第三章 因式分解（单元重点综合测试）【湘教】七年级数学下册复习

第三章因式分解（单元重点综合测试〉

（考试时间：120分钟；满分：120分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（本题3分）（2023上•陕西渭南•八年级统考期末）下列因式分解正确的是（）

A.x2-xy+x=x（x-y）B.x2-2x-\=（x-\）2

C.cv,+2（rb+ab2=a（a+b）2D.ax2-9=a[x+3）（a-3）

2.（本题3分）（2024上.重庆渝北•八年级统考期末）已知〃L〃=2,>_〃2=2,则〃叶〃的值

为（）

A.1B.0C.-1D.-2

3.（本题3分）（2024上.北京大兴•八年级统考期末）下列各式中，能用平方差公式进行因式

分解的是（）

A.x2+1B.X2-4C.x3-8D.x2+4x+1

4.（本题3分）（2023上•山木淄博•八年级校考阶段练下）下列因式分解中：①

f+2A3，+X=X（X+2>）；（2）x2+4.r+4=（x+2）2；（3）-x2+y2=（A+y）（y-x）；-9x=x（x-3）2,正

确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.（本题3分）（2024上•安徽芜湖•八年级统考期末）因式分解犬+叩-12=（1+2）。+〃），其中

，小〃都为整数，则〃，的值是（）

A.—6B.-5C.—4D.4

6.（本题3分）（2024上•上海普陀•七年级统考期末）如果x-2），+2=O,那么一孙十丁-3的

4

值是（）

A.-2B.-1C.1D.0

7.（本题3分）（2023下.广东茂名.八年级校联考阶段练习）小林是一位密码编译爱好者，在

他的密码手册中有这样一条信息：x-1,a-b,3,Y+|,%x+1分别对应六个字：国，爱,

我，数，学，祖，现将3。k2-1）-3然/_]）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）

A.我爱数学B.爱祖国C.祖国数学D.我爱祖国

8.（本题3分）（2023上•河南南阳•八年级校考阶段练习）在多项式上添加一个单项式，

4

使得到的多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是（)

A.xB.Tc.A-4D.-/

9.（本题3分）（2023上•陕西延安•八年级校联考阶段练习）若〃?为任意整数，则（3〃?+2『-9〃?2

的值总能（）

A.被4整除B.被3整除C.被5整除D.被6整除

10.（本题3分）（2024上.四川内江.八年级校考期中）若

a=20\9x+2020,Z?=2019.r+2021,c=2019x+2022,贝lj代数式/+力2一皿一而一切的值是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空题（木大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11.（本题3分）（2024上.广东肇庆.八年级统考期末）分解因式：f-4=.

12.（本题3分）（2023上•山东烟台•八年级统考期中）用提公因式法分解因式时，从多项式

38x4-19x2-57?中提出的公因式为.

13.（本题3分）（2024上•宁夏吴忠•八年级统考期末）已知。-0=5,ab=2,则.

14.（本题3分）（2024上.重庆藜江•八年级统考期末）一个长为a,宽为力的长方形的周长为

12,面积为7,贝lj%+ah2的值为.

15.（本题3分）（2023下•江苏扬州•七年级校联考期中）若M=2x2_i2x+15,N=V-8x+ll,则

M与N的大小关系为.

16.（本题3分）（2024上•重庆长寿•八年级统考期末）对于任意的正整数叫所TT形如/+3/+2〃

的数的最大公约数是_______________.

17.（本题3分）（2019下.河北唐山.七年级统考期末）计算：

18.（本题3分）（2021下.浙江.七年级期中）如图，边长为4的正方形ABC。中放置两个长

宽分别为。，〃的长方形AEFG与长方形C”〃，如图阴影部分的面积之和记为长方形AE"G

的面积记为S2,若35；+5s2=44,。：〃=3:2,则长方形AER7的周长为.

AGD

BHC

三、解答题（木大题共8小题，共66分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步躲）

19.（本题6分）（2023上•湖北武汉•八年级统考期末）分解因式：

（1）6?2-4b2；（2）3av2++3ay2.

20.（本题6分）（2023上•八年级课时练习）计算:

(1)2022+202x196+982.(2)9992-998x1002.

21.（本题8分）（2023下•全国•八年级假期作业）已知。+6=2,而=2,求12成十八2十⑵《的

值.

22.（本题8分）（2021下•四川成都•七年级校考期中）如果丁+3-3=0,求代数式/+5/+34-10

的值.

23.(本题9分)(2018下七年级单元测试)两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学

因看错了一次项系数而分解成2(x-1)(A9),另一位同学因看错了常数项而分解成2{x-2)(x-4),

求出原多项式.

24.(本题9分)(2024下.全国.七年级假期作业)我们知道几个非负数的和等于0,只有这几

个数同时等于。才成立，如(x-2)2+AI=0.因为*-2门)，+，都是非负数，则］一2=0,可求

得x=2;y+3=0,可求得y=-3.应用上述知识解答下列各题：

⑴若。+1)2+-0,求x，y的值;

⑵若2/十一⑵十12y=—30,求(工十)严的值.

25.(本题10分)(2023上•山东日照•八年级校考阶段练习)阅读材料：若

ni—2mn+2m2—8n+16=0,求〃?、n的值.

解：■:nr-2inn+2n2-8/z+16=0».=++-&z+16)=0

(m-n)2+(??-4)2=0,=0,(H-4)2=0,/.//=4,〃?=4.根据你的观察，探究下面

的问题：

(1)672+b2-4«+4=0,则。=,b-

⑵已知△ABC的三边长”、〃、c,都是正整数，且满足2"十4〃-6/?+11=0.求△A3C的周长.

(3)当4,人为何值时，多项式/-2H+26-48+27有最小值，并求出这个最小值.

26.(本题10分)(2022下.贵州铜仁•七年级统考期中)

(1)【阅读与思考】

整式乘法与因式分解是方向粕反的变形.如何把二次三项式加+瓜+。(。工0)分解因式呢？我

2

们已经知道：(«1x+c1)(«2x4-c2)=t71n2x+fl1c2x+a,c]x+c1c2=axa2JC+{axc2+a2c{)x+cxc2.反过来，就

得到：q4f+(4。2+a2c\)x+c1c2=(«1x+c1)(«2x4-c2).我们发现，二次三项式加+区+《〃00)的二

次项的系数。分解成的2,常数项，分解成并且把4,由，c2,如图1所示摆放，按

对角线交叉相乘再相加，就得到如果。4+生。的值正好等于ad+6+c的一次项系数

b,那么ad+云+c就可以分解为(qx+q)(%r+C2)，其中4，。位于图的上一行，2，%位于下

一行.像这种借助画十字交义图分解系数，从向帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通

常叫做“十字相乘法

例如，将式子/-.・6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，

即1=1x1,把常数项-6也分解为两个因数的积，即-6=2x(-3)；然后把1,1,2,-3按图2所

示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1x(-3)+lx2=T,恰好等于一次项的系数一],

于是丁_.6就可以分解为(x+2)(x-3).

请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解

因式：x2+x-6=.

(2)【理解与应用】

请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：

①2X2+5X-7=；

(2)6/-7孙+2./=.

⑶【探究与拓展】

对于形如a/+b孙+。，2+公+0+/的关于孙)，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解,

如图4.将。分解成〃〃，乘积作为一列，。分解成的乘积作为第二列，/分解成"乘积作为第

三列，如果〃?〃+"=〃，pk+pj=e,mk+nj=d,即第1,2列、第2,3列和第1,3列都满足

十字相乘规则，则原式=(尔+4+力(心+0+2),请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：

①分为军因式3/+5町~2y2+.i+9.y-4=__________.，•

②若关于x,＞的二元二次式丁+73，-189一5/+/町，-24可以分解成两个一次因式的积，求加的

值.

♦・■•♦一.•

"I。12：：：：mpj

X/一y・

cnXqKk

5213LJl.J

图1图2图3图4

第三章因式分解（单元重点综合测试〉

（考试时间：120分钟；满分：120分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（本题3分）（2023上•陕西渭南•八年级统考期末）下列因式分解正确的是（）

A.x2-xy+x=x（x-y）B.x2-2x-l=U-1）2

C.+2a2b+ab2=a（a+b）2D.ax2-9=a[x+3）（a-3）

【答案】C

【分析】根据因式分解的基本方法，提取公因式、平方差公式、完全平方公式进行求解，即

可得到答案.

本题主要考查了因式分解，解决问题的关键是熟练掌握提公因式法，公式法因式分解，注意

不要漏项.

【详解】A.]2一封+工=.《工-），+1）,所以错误，不符合题意；

B.丁_2》-1有理数范围内不能因式分解，所以错误，不符合题意；

C.a3+2a2b+ab2=a（a+b）2,所以正确，符合题意；

D.分2-9有理数范围内不能因式分解，所以错误，不符合题意.

故选：C.

2.（本题3分）（2024上.重庆渝北.八年级统考期末）已知时〃=2,加一〃2=2,则i的值

为（）

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】A

【分析】先利用平方差公式分解因式，再运用整体的思想求代数式的值，熟练掌握和运用平

方差公式是解本题的关键.

【详解】解：「加一〃2=（〃7+，!）（，〃一〃）=2,"?-〃=2,

m+〃=1

故选：A

3.（本题3分）（2024上.北京大兴.八年级统考期末）下列各式中，能用平方差公式进行因式

分解的是（）

22

A.x+1B.£一4C.JC1-8D.x+4x+l

【答案】B

【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，根据平方差公式的结构特点逐项分析即

可，熟练掌握虫""。—〃)是解此题的关键.

【详解】解：A、V+1是平方和的性质，不能因式分解，故该选项不符合题意；

B、/-4=(穴+2)(工-2),故该选项符合题意；

2

C,?-8=(r-?.)(r+?.r+4),不能用平方差公式分解，故该选项不符合题意；

D、f+4x+l,不能用平方差公式分解，故该选项不符合题意；

故选：B.

4.(本题3分)(2023上•山木淄博•八年级校考阶段练下)下列因式分解中：①

丁+2”+X=%(工+2)，)；(2)x2+4.r+4=(x+2)2；@-x24-y2=(x+j?)(y-x)；-9x=x(x-3)2,正

确的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解题的关键.

【详解】解：①V+2个+x=M/+2y+l),原式因式分解错误；

②/+4x+4=(x+2)2,原式因式分解正确；

③_/+),2=(x+y)(y-A),原式因式分解正确；

④Y-9X=MY-9)=MX-3)(X+3),原式因式分解错误；

・••正确的有2个，

故选：B.

5.(本题3分)(2024上.安徽芜湖.八年级统考期末)因式分解V+尔-12=(x+2)(x+〃)，其中

，小〃都为整数，则"Z的值是()

A.—6B.-5C.—4D.4

【答案】C

【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系，根据多项式乘法把等式右边展

开得到〃?=〃+2,2〃=-12,据此可得答案.

【详解】解：V-v2+WU-12=(x+2)(x+n),

x2+nix—12—x2+2x+rix+2n,

x2+-12=x2+(n+2)x+2/z,

m=7?+2,2〃=—12,

m=-4,〃=-6,

故选：C.

6.（本题3分）（2024上•上海普陀•七年级统考期末）如果X-2），+2=0,那么。f一孙十9一3的

4

值是（）

A.-2B.-1C.1D.0

【答案】A

【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，根据已知可得x-2y=-2,根据完全平方公式因

式分解代数式，进而代入即可求解.

【详解】解：Vx-2y+2=0

：.x-2y=-2t则;=

^^x2-xy+y2-3=-3=(-l)2-3=-2,

2x-y

故选：A.

7.（本题3分）（2023下•广东茂名•八年级校联考阶段练习）小林是一位密码编译爱好者，在

他的密码手册中有这样一条信息：X~\,a-bf3,寸+1,a,X+1分别对应六个字：国，爱,

我，数，学，祖，现将3。（丁-1）-3跳/_］）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）

A.我爱数学B.爱祖国C.祖国数学D.我爱祖国

【答案】D

【分析】将所给的多项式先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式分解到每一个因

式都不能再分解为止，从而结合密码手册即可得出答案.

【详解】解：v3a（x2-l）-3/?（x2-l）=3（x2-l）（a-Z＞）=3（x+l）（x-l）（a-^）,

而3对应的是我，x-1对应的是国，x+1对应的是祖，对应的是爱，

结果呈现的密码信息可能是我爱祖国，

故选：D.

8.（本题3分）（2023上•河南南阳•八年级校考阶段练习）在多项式犬+；上添加一个单项式，

4

使得到的多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是（）

A.xB.TC.A-4D.-A-4

【答窠】D

【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，根据完全平方和（差）公式的性质即可求解.

【详解】解：A选项，=可以构成完全平方和公式，不符合题意；

B选项，可以构成完全平方差公式，不符合题意；

C选项，/+/+；=（/+£|2,可以构成完全平方和公式，不符合题意；

D选项，-丁+./+；,不可以构成完全平方公式，符合题意.

故选：D.

9.（本题3分）（2023上♦陕西延安•八年级校联考阶段练习）若，”为任意整数，贝IJ（3〃?+2『-9〃?2

的值总能（）

A.被4整除B.被3整除C.被5整除D.被6整除

【答案】A

【分析】本题考查因式分解的应用，用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直

接可以找到能被整除的数或式.

【详解】解：（3/ZZ+2）2-9m2=（3ni+2+3m）（3/n+2-3/??）=2（6m+2）=4（3m+1）,

4（3〃z+l）的值总能被4整除，

因此（3〃什2『-9后的值总能被4整除，

故选A.

10.（本题3分）（2024上•四川内江.八年级校考期中）若

a=2019A+2020,//=2019A+2021,c=2019A+2022,贝必弋数式十。？一仇：的值是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】此题考查了因式分解的应用，由a，b,C的代数式，求出a-b,"C,b—c的值，

原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值.

【详解】解：•••a=2OI9x+2O2O,/?=2019x+2021,c=2019.r+2022,

贝（Ja?十〃2十c2-ab—cic—be

=；(2/+2b1+2c2-2ab-lac-2bc)

=-[(a2-2ab+b2)+(a2-lac+c2)+(b2-2bc+c2)1

2

=；[(4-4+(…)2+9”)2],

当,a-c=-2yZ?_°=_]时，原式=gx(i+4+l)=3.

故选：D.

二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)请把答案直接填写在横线上

11.(本题3分)(2024上.广东肇庆•八年级统考期末)分解因式：/-4=.

【答案】(x-2)(x+2)

【分析】本题考查的是因式分解，利用平方差公式分解因式即可，熟记平方差公式是解本题

的关键.

【详解】解：f_4=(A2)(%+2),

故答案为：(X-2)(X+2)

12.(本题3分)(2023上•山东烟台•八年级统考期中)用提公因式法分解因式时，从多项式

38X4-I9X2-57/中提出的公因式为.

【答案】19小

【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字

母分别进行考虑，可归纳为“五看''：一看系数，若各项系数都是整数，应提取各项系数的最

大公因数；二看字母，公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数，各相同字母的指

数取指数最低的；四看整体，如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；

五看首项符号，若多项式中首项的符号为“一”，则公因式的符号一般为负.正确找出公因式

是解题的关键.

【详解】解：38x4-19x2-57x=19x2(2x2-1-3x),

从多项式38/-19x2-57V中提出的公因式为19d,

故答案为：19f.

13.(本题3分)(2024上•宁夏吴忠•八年级统考期末)已知〃-。=5,"=2,则〃从-"b=.

【答案】-10

【分析】本题考查了利用提公因式法因式分解，代数式求值，先对代数式进行添括号变形，

再提取公因式因式分解，把ab=5,a〃=2代入因式分解后的式子计算即可求解，正确提取

出公因式是解题的关键.

2222

【详解】解：ab-ab=-(ab-ab)=-ab(<a-b)f

*.*a-b=5,ab=2,

•,・原式=-2*5=-1。，

故答案为：-10.

14.(本题3分)(2024上.重庆藜江•八年级统考期末)一个长为小宽为匕的长方形的周长为

2

12,面积为7,则%+ab的值为.

【答案】42

【分析】此题考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键.利用长方形的性质

得出和油的值，进而将原式变形得出答案.

【详解】解：•・•长为〃，宽为/，的长方形的周长为12,面积为7,

「・2(a+Z?)=12,ab=7,

故a+/?=6,ab=7,

则a5+加

=ab(^a+b)

=7x6

=42.

故答案为：42.

15.(本题3分)(2023下•江苏扬州•七年级校联考期中)若M=2X2_12X+15,N=/-8X+11,则

M与N的大小关系为.

【答案】M>N/N<M

【分析】本题考查了整式的加减，完全平方公式因式分解，计算M-N=(r-2)2*O,进而即可

求解.

【详解】解:二,例=2f—12X+15,N=V—8X+U

M—N=2x~-12x+15——8x+11)

=2X2-12X+\5-X2+SX-\\

=x2-4x+4

=(x-2)’>0

:・MNN,

故答案为："NN.

16.（本题3分）（2024上•重庆长寿•八年级统考期末）对于任意的正整数〃，所有形如r+3〃2+2〃

的数的最大公约数是_______________.

【答案】6

【分析】主要考查了利用因式分解的方法解决实际问题.要先分解因式并根据其实际意义来

求解.把所给的等式因式分解，因为〃、〃+1、〃+2是连续的三个正整数，所以其中必有一个

是2的倍数、一个是3的倍数，所以原式一定是6的倍数，即最大公约数为6.

【详解】解：/+3〃2+2〃=〃6+1）5+2）,

・7、〃+1、〃+2是连续的三个正整数，

...其中必有一个是2的倍数、一个是3的倍数，

/+3/+2〃=〃5+1）（〃+2）一定是6的倍数，

又+2n的最小值是6,

・•.最大公约数为6,

故答案为：6.

17.（本题3分）（2019下•河北唐山•七年级统考期末）计算：

卜「--------•

【答案】|y

【分析】原式利用平方差公式分解，约分即可得到结果.

【详解】解：原式=（1+5）（1-5）（1+A）。令…（"永J5）

101120121322

=—X—X...X——X—X—X...X—

111221111221

1022

=—x——

2111

20

=2\f

故答案为当

18.（本题3分）（2021下.浙江.七年级期中）如图，边长为4的正方形48C。中放置两个长

宽分别为a，b的长方形AEFG与长方形CHIJ,如图阴影部分的面积之和记为3,长方形AEFG

的面积记为$，若3$+5s2=小，a：〃=3:2,则长方形AEPG的周长为

GD

BH

【答案】y

【分析】根据"：〃=3:2可设〃=3］，b=2x,由此可表示出相关线段长，进而可表示出Si=38f

一8（反+48,S2=6/,再根据35+5s2=44即可列出等式比简整理可得（放-5）2=（）,由此可

求得最后根据长方形的周长公式即可求得答案.

【详解】解:Va:b=3:2,

・,•设Q=3X,b=2x,

则AG=Eb=C/=”/=3x,AE=FG=CH=IJ=2xt

•・•正方形ABCD的边长为4,

；・AB=BC=CD=AD=4,

GD

BHC

:.BH=BE=4—2x,QG=QJ=4—3x,/尸=/Q=3x—(4—2x)=5x—4,

・・・Si=S正方形BEPH+S正方形/KQ+S正方形OGQJ

=(4—2r)2+(5x—4)2+(4—3x)2

=16—16x+4f+25f—40x+16+16-24x+9f

=38.r-80x+48,

S2=a8=3x，2x=6Y,

又・.・35+532=44,

A3(38A-2-80X+48)+3X6/=44,

・・・114^-240^-4-144+30x2=44,

・・・144/一240犬+100=0,

・・・36/—60工+25=0,

:.（6x—5）2=0,

解得：x=\，

O

：.CK^AEFG=2（。+匕）

=2（3x+2x）

=10x

=10xf

6

_25

=7'

故答案为：y.

三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（本题6分）（2023上•湖北武汉•八年级统考期末）分解因式：

（1）£72-4/?2；

（2）3ax2+6ary+3ay2.

【答案】（1）（。+孙）（。一处）

⑵3a（x+»

【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键.因式分

解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法.

（1）用平方差公式分解即可；

（2）先提取公因式，再用完全平方公式分解.

【详解】（I）a2-4/r=a2-（?b）2=（a+2b）（«-2h）

22

（2）3ax+6axy+3aly

=3。卜2+2_xy+y2）

=3a（x+»

20.（本题6分）（2023上•八年级课时练习）计算：

（112022+202x196+982.

(2i9992-998xl(X)2.

【答案】(1)90000

(21-1995

【分析】(1)根据完全平方公式因式分解，即可求解；

(2)根据平方差公式因式分解，即可求解.

【详解】⑴解:原式=202」+2x202x98+982

=(202+98>

=3002

=90000.

(2)解：原式=(1000—1)2—(1000-2)(1000+2)

=IOOO2-2xlOOOxl+l-lOOO2+4

=-2000+5

=-1995.

21.(本题8分)(2023下•全国•八年级假期作业)已知力=2,必=2,求］2e+九2+⑵"的

值.

【答案】4

【详解】解：=。+〃=2,ab=2,

a24-b~=(a+b)1-lab=4-4=0,

.J2a%+a2b2+12a护=ab［\2a2++12〃)=12(/+〃)+，必］=2x2=4.

22.(本题8分)(2021下•四川成都・七年级校考期中)如果42+3x-3=0,求代数式+5/+3x-10

的值.

【答案】T

【分析】由已知可得,d+3x=3,然后对所求式子变形，再整体代入求解即可.

【详解】解：•*x2+3x-3=0,

"+3x=3,

x3+5x2+3x-10

=丁+3/+2/+310

=x(x2+3x)+2x2+3x-10

=3x+2/+3K)

=2（X3+3X）-10

=2x3-10

23.(本题9分)(2018下•七年级单元测试)两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学

因看错了一次项系数而分解成2(x-1)(x-9),另一位同学因看错了常数项而分解成2{x-2)(工-4),

求出原多项式.

【答案】2.r_121+18

【分析】由于含字母x的二次三项式的一般形式为加+加：+c(其中。、6c,均为常数，且HH0),

所以可设原多项式为aF+Ax+c.看错了一次项系数即方值看错而。与c的值正确，根据因式

分解与整式的乘法互为逆运算，可将2(x-1)(x-9)运用多项式的乘法法则展开求出。与c

的值；同样，看错了常数项即。值看错而。与b的值正确，可将2(x-2)(『4)运用多项式

的乘法法则展开求出b的值，进而得出答案.

【详解】解：设原多项式为+法+%(其中，jb,c均为常数，且他*0).

因为2(1)(%-9)=2(x2-10x+9)=2x2-2O.r+18,

所以。=2,c=18,

又因为2(x-2)(x-4)=2(/_6x+8)=2.r2-12.r+16,

所以b=T2,

所以原多项式为2/-12x+18.

24.(本题9分)(2024下.全国•七年级假期作业)我们知道几个非负数的和等于0,只有这儿

个数同时等于0才成立,如(.E-2)2+|y+3|=0.因为另一2)2,卜+3|都是非负数,则一2=0,可求

得x=2;y+3=0,可求得产-3.应用上述知识解答下列各题：

⑴若"+l)2+(y-2)2=0,求乂丁的值；

(2)若2x2+3yz-12x+12)=—30,求(x+y产的值.

【答案】(l)x=Ty=2

(2)(x+y严23=1

【详解】(1)因为(％+1)2+(广2)2=0,

所以x+l=0,y-2=（）,

解得x=T，）'=2.

(2)因为2炉+3旷2-121+12)，=一30,

所以21+3V一12犬+12)，+30=0,

所以2(X-3)2+3(y+2『=0,

所以x-3=0,y+2=0,

解得x=3,y=-2,

所以(X+),)M3=(3一2)初3=1.

25.(本题10分)(2023上•山东日照•八年级校考阶段练习)阅读材料：若

-2〃"7+2〃，-8〃+16=0,求/〃、〃的值.

解：*/nr-2mn+2n2-8//+16=0»；.(加-2mn+,厂)+一&z+16)=。

；・(机一〃『-4『=0,/.=0,(〃-41=0,；.〃=4,"7=4.根据你的观察，探究卜面

的问题：

⑴a?+方2-44+4=0,则。=,b=

⑵已知“3C的三边长〃、b、c都是正整数，且满足却+〃-44-6"11=0.求的周长.

(3)当m〃为何值时，多项式/-2"+2〃一4方+27有最小值，并求出这个最小值.

【答案】(1)2,0

(2)7

(3]]=/?=2,23

【分析】本题考查完全平方公式的应用，偶次方的非负性，三角形的三边关系，关键是熟记

完全平方公式5±32=/±2"+从并灵活运用.

(1)把原式变形为(。-2)2+62=0,然后利用非负数的性质求解即可；

(2)根据完全平方公式平方式的非负性求得。、b,再根据三角形的三边关系求得C,进而求

解即可；

(3)把原式变形为(a-〃)2+e-2『+23,然后利用非负数的性质求解即可.

【详解】(1)Va2+b2-4a+4=(),

a2-4a+4+b2=0,

：.(a-2)\b2=0,

V(a-2)2>0,b2>0,

・'(a-2)'=U,/?2=0,

a=2,/?=0.

故答案为：2,0；

(2)：2/+从一4〃-Wil=0,

22

.\2(«-2a+l)+(/?-6Z?+9)=0t

2(1)2+(6—3)2=0,

«-l=0,/?-3=0,

a=1,0=3,

•・・AA8C的三边氏a、b、c都是正整数，

••3—lvcv3+l,即2<cv4,

••。=3,

1•△A8C的周长为a+人+c=l+3+3=7.

(3)Va2-2ab+2b2-4b+21

=a2-2ab+b2+b2-4。+4+23

二(""『+他-2『+23,

V(a-/?)2>0,(/?-2)2>0,

1•当a=A=2时，多项式a?一2ab+2〃-46+27有最小值23.

26.(本题10分)(2022下•贵州铜仁•七年级统考期中)

(1)【阅读与思考】

整式乘法与因式分解是方向相反的变形.如何把二次三项式加+云+c(aw0)分解因式呢？我

22

们己经知道：(«|X+Cj)(«2x+c2)=a}a2x+a^c2x+a2c}x+cic2=ci^x+(«tc2+a2ct)x+ctc2.反过来，就

得到：44工2+(〃格+&q)x+GG=(6*+6)(生工+0).我们发现，二次三项式"一+及+4々/。)的二

次项的系数。分解成常数项c分解成并且把4,生，G,c2f如图1所示摆放，按

对角线交叉相乘再相加，就得到“心+/仇，如果。£+/G的值正好等于a/+以+。的一次项系数

b,那么双2+法+0就可以分解为(平+q)(%v+G)，其中q,0位于图的上一行，出，6位于下

一行.像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通

常叫做、、十字相乘法”.

例如，将式子/-K-6分解因式的具体步骤为；首先把二次项的系数1分解为两个因数的积,

即1=1x1,把常数项-6也分解为两个因数的积，即-6=2x(-3)；然后把1,1,2,-3按图2所

示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1x(-3)+lx2=-l,恰好等于一次项的系数一

于是就可以分解为％+2)(1-3).

请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当