中考数学 压轴题型 动点问题（附答案）

压轴题型动点问题

1.12026•吉林长春・一模)如图，在VA8C中，AB=AC=\0,6c=12,点。是边AB上的一点，且心=%

动点〃从点。出发，沿折线QB-BC运动，动点。在4。上，LNDPQ=ZABC,连接OQ.

⑴VABC的面积为___________；

⑵当时，求线段?/)的长：

(3)当Z)P_LBC时，求线段C0的长；

(4)当VDP。是直角三角形时，直接写出线段户〃的长.

【详解】(1)解；如图1，过点A作卜点M，

A

P尸_AB=AC=10，AA/1BC，BC=12,

B/j\c

图1

•.BM=CM=；8c=6,AM=>)AB2-BM-=7102-62

=8，

:.S*>AmR.C=-2BC-AM=-2x12x8=48；

(2)解：当「在AB上时，PD=PB=^BD=^(AB-AD)=gx(10

当夕在BC上时，如图2,过点A作AM1BC于M，过点〃作PN1AB于N,

图2

由（1）得8M=CM=6,BD=AB-AD=10-4=6,

八力厂BM63

cosZ.ABC==——=—,

AB105

♦:PN1AB，PB=FD，

:.BN=DN=、BD=3,

2

,PB=-^4=5

cos/.ABC3,

5

：.PD=PB=5；

综上，线段PD的长为3或5：

（3）解：如图3,

A

P图3

_BP_3

:"BPD=/DPC5,cosZABC：==-9

BD5

...BP=-BD=-x6=—,

555

APC=BC-BP=n--=—,

55

\AB=AC,

:2BC=NC，

,ZDPQ=/ABC,

:.ZDPQ=^C,

NDPQ+NQPC=90。,

.'.ZC+ZQPC=90°,

NPQC=90。，

NDPB=NPQC,

:“DPBs,PQC,

18

处=空即2=工

PCCQ42CQ'

T

COJ26

.co-石;

(4)解：如图4，当NPOQ=90。时,

NDPC=NDP。+Z.QPC=NPDB+ZABC,NDPQ=NABC,

;.NQPC=/PDB,

,;NB=NC，

.z.DPBs,PQC,

BDPD3

/.——=——=-,

PCPQ5

PC=-BD=-x6=\0,

33

:.PB=BC-PC=\2-}0=2；

如图5,当/。。P=90。时,

NDPC=NDPQ+NQPC=NPDB+NABC,"PQ=^ABC,

:.NQPC=NPDB,

vZB=ZC，

*DPBs、PQC.

BDPD5

---=---=—，

PCPQ3

331R

/.PC=-BD=-x6=—,

555

.\PB=BC-PC=\2--=—；

55

当NOP。=90。时，由于ZABCx900,ZDPQ=ZABC,故此情况不存在；

42

综上所述，PB的长为2或不.

2.（25-26九年级上•重庆•月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线），=♦十法+4（〃工0）与x轴交于

/、3

A（yo）、夕两点（A在8的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线工=-1

⑵点尸是射线AC上方抛物线上的一动点，过点户作P7/1AC于点从PD〃x轴交4。于点。，点E是直

线8c上一动点，连接PE，当PO+克P〃取得最大值时，求点。的坐标及此时PE+匝BE的最小值：

217

⑶在（2）中PQ+#P”取得最大值的条件下，将抛物线¥="2+"+4（4工0）沿射线4。方向平移4上个

单位长度得到抛物线V，点M为点〃的对应点，点N为抛物线V上的一动点.若

ZABN+2ZPOC+AOPM=180%请直接写出所有符合条件的点N的横坐标，并写出其中一种结果的解答

过程.

【详解】（1）解：♦.,抛物线＞=皿2+"+4（ax0）与*轴交于A（-4,0）,

16〃-46+4=0①，

3

•・•抛物线的对称轴是直线x=-二，

b3

---=——即b=3〃②,

2a2

由①②联立得产”+4=0,傩得:a=-1

b=3ab=-3

，抛物线的解析式为y=---3x+4；

(2)解：•・•y=-x2-3x+4,

AA(-4,0),6(1,0),C(0,4),

・・.。4=久=4./A0090。，

・・・/Q4C="C4=45。，

设直线AC的解析式为丁二米+〃，

—Al-+h=0\k=\

把A(yo),c(0,4)代入得■,解得

b=40=4

・,・直线AC的解析式为y=x+4,

设P(〃z,-病-3〃z+4)(-4<用<0),

•••「。〃1轴交4。于点。，

/.D^-m2-3/〃+4),

PD=-nr-3〃?-m=-nr-4m，

•・•ZC4O=45°.

・•・/PQH=NC4O=45。，

又•:PH=PDcos45°=—PD,

2

MD泻PH=PD吟*PD号PD号(-nr-4/〃)=-m(〃?+2)~+6,

2

•・当仁2时,如?”有最大值，此时尸(-2,6)；

.­.4(-4,0),"(1,0),C(O,4),

\0A=0C=4,08=1,ZAOC=90°.

*.BC=《e+个=而，

\sinZOC«=而一m

设宜.线8c的解析式为丁=V+A，

k+匕=Ok=-4

把8(1,0),C(O,4)代入得｛i,解得］一,

4=4也=4

・•・直线BC的解析式为y=-4x+4,

设E(e,-4e+4),

如图：过k作即〃X轴，则尸(1,4+4),

sinZ.EBF=sinNCOB=

17

,/sinZEBF=—=—

BE17

EF叵BE,

17

/.PE+—BE=PE+EF,

17

如图：连接PF，过〃点作户618户的延长线于伉则6(1.6)

・・・要求PE+姮BE的最小值，只需求PE+即得最小值,

17

由三角形的三边关系可知：PE+EFSPF，

又由垂线段最短可知：PF的最小值为PG,

・•・PE+Y亘BE的最小值为P。=1一(一2)=3.

(3)解；由(2)知，当，。十正『〃取得最大值时，点。(一2,6),

2

•・•抛物线y=-X2-34+4沿射线AC方向平移4拉个单位长度得到抛物线V，即抛物线y=-.v2-3x4-4向

右平移4个单位，再向上平移4个单位，

・••点。的对应点回的坐标为(-2+4,6+4),即"(2,10),

》4=一1+打+今

25.，0，

X+--4+—+4=-x~+5x+4,

24

如图：取点尸关于y轴的对称点匕即4(2,6),ZPO7?=2ZPOC,连接PM,O耳并延长交于点凡PMliy

轴交于点F,

'：ZABN+2NP0C+N0PM=180°,

...1ABN+NPOR+4JPM=180°,

/BRP++NOPM=180°,

：・/BRP=ZABN,

设直线PM的解析式为y=,

仇=

把尸(-2,6),"(2/0)代入得(-24-2+A2=6解得‘1

[2^2+/?2=10也=8

・•・直线PM的解析式为y=X+8,

・•・尸(0,8)；

设直线。4的解析式为y=%x，

把4(2,6)代入得6=2%,解得a=3,

・•・直线。4的解析式为y=3%，

联立解得:{;二

・・・/?(4,12),

2：222

•・・F/^二(0一2),+(8—6)2=8,/?[2=(4-2)+(12-6)=40,/?F=(4-0)+(12-8)=32,

・・・叶+RF?=而,程=2拉,"=4啦，

«m=90。，

FP1

・•・tanNABN=tan/BRP=7=一,

RF2

，・,川为抛物线V,上的一动点.）/=一（工+2一4）+1+4=—胃+5X+4

・••设N,,T??+5〃+4),

卜〃一+5〃+41

2

.-n~+57?+4=,或-n2+5〃+4_1

1-/22\-n~~2

当安产.时'解得〃片中或3厘（不合题意，舍去）；

.711-7177V177-7'

••N，；

\48/

当二〃-"5〃+4=一_［时,解得“「二3犷或%="3国（不合题意，金去）：

\-n2'4-4

（9-3V175-3忖

••N,~•

\48/

综上，所有符合条件的点、的坐标为（上”，空］或〔匕誓，沼叵］

I48）［48,

（1）问题提出：如图①，矩形ABC7）的对角线4。的长为8,。。的半径为2,点£是。。上的动点，则点以

«之间的最大距离为；

⑵问题探究：如图②，在VABC中，点8关于AC的对称点为点〃，点6、6在4C上，连接BG并延长到

点£连接DE、DF、BF，若四边形FGED是平行四边形，求证：BF=BG；

（3）问题解决：如图③，某区计划将VA8C区域建成一个户外健身区，AB=AC=500m,BC=600m.现要

在线段BC上找两点〃、E（D、£是BC上的动点，点〃在点£的左侧），Z）E=3（X）m,点尸是一个出入口，且

点.厂是AC的中点，连接AZ）、EF，为方便市民出入，沿四边形4功尸的四边修建人行通道，以0E为直

径在BC卜方作半圆。（半圆0。随着DE移动而移动），将半圆。建成公园绿地运动区，点尸是半圆。上的

一个动点，从月到户沿直线修建一条塑胶跑道，设计人员要求在人行通道的长度(即四边形4小尸的周长)

最短的条件下，塑胶跑道八户的长度尽可能的长.请你帮设计人员求出当人行通道的长度(即四边形的

周长)最短时，塑胶跑道4,的最大长度.道(人行通道与塑胶附道的宽度均忽略不计)

【详解】(1)解：连接BD，

•・•四边形ABCD是矩形，

・・・BD=AC=8,

当8,DE共线，且点〃在粗)的延长线上时，SE最大，最大值=8+2=10.

(2)证明：•・•点8关于AC的对称点为点〃，

：£BFG=NDFG,

•・四边形FGED是平行四边形，

:.GE//DF,即BE〃麻，

:"BGF=NDFG,

:.ZBFG=ZBGF,

:BG=DF.

(3)解：八8=AC=5(X)m，点尸是八。的中点，

-XF=CF=250m,

•・四边形ADEF的周长=AD+DE-EF+AF=AD+300+EF+250=AD+EF+550(m),

:•当AQ+EF的值最小时，此时四边形人"£户的周长最小.

作点力关于BC的对称点G,连接Z)G，将OG向右平移使点〃与点£重合得到线段EH,连接GH,连接FH

交8c于点£,则四边形石是平行四边形，

：・GH=DE=300m,AD=GD=EH,

•••AD+EF=EH+EF>FH,

・•・当点八£、〃三点共线时，四边形八£火尸的周长最小，此时点£与点£重