"-y-2"+1=0,

,卜2«V2

所以仁历石尸,解得旧或I

当2=1时直线方程为y=x-i过（1,0）与曲线）,=FF只有一个交点，故舍去;

mi)

-401x

故选：B

24.（2022秋・福建龙岩•高二校联考期中）已知直线y=2x关于直线y=x对称的直线/被圆

X?+）21V+3=0裁得的弦长为公叵，则实数〃［的值为（）

5

A.4B.±4C.8D.±8

【答案】B

（分析】根据对称关系求出直线/的方程，再根据弦长公式即可求解.

［详解】因为直线y=2x与直线y=”的交点为（0,0）,所以直线/经过点（0,0）,

取直线y=2.X上一点（1,2）关于y=X对称的点为（2,1）在直线/上，

所以仁=；，所以/的直线方程为x-2y=0.

圆心£,0、到直线x—2y=。的距离为4=桀，

圆的半径/•=4,一12,所以（上+（正?|（y］nr-\2］,

212可⑴［2

解得m=±4,

故选:B.

25.（2022・高二单元测试）已知圆M:f+y2—2⑪=8横直线/：x—y=0所得的弦长为后.则圆M与圆

N：x2+（y_1）2=4的位置关系是（）

A.内切B.相交C.外切D.相离

【答案】B

【分析】根据垂径定理可得参数。的值，再利用几何法判断两圆的位直关系.

［详解］由M:./+）尸一2at=8,即（干_0）2+y2=8+〃2,

故国心M（a,0）,半径％=屈万，

所以点M到直线0的距离d_H__K

故2氏一才=庖,即2{8+/_$后,

解得:a=±l;

所以M（±1,O）,友=3；

又N:d+（,一1）2=4,圆心N（O,l）,rv=2,

所以=y/（±l）2+l2=y/2,

且匕f|=lv&<5=b+小.

即圆M与圆N相交,

故选：B.

26.（2022春・上海嘉定•高二上海市嘉定区第一中学校考期末）已知圆C:f+），2=4,直线/：），=3+/〃，

若当我的值发生变化时，直线被圆C所戴的弦长的最小值为2,则〃?值为.

【答案】±G

［分析］先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出〃?.

［详解】由圆C：f+y2=4的圆心（0,0）到直线/：）,=丘+〃?的距离为

,10x4-0+"“\m\

Qk2十（-I-J-?十1

则弦长为:2〃二为=24一念y

若要弦长最小,则k=0

所以2"-=2*解得〃？=±6

故答案为：±6

27.（2022秋・湖北荆州•南二荆州中学校考期末）已知圆。：/+），2一2..4丁+2=0和直线/：河十丁一1一〃=0.

（1）判断直线/与圆C的位量关系;

⑵求直线/被圆C截得的最短弦长及此时直线/的方程.

［答案］（1）相交

（2）2&；y=i

【分析】(1)根据直线过定点以及点与圆的位置关系即可得到结果；

(2)当当直线/_LCM时，直线/被圆。截得的弦长最短，结合修长公式即可得到最短弦长及直线/的方程.

［详解］(1)因为直线，：依+)」1一［=0,即。(工一1)+)，-1二()恒过定点

又因为圆C:Y+y2-2x-4y+2=0,即(x-l)?+()，-2『=3

即回心C(l,2),半径为r=6

22

因为\CM\=A/(1-1)+(2-1)=1<V3

所以点M在圆内，即直线/与圆C相交.

(2)当直线/_LC”时，直线/被圆。裁得的弦长最短，

此时可得弦长的一半为=g=近

即最短弦长为2&

又因为点M,C横坐标相同，故直线MCJ_x轴，

则直线/的斜率为0

所以直线/的方程为y=1

考点五圆的切线问题

28.(2022秋•四川成都・高二树德中学校考期末)已知圆C上有两个点A(2,3),8(4.9),且48为直径.

(1)求圆。的方程；

⑵巳知尸(0,5),求过点尸且与圆C相切的直线方程.

［答案］(l)(x-3)2+(y-6)2=10

(2)y=-3x+5

【分析】(I)由中点坐标公式求出圆心C坐标，再求出半径，即可得到圆的方程；

(2)先判断点尸在圆C上，再求得直线PC的斜率，从而得到切线的斜率，即可求解.

【详解】(1)因为圆。的直径为48,故其圆心为C(3,6),

其半径为；MB|=1J（4_2）2+（9-31=而,

乙乙

故因C的方程为：（x—3『+（y—6）2=10.

（2）因为（0-3『+（5-6）2=10,故P在圆C上，连接PC,

而直线PC的斜率：^»c=—=-,故圆。在〃处的切线的斜率为a二一3,

0-33

故所求切线的方程为：y=-3x+5.

29.（2022秋・广东广州•高二广州市第九十七中学校考期末）过点*2,I）作圆。/+）,2=］的切线人则切

线/的方程为（）

A.3x-4y-5=OB.4x-3y-5=0

C.y=1或4x-3y-5=0D.y=1或3x-4y-5=0

【答案】C

［分析］设切线/为）-1=A（x—2）,即米—），+1-2&=0,由/与圆0：Y+y2=i相切，得=&

依+1

即可解决.

［详解］由题知，圆O：V+尸=|,圆心为（0,0）,半径为1,

因为尸（2,1）在圆外，

所以设切线/为y-1=&&-2）,即取一y+1-2左=0,

因为/与圆。：x2+>,2=1相切，

所以4=修&=1,解得&=0或

所以切线/的方程为1y=1,或4x-3y-5=0,

故选：C

30.（2022秋・四川内江・高二威远中学校校考期中）一条光线从点4（-2,3）射出，经x轴反射后，与圆

C：（x-3『+（y-2『=1相切，则反射后光线所在的直线方程为（）

A.31一4y一6=0或4x-3y-1=0B.4x-3y+6=0或3x-4y-1=0

C.4x+3y-6=0或3x-4y-l=0D.3x-4y+6=04x+3y-l=0

［答案】A

【分析】求出A点关于x轴的对称点为4,则反射光线经过4,当反射光线所在直线与x轴垂直时，不与

圆相切，故反射光线所在直线的斜率存在，设为左，反射光线所在直线的方程为y+3=A(x+2),利用圆

心到切线的距离等于半径可得答案.

【详解】A(-2,3)点关于x轴的对称点为4(-2,-3),所以反射光线经过A,

当反射光线所在直线与x轴垂直时，即x=-2,

圆C(3,2)到直线x=-2的距离为5,

因为5>1,所以直线工=-2与圆相离，故反射光线所在直线的斜率存在，设为

则反射光线所在直线的方程为)，+3=Z(X+2),K|^r-.y+2^-3=0,

因为反射光线与圆相切，所以//+22-3|=解得及=2或2=2,

V17F34

43

所以反射光线所在直线的方程为j+3=—(x+2),或y+3=-(x+2),

整理得3x-4y-6=0或4%-3)，-1二0.

故选：A.

31.(2022秋•河北张家口•高二统考期末)过点P(2,-1)作圆后:炉+丫2_2犬-4)，-1=()的两条切线，切点分

别为,则直线A8的方程为.

［答案】x—3y—1=。

【分析】先求出尸(2,-1)为圆心，24=依为半径的圆的方程，再利用两圆的公共弦所在直线方程求解.

【详解】圆七:*一1)2+()，-2)2=6,所以圆心为E(l,2),半径

P£=Vl2+32=Vio,

所以切线长P4=〃B=，0七2一>=2,

以P(2,-l)为圆心，Q4=Q4=2为半径的圆的方程为：(x—2)2+()，+1)2=4,

直线A8为圆石：。-1)2+()〜2)2=6与圆。-2)2+(丁+1)2=4的公共弦,

(1)2-2尸=6

所以由，得x-3y-l=0.

(X-2)2+()，+1)2=4

故答案为：x-3.y-l=0,

32.(2022秋广东广州•高二校联考期中)已知圆(xi।>2=［和国外一点p(o,2),过点夕

作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是.

【答案】T

【分析】根据题意作出示意图，易知圆（X+1）2+），=1和），轴相切于原点，利用平面几何知识和直角三角形、

二倍角公式进行求解.

【详解】易知圆。+1尸+），2=1的回心为A（TO）,半径r=1,

且该圆和J轴相切，切点为原点0,连接/:4,设=

则两条切线的夹角为26,tan0=,（an26=~~tanf=-,

PO2l-tan2<93

4

即两条切线夹角的正切值是一.

3

4

故答案为：y.

33.（2022秋・天津津南•高二天津市成水沽第一中学校考期末）点P是直线x+y-4=o上的动点，过点p

作回（x+l）-+（），-1）~=/（「>0）的两条切线布和A和B是切点,/APB的最大值是Q,则「的值

【答案】2

［分析］由切线性质得出NAP5畏大时，。与圆心连线垂直于直线/，然后由最大值求得圆半径

［详解］如图，设圆心为C,sin乙427=粗，当圆固定时，俨。取最小值时，sinNAPC最大，ZAPC

甲q

是锐角，从而NAPC最大，

由已知C（T，1），归叱血=上^^=2&

由越意NAQC最大值为巳，此时sin/APC=-1=sinC=①

,r=2,

42>/242

故答案为：2.

34.（2022秋・浙江•高二校联考姚中）已知圆。：/+）；=4,直线/:2x+y-5=0,尸为/上的动点，过点。

作圆O的切线PA尸8,切点分别为A8,当|PO"A臼最小时，克线AA的方程为（）

A.2x+y-4=0B.2x+>'-l=0

C.x+2y-4=0D.x+2y-2=（）

【答案】A

【分析】由切线性质得儿A,R,。四点共圆，且A8_LPO.可律同=4S“s=4|P4],然后根据切

线长公式可得当直线PO_L/时，忙0卜|4回最小，求出以OP为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出

直线A3的方程.

【详解】因为圆。:/+），2=4,圆心为0（0,0）,半径为r=2,

由切线性质得，P,A,B,。四点共圆，且A3_LPO.,

所以|POH/W|=4&PAO=4X：X|P4HAO|=4|尸A|,

而|PA=J|PO|2-4,则当直线PO_U时，|PO|最小，|PO|.|A8|最小，

所以此时直线=；/，

由'=5”解得工=2,），=1,即P（2,l）,

2x+y-5=0

所以以OP为直径的圆的方程为x（x-2）+y（y-l）=0,

22

即x+y-2x-y=0t

两囿的方程相减可得：2.r+y-4=0,即为直线A8的方程.

故选：A.

考点六直线和圆的应用

35.（2022・浙江绍兴•高二期中）台风中心从A地以每小时20km的速度向东北方向移动，离台风中心30km

内的地区为危险地区，若城市B在A地正东40km处，则B城市处于危险区内的时间为（）

A.0.5hB.lhC.1.5hD.2h

【答案】B

【详解】以A为坐标原点，正东方向为x轴建立直角坐标系，则直线y=x被圆（X-40）2+），2=3（）2截得弦

长为253（）2-（20夜）2=20,所以B城市处于危险区内的时间为右=1,选B.

36.（2022秋・浙江金华•高二校联考期末）某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为103米的圆形区

域，一名工作人员持手机以室分钟50米的速度从设备正东方向506米的A处出发，沿A处西北方向走向

位于设备正北方向的3处，则这名工作人员被持续监测的时长为（）

3

A.1分钟B.一分钟

2

C.2分钟D.之分钟

2

【答案】C

【分析】以设备的位置.为坐标原点。，其正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐

标系xQy,求得直线&，和圆。的方程，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式，求得MN的长，进而求

得持续监测的时长.

【详解】以设备的位置为坐标原点。，其正东方向为工轴正方向，正北方向为丁轴正方向建立平面直角坐

标系xOy,如图所示，

则A（50疯0）,网0,50伺,可得〃：x+y=5O^,HO:x2+/=10000.

记从N处开始被监测，到M处监测结束,

因为O到LB的距离为（）（）'==5（）75米,

所以MN=2JM（T-OO'2=100米,故监测时长为辞=2分钟.

故选：c.

37.（2022秋・浙江金华•高二期末）“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不

知五小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在堵壁中，不

知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一

部分埋在墙壁中，极面如图所示，已知弦人6=1尺，弓形高C£>=1寸，则阴影部分面积约为（注：

）之3.14,sin22.5°«—,I尺=10寸）

A.6.33平方寸