统计与概率-2027高考数学（含解析）

统计与概率

考点01概率

1.（2026・上海•高考真题）事件A和事件B相互独立,“A和B至少一个发生”的对立事件是（）.

A.AQBB.AUBC.AQBD.AUB

2.（2025・上海・高考真题）有一匹边形ARCD对于其四边A反反7、3、R4,按顺序分别抛掷一枚质量

均匀的硬币：如硬币正面朝上,则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去.最后，以力为起点沿着尚未

擦去的边出发，可以到达C点的概率为（）.

3.（2024・上海・高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三

种礼品都有，现从中任选一个盒子,设事件4所选盒中有中国结，事件氏所选盒中有记事本，事件

C：所选盒中有笔袋，则（）

A.事件A与事件6互斥B.事件A与事件8相互独立

C.事件4与事件6U。互斥D.事件4与事件RD。相互独立

4.（2024•全国甲卷・高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场

次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场,且甲或乙最后出场的概率是（）

5.（2026・天津・高考真题）箱子里有•个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球

的概率是;在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是.

6.（2026・上海・高考真题）己知事件A,B互斥，P（A）=0.2,P（B）=0.5,则P（AUB）=.

7.（2024•全国甲卷・高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中无放回地随机取3

次,每次取1个球.记砧为前两次取出的球上数字的平均值，也为取出的三个球上数字的平均值，则

机与打之差的绝对值不大于方的概率为.

8.（2024・天津・高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项

目，分别为整地做畦、早田播利1、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每

人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为:已知乙同学参加的

3个项目中有“整地做畦”,则他还参加“田间灌溉”项目的概率为.

9.（2024・新课标〃卷・高考真题）在如图的4x4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方

格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值

是.

•1•

11213140

12223342

13223343

15243444

10.（2024・新课标/卷•高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别

标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各

自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分，数字小的人

得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮二匕赛后，甲的

总得分不小于2的概率为.

II.（2025・北京・高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级

学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况,随机抽查了甲、乙两校高一年级各100

名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80,乙校学生选择正确的人数为75.假设

学生之间答题相互独立，用频率估计概率.

（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p

（2）从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计

X=1的概率及X的数学期望；

（3）假设:如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案;如果掌

握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100%,乙校学生选择正确的概率为85%.设甲、乙两校高一

年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为小，P2,判断自与0的大小（结论不要求证明）.

•2・

12.(2025•全国〃卷•高考真题)甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分.设每个球

甲胜的概率为p(JvpVl),乙胜的概率为q，p+q=L巨各球的胜负相互独立.对正整数记

以为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，优为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率.

⑴求p：“Pi(用p表示).

(2)若里口■=4,求p.

⑶证明：对任意正整数m，P?,“+l-Q2m+1<P2,n—q2m<P2〃T2一《2小+2•

•3・

13.(2025・全国/卷・高考真题)为研究某疾病与超声波检直结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机

调查了1000人，得至I］如下歹IJ联表:

超声波检查结果组别正常不正常合计

患该疾病20180200

未患该疾病78020800

合计8002001000

(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求p的估计值；

(2)根据小概率值“=0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.

附/=_______m_______

(a+b)(c+d)(a+c)(5+d)'

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

•4・

14.（2024.北京.高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的

保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：

赔偿次数01234

单数800100603010

假设:一份保单的保费为0.4万元;前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元;第四次索赔时，保险公

司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.

（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；

（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金领之差.

⑴记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望颐X）；

（ii）如果无索赔的保单的保费减少4%,有索赔的保单的保费增加20%,试比较这种情况下一份保单

毛利润的数学期望估计值与l：i）中E（X）估计值的大小.（结论不要求证明）

•5•

15.(2024•全国甲卷・高考真题)某工厂进行生产线智能化力级改造，1\级改造后，从该工厂甲、乙两个车

间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下:

优K品合格品不合格品总计

甲车间2624050

乙车间70282100

总计96522150

(1)填写如卜.列联表:

优级品非优级品

甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车

间产品的优级品率存在差异？

(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5,设方为升级改造后抽取的九件产品的优级品率.

如果4>〃+165、/汉丁,则认为该T厂产品的优级品率提高了，根据抽取的16。件产品的数据.

能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(，面《12.247)

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

•6•

16.(2024.新课标〃卷.高考真题)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规

则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；

若至少投中一次，则该队进入第二阶段.笫二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5

分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲

每次投中的概率为P，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立.

(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.

(2)假设0VpVq,

⑴为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

(口)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

•7•

考点02统计

17.（2026・全国〃卷・高考真题）样本数据6,8,4,5,12的中位数为（）

A.5B.6C.8D.9

18.（2026♦天津•高考真题）调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量,所得数据如图所示,

其中相关系数『=一0.91,根据最小二乘法算得：。=—1.172+1370.7,下列说法正确的是（）

个候鸟个数

O

A.g与①负相关B.当1=10时，y一定为1359

C.当±=10时，g一定小于1359D.两变量无线性关系

19.（2025・全国〃卷・高考真题）样本数据2,8,14,16,20的平均数为（)

A.8B.9C.12D.18

20.（2024・天津・高考真题）下列图中，线性相关性系数最大的是（)

A.B.Ox

C.D.Ox

21.（2024・新课标〃卷•高考真题）某农'也研究部门在面积相笔的100块稻田上种植一种新型水稻，得到

各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表

亩产[950,[1000,[1050,[1100,[1150,

[900,950)

量1000)1050)1100)1150)1200)

频数（）1218302410

根据表中数据，下列结论中正确的是（）

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产量低于UOOkg的稻田所占比例超过80%

•8•

C.100块稻田亩产量的极差介1200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

22.(2026・北京・高考真题)现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩,成绩分组及时应人数如卜.:

成绩分组[81,94)[94,107)[107,120)[120,135)[135,150]

人数406060328

以频率估计概率,完成下列问题：

⑴求数学成绩低于120分的概率；

(2)从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率;

(3)每组数据取左端、中间、右端，比较s%、s3s%的大小关系.

23.(2026・全国〃卷・高考真题)某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故隙的时间(天)，然后绘制

出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图：

(2)设成为首次故障时间小于365天的概率估计值.

(i)求力；

(ii)已知该工厂向某用户销售了100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障时间小于365天

的件数，若X-B(100,p),求E(X)和D(X).

•9・

24.(2028上海•高考真题)某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧

化硫密度进行了监测和记录，数据如下:

颗粒物密度101.0287.0257.4721.8511.768.865.034.633.86

二氧化硫密度119.4781.9453.209.166.604.403.313.353.86

(1)为进一步研究，从这9年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多

少？

(2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种

进行分析，并请你判断相关系数在(一1,0),(0,1),(1,2)哪个区间内？(直接写结论)

(3)2023年前9年的年份G)的平均数为2018,g(颗粒物密度)关于双年份)的回归方程拟采用夕=

106.544e-°-461(x-2014)，或g=a(x-2014)+83.743.已知2023年实际颗粒物密度为3.88,则哪个回归

方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？

参考数据：106.544e-0461x9^1.681

•10•

25.(2026・上海・高・考真题)某兴趣班共130人，年龄分布及兴趣爱好统计如下:

植期fi■■Aft

[25,35)845

[35,45)1055

[45,55)650

⑴现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在［25,35)岁的有多少人？

(2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？

(3)现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在［35,45)为事件4,记抽到学员爱好摄影为事

件R事件4与8是否独立？请说明理由.

•11•

26.（2025・上海・高・考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男了4x100米混合泳接力金牌.以下是历届

奥运会男子4X10（）米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位:秒），数据按照升序排列.

206.78207.46207.95209.34209.35

210.68213.73214.84216.93216.93

⑴求这组数据的极差与中位数；

⑵从这10个数据中任选3个,求恰有2个数据在211以上的概率：

（3）若比赛成绩y关于年份。的回归方程为g=—0.311i+九年份1的平均数为2006,预测2028年冠

军队的成绩（精确到0.01秒）.

■12­

27.(2025・上海•而考真题)甲、乙是两个体育社团的小组.如下是两组组员身高的茎叶图(单位：厘米),

以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边.

甲队乙队

159

7756788

854

甲、乙两小组组员身高分布茎叶图

(1)分别求甲、乙两组组员身高的笫60仃分位数；

(2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率；

(3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组.是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组

后，甲、乙两组的平均身高都增大？

■13­

28.(2024・上海・高考真题)为了解某地初中学生体育锻炼时K与学业成绩的关系，从该地区29000名学

生中抽取580人，得到R均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示:

时间范围学业成绩[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

优秀5444231

不优秀1341471374027

(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？

(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1)

(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与口均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关?

n(ad-bc)2

(附：犬=其中？i=a+b+c+d,P(Z2>3.841)=0.05.)

(a+b)(c+d)(Q,+c)(b+d)

•14•

29.(2024・上海・高考真题)水果分为级果和二级果，共136箱，其中级果102箱，二级果34箱.

(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；

(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；

⑶抽取若干箱水果,其中一级果共120个，单果质量平均教为303.45克,方差为603.46；二级果48

个，单果质量平均数为240.41克,方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估吴园中单果

的质量.

•15•

考点03随机变■及其分布

30.（2026・全国〃卷・高考真题）设U={（L,g）E£{—2,T,l,2},i=L2,3}为空间中64个点构成的

集合，点P（l,1,1）,记样本空间。=〃尸,从Q中随机取一个点,定义随机变量X如下:对Q中的每个

点力（如g,g），令XG4）=电+电+如则X的数学期望值为（）

A.B.一卷C.0D1

31.（2025・天津・高考真题）下列说法中错误的是（）

A.若X〜N（〃《2）,则F（X<〃-㈤=P（X>〃+#

B.若X〜NQ2）,，〜N（2,22）,则P（XVl）VP（y<2）

C.㈤越接近1,相关性越强

D.|『|越接近0,相关性越弱

32.（2025・上海・高考真题）己知事件4、B相互独立，事件A发生的概率为P（A）=春,事件B发生的概

率为尸（3）=；,则事件ans发生的概率p（4ns）为（）

A.!B.；C.4D.0

o42

33.（2024.新课标/卷.高考真题）（多选）随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动

茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位:万元）情况,从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩

收入的样本均值5=2.1,样本方差$2=（）.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布

N（1.8,0.12）,假设推动出口后的亩收入V服从正态分布可（五$2）,则（）（若随机变量Z服从正态

分布N（出炉），F（Z<//+Q弋0.8413）

A.P（X>2）>0.2B.F（X>2）<0.5C.P（K>2）>0.5D.F（Y>2）<0.8

34.（2026・上海・高考真题）已知随机变量X的分布为（二01),且E(X)=0.5，则b=

0.3bf

35.（2025•天津•高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.

5,若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4,6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次

跑5圈的概率为0.6,6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为；若一周至少跑11圈

为运动量达标,则连续跑4周,记合格周数为X,则期望E（X）=

36.（2025・上海・高考真题）已知随机变量X的分布为工o's），则期望E[X]=

37.（2025•全国/卷・高考真题）有5个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取3次,

每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数,则X的数学期望E（X）=.

38.（2024•上海・高考真题）某校举办科学竞技比赛，有力、3、C3种题库，A题库有5000道题，S题库有

■16­

4000道题，。题库有3000道题.小中已完成所有题，已知小中完成A题库的正确率是0.92,6题库

的正确率是0.86,C题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题，正确率是.

39.(2026・全国〃卷・高考真题)设整数N>2.某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮N次，当且仅当

投中1次时或N次均未投中时，停止练习.设该同学每次投中的概率为p(OVpVl),各次投中与否

相互独立.记X为停止练习时该同学的投篮次数.

⑴当N=4,p=^时，求X的分布列；

(2)设La均为自然数.

⑴当k«N-1时，求P(X>/v)；

(苑)当k+aMN-l时,证明：P(X>k+m\X>k)=P(X>m).

•17•

统计与概率

考点01概率

1.（2026・上海•高考真题）事件A和事件B相互独立,“A和B至少一个发生”的对立事件是（）.

A.AQBB.AUBC.AQBD.AUB

【答案】C

【详解】根据已知至少有一个发生，

则对立事件为都不发生，所以4UB的对立事件为才QA.

2.（2025・上海・高考真题）有一匹边形ABC。,对于其四边46、BC、CD、ZM,按顺序分别抛掷一枚质量

均匀的硬币：如硬币正面朝上,则将其擦去;如硬币反面朝上，则不擦去.最后，以4为起点沿着尚未

擦去的边出发，可以到达C点的概率为（）.

*YD瑞

【答案】B

【详解】根据题意，对于其四边AB.BC、CD、D4,按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币，

共有2x2x2x2=16种情况，

要从4出发沿着尚未擦去的边能到达点C,

若保留468。两条边，则CD,A4可保留也可擦去，

共有2x2=4种情况；

若保留4。,。。两条边，则力38。可保留也可擦去，

共有2x2—1=3种情况（其中有一种情况与上面重复）,

则要从4出发沿着尚未擦去的边能到达点。，共有7种情况，

所以可以到达。点的概率为1.

16

故选：2

3.（2024・上海・高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三

种礼品都有，现从中任选一个盒子,设事件4所选盒中有中国结，事件氏所选盒中有记事本，事件

C：所选盒中有笔袋，则（）

A.事件4与事件B互斥B.事件4与事件B相互独立

C.事件A与事件BUC互斥D.事件/与事件相互独立

【答案】6

【详解】选项人，事件4和事件6可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件

力与事件B不互斥，4错误；

选项B,•・•P（A）=-i-,P（B）=士,P（AB）=4,

224

:.P（A）P（B）=P（AB）,0正确;

选项。，事件人与事件6U。可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，

。错误；

选项0,•；P（A）=J,P（Bn。）=；,P（八n（8nc））=:,

•1•

.・.P(八)尸(3AC)#P(/ln(BQC)),

・•・力与Bnc不独立，故。错误.

故选：B.

4.(2024•全国甲卷・高考真题)某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场

次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，口甲或乙最后出场的概率是()

AXQJ-D/

A-6B-7。3

【答案】C

【详解】解法一：画出树状图，如图,

AAAAAA

丙丁乙丁乙丙丙丁甲丁甲丙

丁丙丁乙丙乙丁丙丁甲丙甲

丙T

甲乙丁甲乙丙

AAAAAA

乙丁甲丁甲乙乙丙甲丙甲乙

丁乙丁甲乙甲丙乙丙甲乙甲

由树状图可得,出场次序共有24种,

其中符合题意的出场次序共有8种，

故所求概率P=，=-y:

解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有2种排法，丁就1种，共2种；

当甲最后出场，乙排第二位或第三住出场，丙有1种排法，丁就1种，共2种；

于是甲最后出场共4种方法，同理乙最后出场共4种方法，于是共8种出场顺序符合题意;

基本事件总数显然是闻=24,

根据古典概型的计算公式，所求概率为£

243

故选：。

5.(202G・天津・高考真题)箱了里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取二次，二次都没取到黄球

的概率是：在三次都没取到黄球的条件下,至少取到一次红球的概率是

【答案】37

64

【详解】由题意,

第一空：

箱子里总共有6个球，其中黄球2个，非黄球共4个。

设事件4表示没取到黄球，事件4表示三次都没取到黄球,

有放回抽取，每次取到非黄球的概率为P(A1)=《=?,

VO

•2・

三次都没取到黄球的概率：&&)=(看y=得.

第二空：

设事件3表示至少取到一次红球，事件房表示三次都取到白球,

：，

P(B2)=(f)=|,

•・•三次都没取到黄球的条件下，至少取至“一次红球的概率：P(与32)=

P(4)

37

216=37

M一而

27

・•.在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是番.

6.(2026・上海・高考真题)已知事件G,B互斥,F(A)=0.2,P(B)=0.5,则P(AUB)=

【答案】0.7/吉

【详解】因为4出互斥，所以尸(/UB)=P(A)+P(B)=0.2+0.5=0.7.

7.(2024•全国甲卷•高考真题)有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中无放回地随机取3

次,每次取1个球.记m为前两次取出的球上数字的平均值，K为取出的三个球上数字的平均值，则

小与口之差的绝对值不大于9的概率为.

【答案】2

15

【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有用=120种，

设前两个球的号码为a,b,第三个球的号码为c,则土二一2芋

O乙乙

故|2c—(a+b)|&3,故-342c-(a+b)&3,

故a+b-3&2c&a+b+3,

若c=l,则a+b&5,则(a,b)为：(2,3),(3,2),故有2种,

若c=2,则l&a+b&7,则［Q,b)为：(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),

(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3；,故有10种,

当。=3,则3Wa+b49,则(a,b)为：

(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4^,(2,5),(2,6),(4,5),

(2,1),(4,1).(5,1),(6,1),(4,2；,(5,2),(6,2).(5,4).

故有16种，

当c=4,则5<a+b&ll,同理有16种，

当。=5,则7&a+b&13,同理有10种，

当。=6,则9<a+b415,同理有2种，

共m与九的差的绝对值不超过得■时不同的抽取方法总数为2(2+10+16)=56,

故所求概率为普=4.

•LZUL)

故答案为

15

・3•

8.(2024.天津.高考真题)某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项

白，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每

人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为;已知乙同学参加的

3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为.

【答案】4T

【详解】解法一：列举法

给这5个项目分别编号为A,B,C,D,E,从五个活动中选三个的情况有：

ABC.ABD.ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种情况，

其中甲选到4有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

则甲参加“整地做畦”的概率为：。=二=3；

105

乙选4活动有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

其中再选择。有3种可能性：ABD,ACD,ADE,

故乙参加的3个项目中有“整地做吐”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为4=4--

62

解法二：

设甲、乙选到A为事件Af,乙选到。为事件N,

则甲选到A的概率为P(M)=皂=斗;

Cr.5

乙选了4活动，他再选择。活动的概率为

故答案为H

9.(2024・新课标〃卷•高考真题)在如图的4x4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方

格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值

是.

11213140

12223342

13223343

15243444

【答案】24112

【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，

则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，

第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，

所以共有4x3x2x1=24种选法；

每种选法可标记为(a,b,c,d),a,b,c,d分别表示第一、二、三、四列的数字，

则所有的可能结果为：

(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),

•4・

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),

(13,21,33,44),(13,21,34,42),113,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),

(15,21,33,43),(15,21,33,42),115,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),

所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为15+21+33+43=112.

故答案为：24;112

10.(2024.新课标/卷•高考真题)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别

标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各

自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分，数字小的人

得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮二匕赛后，甲的

总得分不小于2的概率为.

【答案】4/0.5

【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为XI,X2,X3,X1,四轮的总得分为X.

对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种，从而

甲在该轮得分的概率尸(Xk=l)=-^―=1■，所以E(XJ=4(k=l,2,3,4).

4X4oo

从而E(X)=E(X.+X+X+X)=E£?(X,)=

234k=lk=lOZ

记PA=P(X=k)(k=0,l,2,3；.

如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出2,4,6,8,所以‘0=」7

=--1•

24'

如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出8,2,4,6,所以03=

1_1

Af-24,

而X的所有可能取值是0,1,2,3,故po+pi+P2+P3=1,Pi+202+3P3=E(X)=-y.

所以Pl+p2+=1，Pl+2P2+J=微■，两式相减即得P?+A=J,故P2+P：i=4"-

1ZoZZ4ZZ

所以甲的总得分不小于2的概率为△+「：,=£-.

故答案为：卷.

11.(2025・北京・高考真题)某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级

学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各1U0

名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80,乙校学生选择正确的人数为75.假设

学生之间答题相互独立，用撅率估计概率.

(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率P

(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计

X=1的概率及X的数学期望；

(3)假设:如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌

握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100%,乙校学生选择正确的概率为85%.设甲、乙两校高一

•5•

年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为“，打，判断“与的大小(结论不要求证明).

【答案】⑴言

5

⑵0.35,E(X)=1.55

(3)pi<p2

【详解】(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率2=黑=白.

1UU0

⑵设4为“从甲校抽取1人做对”，则=0.8,P(㈤=0.2,

设B为“从乙校抽取1人做对”，则P(B)=0.75,P(5)=0.25,

设。为“恰有1人做对"，故F(C)=P{AB)+F(AB)=P(A)P(B)+P(X)P(B)=0.35

依题可知，X可取0,1,2,

P(X=0)=P[AB)=0.05,P(X=1)=0.35,P(X=2)=0.8x0.75=0.6,

故X的分布列如下表：

X012

p0.050.350.6

古攵E(X)=1x0.35+2x0.6=1.55.

(3)设。为“甲校掌握这个知识点的学生做该题”，

因为甲校掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目，

未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，

故尸(D)+；=0.8,即Pi+；x(1—a)=0.8,故pi=拈，

4415

同理有，0.85p2+4-x(1—p2)=0.75,故P2=g,

46

故Pl<02・

12.(2025•全国〃卷・高考真题)甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分.设每个球

甲胜的概率为p(^VpVl),乙胜的概率为q,p+q=l,且各球的胜负相互独立.对正整数k>2,记

Pk为打完上个球后甲比乙至少多得2分的概率，勺卜为打完七个球后乙比甲至少多得2分的概率.

⑴求热.(用U表示)•

(2)若21Z世=4,求p.

q「q3

(3)证明：对任意正整数m,PM+1-Wm+l<P2m-色mVp2in^2-g2m+2.

【答案】(1)p：,一2J-.3(4-3p)

⑵P=4

<5

(3)设打完A;个球，甲的得分为X-乙的得分为K,+K=k,

所以P2,n=P(X2m>m+1),02m+l=>m+2),02,n+2=^(^2m+2>TH+2),

Q2m=P(L>M+1),(?2m+l=P(/+l>TH+2),Q2m+2=RXm+2>+2),

要证明p2,n+l—92rn+l<P'2m_Q2m<p2rn+2~(12ni+2,

即证明①p2,n+l-Pim<q*2“什1~q2m,②Pim+2一Pirn><72rn+2一(12m，

先证明①p2rn+l-p淅<q2m+{-q2m,

P2m+1-P2m=^(^2m+l>巾+2)-P(X.2m>771+1)

•6•

-

—尸(X3”>m+2)+P(X2ntm+1)p—P(X2m>m+1)

=P(X2m=m+l)p-P(X2m=m+l)

=(2―1)印-i,

同理可得q2m+i—q2m=(q-1)。器W,

所以①o(p—V(q—DCS：*"%"1=p\p-1)<q2(q-1)<^~p2q<-q2p<=>~P<

—g00>q,故成立：

证明②P2〃H2-p2m>q2„t+2-02m：

P2m+2-P2rn=^(^2rn+2>M+2)—P(X2m2771+1)

22

=P(X2„=m)p+P(X2trt=m+l)[l-(l-p)]+P(X.2lu》m+2)—P(X2tn^m+1)

2

=P(x2tn=m)p+P(X2m=n+1)[1-(1-p)2]+P(X2tn1)-P(X2,n=m+1)-尸(X2m>m

+1)

2

=P(X2m=7n)p2+P(X2m=7n+l)(l-Q)-P(X2,n=m+l)

=(XpnW2-q2C£V"iq"i

=C^p,n+2q,n-C^lpm+l^n+1,

同理可得0m+2-以n=G；；4”+2pm-6：广产少+1,