黑龙江省黑河市龙西北名校联盟2025~2026学年高二下册第二次教学质量监测数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，2.某质点的位移（单位：米）与时间（单位：秒）的关系式为，则当时该质点的瞬时速度为（）A.10米/秒 B.12米/秒 C.16米/秒 D.18米/秒3.若集合，，且，则（）A. B.1 C. D.4.若函数的定义域为，则的定义域为（）A. B. C. D.5.已知，，，则（）A. B. C. D.6.已知等比数列的前项和为，且，，则（）A.12或-15 B.15或-12 C.15 D.127.“函数存在零点”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数与训练数据量（单位：）的关系式为，其中为常数.当训练数据量为时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（）（参考数据：）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的导数为，且，则（）A. B. C. D.10.已知函数，则（）A.是减函数B.的图象是轴对称图形C.的图象是中心对称图形D.曲线存在斜率为的切线11.若数列的前项和，则下列结论正确的是（）A.是递增数列B.，，成等差数列C.的最小值为9D.若（），则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等差数列的前项和为，若，则_______．13.函数的极大值点与极小值点分别为________，________．14.已知定义域为的函数的图象如图所示，则函数的零点个数为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，．（1）求的子集；（2）若，求的取值范围．16.在等比数列中，，．（1）求的通项公式．（2）已知．①求数列的通项公式；②求数列的前项和．17.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若的最小值为，求的最大值．18.对于函数，若在定义域内存在实数（），满足，则称为“点对称函数”．（1）已知函数，试判断是否为“点对称函数”，并说明理由；（2）若函数是定义域为的“点对称函数”，求的取值范围．19.已知函数，．（1）求曲线在点处的切线方程．（2）定义集合．（Ⅰ）证明：．（Ⅱ）若，且，，，求a的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，答案：C解析：思路：根据全称命题与存在命题的关系，准确改写，即可求解.解答过程：根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“，”的否定是“，”.2.某质点的位移（单位：米）与时间（单位：秒）的关系式为，则当时该质点的瞬时速度为（）A.10米/秒 B.12米/秒 C.16米/秒 D.18米/秒答案：D解析：思路：根据题意，求得，当时，求得，即可得到答案.解答过程：由质点的位移与时间的关系式为，可得，当时，可得，即当时该质点的瞬时速度为米/秒.3.若集合，，且，则（）A. B.1 C. D.答案：D解析：解答过程：若,则，违反集合的互异性，因为，所以.4.若函数的定义域为，则的定义域为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据抽象函数的定义域的求解方法，列出不等式，即可求解，得到答案．解答过程：设，由函数的定义域为，得函数的定义域为，即，因此，解得．所以的定义域为.5.已知，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可.解答过程：指数函数在上为减函数，所以，即，也即，所以.对数函数在上单调递减，因为，所以，即，所以.6.已知等比数列的前项和为，且，，则（）A.12或-15 B.15或-12 C.15 D.12答案：B解析：解答过程：因为等比数列的前项和为，且，，所以，且，两式相除得，解得或，，故或.7.“函数存在零点”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：求导，利用导数分析函数的单调性和零点，可得，结合充分、必要条件分析判断.解答过程：由题意可知：的定义域为，且.令，解得；令，解得；可知函数在内单调递增，在内单调递减，则，当趋近于0或时，趋近于，若函数有零点，等价于，即，显然是的真子集，所以“函数存在零点”是“”的必要不充分条件.8.在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数与训练数据量（单位：）的关系式为，其中为常数.当训练数据量为时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（）（参考数据：）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据题设条件，将代入关系式可求出的值，再利用对数的运算即可求解.解答过程：当时，，即.当时，，即，则，即.因为，所以.令，则，所以，则.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的导数为，且，则（）A. B. C. D.答案：ABD解析：解答过程：由题可知，对于A，当时，，得，故A正确，对于B，当时，，由，得，故B正确，对于C，当时，由，，故C错误，对于D，由，得，故D正确.10.已知函数，则（）A.是减函数B.的图象是轴对称图形C.的图象是中心对称图形D.曲线存在斜率为的切线答案：AC解析：思路：求导，并判断导数的符号得函数的单调性即可判断A；根据是单调函数得知其图象不是轴对称图形即可判断B；利用结论“若函数关于点对称，则”进行判断即可判断C；通过判断方程是否有解可以判断D.解答过程：函数的定义域为R，对于A，，是R上的单调减函数，故A正确；对于B，由A知是R上的单调函数，所以的图象不是轴对称图形，故B错误；对于C，由所以的图象关于点成中心对称图形，故C正确；对于D，由A选项知，，令，则，当且仅当时等号成立.所以，即，故D错误.11.若数列的前项和，则下列结论正确的是（）A.是递增数列B.，，成等差数列C.的最小值为9D.若（），则答案：ACD解析：思路：根据求出，可判断AB，令，结合基本不等式可判断C，根据得，再根据，解不等式可判断D.解答过程：因为数列的前项和，，当时，，也符合，所以是等差数列，且公差，.故是递增数列，A正确；，，，故，，不成等差数列，B错误；，令，则，当且仅当即时取等号，即的最小值为9，C正确；即，，即，又，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等差数列的前项和为，若，则_______．答案：解析：思路：利用等差数列前项和公式，结合等差数列下标和相等的性质，将转化为含的式子求解.解答过程：因为数列是等差数列，，根据等差数列前项和公式：

，当时，，根据等差数列的性质：由于，因此，将其代入的表达式得：

，

又，因此，解得.13.函数的极大值点与极小值点分别为________，________．答案：①.②.解析：解答过程：函数的定义域为，令，得或.当时，，函数在区间单调递增；当时，，函数在区间单调递减；当时，，函数在区间单调递增.所以函数的极大值点与极小值点分别为.14.已知定义域为的函数的图象如图所示，则函数的零点个数为________．答案：解析：思路：将函数的零点个数，转化为在上的图象与函数的图象的交点的个数.结合图象可得.解答过程：因为定义域为，所以的定义域为，所以的定义域为.函数的零点个数，即方程在上的实数根的个数，即方程在上的实数根的个数，即函数在上的图象与函数的图象的交点的个数.如图，将定义域为的函数的图象关于原点对称即可得到的图象.作函数在上的图象，可得该图象与函数的图象有3个交点，所以函数的零点个数为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，．（1）求的子集；（2）若，求的取值范围．答案：（1）子集为（2）解析：思路：（1）先确定集合，再求，用列举法列出的子集.（2）根据集合的包含关系求参数的取值范围.（1）由，所以，即.所以，所以的子集为.（2）因为，又，当且仅当时取等号.所以.由可得.所以的取值范围为.16.在等比数列中，，．（1）求的通项公式．（2）已知．①求数列的通项公式；②求数列的前项和．答案：（1），（2）①②，解析：思路：（1）由条件求得公比，即可求解；（2）①由等差数列求和公式即可求解；②通过裂项相消法即可求解.（1）设等比数列的公比为，则，解得，所以，；（2）①由（1）得：，所以；②由①得：，故数列的前项和..17.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若的最小值为，求的最大值．答案：（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）1解析：思路：（1）求导，分和两种情况讨论，可求得的单调性；（2）利用（1）可得的最小值为，利用导数可求得的最大值．（1）由，得，当时，，所以在上单调递增；当时，令，则，解得，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）由（1）可知当时，在上单调递增，所以在上无最小值；当时，在处取得最小值，，所以，求导得，当时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减，所以.18.对于函数，若在定义域内存在实数（），满足，则称为“点对称函数”．（1）已知函数，试判断是否为“点对称函数”，并说明理由；（2）若函数是定义域为的“点对称函数”，求的取值范围．答案：（1）是“点对称函数”，若，得，解得，所以是“点对称函数”；（2）解析：思路：（1）根据定义，得，解出即可判断；（2）由分段函数，根据的情况分类讨论，将问题转化为方程有解问题，利用一元二次方程即可求解.（1）略；（2）当时，恒成立，因为，所以，即对所有恒成立，所有，当时，，由得：，令，则，若，则，所以必有，所以，即，设，又，所以方程有两个实根，设为，所以，所以异号，不妨设，要使时方程有解，只需；当时，，所以，所以，由得：，所以，即，要使时方程有解，只需，综上所述，，所以的取值范围为.19.已知函数，．（1）求曲线在点处的切线方程．（2）定义集合．（Ⅰ）证明：．（Ⅱ）若，且，，，求a的取值范围．答案：（1）（2）（Ⅰ）集合D为在R上单调递增的函数的集合令，得，令，得，则在R上单调递增，即在R上单调递增．又，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，所以，则在R上单调递增，故．（Ⅱ）解析：思路：（1）利用导数与切线斜率关系求解即可；（2）（Ⅰ）根据题意