黑龙江省龙东十校联盟2025~2026学年高二下册期末考试数学试卷【附解析】

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.2.若等比数列的公比为q，则“”是“是递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（）A. B.C. D.4.已知，且，则下列情况不可能成立的是（）A. B.C. D.5.南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的“三角垛”如图所示，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，┄┄，以此类推，则第层小球的个数为（）A. B.C. D.6.已知函数（且）的图象恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（）A. B. C. D.7.已知关于的不等式的解集为，则的解集为（）A. B.C. D.8.若函数和它的导函数定义域都是，函数和都是偶函数，又，当时，恒成立，则当时，一定有（）A.，且 B.，且C.，且 D.，且二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知等差数列的前项和为，则（）A.若，，则恒成立B.若，，则恒成立C.数列一定是等差数列D.若数列的前项和，则一定是等差数列10.已知，函数，则（）A.若的两个实数根为，（），则在区间上单调递减B.的图象一定关于点对称C.过函数图象上一点，可能作曲线的两条切线D.若有三个实数根，，，则11.已知，符号表示不小于的最小的整数，例如，，则（）A.对于，都有B.函数的值域为C.不等式的解集是D.若，且方程有且仅有两个相异实根，则的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的值域是______________．13.若奇函数的定义域为，当时，，则当时，_______．14.若，函数和的公切线斜率为，则的取值范围是____________________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）若，都有，求实数的取值范围；（2）若，使得，求实数的取值范围．16.已知数列中，，，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列中，，求的前项和．17.已知函数的图象关于点对称．（1）求实数的值；（2）求关于的不等式的解集．18.如果数列对任意的，，则称为“速增数列”．已知正项数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）判断数列是不是“速增数列”？请说明理由；（3）若数列是“速增数列”，求实数的取值范围．19.已知函数．（1）若是函数的极大值点，求实数的取值范围；（2）若，求证：；（3）若，求证：函数有且仅有1个零点．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：由，可得，即，又，所以图中阴影部分表示的集合为．2.若等比数列的公比为q，则“”是“是递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：D解析：思路：利用充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质分析判断即可.解答过程：充分性：当，若时，为递减数列，故充分性不成立；必要性：当为递增数列，若时，则，所以必要性不成立，故“”是“是递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D.3.已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：设，由，得，解得，所以，的定义域为，是偶函数，在上单调递减，所以图象的大致形状与选项A中的图象一致．4.已知，且，则下列情况不可能成立的是（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：考虑函数的图象，可得当，函数单调递增，当时，一定有．5.南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的“三角垛”如图所示，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，┄┄，以此类推，则第层小球的个数为（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：设第层小球的个数为，则，，，，以此类推，将上述式子累加可得，，所以．6.已知函数（且）的图象恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由函数（且）的图象恒过定点可知函数恒过定点，代入直线可得，由于，，再利用均值不等式求出的最小值.解答过程：因为函数（且）的图象恒过定点，所以函数恒过定点，因为点在直线上，所以，因为，，所以，，当且仅当即时取等号.7.已知关于的不等式的解集为，则的解集为（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：因为的解集为，所以，方程的两个根分别为，所以，，即，，所以不等式为，因为，得，解得．8.若函数和它的导函数定义域都是，函数和都是偶函数，又，当时，恒成立，则当时，一定有（）A.，且 B.，且C.，且 D.，且答案：C解析：思路：根据函数奇偶性、对称性以及周期性，分析导函数和原函数的单调性，即可得到结果.解答过程：因为是偶函数，且是奇函数，所以是奇函数，即，由此可得的图象关于点对称，所以，所以，两边求导得，，即，则的图象关于直线对称，因为，所以，又因为是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，即的图象关于点对称，又因为，所以，，由此可得，函数是周期为的周期函数，当时，，由时，，关于对称，可得时，，，所以，又，所以时，，由时，，单调递增且，所以时，，所以时，，可得，所以，又等价于，所以，综上，时，，且.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知等差数列的前项和为，则（）A.若，，则恒成立B.若，，则恒成立C.数列一定是等差数列D.若数列的前项和，则一定是等差数列答案：BCD解析：解答过程：设等差数列的公差为，因为是等差数列，且，，所以，选项A错误；由，可得，，可得，所以，因此，数列单调递减，前项均为正，从​开始为负，故前项和的最大值为​，即恒成立，选项B正确；，记，则为常数，因此该数列是等差数列，C正确；设，则，则，则，又符合上式，所以，所以一定是等差数列，D正确．10.已知，函数，则（）A.若的两个实数根为，（），则在区间上单调递减B.的图象一定关于点对称C.过函数图象上一点，可能作曲线的两条切线D.若有三个实数根，，，则答案：BC解析：思路：根据三次函数的对称性、导数性质，逐一判断各选项的正确性．解答过程：对于A，因为的两个实根为，（），当时，时，，在区间上单调递减；当时，时，，在区间上单调递增，A错误；对于B，设，得，整理得，根据多项式恒等对应系数相等，可得且，从而三次函数是中心对称曲线，且由知其对称中心仍然在曲线上．故对称中心为，B正确；对于C，取图象上一点，设过点的切线切点为，则切线的斜率为，又切线的斜率也可表示成整理得：，则，当时，方程有两个不同的实数根，例如取，取，可求过点有两条切线和，C正确；对于D，若有三个实数根，，，则，所以，即，D错误．11.已知，符号表示不小于的最小的整数，例如，，则（）A.对于，都有B.函数的值域为C.不等式的解集是D.若，且方程有且仅有两个相异实根，则的取值范围是答案：BC解析：思路：利用符号的定义表示不小于的最小的整数，对于A：使用特殊值即可判断；对于B：，使得时，，，即可判断；对于C：先求解不等式可解得，再根据，判断的取值范围；对于D：当时，考虑函数和函数的图象的交点即可判断．解答过程：对于A：当时，，，，选项A错误；对于B：，时，，所以，即的值域为，选项B正确；对于C：由可解得，又因为，所以或者，所以，选项C正确；对于D：当时，方程，函数的图象如图所示，当，两个函数图象仅有一个公共点，故选项D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的值域是______________．答案：解析：解答过程：因为，，即函数的值域是.13.若奇函数的定义域为，当时，，则当时，_______．答案：解析：思路：设则，将代入已知正区间函数式求出，再利用奇函数化简，得到时的表达式．解答过程：当时，，，所以，即时，．14.若，函数和的公切线斜率为，则的取值范围是____________________．答案：解析：思路：分别设切点，求切线方程，化简可得，构造函数研究单调性即可.解答过程：设上的切点为，因为，所以在点的切线方程为，即，设上的切点为，因为，所以在点的切线方程为，即，则，将两边取对数得，将代入，得，所以，令，则，所以当时，，单调递增；时，，单调递减，又因为，，所以，所以的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）若，都有，求实数的取值范围；（2）若，使得，求实数的取值范围．答案：（1）；（2）解析：思路：（1）分和两种情况，结合函数单调性得到不等式，求出的取值范围；（2）变形，令，将其看作关于的一次函数，，使得，从而得到不等式，求出答案（1）当时，，符合题意；当时，的对称轴为，故在区间上单调，当时，开口向上，在区间上单调递减，只需，即，解得，故；当时，开口向下，在区间上单调递增，只需，即，解得，故，综上，且，综上所述，实数的取值范围是．（2），即，，，令，将其看作关于的一次函数，，使得，只需或，由可得，解得，由可得，解得，因为，所以实数的取值范围是．16.已知数列中，，，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列中，，求的前项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）分为奇数、为偶数两种情况讨论，结合等差数列和等比数列的通项公式可得出数列的通项公式；（2）计算得出，再利用错位相减法可求得的表达式.（1）当为奇数时，设，则，且，所以数列是首项为，公差为的等差数列，故；当为偶数时，设，则，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.综上所述，.（2）由（1）可知，，所以，①，②，①②得，化简得.17.已知函数的图象关于点对称．（1）求实数的值；（2）求关于的不等式的解集．答案：（1）；（2）当时，不等式的解集为R；当时，不等式的解集为解析：思路：（1）根据得到方程，求出；（2）变形后得到在区间单调递减，从而得到不等式，由根的判别式分两种情况，求出不等式的解集（1）因为的图象关于点对称，所以恒成立即，所以，所以，即，所以．（2）因为，所以，由此可知，函数在区间单调递减，因为，，所以，即，其中，当时，，不等式的解集为R；当时，，不等式的解集为．18.如果数列对任意的，，则称为“速增数列”．已知正项数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）判断数列是不是“速增数列”？请说明理由；（3）若数列是“速增数列”，求实数的取值范围．答案：（1）（2）数列是“速增数列”．因为所以数列是“速增数列”．（3）解析：思路：（1）将递推关系因式分解，得到，利用累乘法求解；（2）根据速增数列定义得，即可证明；（3）由（2）问及是“速增数列”得，代入得到关于的不等式，进而求解.（1）因为，所以，因为，所以，由此可得，即，所以时，，又当时，也满足，所以数列的通项公式．（2）略（3）若是“速增数列”，则对于恒成立，即，整理得对于恒成立，所以，即．19.已知函数．（1）若是函数的极大值点，求实数的取值范围；（2）若，求证：；（3）若，求证：函数有且仅有1个零点．答案：（1）（2）证明：由（1）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减，所以．（3）证明：由（1）可知，①当时，在上单调递增，且，所以函数有且仅有1个零点；②当时，在和上单调递增，在上单调递减，且，所以在区间无零点，由，令，则，设，则，所以在上单调递减，所以，所以在上单调递减，所以由，则所以，即，又因为，，所以函数有且仅有1个零点在区间内；综上所述，若，函数有且仅有1个零点．解析：思路：（1）利用