黑龙江海林市朝鲜族中学2025~2026学年高二下册第三次考试（期末）数学试卷【附解析】

数学一、单项选择题（每小题5分共40分）1.已知函数是偶函数，且其定义域为，则()A. B. C. D.2.对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）A. B. C. D.3.随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论错误的是（）A. B.C. D.4.学校测试智能阅卷，启用了标注为甲，乙，丙的三款评卷系统．平台将随机调用甲，乙，丙的概率依次为，，．若甲，乙，丙批改一道数学题的正确率分别为，，．现随机抽取一道题目，则该题目被正确批改的概率为（）A. B. C. D.5.若的展开式中含有常数项，则的最小值等于A.3 B.4 C.5 D.66.已知函数，若，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.7.若曲线在处的切线与曲线也相切，则（）A. B. C.1 D.28.已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则（）A.5 B.4 C.3 D.2二、多选题(每小题6分，部分选对无错选得2分，共18分）9.5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围.目前，我国加速了5G技术的融合与创新，前景美好！某手机商城统计了5个月的5G手机销量，如下表所示：月份2020年6月2020年7月2020年8月2020年9月2020年10月月份编号12345销量/部5295185227若与线性相关，由上表数据求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（）A.5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约10台B.C.与正相关D.预计12月份该手机商城的5G手机销量约为318部10.已知一个盒中装有除颜色外完全相同的乒乓球4个，白色和黄色各2个.现随机抽取2个球，方式一是每次取一个，取完后放回再取下一个，记取到的白球个数为；方式二是每次取一个，取完后不放回，记取到的白球个数为，下列说法正确的是（）A. B.C. D.11.对于定义在区间上的函数，若满足：，且，都有，则称函数为区间上的“非减函数”，若为区间上的“非减函数”，且，，又当时，恒成立，下列命题中正确的有（）A. B.，C. D.，三、填空题(每小题5分，共15分）12.某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：），现有该新品种大枣10000个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为______个.附：若，则，，.13.已知函数的定义域是，，，当时，，则________.14.已知函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围是_____________．四、解答题（15题13分16，17题15分18、19题17分，共77分）15.已知二次函数满足．（1）求的解析式；（2）若在上没有最大值，求实数m的取值范围．16.在二项式的展开式中，第项与第项的系数比为.（1）求的值及展开式中的常数项；（2）求展开式中系数最大的项.17.一个盒子中装有大小形状相同的4个乒乓球，其中白球有1个“优等球”和1个“良好球”，黄球中也有1个“优等球”和1个“良好球”，从中逐个不放回依次取球．（1）求三次取球中，相邻两次颜色都不相同的概率；（2）若取出白球即停止，求恰好有一个“优等球”的概率．18.某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在，两点进行投篮，共投两次．第一次投篮点可在，两点处随机选择一处，若投中，则第二次投篮点不变；若未投中，则第二次切换投篮点．在点投中得2分，在点投中得3分，未投中均得0分，各次投中与否相互独立．（1）在参赛的同学中，随机抽查50名的得分情况，得到如下列联表得分分得分分合计先在点投篮20525先在点投篮101525合计302050依据小概率值的独立性检验，判断投篮得分与第一次投篮点的选择是否有关？（2）小明在点投中的概率为0.7，在点投中的概率为0.3．（ⅰ）求小明第一次投中的概率；（ⅱ）记小明投篮总得分为，求的分布列及数学期望．参考公式：．0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.82819.已知函数，．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若恰有两个零点，求实数a的取值范围；（3）证明：当时，．

数学一、单项选择题（每小题5分共40分）1.已知函数是偶函数，且其定义域为，则()A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据偶函数的定义和性质列方程求解即可解答过程：因为是偶函数，定义域为，所以，且，所以，且，所以，因为，所以故选：A.2.对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小．解答过程：由给出的四组数据的散点图可以看出，图1和图3是负相关，相关系数小于0，图2和图4是正相关，相关系数大于0，图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于，接近于1，由此可得．3.随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论错误的是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：首先写出两点分布，再根据期望和方差公式求，判断A，C；再根据期望和方差的性质，计算，判断B，D.解答过程：因为随机变量服从两点分布，其中，则.所以，故A选项正确；，故C选项正确；，故B选项正确；，故D选项错误．4.学校测试智能阅卷，启用了标注为甲，乙，丙的三款评卷系统．平台将随机调用甲，乙，丙的概率依次为，，．若甲，乙，丙批改一道数学题的正确率分别为，，．现随机抽取一道题目，则该题目被正确批改的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：设该题目被正确批改为事件,事件为调用甲系统，概率为，正确率为，事件为调用乙系统，概率为，正确率为，事件为调用丙系统，概率为，正确率为，由全概率公式得：．5.若的展开式中含有常数项，则的最小值等于A.3 B.4 C.5 D.6答案：C解析：思路：二项式项的公式r，对其进行整理，令的指数为0，建立方程求出的最小值解答过程：由题意的展开式的，令，得，当时，取到最小值5

故答案为C．方法提示：本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．6.已知函数，若，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：首先判断函数在各段的单调性，由，分和两种情况讨论，分别计算可得.解答过程：因为，则当时，即在上单调递减，当时，则在上单调递增，又，若，即或时，由，则，即或，解得或，若，即时，由，可得，即，解得或（舍去），所以或，又，所以或，综上可得或，即.故选：A7.若曲线在处的切线与曲线也相切，则（）A. B. C.1 D.2答案：D解析：思路：根据导数的几何意义先写出曲线在处的切线方程，再设出切线与曲线相切的切点并用它表示出切线方程，比较两式系数即可求得.解答过程：因为，所以，所以曲线在处的切线的方程为①．设直线与曲线切于点，，此时直线方程为②，比较①②两式得：所以，把代入中，整理得：，解得，则．故选：D．8.已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则（）A.5 B.4 C.3 D.2答案：C解析：思路：首先根据偶函数的定义推导的关系式，对关系式两边求导得到满足的奇偶性相关等式；再结合导函数的轴对称条件推导的周期，最后利用周期与特殊点的导数值计算即可.解答过程：因为是定义域为的偶函数，所以，即，两边求导，可得：，可得．因为，所以的图象关于直线对称，则.用代替，可得.将代入中，可得①．用代替可得②．由②-①可得：.所以是周期为8的周期函数.所以.因为的图象关于直线对称，所以.在中，令，可得，解得，所以，即．故选C．方法提示：方法归纳：本题为函数性质综合应用的典型题型，可记忆通用结论：可导偶函数的导函数为奇函数，可导奇函数的导函数为偶函数；若函数满足，则函数图象关于直线对称；若函数同时满足对称性与奇偶性，可推导得到函数的周期，利用周期可将大自变量的函数值转化为已知的小自变量函数值求解.二、多选题(每小题6分，部分选对无错选得2分，共18分）9.5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围.目前，我国加速了5G技术的融合与创新，前景美好！某手机商城统计了5个月的5G手机销量，如下表所示：月份2020年6月2020年7月2020年8月2020年9月2020年10月月份编号12345销量/部5295185227若与线性相关，由上表数据求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（）A.5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约10台B.C.与正相关D.预计12月份该手机商城的5G手机销量约为318部答案：BCD解析：思路：根据表中数据求得样本中心，进而求得a，然后逐项判断.解答过程：由表中数据可知，又因为回归方程为，代入回归方程，解得，所以，解得，由此知5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约40台左右，将代入回归方程得，因为，所以与正相关，故选：BCD.10.已知一个盒中装有除颜色外完全相同的乒乓球4个，白色和黄色各2个.现随机抽取2个球，方式一是每次取一个，取完后放回再取下一个，记取到的白球个数为；方式二是每次取一个，取完后不放回，记取到的白球个数为，下列说法正确的是（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：利用二项分布的定义判断A；求出概率判断B；求出期望和方差判断C，D即可.解答过程：对于A，每次取到白球的概率为，则，A正确；对于B，，，则，B错误；对于C，的可能取值为，，则，又，则，C正确；对于D，，而，则，D正确.11.对于定义在区间上的函数，若满足：，且，都有，则称函数为区间上的“非减函数”，若为区间上的“非减函数”，且，，又当时，恒成立，下列命题中正确的有（）A. B.，C. D.，答案：ACD解析：思路：利用已知条件和函数的性质对选项逐一判断即可得正确答案.解答过程：A.因为，所以令得，所以，故A正确；B.由当，恒成立，令，则，由为区间上的“非减函数”，则，所以，则，，故B错误；C.，，而，所以，，由，，，则，则，故C正确；当时，，，令，则，，则，即，故D正确.故选：ACD三、填空题(每小题5分，共15分）12.某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：），现有该新品种大枣10000个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为______个.附：若，则，，.答案：8186解析：思路：根据求出概率，再乘以总数即可.解答过程：由题得，，则，，则因此，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（个）.故答案为：13.已知函数的定义域是，，，当时，，则________.答案：0解析：解答过程：由得：，又，，，，.14.已知函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围是_____________．答案：解析：解答过程：由题可得，因为函数在区间上存在最值，所以，即，解得，故实数的取值范围是．四、解答题（15题13分16，17题15分18、19题17分，共77分）15.已知二次函数满足．（1）求的解析式；（2）若在上没有最大值，求实数m的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）设二次函数，结合题干条件，利用待定系数法即可求解；（2）结合二次函数的性质，对称轴以及单调性，分析即可求解.（1）不妨设二次函数，由，可得，所以；由，可得，即，即，解得，故.（2）函数为开口向上的二次函数，对称轴为，当时，在上单调递减，有最大值，不符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，又，所以在上有最大值，不符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，又，所以在上没有最大值，符合题意；综上所述：若在上没有最大值，实数m的取值范围为．16.在二项式的展开式中，第项与第项的系数比为.（1）求的值及展开式中的常数项；（2）求展开式中系数最大的项.答案：（1），常数项为（2）解析：思路：(1)推导二项展开式的通项公式，根据第4项与第5项的系数比值建立方程求解，令的指数为0确定常数项位置，代入通项计算得到常数项.(2)设第项为系数最大项，依据该项系数不小于相邻两项系数列不等式组，求解得到的整数值，代入通项得到系数最大的项.（1）二项展开式的通项为，其中.第4项对应，系数为；第5项对应，系数为.由题意得，化简得，即，解得.令，解得，故常数项为.（2）设展开式中第项的系数最大，对应系数为，则需满足，即，化简第一个不等式得，解得；化简第二个不等式得，解得.由且，得，对应系数最大的项为.17.一个盒子中装有大小形状相同的4个乒乓球，其中白球有1个“优等球”和1个“良好球”，黄球中也有1个“优等球”和1个“良好球”，从中逐个不放回依次取球．（1）求三次取球中，相邻两次颜色都不相同的概率；（2）若取出白球即停止，求恰好有一个“优等球”的概率．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先算出不放回取3球的总情况数，再锁定相邻异色仅“白黄白、黄白黄”两种颜色排布，分别计算两种排布对应的取法数求和，最后用符合条件数除以总数得到概率；（2）按首次取出白球的位置分取1次、2次、3次三类互斥情况，每类分别计算全程恰好1个优等球的概率，最后将三类概率相加得到总概率.（1）设白球的“优等球”记为，白球的“良好球”记为；黄球的“优等球”记为，黄球的“良好球”记为．设三次取球中，相邻两次颜色不相同的事件为．，事件只能是黄白黄或白黄白两种模式，，所以．（2）取球的次数可能为一次，两次或三次．设当取球次数为一次，恰有一个“优等球”的事件为，．设当取球次数为两次，恰有一个“优等球”的事件为，，设当取球次数为三次，恰有一个“优等球”的事件为，，所以恰有一个“优等球”的概率为．18.某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在，两点进行投篮，共投两次．第一次投篮点可在，两点处随机选择一处，若投中，则第二次投篮点不变；若未投中，则第二次切换投篮点．在点投中得2分，在点投中得3分，未投中均得0分，各次投中与否相互独立．（1）在参赛的同学中，随机抽查50名的得分情况，得到如下列联表得分分得分分合计先在点投篮20525先在点投篮101525合计302050依据小概率值的独立性检验，判断投篮得分与第一次投篮点的选择是否有关？（2）小明在点投中的概率为0.7，在点投中的概率为0.3．（ⅰ）求小明第一次投中的概率；（ⅱ）记小明投篮总得分为，求的分布列及数学期望．参考公式：．0.10.