2025-2026学年广东省中山市高二（下）期末数学试卷（含简略答案）

2025-2026学年广东省中山市高二(下)期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若m是2和18的等比中项，则实数m的值是()

A.6B.-6或6C.10D.-10或10

2.已知函数/•(%)=23则/'(2)的值为()

41

A.4B.4m2C.-D.砧

3.已知数列｛Q”｝满足：%=2,an+1=1-记数列｛%｝的前八项积为小，贝忏2026=()

A.1B.2C.D.-2

4.已知函数y=/(x)(xeR)的图象如图，则不等式》/•'(x)<0的解集为()

A.(0,1)U(2,+oo)B.(-oo,1)U(p2)C.(-8,0)U(1,2)D.(-1,0)U(1,3)

5.离散型随机变量X的分布列如下：

X1234

Pm0.3n0.2

若E(X)=2.7,则下列结论错误的是()

A.m+n=0.5B.E(3X-1)=7.1C.D(X)=0.81D.P(X>2)=0.5

6.某公司人力资源部决定安排5名同事到3个人才市场进行人员招聘，每人只去一个人才市场，每个人才

市场至少安排1人，则不同的安排方式共有()

A.80种B.150种C.240种D.360种

7.某学习小组用计算机软件对一组数据仪,%)(i=1,2,3,…,8)进行回归分析，甲同学首先求出经验回归方

程y=2x+5,样本点的中心为(2,m).乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据(3,7)误输成(7,3),

数据(4,6)误输成(4,一6),将这两个数据修正后得到经验回归方程丫二学工+处则实数攵=()

A.-6B.-3y4C.11D.j9

第1页，共7页

8.已知函数/(无)=QX+仇无一《只有极小值，则一定有()

A.a>0B.a<0C.b>0D.b<0

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知事件48满足P(4)=1，P(B|4)=]P(B\A)=l，贝lj()

1"1"17

A.P(AB)=-B.P(B|4)=-C.P(B|4)=耳D.P(B)=m

10.设｛斯｝是任意等差数列，它的公差，前九项和，前271项和与前3九项和分别为d,Sn，S2n,S3n，则下列

等式中恒成立的是()

A.Sn+2nd=S3nB.3Sn+S3n=3s2n

C.sn+S3n=2s2“D.S3n-2s2n+=712d

3

11.三次函数f(%)=X-3x-Q有且仅有两个零点为1，X2(x1<x2)»且f(0)V0,则()

A.a=2

B./(%)的图象关于点(1,一4)对称

C.Xi+x2=1

D.f(x)在区间(一2,zn)(m>-2)上有最大值，则相的取值范围是(一1,2]

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知数列｛即｝的前几项和5n=2n2-3九，则｛%｝的通项公式％=.

13.定义在R上的函数f(x)满足；/(x)+//(x)>2,/(0)=3,则不等式EfO)<2〃+1(其中e为自然对

数的底数)的解集为—.

14.已知％,y,zWN”,且x+y+z=8,记随机变量X为无，y>z中的最小值，则D(X)=____.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知正项数列｛%｝满足的=1,a2=2,%=64,且即时+2=kW+i(八£N*).

(1)求k的值；

(2)求数列｛册｝的通项公式.

16.(本小题15分)

在(3+,)n的展开式中，第三项的二项式系数为15.

(1)求九的值并求展开式中的常数项；

(2)求(1+X2)(X+j)展开式中X4的系数.

第2页，共7页

17.(本小题15分)

流感病毒进入人体后存在潜伏期，潜伏期指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间，潜伏期越

长，传染给其他人的可能性越高观抽样300个感染流感病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计得出样本

潜伏期的平均数为2,方差为0.92,若把超过3天的潜伏期视为长潜伏期，按照统计样本，得到如下列联

表：

潜伏期

年聆合计

长潜伏期非长潜伏期

低年龄段40100140

高年龄段30130160

合计70230300

(1)根据小概率值a=0.05的独立性检验，分析潜伏期长短是否与年龄有关.

(2)假设潜伏期X服从正态分布N(p,02),其中〃近似样本平均数，近似为样本方差.

。医院对有流感症状患者的密切接触者要求隔离5天，请用概率知识解释其合理性.

②以题目中的样本数据估计概率，设800个病例中恰有个属于“长潜伏期”的概率是P(k),问

当A为何值时，P(k)取最大值.

附：X2=(黑〃=Q+匕+c+d,

“(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.050.010

xa2.7063.8416.635

若《〜N(〃R2),则P(〃一。式《工〃+。)*0.6827,P(〃-2。工〃+2。)々0.9545,P(ji-3a<^<

〃+3a)a0.9973.

参考数据：篝=3.13,翳-3.58,黑a4.03.

18.(本小题17分)

现有标号依次为1，2,…，几的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是

1个红球和1个白球.现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒

子，…，依次进行到从九-1号盒子里取出2个球放入n号盒子为止.

(1)当n=2时，求2号盒子里有2个红球的概率：

(2)当九=3时，求3号盒子里的红球的个数f的分布列；

⑶记n号盒子中红球的个数为X”，求X”的期望E(XJ

第3页，共7页

19.(本小题17分)

已知Q>0,函数f(x)=—a)2.

(1)证明：f(x)有唯一的极大值点和极小值点.

(2)记/(%)的极大值点为m,极小值点为n.

(i)求f(m)-/(n)的最小值;

(ii)设q=嘤，若互不相等的实数必，。满足“/)=/*(0)=”小)，证明：(勺一%0)(必一工。)(“3-

*o)v*

第4页，共7页

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】ACD

10.【答案】BD

1L【答案】ACD

12.【答案】4n-5

13.【答案】(一8,0)

14.【答案】工

15.【答案】解：(1)当九=1时,a｝a3=kal=>a3=4k,

(2)因为k=2,所以％册+2=2成+i，则皿=2♦皿，

Q〃+lan

令加=乎，所以勾+]=2"，则｛九｝是等比数列，

an

因为仇=詈=2,q=2,所以b=匕/-1=23所以竽>=23

a】an

则a_Ei!_^-x^x.-x^xa=2n-xx2n-2x-x22x21x1=.

=Q〃-1xQ八-2Q?i-31

16.【答案】n=6,常数项为160

72

17.【答案】依据小概率值a=0.05的独立性检验，可认为潜伏期长短与年龄有关

00为X〜N(2,0.92),P(〃-3。WX工〃+3。)、0.9973,

所以P(X>5)<P(X>〃+3。)=1一°；973=0OOI35,

这说明潜伏期超过5天的概率极低，因此隔离5天可以极大程度上排除发病可能是合理的

翻=186时P(k)取得最大值

第5页，共7页

18.【答案】解：(1)由题可知2号盒子里有2个红球的概率为2二婴=,：

C4§

(2)由题可知，f可取1,2,3,

=2)=1-P"=1)-P(f=3)=1|,

所以3号盒子里的红球的个数f的分布列为:

123

77

P11

361836

(3)记即_】为第n(7i>2)号盒子有三个红球和一个白球的概率，则臼=：,

为第"522)号盒子有两个红球和两个白球的概率，则/二,也=得，

3lo

则第荏何>2)号盒子有一个红球和三个白球的概率为1一%.1一儿_1，且以_1=弓4.2+-2+)(1

%-2-*)5?3),

化解得4-1=

得*-|=|(V2=亲'

而力2-g=：(匕1—g)，则数列｛b—1｝为等比数列,首项为力1-1=白，公比为之

所以及=1+今(抄T，

又由斯-1=陵-2+：斯-2，求得即=|-|(1)n»

因此E(X?J=1x即一i+2xb“_i+3x(1—an_i—bn_^=3-2%-1—=2.

19.【答案】(1)证明：由题意a>0,函数f(X)=eax(X-Q)2,

对函数求导可得/''(x)=aeax(x-a)2+2eax(x—a)=aeax(x-a)(x-a+；),

令/'(x)=0，可得％=。或%=。一2,因为a>0，所以a>a-2,

7aa

则当a—<x<a时，f/(x)<0,当久<a-：或%>Q时，fr(x)>0,

所以/(%)在(Q-，，a)上单调递减，在(一8,a-，),(Q,+8)上单调递增，

所以/(%)有唯一的极大值点a-W，唯一的极小值点a(2)(*；(〃)证明：由题意知%o="/=a-

第6页，共7页

设/=X,-x0(i=1,2,3),则%j=%+a-待证命题即〃I%%＜3.

设/(%1)=f(