人教版七年级上册数学：有理数的四则运算（讲义+练习）

有理数的四则运算

知识点有理数的四则运算\

1

教学目标1.掌握有理数的加、减、乘、除运算，理解有理数的运算律，并能运用

运算建简化运算，能运用有理数的运算解决简单应用问题

2.理解乘方的意义，会进行乘方的运算及简单的混合运算（以三步为主）

3.数学的基本思想一分类思想与数形结合思想的渗透

教学重点1.初步掌握有理数运算法则，并能利用运算律简化运算\

2.通过有理数的四则运算，培养学生的运算能力J

3.激发学生学习数学的兴趣!

教学难点对有理数运算法则的理解，特别是对有理数乘法法则的理解：

【教学建议】

有理数五种运算法则的本质是:一确定符号，二计算绝对值.

口诀：先看运算再看数，定好顺序不跳步，明确法则符号先，字迹工整要记住

有理数加减法运算技巧：同号结合.凑0结合.凑错结合.拆数变形,带分数拆分整数.

分数小数统一形式，同分母或便于通分的结合

在理解的基础上，把有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算用于新的情境。

综合使用已掌握的有理教的运算，选择或创造适当的方去解决问题。

【知识导图】

运算率

加法转化成减法

运算率

有理数运算

乘法转化成除法

科学计数法

教学过程

一、导入

回顾用正负数表示数量的实际例子

在足球比赛中，如果把进球数记为正数，失球数记为负数，它们的和叫做净胜球数.若红队

进4个球，失2个球，则红队的胜球数，可以怎样表示？蓝队的胜球数呢？

师：如何进行类似的有理数的加法运算呢？这就是我们这节课一起与大家探讨的问题.

二、知识讲解

考点1有理数的加法

1.有理数的加法法则

(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.

⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较

小的绝对值.q为相反数的两数相加得0.

⑶一个数与o相加，仍得这个数.

2.加法运算律

⑴交换律两数相加，交换加数的位置，和不变.a+b=b+a

⑵结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.

(a+b)+c=a+(b+c)

3.有理数加法运算步骤如下；

⑴先确定和的符号；

⑵再确定和的绝对值.

【教学建议】运用有理数加法的运算律，可以任意交换加数的位置.把交换律和结合律灵活

运用，就可以把其中的儿个数结合起来先运算，使整个计算过程简便而又不易出错.

1.有理数减法法则:

减去一个数，等于加这个数的相反数.a-'na+J"）

2.有理数减法的运算步骤：

①把减号变为加号（改变运算符号）

②把减数变为它的相反数（改变性质符号）

③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.

3.有理数加减混合运算的步骤：

①把算式中的减法转化为加法：

②省略加号与括号；

③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.

【教学建议】根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可

以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为

代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形

式.

考点3有理数的乘、除法

1、有理数乘法法则：

（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘;

（2）任何数同0相乘都得0；

（3）多个有理数相乘:

注意：a：只要有一个因数为0,则积为0。

b：几个不为零的数相乘，积的符号由负数的个数决定，当负数的个数为奇数，则

积为负，当负数的个数为偶数，则积为正。

2、乘法运算律：

(1)乘法交换律：

(2)乘法结合律：

(3)乘法分配律:

3、有理数除法法则：

(1)法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数

(2)符号确定：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

(3)0除以任何一个非零数，等于0；0不能作除数！

考点4有理数的乘方

1、有理数的乘方法则：求n个相同因数的积得运算叫做乘方，乘方的结果叫作累，其中

a叫底数，n叫指数。

2、乘方运算法则：正数的任何次基还是正数；负数的奇次哥是负数，负数的偶次幕是正数；

。的任何非()次帮都是0;。的0次将无意义。

3、有理数的混合运算顺序：先算乘方、再算乘除、最后算加减；有括号要先算括号里的；

同级运算从左至右依次进行。

4、注意：一(_〃)2向=_/向

三、例题精析

类型一有理数的加法

例题1

【题干】计算：(-2.39)+(+3.57)+(-7.61)+(-1.57)

【答案】解：

=[(-2.39)十(-7.61)]+[(3.57)十(-1.57)]

二一10+2

=—8

【解析】此小题逐个相加当然可以，但较麻烦.可以利用加法的交换律和结合律，正、

负数分别结合，再相加.

例题2

【题干】计算：

【答案】解:

卜(-°・25)+「，卜(+。/25)+(+3")

(31、1

=-2-+-+0+3-

I44；8

=-3+3-

8

~8

【解析】分数与小数均有时，应先化为统一形式.若有同分母的分数或易通分的分数，应先

结合在一起.

【总结与反思】有理数运算需要学生仔细观察，充分运用有理数加法的运算技巧，简化运算。

类型二有理数的减法

例题1

【题干】计算：-3-(+5)

【答案】-8.

【解析］(-3)_(+5)=(-3)+(-5)=-8

【总结与反思】根据有理数减法法则，减去一个数等「加上它的相反数,再按加法法则进行;

例题2

21

【题干】计算：(-6-)-9-+1-31+7.4+9.2-4

55

【答案】0

【解析】

(-6|)-91+1-31+7.4+9.2-4

2121

=(-6-)+(-9-)+3+7-+9-+(-4)

=[(-65)+75°+(-91)+91+[3+(-4)]

=1+0+(-1)

=0

【总结与反思】根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算

可以依据上述法则转变为只有加法的运算，分数与小数均有时，应先化为统一形式，注意互

为相反数的数要结合；

例题3

【题干】对于任何有理数a,下列各式中一定为负数的是()

A.-(-3+。)B.-aC.-|a+l|D.

【答案】D

【解析】A.-(-3+a)=3-a,aW3时，原式不是负数，故A错误；

B.-a,当aW0时，原式不是负数，故B错误；

C.v-|a+l|<0,.•.当aH—l时，原式才符合负数的要求，故C错误;

D.v-|a|<0,-|a|-1<-l<0,所以原式一定是负数，故D正确.

【总结与反思】负数一定小于0,可将各项化简，然后再进行判断.

类型三有理数的乘、除法

例题1

【题干】已知国=3,仅|=2,且x”V0,则Ay的值等于()

A.5或-5B.1或-1C.5或1D.-5或-1

【答案】B

【解析】V|x|=3,|y|=2,x*y<0,

，x=3时，y=-2,则x+y=3-2=1：

x=-3时，y=2,则x+y=-3+2=-l.故选B.

【总结与反思】此题主要考查了绝对值的性质和有理数乘法法则，能够根据已知条件正确的

判断寓x.y的值是解答此题的关键

例题2

【题干】下列运算有错误的是()

A.1^-(-3)=3x(-3)B.(-5)+(-：)=-5x(-2)C.8-(-2)=8+2D.2-7=(+2)+(-7)

【答案】A

【解析】根据有理数的运算:法则判断各选项的计算过程.减去一个数等于加上这个数的相反

数；除以一个数等于乘以这个数的倒数.

【总结与反思】主要考查了有理数的减法与除法法则.注意，乘法是除法的逆运算，加法是

减法的逆运算.

类型四有理数的乘方

例题1

【题干】计算：(-2)+(-2)x[(-4)2+2]-(-4)24-(-2)

【答案】-36

【解析】原式=-8-36+8=-36

【总结与反思】有理数的乘方要注意：（-〃「=/”，，，（_〃广+丁一/向

例题2

【题干】观察下面三行数：

-2.4,一8.16.-3264......①

06.-6.18.-3066......②

-1.2,-4.8-1632....③

（1）第①行按什么规律排列？

（2）第②③行与第①行分别有什么关系？

【解析】（1）第①行数是一2.（—2/.（—2-.（-2）4……

（2）对比①②两行数第②行数是第①行数加2,对比①③两行数第③行数是第一

行数的0.5倍。

四、课堂运用

1.计算：-2-(-3)+(-8)+42=：

2.计算：(1L+2£-2£)x(-42)=.

637

3.下列计算正确的是()

/\2

A.1-1x3=-1B.-32-(-2)?=lC.64-3x1=6D.-(-1)2，K，5=3^-

答案与解析

1.【答案】9

2.【答案】一23

3.【答案】D

【解析】按照有理数混合色算的顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，就

先算括号里面的.计算过程中注意正负符号的变化.

巩固

1.式子-2-(-1)+3-(+2)省略括号后的形式是()

A.2+1-3+2B.-2+1+3-2C.2-1+3-2I).2-1-3-2

2.计算4+(-1.6)-3+2.5之值为何()

A.-1.1B.-1.8C.-3.2D.-3.9

3.下列判断：①若cib=O,则折0或/?=0；②若a2=b',则a=b；③若ac2=be2,则a-b\

④若同=网，则(“+))•(〃-〃)是正数.其中正确的有()

A.©@B.①②③C.①D.②③

答案与解析

1.【答案】选B.

【解析】①括号前面有“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号不改变；

②括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项的符号都要改变为相反

符号.

2.【答案】选C.

【解析】遇到乘除加减混合运算，应先算乘除再算加减.所以这道题应先把T.6和2.5变

成分数，然后把除法变成乘法计算后，再算减法，算减法时根据减法法则减去一个数等于加

上这个数的相反数把其变成加法，最后利用同号两数相加的加法法则计算即可得出值.

3.【答案】A.

【解析】①两数之积为0,说明至少有一个数为0；

②两数的平方相等，说明两数相等，或为相反数；

③若c=0,则a,b可为任意数：

④若|a|>|b|,(a+b)与(a-b)同号.

1.若4b.c在数轴上位置如图所示，则必有()

「JJJ'J「J

a-2-10hIc2

A.abc>0B.ab-ac>0C.(a+b)c>0D.(〃-c)b>0

2.有理数a,力在数轴上的位置如图所示,则在a+b,a/,ab,3s这五个数中，正

数的个数是()

-101b

A.2B.3C.4D.5

3.定义。※。二a-。，贝I」（跳2）派3=.

答案与解析

1.【答案】B.

【解析】根据图示得知，aVTVOV8VIVc,然后根据有理数的混合运算法则进行计算.

2.【答案】A.

【解析】首先由数轴得出ab的正负：-l<a<0,b>l>0,再根据有理数的运算法则进行

计算即可得出选项.

3.【答案】根据题意可知，（1X2）派3=（1-2）派3=-1※3=1-3=-2.

【解析】按照定义的规则计算.

五、课堂小结

本节讲了5个重要内容：

1.有理数加减法法则是什么？如何运用？

2.有理数乘除法法则是什么？如何运用？

3.有理数乘方运算是什么？如何运用？

4.如何根据有理数的运算法则简化运算？有哪些运算技巧？

5.如何进行有理数四则混合运算？运算顺序是什么？

六、课后作业

基础

1.较小的数减去较大的数所得的差一定是()

A.正数8.负数C.0D.不能确定

2151

2.计算：

341

3.计算：2+(——)x--r(—5—)

答案与解析

1.B.

2.解：(--1)~(+^-)-(-T)-(-T)

3263

=(--)+(--)+(+*)+(+3

3263

4352

=(一工)+(-工)+(+工)+(+工)

666b

77

=(-)+(+-)

760

=0；

3.解：原式=2x(—)x—;-(---)

377

「747

=2x—x—x—

14

27

巩固

I.下列结论中，正确的是()

力.在有理数的加减法中，和不一定比加数大，被减数不一定比减数大

B.减去一个数等于加上一个相反数

CO减去一个数，仍得这个数

D.互为相反数的两个数相减得0

2.若a<0,b>0,且贝！1〃+