集合的基本运算（七种常考题型）（解析版）

集合的基本运算（七种常考题型）

并集的概念及表示并集的运算

交集的运算

交集的概念及表示

集合的交、并运算性质

补集的运算

并集、交集的运算性质

交、并、补的混合运算

补集的概念及表示利用Venn图求集合

1.全集；

2：补集拓定义及性质含参数的交、并、补运算

知识点1并集的概念及表示

自然语言符号语言图形语言

由所有属于集合A或属于集合B的

元素组成的集合，称为集合A与8的AuB={x|XGA或xsB]

并集，记作AD3（读作“A并8”）

知识点2交集的概念及表示

自然语言符号语言图形语言

由属于集合A且属于集合B的所有

元素组成的集合，称为A与8的交/lp|B={x|xeAS.xeB}

集，记作（读作“人交十）

注意：（1）两个集合的并集、交集还是一个集合.

（2）对于,不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合.因为A与3可能有公

共元素，每一个公共元素只能算一个元素.

（3）AC8是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成.

知识点3并集、交集的运算性质

并集的运算性质交集的运算性质

A<JB=B^JAAr\B=Br>A

A<JA=AAcA=4

A<J0=AAn0=0

A^JB=B<=>AC\B=AoA^B

知识点4补集的概念及表示

1.全集

(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.

(2)符号表示：全集通常记作U.

2.补集的定义及性质

对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的

文字语言所有元素组成的集合称为集合A相对全集U

的补集，简称为集合A的补集，记作gA

屯人={小€(且％任

定义符号语言7,4}

图形语言

(1)瘠A工U,卢二=U；

性质

(2)AU(秒4)=U,Ac(4)=0,瘠(d)=A

注意：(1)A表示一个集合；

(2)A是U的子集，即AqU；

(3)A是U中不属于4的所有元素组成的集合.

题型一并集的运算

1.设〃zeR,已知集合A={1,3,〃?},8={3,4},若AU8={1,2,3,4},则〃?=

【答案】2

【分析】根据并集的定义即可得到答案.

【详解】・.•集合4={1,3,加},B={3,4),4U"={1，234},

所以，〃=2.

故答案为：2.

2.定义A—A=且入屋㈤，若A={1,3,5,7,9},8二{2,3,5},则(A—B)U(B—A)=

【答案】{127.9}

【分析】根据题目定义，分别求得4-8={1,7,9}和8-4={2},再利用并集运算即可得出结果.

【详解】根据集合4-8={x|xeA且x任8}的定义可知，

当4={1,3,5,7,9},8={2,3用时，可得A—八{1,7,9},B-A={2}.

所以(A-gu(3-A)={1,2,7,9)

故答案为：{127,9}

3.已知集合人=(川Z?"(X|0<AC2),则AuS=()

A.{AI-I<x<I)B.{x|O<x<l}C.(x|O<x<2}D.{.r|-l<x<2)

【答案】D

【分析】根据并集运算求解.

【详解】因为集合八二{2-1工人41},B={x|0<xW2},

所以AUB={X|T"X，2},

故选:D.

4.已知集合4={-1,0,1,2},8="|—1<X<2，X£N},则ADH中的元素个数为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】根据集合的并运算即可求解.

【详解】由题设6={1},所以AUB={TO,1,2},故其中元素共有4个.

故选：B

5.已知集合4={4,5,6},4={3,5,7},则()

A.0B.{5}C.{4,6}D.{3,456,7}

【答案】D

【分析】利用集合的并集运算即可得解•.

【详解】因为A={4为,6},8={3,5,7},

所以AU8={3,4,5,6,7}.

故选：D.

6.已知集合人={0J2,3},B=kk="_],〃cA},P=AVJB,则/，的子集共有（）

A.2个B.4个C.6个D.64个

【答案】D

【分析】先求出集合再求出集合。，从而可求出其子集的个数.

【详解】因为A={0,1,2,3},8=叶=〃2_1,〃64},

所以8={7,0,3,8},

所以尸={-1.0,1,2,38}•则尸的子集共有26=64个,

故选:D

题型二交集的运算

7.已知集合M={（Xy）k=0},N={（X,y）b=X+2},则例CN=

【答案】{（。，2）}

【分析】根据集合的交集运算即可.

y=x+2

【详解】由题意可得McN=（x,y）解方程可得x=Q)，=2,故MflN={(0.2)}.

x=0

故答案为：{(0,2)}

8.设集合A={-2,-1,0,1,2},Z^=p-l<x<|>,则AC|8=()

A.{70,1,2}B.{-2,-1.0}C.{0,1}D.{1,2}

【答案】A

【分析】直接由交集的定义求解艮］可.

【详解】因为A={—2,—B=^x|-l<x<!|,

所以40"={T0J2},

故选；A.

9.集合A={2,3'},B={x,y},若Ac8={3},则.

【答案】{1,2,3}

【分析】根据交集运算得出x，y,再由并集运算求解.

【详解】若AC8={3},则v=3，y=3,所以X=l,所以AU8={1,2,3}.

故答案为：{1,2,3}

10.下列命题中，真命题是____.（填序号）

①若集合尸={y|y=V},Q={x|y=x",则PqQ；

②若集合A={（X,y）“=1},B={（x,y）|,y=-x2+l},则AcB={-2,1}；

③任何集合都有真了•集；

④若Ac4-0,则4区至少有一个为空集.

【答案】①

【分析】利用函数的定义域与值域，判断包含关系判断①；求出集合的交集判断②，

真子集的定义判断③；交集的含义判断④.

【详解】P={.y|y=x2}=[0,+oo）,Q={x|y=f}=R,则2口。.所以①正确；

若集合A={（x,y）|y=x-1},8=卜%,），）|y=-丁+1}

（y=x-\[x=-2f.r=l

，由।解得&或八，

=2+1[y=-3[y=0

则Ac3={（-2,-3）,（1,。）},所以②不正确;

空集没有真子集，所以③不正确；

若Ac4=0,两个集合可以不是空集，

两个集合没有相同的元素，就满足题意，所以④不正确.

故答案为:①

11.已知集合4={一11},8={x+y|xeA},C={x-y|xweA},则（）

A.B=CB.BCC.BQC=0D.B（JC=A

【答案】A

【分析】利用列表法求集合小氏进而结合集合间的关系和运算逐项分析判断.

【详解】对于x+y可得:

可得集合3={—2,0,2}；

对r•x-y可得:

可得集合。={-2,0,2},所以8=。={一2,0,2},

则B=C成立，BC不成立，BlC={-2,0,2},BUC={-2,0,2j»

所以A正确，B、C、D错误.

故选：A.

12.已知全集U=A=3={xeN|0vx+lv6},A={1,2},若AcB=0,贝Ij4=()

A.{0,3,4}B.{0,1}C.{-1,0}D.{2,3,4}

【答案】A

【分析】根据题意求全集U,再结合集合的交集和并集分析求解.

【详解】由题意可得：U=卜eN|0vx+l<6}={04,2,3,4},

因为U=AU8,AIB=0,A={1,2(,所以8={0,3,4}.

故选：A.

13.已知集合户={(x,#ly=x",Q={(x,y)ly=«},则Pp|Q=()

A.{0}B.{0,1}C.{(0,0))D.{(0,0),(1,1))

【答案】D

【分析】根据集合的含义，结合解方程组，即可求得两集合的交集.

【详解】由题意集合P={（M），）ly=Y},Q={（x,y）ly=4}表示点集,

y=x'x=0.j=l

解方程组「，得或*

v=Vxy=0v=1

故PnQ={（Q。）,。』）},

故选：D

题型三集合的交、并运算性质

14.已知。>0,集合M=W0Mor+lW3},N={x\-\<x<4},若MuN=N,则实数。的取值范围是

【答案】a>\

【分析】化简集合M，将MuN=N化为MqN,根据了•集关系列式可求出结果.

1?

【详解】由a>0,0<O¥+1<3,得一一4x4一,

aa

因为MuN=N,所以例之N,

一14—

所以",解得

-<4

a

故答案为：a>\

15.（多选）若集合A={.r|0vx<2},且4n8=8,则集合8可能是（）

A.0B.{1}C.[0,2]D.（。,2）

【答案】ABD

【分析】根据子集关系逐项进行判断可得答案.

【详解】因为408=8,所以4百A,

因为4={x|0<xv2},所以0={1}CA,（0,2）={.r|0<.t<2}CA,[0,2]={x|0«x«2},

故选：ABD

16.已知集合A={M/_]=o},B={X|ax="，若4口8=8,则实数〃取值集合为（）

A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}

【答案】D

【分析】由题意知3名人，分别讨论8=0和〃两种情况，即可得出结果.

【详解】由AnB=B,知因为A={*a—1=0}={-1/，B={x\(vc=\],

若8=0,则方程奴=1无解，所以。=()；

若BH0,〃工0,则3={x|ar=l}=TX=，>,

因为Z?uA,所以，=±1,则。=±1；

a

故实数。取值集合为{TO4}.

故选：D.

17.已知集合4={x|xv-1或工>3},8={耳。WxWo+2}.

(1)若Ac8=0,求。的取值范围；

(2)若Au8=A,求。的取值范围.

【答案】⑴[T1]

(2)l-<x>,-3)u(3,+a?)

【分析】(1)由AcB=0,列不等式，即可求出。的取值范围；

(2)由=得到列不等式，即可求出〃的取值范围.

【详解】(I)因为AcB=0,所以[之:\解得TWaWl.

a+2<3,

故。的取值范围是[-15.

(2)因为AD8=4,所以

则〃+2<-1或。>3,解得〃<-3或4>3.

故。的取值范围是(y),-3)U(3,y).

18.设集合4={-2},4={M«x+l=O，”WR},若AU8=4,求。的值.

【答案】。=0或

【分析】先由AU8=A,得到8GA.再含参讨论解出集合8,进行讨论即可.

【详解】，：AUB=A,：.BQA.

•・》={-2浮0,・・・8=0或8=4

当8=0时，方程ai+l=O无解.此时a=O.

当B=A时，此时g0,则B=•一：、

即有一，=一2,得〃=4.

aa2

综上，4=0或a=g.

19.已知集合A={x|a<x</+],4ez},B={x|2<x<6},若Ap|8=A,则a=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】有集合间的关系建立不等式组求出即可.

【详解】由4口8=4,得易知集合A非空，

a>2"2

贝！J+1W6n，-万<«<75,

aeZaeZ

解得a=2.

故选：B.

20.己知集合A={x|-2WxW4},/?={x|x>tz}.

(1)若实数〃的取值范围是_____________________.

(2)若A。A,实数〃的取值范围是.

(3)若=实数。的取值范围是.

【答案】(一双4)[-2,-FOO)(9,-2)

【分析】①根据集合间的运算求实数。的取值范围；②利用取反思想，先求人(18=4时，实数。的取值范

国，再求补集即可；③利用集合间的关系，即可得出答案.

【详解】①若AC8H0，得a<4,所以实数a的取值范围是(-8,4)；

②因为=即所以。<一2,所以若入0台wA,则,

则实数”的取值范围是卜2,田)：

③若=即A=所以av-2,

则实数a的取值范围是(―厂2).

故答案为：①(-8,4)；②[-2,+«?)；③(-oo,-2).

题型四补集的运算

21.已知全集(/={123,4},4={1.3}息8={2,3},则4(13=()

A.{1}B.{3}C.{4}D,{1,3,4)

【答案】A

【分析】根据交并补的定义求解.

【详解】由题意得从={1,3},8={1,4},所以AcA={l}：

故选:A.

22.已知集合"={x|W=x，xeR：，则第加=()

A.(-a),0)B.(e,0]C.(O,+<»)D.[0,+e)

【答案】A

【分析】解方程得到M=[0,y),从而得到补集.

【详解】M={XW=x/eR}=[0,+e),故4"=(f0).

故选：A

23.设全集U=Z,A={xwZ|xvO或%>6},则6A=()

A.{A|A<0,i^x>6}B.{xIxvO,或入>6}

C.{^|0<x<6}D.{0,1,2,3,4,5,6}

【答案】D

【分析】根据集合的并运算即可求解.

【详解】由于U=Z,A={xwZ|x<0或x>6},所以Q/={(U2,3,4,5,6},

故选：D

24.已知集合4=卜|26式5},B={x\3<x<4}f则()

A.{2,4,5}B.{x|2"v3或4KxK5}

C.何24x43或4«xW5}D.32Wx<3或4vx45}

【答案】B

【分析】利用补集的定义可求得集合G8.

【详解】因为集合4=卜|2«1«5},8={巾《工<4},故。8={H2Vxv3或44x45}.

故选:B.

25.已知全集5={（y）底!<”用，人={（乂5）卜2+9叫用列举法表示集合《人=

【答案】{（。,0）}

【分析】根据补集的定义运算可得.

【详解】因为全集5={伍）兆eR,yeR},A={（乂），犷+y2H0}所以={（内犷+9=0}={（0,0）}.

故答案为：{（0,0）}.

26.已知全集U={），|y=QT,x>l},集合A={y|0v），<l},则下列区间不是的子集的是（）

A.（2,+00）B.（1,-Ko）C.（0,-Rx））D.（1,2）

【答案】C

【分析】根据题意求得u={yly>。},得到Q/=（I,T8）,结合选项，即可求解.

【详解】因为U=3y=JT^,x>l}=3y>0".A={y[0<y<l},

所以4，A={M），21}=[L+8）,结合选项，可得（0,+8）不是64的子集.

故选：C.

题型五交、并、补的混合运算

27.已知集合，已知全集。={工£2|-3"43},集合A={xeN|2x+lK5},B={xe7\\^<\},求：

An80A）U8.

【答案】Ar）B={0,l};（^A）UB={-3-2,-l,0,l,3}

【分析】求出集合U,48,求得44，根据集合的运算，即可求得答案.

【详解】由题意得"={-3,-2,-1,0,1,2,3},A={0J2},B=

则电4={-3,-2,-1,3|,

故A。3={0,1呵A）U5={-3-2-1,04.3）.

28.已知全集（/=*©附<1<8},集合A={2,4,5},8={2,6},则。,（Au8）=（）

A.{4,5}B.{3,7}C.{1,3,7}D.{2,456}

【答案】B

【分析】根据并集与补集的性质求解即可.

【详解】因为全集U={23,4,5,6,7},AuB={24,5,6},所以解(AuB)={3,7}.

故选：B

29.设全集U={1234,5,6,7,8},Al=^(A|JB)={2,4},则集合8为()

A.{1,3,567,8}B.{2,4,5,678}

C.{5,6,7,8}D.{1,2,3,4}

【答案】C

【分析】根据交集，并集和补集的运算即可求解.

【详解】因为全集U={1,234,5,6,7,8},

由G(AU6)={2,4}知,2任B,4任B：

由AIa5={1,3}知,1任8,3任B,

则集合5=[5,6,7,8),

故选:C.

3().已知全集U=keN[x<6},集合A={1,3},8={2,3,4},则4n@可=()

A.{1}B.{3}C.0D.{1,3}

【答案】A

【分析】根据题意求全集U,再结合集合间的运算求解.

【详解】因为"={123,4,5},则Q,B={1,5},所以

故选：A.

31.设全集U=R,"={x|lKx<5},N={x|x<0},则Mn&N))等于()

A.{x|-l<x<0}B.{x|()<x<5}C.{x|1<x<51D.{x10<x<5}

【答案】C

【分析】求得q，N={x|xNO},根据集合的交集运算，即得答案.

【详解】由题意M={x|14xv5}.N={x|x<0},则eN={x|x20},

故拉r&N）={x|14%<5},

故选：C

32.若全集令={1,2,3,4,5,6},M={1,4},N={2,3},则集合{5,6}等于（）

A.M<JNB.McN

c.（w）u（^）D.（w）n（t,/v）

【答案】D

【分析】根据题意结合集合间的运算逐项分析判断.

【详解】因为全集〃={123,4,5,6},"={1,4},N={2,3},

因为6N={145,6},PM={2,356},MCN=0,MUN={1.2,3,4},

（枷）c（”N）={5,6},（削）U（“N）={1,2,345,6},

则集合{5,6}=（枷）c（uN）,

故A、B、C错误，D正确.

故选:D.

33.设集合U=R,集合例一{也<1},N={H-1VX<2},贝叫人］入之2}=（）

A.&（MIJN）B.NU4，.M

C.Q,（MnN）D.MuQN

【答案】A

【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{x|x22}即可.

【详解】由题意可得用UN={x|x<2},则6（M|JN）={X|XN2},选项A正确;

dM={x|xNl},则NUQ,，M={X|X>—1},选项B错误；

MnN={x|-l<x<l},则6（McN）={x|x«-l或xNl},选项C错误；

^2V={x|x<-ln£x>2},则MUdN={x|xvl或xN2},选项D错误；

故选；A.

题型六利用Venn图求集合

34.（多选）如图，U为全集，M、P、S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）

A.［Pc（Q,S）］cMB.（Mp|P）US

C.（MCP）MJSD.（MCP）D4，S

【答案】AC

【分析】分析出阴影部分为和QS的子集，从而选出正确答案.

【详解】图中阴影部分是"fl尸的子集，不属于集合S,属于集合S的补集，即QS的子集,

满足要求的为［"）（郴）］n”=（取np）na,均表示阴影部分,BD不合要求.

故选:AC

35.如图，两个区域分别对应集合4区其中A={-2,-1,（）,1,2},4=卜£用“<4}.则阴影部分表示的集合为（）

A.{0,1,2}B.{0,1}C.{-2,-1,2}D.{-2,-1}

【答案】D

【分析】根据题意表示出集合，将集合中元素还原到图形中，即可得到结果.

【详解】解:由题意知,A={-2,-1,0,1,2},4=卜€用工<4},

阴影部分表示的集合为APIQI.

因为8={X£N|XV4}={0,1,2,3},

所以ang/二{_2,7}.

故选:D

36.如图，U是全集，M,N,P是U的子集，则阴影部分表示的集合是（）

A.Mc(NcP)B.用u(NcP)

C.(Q,,M)c(NcP)D.&M)D(NCP)

【答案】C

【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合M的外部与集合N集合户交集内部的公共部分，求解即可.

【详解】根据题意，阴影部分为集合M的外部与集合N集合尸交集内部的公共部分，

即@M)c(NcP).

故选:C.

则其图象为（）

【答案】A

【分析】根据给定条件，可得MqN,结合韦恩图的意义判断作答.

【详解】全集为U，McN=M,则有MqN,选项BCD不符合题意，选项A符合题意.

故选：A

38.已知全集全={0」,2,3,4,5},集合A={0,2,4,5},集合3={2,3,4},则如图所示的阴影部分表示的集合为

A.{2,4}B.{0,3,5}C.{0,1,3,5)D.{0,2,3,4,5}

【答案】C

【分析】求出AcB={2,4},阴影部分集合为Qj(AcB),由此能求出结果.

【详解】因为集合A={0,2,4,5},集合8={2,3,4},

所以4cB={2,4},由图可知：阴影部分表示的集合为均={0』,3,5},

故选:C.

39.如图所示，两个大圆和一个小圆分别表示集合用、S、P,它们是V的三个子集，则阴影部分所表示

A.(Mp|p)nsB.(MCIP)US

c.(Mns)n(ap)D.(MnP)U(Q，5)

【答案】c

【分析】题图中的阴影部分是McS的子集，但该子集中不含集合尸中的元素，且该子集包含「集合产的补

集，用关系式表示出来即可.

【详解】由图知，首先阴影部分是McS的子集，其次不含集合。中的元素且在集合户的补集中，

可得阴影部分所表示的集合是(Mns)n@p)或(Mns)n©p).

故选:C.

题型七含参数的交、并、补运算

40.已知集合4={目々+24工工3。一4}(〃£1<),B=p|8<x<12},

(1)若AuQ8=R,求。的取值范围；

(2)若Ac8=0,求。的取值范围.

【答案】

(2)a<4或10.

【分析】(1)根据Au48=R可知BqA,列出不等式组即可求解.

(2)分A=0和AH0两种情况讨论即可.

【详解】(I),••AuQ3=R,：.BQA,

a+2<S\a~6「16-

Ak.s16=>«e—,6,

3。-4..12ci...—3

3

・・・。的范围是号,6.

(2)(i)若A=0,则〃+2>3。-4,即〃<3,此时满足Ac8=0；

(ii)若AM0,则。之3,

若Ac8=0,则3。-4<8或a+2>12,解得av4或。>10,

:.3<。<4或。>10；

综上，4V4或4>10.

41.已知非空集合A={M0vxv。，«={^1<x<2},分别结合下列条件求出实数〃的取值范围.(将结果

填在相应的答题线上)

(1)BcAt；

(2)A<JB=A,:

(3)AcB=0,；

(4)AU(4A)=R,.

【答案】{a\a>2]{。|〃>2}{«|0<«<l}{a\a>2}

【分析】根据集合的包含关系或运算结果，分别列不等式求对应条件卜Z的取值范围.

【详解】因为A={R()<xva}为非空集合，所以。>0,

又8={即<工<2},

由BuA，可得〃>2,所以实数a的取值范围为{小>2}.

由Aub=A，可得所以〃>2,所以实数〃的取值范围为{〃|〃>2}.

由Ac8=0可得故实数。的取值范围为

因为=或x>2},AU(Q3)=R,

所以a>2,实数。的取值范围为{小>2}.

故答案为：{*>2}；{a\a>2\-{«|0<a<l}；{a\a>2\.

42.设集合A={X。vxWa+8},8={乂8-。vxv〃},M={x|xvO或x>5},全集U=R.

⑴若AUM=R,求实数。的取值范围；

(2)若BU(a,M)=B,求实数〃的求值范围.

【答案】(1)一3《〃<0

⑵b>8

【分析】(1)根据AUM=R，可得|“<。、<，解之即可；

(2)由牝|值,可得6用G8,列出不等式组，解之即可.

【详解】(1)解.：因为AUM=R，

4<0

所以《解得-3工”0,

^+8>5

所以〃的取值范围是-3