空间几何体（专项训练）-2027届高考数学一轮复习

第42讲空间几何体

（时间:45分钟）

SBE1O

1.正四棱台的上、下底面的边长分别为24侧棱长为2,则其体积为（）

A.20+12V3B.28V2

D华

2.（2025・八省联考］底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（）

B.n

C.2兀D.37r

3.已知圆柱的上、下底面的中心分别为。、。2,过直线01。2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正

方形，则该圆柱的表面积为（）

A.12V2nB.127T

C.8V2nD.IOTI

4.［2024•山西临汾三模］宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑:汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定

窑，其中汝窑被认为是五大名窑之首.如图。这是汝窑双耳罐,该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼

接而成，其直观图如图②所示.已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米,

上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米,且上、下两圆台的高之比是3；4,则该汝窑双耳罐的体积是

)

人1784n

A—立方厘米B.

2304n立方厘米2504n立方厘米

5.（多选题）如图所示,AABC是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中O'C'=OA'=2（yB'=2,

则以下说法错误的是（）

V,

A.△八8c是钝角二角形

B.AABC的面积是AAEU的面积的2倍

C.点B的坐标为（0,企）

D.AA8C的周长是4+4直

6.已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球。的直径相等则圆锥的体积与球。的体积的比值

是，圆锥的表面积与球。的表面积的比值是.

7J2024•浙江金丽衢十二校联考］己知圆柱的轴截面面积为4,则该圆柱侧面展开图的周长的最小值

为.

编台提升

8.如图，正三棱柱ABC-481G的底面是边长为3的正三角形，侧棱AAi=4,一小虫从点A出发途经三个侧

面爬到点A、则小虫爬行的最短路程为（）

A.4B.5

C.V97D.3V17

9.［2023•全国甲卷］在三棱锥/M8C中,△A8C是边长为2的等边三角形/A=PB=2,PC=遍，则该三棱锥

的体积为（）

A.lB.V3C.2D.3

10J2024•北京西城区期末］如图，水平地面上有一正六边形地块ABCOEf设计师规划在正六边形的顶

点处矗立六根与地面垂直的柱子,用以固定一块平板式太阳能电池板ABG。因人若其中三根柱子

AAISCG的高度依次为12m,9m,10m,则另外三根柱子的高度之和为（）

A.47mB.48m

C.49mD.50m

11.（多选题）如图,现有一个底面直径为10cm,高为25cm的圆锥形容器，已知此刻容器内液体的高度为

15cm,忽略容器的厚度，则（）

A.此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为：

B.容器内液体倒去一半后，容器内液体的高度为苧cm

C当容器内液体的高度增加5cm时,需要增加的液体的体积为粤cm3

•J

D.当容器内沉入一个棱长为诉cm的正方体铁块时,容器内液体的高度为V丽cm

12.(多选题)[2022・新高考全国〃卷]如图,四边形ABCD为正方形,EO_L平面ABCD.FB//

EDA8=七。二2/8,记三棱锥E-ACD.F-ABC,F-ACE的体积分别为SMM,则()

r

A.V3=2V2B.V3=2VI

r

C.V3=Vi+V2D.2Vs=3Vi

13.某圆环的内外半径分别为2和4,将其绕对称轴旋转一周后得到的几何体体积为.

14.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，也称陀罗，图①是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一

个圆柱的组合体,其直观图如图②所示，其中A是圆锥的顶点，氏C分别是圆柱的上、下底面圆的圆心，且

1,AC=3,底面圆的半径为1,则该陀螺的表面积是,

0

(D

15.如图，一个圆锥的底面半径为1,高为3,在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱.

⑴求此圆锥的表面积与体积.

⑵试用x表示圆柱的高九

(3)当x为何侑时.圆柱的表面积最大?最大表面积为多少？

能力

16祖晒原理也称祖氏原理，是我国数学家祖随提出的一个求体积的著名命题:“嘉势既同，则积不容

异:“得”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，若在等高处截面积相等，则体积相等.由

曲线［4=1»=蜴,y=乜围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V,则V=.

17」2025•山东新高考联盟联考］已知圆柱0。的底面直径为2,其轴截面是矩形ABC。4为底面圆弧

AB上任一点，若AAiC。面积的最大值为遮,则圆柱0i。的母线长为.

参考答案

第42讲空间几何体

1.D［解析］因为该正四棱台上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,所以该正四棱台的高

力二）22-（2a-&）2=&,下底面面积S1=16,上底面面积$2=4,所以该正四棱台的体积

⑸+52+7^）三x&（16+4+很尸竿.故选D.

2.A［解析］由题可知圆锥的底面半径R=l,母线长1=2,高质炉炉=/拿二6,・・・圆锥的体枳

吟.?=等.故选A.

3.B［解析］因为圆柱的轴截面是正方形，且面积为8,所以圆柱的高为2a,底面直径为2或，所以圆柱

的表面积S=27rxV^x2或+2x7rx（注）::二12兀故选B.

4.D［解析］上、下两圆台的高之比是3；4,故上圆台的高为14乂2=6（厘米），下圆台的高为

3+4

I4x3二8（厘米），故上圆台的体积-=6x"变普陋=3⑵（立方厘米），下圆台的体积

3+43

%8x皿吟亥I叵二哈（立方厘米），故该汝窑双耳罐的体积17=弘+心312/哈二等（立方厘

JJ

米）.故选D.

5.ABC［解析］根据题意作出AABC,如图所示.对于A,在AABC中。。=。4=。区=2/。_1_0®所以

8C=A8=2&/C=4,故4ABC是等腰直角三角形,A中说法错误;对于BqABC的面积是

/。、。8=4"3。的高为OExsin45。¥，所以0发(7的面积为押(7号=及,则“8。的面积是

△AEC的面积的2a倍,B中说法错误;对于C,因为08=2,所以点B的坐标为(0,2),C中说法错误;对于

D,MBC的周长为8C+A8+AC=4+4&,D中说法正确.故选ABC.

6怖1［解析］设圆锥的底面半径为八则其高为百，•，母线长为2r.设球O的半径为R,则2R二百r,即

R=，r,故■^她=3"：产；=；.圆锥的表面积S尸兀户+兀尸2r=3兀/,球O的表面积52=4兀/?2=4兀=,=3兀，，故

2%"挣)34

7.8«［解析］设圆柱的母线长和底面半径分别为々，根据已知得2/片4,由题意可得圆柱侧面展开图的

周长可以表示为L>=4兀<+2色2v4Trrx2/=8诉，当目.仅当4“=2/,即/=之,/=2A时等号成立，故(L

Vn

W)min=8\/lT.

8.C［解析］正三棱柱的侧面展开图为矩形如图所示，连接A4,因为正三角形ABC的边长为

3,恻棱44=4,所以A/V=9,所以AA=JAA，2+AA：=，81+16二历，即小虫爬行的最短路程为同，故选

C.

9.A［解析］取48的中点£连接PE,CE,如图.：2A8C是边长为2的等边三角形,PA=P8=2,.：PE_L

AB,CELAB,又P£,CEu平面PEC,PECCE=E,・：ABL平面PEC,又PE=CE=2x^=V3,PC=V6,.：

PC2=P£2+CE2,WPE_LCE,故V/M8C=%/EC+L-PK=；SAPEC/B二;x3xV5xV5x2=l.故选A.

JJ4

IO.A［解析］依题意可知4&。。£历六点共面，连接AZ）归ECF,由正六边形从3CDE尸的性质知

AD,BE,CF交于一点，设为。连接AQiBEQQ,由题意知4。向后,。内交于一点，设为Oi,连接OO1,

则0。」平面A8CDEA所以MAAi,BBi,CG,DDi,EEi,FR两两平行.连接AC交08于G,连接AQ交

。向于Gi,连接GGi,根据正六边形的性质可知四边形A8C。是菱形，所以AC,OB相互平分，则AQ.0出

相互平分，根据梯形中位线定理有GG产丝产=出詈,即*=学，可得。。尸13,在梯形BEEB

中,0是BE的中点，则01是BE的中点，所以EE产2。0「防产26-9=17,同理可得

以）产26-12=14,">26-10=16,所以。。|+EEi+FB=14+17+16=47（m）.故选A.

iiBCD［解析］作圆锥的轴截面如图，设SO产加00=〃。8=n,。4=几由相似三角形的性质可得?=4,

nr

所以警21=让粤二兽对于A,由于液体高度与圆锥高度的比值为9所以容器内液体的体积与容器的

L锥S03XJirhh25

容积的比值为Cl?二高A错误.对于B,设容器内液体倒去一半后液体的高度为6cm,则忌）W，解得

〃三塔,B正确.对于C,因为去弓=3,若*F=4,所以当容器内液体的高度增加5cm时，需要增加的液体

L25Z252

的体积为gx5x（3?+3x4+42）二等々cm'）,C正确.对于D,当容器内沉入一个棱长为昕cm的正方体铁块

•3O

3

时，设容器内液体的高度为“cm,体积卜="3\15+（诉）3=4671（5'）,则答=仁），所以

/7=15x33I^xl53=V3450（cm）,D正确.故选BCD.

I2.CD［解析］设正方形A8CD的边长为2,则EO=2,尸B=14。=2企,・：口二匕.产308石。4：'EO_L

平面48C。,尸8〃E。,・：”_L平面ABC。,・：匕二"-ABC=9SM8C/8二,.连接8D交AC于M连接EM,FM,1

•5*5

4C_LEO,AC_L4。,8。0£。=。,.：AC_L平面4OEF.过尸作"NJ_QE,垂足为N,则FN〃BD,RFN=BD=2a,

在RSENF中,EF7ENZ+FN2=3.在RtAMBF中,FM=VBF2+BMZ=8.在Ri^EDM

中，七M二V七772+〃时2二①,,：上对2+2用2二七产,即七故V3=WXC£=；3AEMF*AC'=2.故选项A,B错误,

选项C,D正确，故选CD.

13詈兀［解析］由题意可知，几何体体积为大球的体积减去小球的体积，所以几何体体积为

兀X2、落-当二事.

33333

I4.(5+V2)n［解析］由48=1,AC=3,得8C=2,则圆锥的母线长为旧”=或，圆锥的侧面积为

7-X2TIX1x，2=V2几，圆柱的侧面积为2兀xlx2=4兀，故该陀螺的表面积S=<2兀+4九+加、产=(5+。2)兀

15.解:(1)设圆锥的母线长为/,

由半径厂=1,高力=3,得/=VTo,

•:SW=K/7=X^1O7I,S底=兀/=兀，

故5&=(同+1)兀，

V=--7tr-/2-71.

3

(2)如图，连接OiAOA,由三角形相似可得”=*得/?=3(l-x)(0<x<l).

OA