贵州省贵阳市2025~2026学年高二下册教学质量监测数学试卷【附解析】

数学考试时间120分钟，满分150分.一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则为（）A. B. C. D.2.已知复数满足，则的虚部为（）A.-2 B.-2i C.2 D.3.已知的内角的对边分别为，若满足的有两解，则的取值范围为（）A. B. C. D.4.贵阳某中学要进行爱心义卖活动，需要挑选10名志愿者，10个相同的志愿者名额要分配给负责协调工作的8个部门，每个部门至少一个名额，则名额分配方法有（）A.45种 B.36种 C.28种 D.8种5.函数的最小值为（）A. B. C. D.6.已知变换，变换可以将平面向量逆时针旋转角得到向量，其中.若将向量按照的变换得到向量;将按照的变换得到向量，则与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.7.已知椭圆的左、右焦点分别是，点是上一点，直线的斜率为4，直线的斜率为，则的离心率是（）A. B. C. D.8.对于函数，若函数的零点为，的零点为，当存在，满足，则称为亲密函数.若，互为亲密函数，则实数a的取值范围是（

）A. B. C. D.二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题中，正确的是（）A.数据27，11，13，30，15，17，19，23的第70百分位数是23B.若回归方程为，则变量与成负相关C.若随机变量服从正态分布，D.样本相关系数，有时也称样本线性相关系数，越大，则线性相关性越强10.函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.图象的对称轴为C.将的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象D.若在区间上的值域为，则实数的取值范围为11.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，并且每次传球时传球者都等可能传给另外三人中的任何一人，则（）A.第一次球传出后恰好传给丙的概率为B.第二次球传出后恰好传给丙的概率为C.第二次球传出后恰好传给丙，且此球是由乙传出的概率D.球第次传出后恰好传给丙的概率为三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的常数项为_____.13.已知随机变量满足，且，则_____.14.正四棱锥的底面边长为，，则平面截正四棱锥外接球所得截面的面积为__________.四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求证:16.如图，已知三棱锥与都是边长为2的等边三角形，是中点.（1）证明:平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.17.某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响.（1）求甲正确完成面试题数的分布列及其期望；（2）求乙正确完成面试题数的分布列及其方差；（3）试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由.18.已知椭圆上顶点为，左焦点为，直线的斜率为2，且，（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与直线交于点，当时，求的取值范围.19.已知函数，．（1）若，求的值；（2）讨论的单调性；（3）若对任意，有恒成立，求整数的最小值．

数学考试时间120分钟，满分150分.一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据不等式的解确定集合，再结合集合交集运算求解即可.解答过程：，解得，又，即，解得，又.2.已知复数满足，则的虚部为（）A.-2 B.-2i C.2 D.答案：C解析：解答过程：因为，所以，则，所以的虚部为2.3.已知的内角的对边分别为，若满足的有两解，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用正弦定理求出，有两解需满足，即可求得b的范围.解答过程：在中，，，由正弦定理可得，有两解，则满足，所以，综上，的取值范围为.4.贵阳某中学要进行爱心义卖活动，需要挑选10名志愿者，10个相同的志愿者名额要分配给负责协调工作的8个部门，每个部门至少一个名额，则名额分配方法有（）A.45种 B.36种 C.28种 D.8种答案：B解析：思路：利用隔板法求解.解答过程：10个名额为相同元素，可用隔板法，10个相同元素分为8组，即将7个隔板插入9个空，.5.函数的最小值为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由，得.令，得或，当或时，，在和上单调递增，当时，在上单调递减，所以的极小值为，又当时，且，当时，，所以也是的最小值.6.已知变换，变换可以将平面向量逆时针旋转角得到向量，其中.若将向量按照的变换得到向量;将按照的变换得到向量，则与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据旋转变换公式计算得到、的坐标，再通过向量的坐标运算分别求出、的坐标、数量积与模长，最后代入向量夹角的余弦公式计算即可.解答过程：由题意可知，，所以，，,故.7.已知椭圆的左、右焦点分别是，点是上一点，直线的斜率为4，直线的斜率为，则的离心率是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据直线的斜率之积为，得出，再由直线的斜率为4，结合椭圆的定义，得，从而，再由，建立关于的等式求解.解答过程：因为直线的斜率之积为，所以，由直线的斜率为4，可知，所以，因为，所以，又，所以，所以，所以.8.对于函数，若函数的零点为，的零点为，当存在，满足，则称为亲密函数.若，互为亲密函数，则实数a的取值范围是（

）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用导数求出函数的零点，由定义确定函数零点所在的区间，再利用零点的意义分离参数并构造函数，利用导数参数的取值范围.解答过程：函数的定义域为R，求导得，函数在R上单调递增，而，因此函数有唯一零点2026，即，由，得，解得，则函数在上存在零点，令，由，得，由，得，则，依题意，在上有解，令函数，求导得，当时，；当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，，而，则函数在的值域为，所以的取值范围为.二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题中，正确的是（）A.数据27，11，13，30，15，17，19，23的第70百分位数是23B.若回归方程为，则变量与成负相关C.若随机变量服从正态分布，D.样本相关系数，有时也称样本线性相关系数，越大，则线性相关性越强答案：AB解析：解答过程：对于A，将已知数据排序得11，13，15，17，19，23，27，30，由，得第70百分位数为第六个数（23），即第70百分位数是23，故A正确；对于B，，变量与成负相关，故B正确；对于C，，，故C错误；对于D，样本相关系数越大时，线性相关性越强，故D错误.10.函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.图象的对称轴为C.将的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象D.若在区间上的值域为，则实数的取值范围为答案：ABC解析：思路：利用图象可求出函数解析式，即可得A；结合正弦型函数对称性计算可得B；借助三角函数平移变换计算可得C；结合三角函数图象及其性质计算可得D.解答过程：对A：由，故，解得，由图可得，则，由，则，则，解得，又，故，故A正确；对B：由A可得，令，解得，故图象的对称轴为，故正确；对：由题意可得，故正确；对D：当时，，由在区间上的值域为，即，则，故有，解得，故实数的取值范围为，故错误.11.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，并且每次传球时传球者都等可能传给另外三人中的任何一人，则（）A.第一次球传出后恰好传给丙的概率为B.第二次球传出后恰好传给丙的概率为C.第二次球传出后恰好传给丙，且此球是由乙传出的概率D.球第次传出后恰好传给丙的概率为答案：ABD解析：思路：先求出接到前两次传出的球的情况有共9种，设事件：第二次的球传出后恰好传给丙，事件：第二次的球由乙传出，求出，，再用条件概率公式计算，判断A，B，C.设第次传出后，球恰好传给丙的概率为，依题意可得，且，构造为公比的等比数列，求出即可判断D.解答过程：由已知接到前两次传出的球的情况有（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），共9种，显然第一次由甲传出球后，可能传给乙丙丁中间一个，故传给丙的概率为，故A正确；设事件：第二次的球传出后恰好传给丙，事件：第二次的球由乙传出，则，，则，故B正确，C错误；对于D，不妨设第次传出后，球恰好传给丙的概率为，易知若第次传出后，球恰好传给丙，则第次传出后，球不传给丙，而是由其他人传给丙，则，且，则，即数列是以为首项，为公比的等比数列，则，即，故D正确.故选：ABD.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的常数项为_____.答案：解析：思路：先求出的通项，然后赋值求得，即可求解常数项.解答过程：展开式的通项，由，得，所以所求常数项为.13.已知随机变量满足，且，则_____.答案：解析：解答过程：因为，则，即，且，解得，则，可得，又因为，所以.14.正四棱锥的底面边长为，，则平面截正四棱锥外接球所得截面的面积为__________.答案：解析：思路：利用直角三角形求出外接球的半径，设中点为，连接，过作，则即为点到平面的距离，根据相似即可求出，得到外接球所得截面的面积.解答过程：设正方形边长为，底面中心为中点为，连接，如图所示，由题意得，且正四棱锥的外接球球心，设外接球半径为，则，在中，，且，所以，解得，即，在中，，过作，则即为点到平面的距离，且为平面截其外接球所得截面圆的圆心，所以，则，所以，即平面截其外接球所得截面圆的半径为，所以截面的面积.四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求证:答案：（1）（2）由(1)得，则因，所以，即成立.解析：思路：（1）首先设等差数列公差为，利用条件解方程组即可；（2）通过第一问的，代入，利用裂项相消可求出，利用数列性质即可证明.（1）设等差数列的公差为，则，又成等比数列，所以，则化简得，即，解得，所以.（2）略16.如图，已知三棱锥与都是边长为2的等边三角形，是中点.（1）证明:平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）由题意，是边长为2的等边三角形，过点作于点，连接，则，又，则，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解析：思路：（1）作，证明，从而证明平面，再根据面面垂直的判定，证明两平面垂直；（2）在第（1）问的基础上，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解.（1）略（2）由（1）知，两两互相垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则.17.某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响.（1）求甲正确完成面试题数的分布列及其期望；（2）求乙正确完成面试题数的分布列及其方差；（3）试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由.答案：（1）（2）（3）甲通过面试的可能性更大，理由：因为，，所以，所以甲通过面试的可能性大.解析：思路：（1）确定的可能取值，利用超几何分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出期望即可；（2）确定的可能取值，利用二项分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出期望方差即可；（3）确定甲、乙通过面试的概率，比较即可的结论.（1）甲正确完成试题数的可能取值为，，，，，，所以甲正确完成面试题数的分布列为：.（2）乙正确完成面试题数的可能取值为：，，，，，，，所以乙正确完成面试题数的分布列为：所以，.（3）略18.已知椭圆上顶点为，左焦点为，直线的斜率为2，且，（1）求椭圆的