河南巩义市2025~2026学年高二下册期末考试数学试卷【附解析】

数学满分150分．考试用时120分钟．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．1.已知函数f(x)＝cosx，f′(x)＝－1，则x＝（）A.B.－C.＋2k，k∈ZD.－＋2k，k∈Z2.观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系系数为，图2两个变量的相关关系系数为，则下列判断正确的是（）A. B. C. D.3.某精密仪器厂生产一种微型轴承钢珠，其直径（单位：）服从正态分布.若，且，则下列描述正确的是（）A.， B.，C.， D.，4.若，则的值为（）A.14 B.15 C.16 D.175.已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（）3467204060A.2 B. C.4 D.6.一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为（

）A. B. C. D.7.已知，，则（）A. B. C. D.8.小明参加了一档综艺节目，节目中有这样一个游戏：如图，参与者一开始站在“点”的格子中，每次向右移动格或移动格，其中每次向右移动格的概率为，向右移动格的概率为，要求参与者一共移动次，每次移动之间互不影响，奖品放在“点”的格子中，次移动结束后参与者正好停在“点”格子中才能获得奖品，小明为了尽可能地拿到奖品，则的值为（）（小明）（奖品）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.在上单调递减 B.当时，取得极大值C.当时，取得极小值 D.是在上的最大值10.下列说法正确的是（）A.可表示为B.5个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手10次C.若把英语单词“happy”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种D.将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有8种不同的分派方法11.已知莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数（质数是指大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数）的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为．则下列说法正确的是（）A.B.对正整数，C.D.若且，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则______．13.在件工艺品中，有件二等品，件一等品，现从中不放回地抽取件，设抽得二等品件数为，则的值为______．14.已知函数，且是的一个极值点，若函数在上单调递增，则的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）求在上的最大值与最小值.16.已知展开式中的第二项、第三项、第四项的二项式系数成等差数列．（1）求的值；（2）若展开式的第项是有理项，求的取值集合；（3）将展开式中所有项重新排列，则有理项不相邻的不同的排法有多少种？17.某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示．1234567611213466101196（1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程；（2）公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？\保养未保养合计报废

20未报废

合计60

10062.141.54253550.123.47参考数据：．参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=i=1其中．0.250.10.050.0250.010.0011.3232.7063.8415.0246.63510.82818.某厂欲将一些零件交给该厂甲、乙两个车间加工，据以往统计发现，甲车间加工零件的达标率为（1）现将甲、乙两车间加工的该种零件按的比例混合在一起，从混合放在一起的零件中，随机抽取一件，该零件达标的概率为．（i）求乙车间加工零件的达标率；（ii）若从混合放在一起的零件中，随机抽取个，记这个零件中达标的个数为，求的分布列和期望；（2）乙车间为了争取更多的加工量，着重提高了加工该种零件的达标率，已知在乙车间提高加工达标率的条件下，该厂给乙车间增加加工量的概率为，在乙车间不提高加工达标率的条件下，该厂给乙车间增加加工量的概率为．设事件“乙车间提高了加工该种零件的达标率”，“该厂给乙车间增加加工量”，若，，试比较与的大小，并加以证明．19.已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）证明：若，则存在唯一的极小值，且.

数学满分150分．考试用时120分钟．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．1.已知函数f(x)＝cosx，f′(x)＝－1，则x＝（）A.B.－C.＋2k，k∈ZD.－＋2k，k∈Z答案：C解析：思路：利用导数的运算法则求得，然后解方程即可解答过程：解：＝－sinx，则sinx＝1，∴x＝＋2k，k∈Z．故选：C．2.观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系系数为，图2两个变量的相关关系系数为，则下列判断正确的是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据图象和相关系数的意义可得，，且，依次判断即可．解答过程：①分析图的相关系数：观察图1，散点图中的点大致分布在从左上到右下的带状区域内，随着的增大，总体呈减小趋势，根据相关系数的定义，两个变量呈负相关，故；②分析图的相关系数：观察图2，散点图中的点大致分布在从左下到右上的带状区域内，随着的增大，总体呈增大趋势，根据相关系数的定义，两个变量呈正相关，故；此外，观察图中点的分布比图1更紧密地围绕在一条直线附近，说明图的线性相关性更强，即，对于A，，，且，所以，A正确；对于B，，，所以，B错误；对于CD，，，所以，CD错误．3.某精密仪器厂生产一种微型轴承钢珠，其直径（单位：）服从正态分布.若，且，则下列描述正确的是（）A.， B.，C.， D.，答案：C解析：解答过程：∵直径服从正态分布，∴正态分布曲线的对称轴为，.∵，∴.又∵，根据正态分布的对称性，点与点关于对称轴对称，∴，解得，即.综上可得，，故选项C正确.4.若，则的值为（）A.14 B.15 C.16 D.17答案：B解析：思路：利用赋值法直接计算即可.解答过程：令，则，令，则，所以5.已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（）3467204060A.2 B. C.4 D.答案：A解析：思路：利用线性回归方程过点计算可得，再利用残差定义作差即可得.解答过程：由题设可得，故，故，即，故残差为．6.一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为（

）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用条件概率公式即可解出答案.解答过程：设事件为“从箱子中任取两球均为红色”，事件为“从箱子中任取两球至少有一球为红色”．则由题意知，,，所求概率为.故选：B．7.已知，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：观察值之间的关系，可作差构造函数，通过求导分析函数单调性，确定大小关系.解答过程：设（），则，在上单调递增，所以，当时，，取，得，即；设（），则，在上单调递减，所以，所以当时，，取，得，即.故.8.小明参加了一档综艺节目，节目中有这样一个游戏：如图，参与者一开始站在“点”的格子中，每次向右移动格或移动格，其中每次向右移动格的概率为，向右移动格的概率为，要求参与者一共移动次，每次移动之间互不影响，奖品放在“点”的格子中，次移动结束后参与者正好停在“点”格子中才能获得奖品，小明为了尽可能地拿到奖品，则的值为（）（小明）（奖品）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先通过解方程组可得次移动中需要次走格、次走格，再由独立重复试验的概率公式可得获得奖品的概率，再通过函数的导数判断概率的最大值可得.解答过程：设次移动中，有次移动格，次移动格，根据题意可得方程组：，解得，，即需要次走格、次走格.根据独立重复试验的概率公式，获得奖品的概率为，令，则，令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以函数在处取得极大值也是最大值，此时小明拿到奖品的概率最大.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.在上单调递减 B.当时，取得极大值C.当时，取得极小值 D.是在上的最大值答案：ABC解析：思路：根据导函数图象的正负判断函数的增减与极值、最值，依此判断各个选项即可.解答过程：对于A，由题图可知时，，单调递减，故A正确；对于B，C，由题图易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，故BC，正确；对于D，在上的最大值应是与中的较大者，故D错误.10.下列说法正确的是（）A.可表示为B.5个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手10次C.若把英语单词“happy”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种D.将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有8种不同的分派方法答案：BC解析：思路：根据排列数的计算公式可判断A；两两握手，即随便选出两人握手的所有可能结果数，再通过计算即可判断B；先对h，a，y进行排列，再将p放入位置中即可，列出式子计算即可判断C；按3，1分组和2，2分组两种情况，分别求出对应的安排方法，相加即可判断D．解答过程：对于A，，故A错误；对于B，5人两两握手，即从5人中随便选出2人握手，即共握（次），故B正确；对于C，在5个位置中选3个位置填入h，a，y，剩下2个位置填入p，共有（种），其中正确的只有1种，则可能出现的错误共有（种），故C正确；对于D，将4人按3，1分派，共种；将4人按2，2分派，共有种，故每个学校至少派1人，共有14种分派方法，故D错误．故选：BC．11.已知莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数（质数是指大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数）的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为．则下列说法正确的是（）A.B.对正整数，C.D.若且，答案：AD解析：思路：对于A，根据定义计算即可；对于B，取排除即可；对于C，取排除即可；对于D，利用定义由组合数定义以及二项式定理计算可得．解答过程：A项：，所以，故正确；B项：取，则，故错误；C项：取，则，则，故错误；项：，且，所以，且为偶数，，，所以，所以，故正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则______．答案：解析：思路：直接根据条件概率公式及和事件概率公式计算可得.解答过程：由​，变形得.又由和事件概率公式为：.因此.13.在件工艺品中，有件二等品，件一等品，现从中不放回地抽取件，设抽得二等品件数为，则的值为______．答案：解析：思路：首先确定抽得二等品件数服从超几何分布，进而根据超几何分布的性质及期望的性质计算可得.解答过程：抽得二等品件数服从超几何分布，总体容量，其中二等品，抽取样本量，的可能取值为，由超几何分布的期望公式为，代入得，根据期望性质得.14.已知函数，且是的一个极值点，若函数在上单调递增，则的取值范围是______．答案：解析：思路：先由极值点的导数为零得，再由函数在上单调递增得导数在区间上恒成立，进而可得，再结合极值点的左右导数须变号得，从而可得结果.解答过程：由函数，函数定义域为，.因为是的极值点，所以，代入得，即.若在上单调递增，等价于对任意恒成立，所以，因为，所以对任意恒成立，即对任意恒成立，因此.又因为是的极值点，且，所以，即.因此且，所以的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）求在上的最大值与最小值.答案：（1）（2）最大值是4，最小值是.解析：思路：（1）根据导数的几何意义求解；（2）由得出函数的单调性，从而得极值，结合区间端点处函数值，比较得最值.（1）因为，所以，有，.因此，曲线在处的切线方程为，即.（2），令，解得，或.当变化时，，的变化情况如下表所示.单调递增单调递减单调递增在区间上，当时，有极小值.又由于，，所以，在上的最大值是4，最小值是.16.已知展开式中的第二项、第三项、第四项的二项式系数成等差数列．（1）求的值；（2）若展开式的第项是有理项，求的取值集合；（3）将展开式中所有项重新排列，则有理项不相邻的不同的排法有多少种？答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由二项式系数的性质及等差数列的性质计算可得；（2）由二项式的通项公式计算可得；（3）利用插空法计算可得.（1）因为展开式中的第二项、第三项、第四项的二项式系数分别为，，，，，，解得或.因为要使有意义，则，所以舍去，因此的值为.（2）二项式展开式的通项公式为，其中，且，当时，，此时为有理项，而，则的取值集合为（3）由知展开式共项，其中有理项共项，其余项为无理项，因为有理项不相邻，先排无理项：将项无理项进行排列，有种排法，五项排列形成个空位，再将这个有理项插入这个空位，有种排法，故有理项不相邻的情况有种情况．17.某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示．1234567611213466101196（1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程；（2）公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？\保养未保养合计报废

20未报废

合计60

10062.141.54253550.123.47参考数据：．参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=i=1其中．0.250.10.050.0250.010.0011.3232.7063.8415.0246.63510.828答案：（1）适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型，（2）认为是否报废与保养有关\保养未保养合计报废20未报废80合计6040100解析：思路：（1）由散点图可知，应选指数函数模型，根据已知条件两边同时取对数，转化为关于与的一次函数模型，结合参考数据即可求解；（2）根据题意完成列联表，利用独立性检验公式，计算的值可判断.（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型．由，两边同时取常用对数得．设，则．因为，，，，所以.把代入，得，所以，所以，则，故关于的回归方程为.（2）设零假设：是否报废与是否保养无关．由题意，报废电动车中保养过的共台，未保养的电动车共台，补充列联表如下：\保养未保养合计报废20未报废80合计6040100则，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关．18.某厂欲将一些零件交给该厂甲、乙两个车间加工，据以往统计发现，甲车间加工零件的达标率为（1）现将甲、乙两车间加工的该种零件按的比例混合在一起，从混合放在一起的零件中，随机抽取一件，该零件达标的概率为．（i）求乙车间加工零件的达标率；（ii）若从混合放在一起的零件中，随机抽取个，记这个零件中达标的个数为，求