七年级数学寒假作业14 角中的动态问题（22道经典题型）

寒假作业14角中的动态问题

积累运用

一、常用解题方法

动角问题作为压轴题，难度系数比较大，一般解题方法：①化动为静，分类画图；②转化为

常见角度计算题型.

二、旋转动角问题

一般采用三步解题技巧：

①找：根据题意找到目标角度；

②表：表示出目标角度.常见类型如下：

1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角二起始角+速度x时间；

2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角二起始角-速度X时间；

3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大：

变小：目标角=起始角-速度X时间

变大：目标角;速度义时间一起始角

③列：根据题意列方程求解.

三角板有两种，一种是等腰直角三角板（90。、45。、45。），另一种是特殊角的直角三角板

（90。、60。、30°）.

三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度.

基础过关练

1.将一副三角板的直角顶点重合放置于A处（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下

列结论一定成立的是（）

A.ZC4E+Zm5=90°B.ZBAE-ZDAC=45°

C.Z-BAE+Z.DAC=180°D.ZDAC=2ZBAD

2.已知O是直线AB上的一点，"00=90。，OE平分Z48.如图，。。与。0在直线"的同

侧，我们探究一下“。£与40B的数量关系：

⑴填表，当“0E取不同度数时，请计算出ND0B的度数，并填写到下列表格中;

ZC0E20°35°56。26'.........

/DOB.........

⑵猜想，若乙C0E=a,求乙DOB的度数（用含有a的式子表达），并说明理由.

3.如图1,一直角三角尺的直角顶点。在直线48上，一边0C在射线。4上，另一边0D在直线

曲的上方，将直角三角尺在平面内绕点。顺时针旋转，且0E平分480C,0F平分ND08,如图

2.

⑴如图2,当-4。。=70。时，

①求480c和ND03的度数；

②求ZE。r的度数.

⑵在直角三角尺旋转过程中，设〃0C=a,若0。<«<180。，则

①求48。。和W0B的度数（用含a的代数式表示）；

②/EOF的度数是否发生变化，请通过计算说明理由.

BB

图I图2

4.已知直线MN,。是MN上的一个定点.点A是直线MN下方的一个动点，作射线。4及

"ION的角平分线。8,点C与点A在直线MN的两侧，点。在线段8的延长线上.

(1)若上力ON=100。，4coM=125。，在下图中补全图形，并求出“BO0的大小；

O

M--------------------N

⑵射线。£是Z40C的角平分线；

①如下图，当〃ON>“ON时，用等式表示NBOE与“D0M的数量关系，并证明；

C

®^D0N^AONf且/COM+48。£=140。时，直接写出/8。£1的度数.

O

M--------------------N

备用图

5.如图1,点0为直线”上一点，过点。作射线。C,使♦。。=70。.将一直角三角板的直角

顶点放在点。处，一边ON在射线08上，另一边0M在直线4y的上方.

⑵将图1中的三角板绕点。按逆时针方向旋转，使得ON在N8。。的内部，如图2.若乙NOC=

^MOA,求/BON的度数.

⑶在旋转过程中，若三角板在直线”的上方，则/MOC与40B始终保持的数量关系是

.并请说明理由.

6.如图1,已知线段48=40cm，CD=4cm^线段CD在线段48上运动(点。不与点力重

合)，点E、产分别是4C、BD的中点.

(1)若AC=10cm，则=cm.

⑵当线段CD在线段A8上运动时，试判断线段"的长度是否会发生变化？如果不变，请求出

线段EF的长度；如果变化，请说明理由.

⑶我们发现角的很多规律和线段一样，如图2,已知“。。在41。8内部转动，OE、OF分别平

分4/10。和△8。。.类比以上发现的线段的规律，若4EOF=65。，乙COO=25。，求4。8的度

数.

能力提升练

7.如图,已知=90。,射线0C绕点。从。力位置开始，以每秒3。的速度顺时针旋转;

同时，射线0D绕点。从。8位置开始，以每秒1。的速度逆时针旋转，并且当。。与04成180。

角时，。。与。。同时停止旋转.则在旋转的过程中，经过________杪，。。与。。的夹角是30。.

8.一副三角板力。8与COD如图摆放，且乙4=NC=90。，LAOB=60°,匕COD=45。,ON平分

NCOB,0M平分ZA8.当三角板COD绕。点顺时针旋转（从图1到图2）.设图1、图2中的

△N0M的度数分别为跖氏a+0=度.

9.已知乙40B=90。，过顶点。作射线0C,且。。平分NBOC,0E平分/40C.

（1）如图,若0C在/40B内.

①当0C平分乙4。8时，NE0C的度数为；

②当«5时，求ZE0C的度数.

⑵嘉嘉说：“若0C在〃08内旋转，因为"I0C和4B0C的度数不能确定，所以4E0D的度数不能

计算.”琪琪说：“你说的不对，”。。的度数能算到，且40D的度数不变.”请你判断嘉嘉

和琪琪谁的说法正确，并说明理由

⑶若射线。。从0B出发绕点O顺时针旋转（旋转角小于180。），请直接写出NEOZ）的度数.

10.已知数轴上两点之间的距离可以用右边的点表示的数减去左边的点表示的数来计算.如

图，数轴m与数轴几交于原点0,且所夹锐角是60。.点A,B在数轴m上，点C,。在数轴九

上.已知点P是数轴m上的一个动点，点。是数轴九上的一个动点，点48表示的数分别是

-1,5,点C,。表示的数分别是10,-2.若点P表示的数为心点Q表示的数为y.请完成下列问

⑴当点尸运动到与点45的距离相等时，x=:当点Q运动到与点C,。的距离相等时，

y=；

⑵当点P运动到与点4的距离是它到点B的距离的2倍，点Q运动到与点。的距离是它到点。的

距离的2倍时，试求出％,y的值；

⑶在（2）的条件下，若数轴〃以每秒2。的速度绕点。逆时针旋转，请直接写出第

。（0＜。＜60）秒时，乙POQ的度数.（用含a的式子表示）

⑴如图1,若a=90。.

①写出图中一组相等的角（除直角外）,理由是

②刃K么4。。0+^AOB=°.

⑵如图2,40C与乙8。。重合，若Q=60。，将“BOD绕点O以5度/秒的速度作逆时针旋转,

运动时间为I(0v/<24)秒.

①当/=秒时，。8平分/40C;

②试说明：当t为何值时，44。8=；40D?

12.已知4408=120。，从N40B的顶点。弓|出一条射线。C,射线。。在乙1。8的内部，将射线0C

绕点。逆时针旋转60。形成/COD.

⑵作射线0E,射线OE为乙10D的平分线，设4OC=a.

①如图2,当0。<1<60。，若射线OC恰好平分”0E,求NBOO的度数;

②当。工60。时，请探究与NB0D之间的数量关系.

13.已知ZA08=12O°,Z.COD=40°,0E平分乙AOC,OF平分NB0D.

⑴如图1,当OB,0C重合时，求上4。£-NBOF的值；

⑵如图2,当“。。从图1所示的位置开始绕点。以每秒2。的速度顺时针旋转rs(0</<10),在

旋转过程中，41OE-N8OF的值是否会因t的变化而变化？若不变化，请求出该定值；若变

化，请说明理由；

⑶在(2)的条件下,求当NCOD旋转多少秒时，“8=12。.

14.如图1,已知乙403=150。，"0。=30。，绕点。在乙4OB的内部转动,0M平分

乙4OC,ON平分—B。。.

备用图

⑴如图2,当。0与。4重合时，求NM0N的度数；

⑵请判断乙MON的大小是否随NCOD的位置的变化发生改变？并说明理由;

(3)当N80N=7ND0M时，求/40M的度数.

15.将一副三角板如图1放置（乙4。8=90。，44=45。，AOCD=90°,Z-COD=30°）,在

4BOD、Z,AOCC^BOD<180°>Z-AOC<180°）内作射线。M、ON,且/MOB=2NDOM,仆IOA=

2/NOC,将三角板OCD绕着点。顺时针旋转.

图1图2图3

⑴如图1,当点。、A、C在一条直线上时，/M0N=;

⑵如图2,若旋转角为。（0。<。<90。），/MON的度数是否会发生改变？若不变，求其

值；若变化，说明理由.

⑶如图3,当三角板OCD旋转到内部时，求NM0N的值.

16.熟悉又陌生的三角尺.

⑴如图1,将两块直角三角尺的直角顶点。叠放在一起，ZACD=ZECB=90°.

®^AECD=30°,贝此4cB=；若NACB=160°,则/ETD=；

②猜想44cB与/ECD的数量关系并验证.

⑵如图2,这是两个同样的直角三角尺60。锐角的顶点重合在一起，则乙G/C与的数量关

系为；

（3）己知"1。8二M△。。。二6（a,/?都是锐角），如图3,若把它们的顶点。重合在一起，请

直接写出48与的数量关系.

拓展培优练

17.已知：如图1,点A,O,B依次在直线MN上，现将射线OA绕点。沿顺时针方向以每秒

2。的速度旋转；同时射线。8绕点。沿逆时针方向以每秒4。的速度旋转.如图2,设旋转时间

为，秒（0型工90）.下列说法正确的是（）

AOBN

图1

A.整个运动过程中，不存在4。8=90。的情况

B.当/4。8=60。时，两射线的旋转时间，一定为20秒

C.当，值为36秒时，射线OB恰好平分/M。力

D.当408=60。时，两射线的旋转时间，一定为4（）秒

18.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1:2两个部分的射线，叫做这个角的三分

线，一个角的三分线有两条.如图1,^AOB=2^BOCf贝是4OC的一条三分线.

⑴如图1,若〃OC=57。，则NB0C=

⑵如图2,若403=120。，0C,。。是乙108的两条三分线，S.ZB0C<ZA0C.

①400=;

②若以点。为中心，将“。0顺时针旋转几。（0〈八〈90）得到NC，。//,当。4恰好是乙C，。。的三

分线时，71的值为.

19.已知，0。是乙4。8内部的一条射线，且408=34。。.

⑴如图1所示，若408=120"0M平分410C,0N平分4。8,求/M0N的度数；

⑵如图2所示，“。8是直角，从点O出发在4B0C内引射线。D,满足乙BOC-乙40C=

乙COD,若。M平分2C。。，求/BOM的度数；

(3)如图3所示，ZAOB=x%射线0P,射线发分别从0C,0B出发，并分别以每秒I。和每秒2。

的速度绕着点。逆时针旋转，0P和分别只在〃0C和4BOC内部旋转，运动时间为/秒.

①直接写出ZAOP和NC0Q的数量关系：

②若408=150。，当NPOQQNBOP时，求，的值.

20.在数学实践活动课上，“卓越”小组准备研究如下问题：如图，EF为直尺的一条边，四边

形ABCD为一正方形纸板UDAB./-ABC.乙BCD、/D均为直角).

图③

如图①，小组成员小方把正方形的一条动48与EF重合放置，刘老师在与同学们交流研讨时

又做出了4D"的平分线力Q,交正方形的边于点P.则此时4P/1B的度数为；乙P/I8与

4ME的度数之间的关系为.

⑵【问题探究】

受小方同学的启发，小组成员小丽将正方形纸板按如图②放置，若此时记的度数为明

其他条件不变，请帮小丽同学探究：/AB与N7ME的度数之间的关系是否发生改变，并说明

理由.

(3)【拓展延伸】

组内其他同学也都继续探索，将正方形按如图③放置，刘老师同样做出了〃”的平分线

4Q,请直接写出NQ力8与NDAE的度数之间的关系.

21.综合与实践

【问题发现】在数学探究课上，王老师带领同学们结束角平分线的探究后，安排同学们自主

探究角的三等分线.小明进行了如下探究，如图①，若射线0C,。。是〃。8的三等分线，则

称更靠近。力边的射线0C是射线。力的“友好线”，靠近。8边的射线0D是射线08的“友好线”.

求ZAOP的度数.

⑵【问题探究】如图③，〃。8=12/，射线仪?与射线0A重合并绕点O以每秒4。的速度逆时

针方向旋转，与射线。8重合时停止.问旋转几秒后，是0B的“友好线”.

(3)【问题拓展】如图④，LA0B=180°,射线0M,0N分别与射线。40B重合，射线0M绕点

O以每秒4。的速度逆时针方向旋转，同时射线ON绕点。以每秒2。的速度顺时针方向旋转，

是否存在某一刻。M恰好是ON的“友好线”，若存在，求出时间，：若不存在，请说明理由.

22.如图，乙4。8内部有一射线OC,OCLOA,乙4。。与乙BOC的度数比为3:2,射线0M从。力出

发，以10度/秒的速度绕点。顺时针旋转，同时射线。"从。。出发，以2()度/秒的速度绕点O

顺时针旋转，当射线ON与射线0B重合后，立即以原速度逆时针旋转，当ON与0C重合后再次

改变方向顺时针向。B旋转(即ON在。C与。8之间来回摆动)，当0M与0C重合时，0M与ON都

停止旋转.旋转过程中设旋转的时间为，秒.

(1］当t=1时，乙M0N=°；

⑵当，为何值时，。。恰好是ZM0N的平分线；

⑶在旋转的过程中，作“ON的角平分线。P,是否存在某个时间段，使得NMOP的度数保持

不变？如果存在，求出NMOP的度数，并写出对应的，的取值范围；如果不存在，请说明理

由.

寒假作业14角中的动态问题

参考答案

基础过关练

1.将一副三角板的直角顶点重合放置于4处（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下

列结论一定成立的是（）

C.Z.BAE+Z.DAC=180°D.ZDAC=2ZBAD

【答案】C

【解析】A.・.,NCAE+N/Z4c=90。，而NZZ4c和/D48不一定相等，

・・・NC4E+NDW=90。不一定成立，不符合题意；

B.VLBAE-Z,DAC=/.CAE+zJBAD,而NC4E+/8Ao的值不固定，

・・・N8AE-NZMC=45。不一定成立，不符合题意；

C.LBAE+Z.DAC=4BAD+4DAE+LDAC=Z.BAC+匕DAE=180°,ZBAE+ZDAC=1800——定

成立，符合题意：

D.由题意得乙口4。+乙氏4。=90。，而4MC=2/84D不一定成立，不符合题意.

故选C.

2.已知。是直线4B上的一点，ZCOD=90°,OE平分Z48.如图，。。与。。在直线的同

侧，我们探究一下“OE与/D08的数量关系：

⑴填表，当NCOE取不同度数时，请计算出4OB的度数，并填写到下列表格中;

ZCOE20°35°56。26'.........

/DOB.........

⑵猜想，若乙COE=a,求乙。。8的度数（用含有a的式子表达），并说明理由.

【解析】（1）解：因为400=90。，

所以40E=90°-NC0E,

因为OE平分ZAOD,

所以4。0=2/DOE=2（900-NCOE）=1800-240E,

/.ZDOB=180°-ZAOD=180。一（180。-2/COE）=2NCOE

当乙COE=20。时，/DOB=2/COE=40°,

当"OE=3S。时，^DOB-2ZCOE-70°,

当乙COE=56。26'时，/DOB=2ZCOE=112。52',

故答案为:40°,70°,112°52,；

（2）解：因为NCOD=90°,

所以4>0£=90。-NCOE,

因为OE平分幺。£>,

所以4。。=2/DOE=2（90、4OE）=180c-24OC,

ZDOB=1800-ZAOD=180。一（180。-24OE）=2ZCOE=2a.

3.如图1，一直角三角尺的直角顶点。在直线48上，一边。。在射线。力上，另一边0。在直线

助的上方，将直角三角尺在平面内绕点。顺时针旋转，且OE平分480C,。2平分/D08,如图

图1图2

⑴如图2,当400=70。时，

①求480C和4。8的度数；

②求4。户的度数.

⑵在直角三角尺旋转过程中，设〃0C=a,若0。<。<180。，则

①求”。。和乙。。8的度数（用含a的代数式表示）：

②/EOF的度数是否发生变化，请通过计算说明理由.

【解析】（1）①NB0C=180。-40C=180。-70。=110。，

•••由题意得，△。。。是直角三角形，

/COD=90°,

•••/DOB=ZBOC-NCOD=110°-90°=20°：

②・.・O£平分/80C,

•••/COE=/BOE=55°,

•••0/平分/D0B,

•••ZBOF=/DOF=10°,

/./EOF=ZBOE-ZBOF=55°-10°=45°;

(2)①当0。Va<90。时，

ZBOC=180°-ZAOC=180°-a,

・••△COD是直角三角形，

:./COD=90°,

/DOB=ZBOC-NCOD=1800-a-90°=90°-a；

当90。Va<180。时，

^BOC-180c-NAOC三1800-a,

•••△c。。是直角三角形，

:.NCOD=90°,

•••/DOB=^AOC+NCOD-180°=a4-900-180°=a-90°;

②当IVaW90。时,

OE平分NBOC,

•••/COE=N'BOE=90°-p

0/平分/DOB,

•••/BOF=NDOF=45°-%

/.NEOF=/BOE-NBOF=90°--(45°-^)=45°,

・・・/E。9的度数没有发生变化；

当90。<a<180。时，

OE平分ZBOC,

•••/COE=ZBOE=90°-p

0/平分/D0B,

•••/BOF=ND0F=一45°,

/EOF=/BOE+ZBOF=90。一6一45°)=45°,

・•・4OF的度数没有发生变化.

4.已知直线MN,。是MN上的一个定点.点A是直线MN下方的一个动点，作射线。4及

410N的角平分线OB,点。与点A在直线MN的两侧，点。在线段co的延长线匕

(1)若N/10N=100。，Z.COM=125°,在下图中补全图形，并求出/B0。的大小；

O

M--------------------------------N

⑵射线OE是40c的角平分线；

①如下图，当4D0N>〃0N时，用等式表示,BOE与/D0M的数量关系，并证明；

M_

D

②当乙DON丰U0N,且“0M+48。£=140。时，直接写出NB0E的度数.

O

M---------------------------------N

备用图

【解析】(1)解：补全图形如图所示，

C

,:jAON=100°,。8是40N的角平分线，

NHOB=々AON=50°,

VZC0M=125°,

,ND0N=NC0M=125°,

/.ZD0A=/DON-NAON=25°,

/.NBOD=25。+50。=75。；

(2)解：①NDOM=2/8OE,理由如下,

设4408=a,ND0M=4ON=B，

〈OB是々ON的角平分线,

••/BON=^AOB=a

TOE是/4。。的角平分线,

・•・/40E=g40C=*2a+夕)，

/.NBOE=ZAOE-NAOB=*2a+0)-a=),

ZDOM=2/BOE;

②设N80E=X,^AOB=y,

VZCOM+/BOE=140°,

AZCOM=140。-x,

:•乙CON=180°-乙COM=40。+%,OB是/4ON的角平分线，

.\/.BON=Z.AOB=y,/EON=y-x,

TOE是4OC的角平分线，

*.z.AOE=Z-EOCy即x+y=40°+%+y—%，

解得x=40°,

NBOE=40°.

5.如图1,点0为直线48上一点，过点。作射线0C,使Z8OC=70。.将一直角三角板的直角

顶点放在点。处，一边ON在射线0B上，另一边0M在直线4?的上方.

⑵将图1中的三角板绕点。按逆时针方向旋转，使得ON在/BOC的内部，如图2.若乙NOC=

求/BON的度数.

⑶在旋转过程中，若三角板在直线的上方，则NMOC与/N08始终保持的数量关系是

.并请说明理由.

【解析】（1）解：根据题意可得，ZB0M=90°,

=Z.BOC+4COM=90°,日.ZBOC=70°,

/COM=/BOM-ZBOC=90°-70°=20°,

故答案为：20°.

(2)加吊：VZMON=90°,

AZAOM+/BON=90°,

/BON=ZBOC-/NOC=70°-/NOC,

•//NOC

：.ZMOA=5/NOC,

：.5z.NOC+(70°-ZNOC)=90%解得，ZNOC=5°,

/BON=ZBOC-/NOC=70°-5°=65°,

・L80N的度数为65。.

(3)解：ZMOC-ZBON=20°,理由如下，

在旋转过程中，若三角板在直线48的上方，4MoN=90。，NBOC=70。,

①如图所示，ON在/BOC内部，

•・"MOC+乙CON=90°,则4ON=900-/MOC,

Z.CON+Z-BON=70°,则4ON=70。-NBON,

.*.90°-NM0C=700-NBON、

ZM0C-/BON=20°；

②如图所示，ON在/BOC外部，

C

C.Z-MOC=乙MON+Z.NOC=90°+LNOC,则NC0N=/M0C-90°,

Z.BON=/.BOC+Z.CON=70°+/.CON,则/CON=/BON—70。，

ZM0C-90°=/BON-70°.

/.ZMOC-/BON=20°;

综上所述,ZMOC-/BON=20°,

故答案为：ZMOC-ZBON=20°.

6.如图1,己知线段48=40,CD=4cm，线段在线段48上运动（点。不与点力重

合），点E、尸分别是AC、8。的中点.

，Ili，I

AECDFB

图1图2

⑴若4c=10cm，则"=m.

⑵当线段CD在线段48上运动时，试判断线段EP的长度是否会发生变化？如果不变，请求出

线段"的长度；如果变化，请说明理由.

⑶我们发现角的很多规律和线段一样，如图2,已知乙C。。在乙力。8内部转动，OE、。尸分别平

分乙4OC和乙8。。.类比以上发现的线段的规律，若4EOF=65。，Z.COD=25°,求408的度

数.

【解析】（1）解：v/lF=40cm,CD=4cm，AC=10cm,

BD=AB-AC-CD=40-10-4=26cm，

■:点E、/分别是4C、8。的中点，

CE=AC=5cmfDF=|fiD=13cm,

EF=CE+CD+DF=5+4+13=22cm,

故答案为：22；

（2）解：线段EF的长度不会发生变化；

理由如下：

・・•点E、F分别是“、BD的中点，

：.EC=\ACtDF=：BD,

:•=EC+CD+D昨1AC+CD+犯。=^AB-CD）+CD=22而；

（3）解：・.・OE、。户分别平分N/IOC和/BOD,

：.z.AOC=2乙EOC,/BOD=2/DOF,

：.ZAOB=NAOC+NCOD+/BOD

=2ZEOC+NCOD+2/DOF

=2{ZEOC+NCOD+ZDOF）-NCOD

=2/EOF-NCOD

=2x65°-25°

=105°.

能力提升练

7.如图，己知〃。8=90。，射线OC绕点。从。4位置开始，以每秒3。的速度顺时针旋转；

同时，射线。。绕点。从。8位置开始，以每秒1。的速度逆时针旋转，并且当OC与。4成180。

角时，OC与OD同时停止旋转,则在旋转的过程中，经过________秒，OC与。。的夹角是30。.

【答案】15或30

【解析】设t秒后，。。与。。的夹角是30。,

①如图1,

C./.AOC=(3t)°,/BOD=t°,

VZAOB=90°,

：.^AOC+(COD+乙BOD=90°,有(3t)。+30。+£。=90°,

解得：C=15,

②如图2,

VZAOB=90°,

：.Z.AOC-乙COD+乙BOD=90°,艮|J有（3。。-30。+=90°,

解得：£=30,

综上可知：t=15或30,。。与。。的夹角是30。，

故答案为：15或30.

8.一副三角板40B与COD如图摆放，且44=Z<=90。，LAOB=60°,乙COD=45。,ON平分

NCOB,0M平分ZA。，当三角板COD绕。点顺时针旋转（从图1到图2）.设图1、图2中的

/NOM的度数分别为a,储a”=度.

【答案】105

【解析】如图1：

*：LA=Z.C=90°,Z-AOB=60SZCOD=45°,

:2C0B=ZCOD+ZB0D=45°+/BOD,

NAOD=ZAOB+ZBOD=60。+/BOD,

TON平分NCOB,0M平分48,

/.NNOB=-ZCOB=22.5°+-NBOD,

22

NM0D==ZAOD=30。+；/BOD,

22

:N7VOM=/NOB+/MOD-NBOD,

即ZNOM=22.5°+1NBOD+30。+g/BOD-ZBOD=52.5°,

：.a=52.5°；

如图2：

图2

Vz/l=zC=90°,Z.AOB=60c,ZCOD=45°,

AZCOB=/COD-/BOD=45°-/BOD,

ZAOD=ZAOB-/BOD=60°-/BOD,

,：ON平分NCOB,0M平分ZAOD,

：.NNOB=:/COB=22.5°-；/BOD,

22

/WOO=-ZAOD=30°--ZBOD,

22

/NOM=/NOB+/MOD+/BOD,

即NNOM=22.5°-i/BOD+30°-1NBOD+/BOD=52.5°,

：・6=52.5°；

：.a+p=52.5°+52.5°=105°；

故答案为：105.

9.已知4408=90。，过顶点O作射线OC,且OD平分NBOC,OE平分40c.

（1）如图，若。c在44。8内.

①当。C平分NA08时，4OC的度数为；

②当ZBOC=：乙时，求/EOC的度数.

⑵嘉嘉说：“若0。在/力。8内旋转，因为。和乙80。的度数不能确定，所以的度数不能

计算琪琪说：“你说的不对，△E。。的度数能算到，且/E。。的度数不变.”请你判断嘉嘉

和琪琪谁的说法正确，并说明理由

⑶若射线。。从。8出发绕点O顺时针旋转（旋转角小于180。），请直接写出/EOD的度数.

【解析】（1）①・・2/1。8=9。。，0C平分/40B,

：.^AOC=^AOB=45°f

二・0E平分40C,

ZEOC=|ZAOC=22.5°；

故答案为:22.5°；

②=：乙408,ZA0B=90°,

ZBOC=30°.

/.ZA0C=ZA0B-ZB0C=60°.

•.•。后平分/力。。，

ZEOC=|ZAOC=30°；

（2）琪琪的说法正确，嘉嘉的说法不正确，理由如下：

TOE平分471。。，。。平分/BOC,

：.LEOC=\/.AOCfZDOC=\ZBOC,

：.Z.EOD=/EOC+ADOC

11

=-ZAOC+-ZBOC

22

1,、

=-^AOC+ZBOC）

=1/408=45。；

2

（3）设旋转角为a,

①当0。＜。工90。时，如图，

C

..♦。《平分44。。，0。平分/BOC,

NEOC=-ZAOC,ZDOC=-NBOC.

22

VzFOD=Z.EOC-Z.DOC,/AOB=NA0C—NBOC,

：.ZE0D=:ZA0C-:ZBOC=:ZA0B=45°；

222'

②当90。VaV180。时，。。在08的下方，如图，

A

TOE平分2AOC,。。平分NBOC,

NEOC=-NAOC,/DOC=-NBOC.

22

,?ZEOD=ZEOC+ZDOC,^AOC+ZBOC=360°-4OB,

・・・ZEOD=14OC+/BOC=180-/A°B=135°.

10.已知数轴上两点之间的距离可以用右边的点表示的数减去左边的点表示的数来计算.如

图，数轴m与数轴几交于原点0,且所夹锐角是60。.点、A,B在数轴m上，点C,。在数轴九

上.已知点P是数轴m上的一个动点，点Q是数轴九上的一个动点，点48表示的数分别是

-1,5,点C,。表示的数分别是10,-2.若点P表示的数为心点Q表示的数为y.请完成下列问

(1)当点尸运动到与点4B的距离相等时，x=；当点Q运动到与点C,。的距离相等时，

y=：

⑵当点P运动到与点力的距离是它到点8的距离的2倍，点Q运动到与点C的距离是它到点。的

距离的2倍时，试求出％,V的值；

⑶在(2)的条件下，若数轴九以每秒2。的速度绕点。逆时针旋转，请直接写出第

a(0Va<60)秒时，4POQ的度数.(用含。的式子表示)

【解析】(1)解：由题意，得：5-x=x-(-l),解得：x=2；

10-y=y-(-2),解得y=4,

故答案为：2,4;

(2)当点P在8点左侧时：r-(-1)=2(5-x),解得：x=3：

当点P在8点右侧时：x-(-1)=2(%-5),解得：x=11：

综上：％=3或11；

当点Q在点。上方时：2[y-(-2)]=10-y,解得：y=2；

当点Q在点。下方时：2(-2-y)=10-y,解得：y=-14；

综上：y=2或一14；

(3)设第a秒时，数轴n转到了如图所示的位置，点P|(工=3),P2a=ll),点2(y=2)转到

Q1'，点Q2(y=T4)转到Qz',

/P1OQ2=ZP2OQ2=^COA-(2a)°=180°-60°-(2a)°=120°-(2a)°;

综上：4POQ=60。+(2a)。或120。一(2a)。.

⑴如图1,若a=90。.

①写出图中一组相等的角(除直角外)

理由是________________.

②那么乙COD+/.AOB=°,

⑵如图2,41OC与，8。。重合，若a=60。，将/BOD绕点。以5度/秒的速度作逆时针旋转,

运动时间为/(0</<24)秒.

①当仁秒时，0B平分Z40C;

②试说明：当，为何值时，^AOB=^COD?

【解析】（1）解：①/40C=/BOD=Q=90。，

：./.AOD+Z.AOB=90°,ZBOC+4OB=90°,

:・/AOD=/BOC（同角的余角相等）.

故答案为：^AOD=ZBOC,同角的余角相等；

②^^AOC=/BOD=a=90°,

NCOD+ZAOB

=^AOC4-^AOD+^AOB

=ZAOC+/BOD

=90°+90°

=180°.

故答案为：18（）；

（2）解：①根据题意，得/5OC=：/4OC,

BP5t=1x60,

解得y6.

故答案为：6；

②当。8在Z4OC的内部时，

*：ZAOB=-ZCOD,

4

.•.60-5t=-（60+5t）,

解得「=季

当。8在/4OC的外部时，

VZAOB=、COD,

4

・・・5t-60=；(60+5t),

解得y20,

综上，/为三或20时，ZAOB=；ZCOD

12.已知乙408=120。，从乙4。8的顶点。引出一条射线。C,射线。。在乙4。8的内部，将射线。。

绕点。逆时针旋转60。形成4。6

⑴如图1,若乙400=90。，比较410C和/B00的大小，并说明理由:

⑵作射线。E,射线0E为410。的平分线，设Z40C=a.

①如图2,当0。＜。＜60。，若射线。。恰好平分~10E,求/8。。的度数;

②当a工60。时，请探究“0C与/B。。之间的数量关系.

【解析】(1)解：/AOC=/BOD,理由如下：

vLC0D=60°,ZA0D=90°,

ZA0C-40D-NC0D-30。，

又•••ZA0B=120°,

/BOD=ZA0B-ZA0D=30°,

/BOD=ZA0C\

(2)①•••0C恰好平分Z40E,

•••ZA0C=ZE0C=a,

^AOE-2^AOC=2a,

••・0E为4。。的平分线，

ZD0E=ZAOE=2a,

/COD=/COE+NDOE=3a,

v/COD=60°,

:.3a=60°,

•••a=20°,

•••/BOD=ZAOB-ZAOD=120°-4a=40°;

②分情况讨论：

当0。<a<60。时,

•••N40D=a+60。，OE为4OD的平分线，

:.ZAOE=^AOD=1(a+60c),

:.ZCOE=ZA0E-ZA0C=1(a+60°)-^=1(60°-a),

•••^COE=\ZB0D-

当60。<a<120。时,

=+初为/1OD的平分线,

•••ZAOE=^ZAOD=*a+60。)，

••.ZCOE=ZAOC-ZAOE="式a+60。)=-60。),

^COE=-2ZBOD-

综上所述，ZCOE=\ZBOD.

13.已知乙4。8=120°,Z.COD=40°,OE平分乙21。。，OF平分/B。。.

⑴如图1,当OB,0C重合时，求工4。£-ZB0F的值;

⑵如图2,当乙C。。从图1所示的位置开始绕点。以每秒2。的速度顺时针旋转可。</<10）.在

旋转过程中，乙1。七-48"的值是否会因£的变化而变化？若不变化，请求出该定值；若变

化，请说明理由；

⑶在（2）的条件下，求当4OD旋转多少秒时，/COF=12。.

【解析】（1）解：因为OE平分心力。C,。/平分N80D,

所以40E=：ZAOC=60°,4B0F=；4。。=^x40°=20°.

所以ZAOE-NBOF=60。-20°=40。；

（2）解：40E—/B0"的值是定值.

根据题意，得：4BOC=(2t)°,=LAOB+(2t)°=120°+(2t)°,"BOD="COD+

(2t)0=40o+(2t)°.

因为OE平分乙AOC,OF平分COD,

所4OC=60°+t°,XBOF=|XBOD=20°+t°,

所以Z4OE-NBO/=40。；

(3)解：根据题意，得N8OF=(2/+12)。,

所以2t4-12=20+t,

解得£=8,

所以当乙COO旋转8s时，ZCOF=12°.

14.如图1,已知乙406—150。，^COD-30°,乙COO绕点。在乙4。。的内部转动，0M平分

Z-AOC,ON平分/BOD.

备用图

⑴如图2,当0D与04重合时，求/M0N的度数；

⑵请判断乙M0N的大小是否随/COD的位置的变化发生改变？并说明理由；

(3)当NB0N=7ND0M时，求/40M的度数.

【解析】(1)解：如图所示，4408=150。，0D与OA重合，4COD=30。，ON平分/DOB,

•••ZAOC=30。，

•••0M平分40C,

ZAOM=ZMOC=-2ZAOC=-2x30°=15°,

•..ON平分々08,

•••"AON=-4OB=-x150c=75c

22

•・•/MON=/AON-ZAOM=75°-15°=60°.

(2)解：々MON不会随40。的运动而改变大小，理由如下：

•••0M平分4。。，

•••^AOM=\ZA0C=\{ZA0B-/BOC)=[(150。-ZBOC)=75。-％8℃,

,:0N平分/DOB,

/BON=-^BOD=-(^BOC+ZCOD)=-{ZB0C+30°)=-ZBOC+15°,

2222

/MON=^AOR-^AOM-/BON=ISO。-（75。-NBOC）-Q^E?OC+15。）=60°,

・••/MON不会随40。的运动而改变大小.

（3）解：VZA0D=ZAOB-ZCOD-ZB0C=150°-30°-ZBOC=120°-ZBOC,

由（2）可知，ZAOM=75°-1^BOC,/BON=gNBOC+15。,

:./DOM=^AOD-4OM=（120°-ZBOC）-（75。80C）=45°-jzB0C

或"DOM=ZAOM-ZAOD=|ZBOC-45°,

•••/BON=7ND0M,

\/.BOC+15°=7（45°-/0C）或3NBOC+15°=7QZBOC-45°）,

解得N80C=75。或/80C=110°,

:.LAOM=75°-1xZ.BOC=75°-x750=37.5°或〃OM=75°-^ZBOC=75°-1x110°=

20°,

・••乙40M的度数为37.5。或20。.

15.将一副三角板如图1放置（408=90。，4=45。，ZOCD=90°,ZCOD=30°）,在

乙BOD、ZAOC（43004180。、ZAOC<180°）内作射线OM、ON,且NMOB=2/D0M,

乙NOA=2乙NOC,将三角板。8绕着点。顺时针旋转.

图1图2图3

⑴如图1,当点。、A、。在一条直线上时，NM0N=:

⑵如图2,若旋转角为a(00<a<90°),/MON的度数是否会发生改变？若不变，求其

值；若变化，说明理由.

⑶如图3,当三角板。。。旋转到乙1。8内部时，求/M0N的值.

【解析】(1)解：•・•点。、4C在一条直线上，

AZA0N+/CON=180°,

VZN0A=2/N0C,

/NOC=60°,

.NCUD=30。NAUB=90°,

/BOD=180°-90°-30°=60。，

/.ZBOM+/DOM=60°,

VZMOB=2/DOM,

:・/DOM=20°,

/MON=ZNOC+/COD+/DOM=60°+30°+20°=110°;

故答案为：110°;

(2)解："ON的度数不发生改变，且NM0N-110。；

・・•旋转角为明

：.ZBOD=60°+a,ZAOC=180°-a,

*.*/MOB=2COM,ZNOA=2/NOC,

：./DOM=-ZBOD=-(60°+a)=20。+%,

333

/VOC=14OC="180。-a)=60°-1a,

・•・/MON=ZNOC+NCOD+ZDOM

11

=60o--a+30o+20o+-a

33

=110°；

(3)解：当三角板OCD旋转到4。8内部时，ZAOC=30°+ZAOD./BOD=90。-40。,

VZM0B=2ZD0M,/NOA=2/NOC,

：./DOM=-/BOD=-(90°-ZAOD)=30°--ZAOD,

333

/V04=?/4OC=-30。+ZAOD)=20。+：4。。，

•5OJ

/DON=ZNOA-ZAOD=20。+?4。。一^AOD=20c--ZAOD,

33

/./MON=/DOM-/DON=30°--ZAOD-20°+-ZAOD=10°.

33

16.熟悉又陌生的三角尺.

⑴如图1,将两块直角三角尺的直角顶点。叠放在一起，ZACD=ZECB=90".

①若"CO=30。，贝Ij/4CB=;若408=160。，则NECO=;

②猜想4C8与/ECD的数量关系并验证.

⑵如图2,这是两个同样的直角三角尺60。锐角的顶点重合在一起，则4L4U与NU4r的数量

关系为；

(3)己知4。/?=a,/COD=B(a,/?都是锐角)，如图3,若把它们的顶点。重合在一起，请

直接写出48与的数量关系.

【解析】(1)①・.・/ECB=90。，ZDCE=30°,

.,.^65=90°-30°=60%

V^ACD-90。，

・•・ZACB=ZACD+ZDC