圆内接四边形（含解析）

1.已知在圆的内接四边形/WCD中，NA：NB：ZC=2：3：7,则NO等于（）

A.40°B.60°C.100°D.120°

2.如图，四边形A8C。内接于OO,E为BC延长线上一点.若NOCE=65°,则NB。。的度数是（）

3.如图，四边形43C。内接于。。NABC=I35°,4c=4,则。。的半径为（）

A.4B.2&C.V3D.4^2

4.如图，四边形ABC。是。。的内接四边形，BE是。0的直径，连结CE,DE.若/加。=105°,

5.如图，四边形ABCD内接于OO,若43—108°,则/£＞的度数为

7.如图，四边形A8CO内接于OO,48是。。的直径，连接AC,若NCA8=40°,则NAOC的度

数是

D.

8.如图，四边形A/3CQ内接于O。，AD./3C的延长线相交于点£,AB.0c的延长线相交于点F.若

NA=55°,/尸=30°,贝J/E=

9.如图，在OO的内接四边形A4CO中，/。4£是四边形从8。。的一个外角，NDAE=NDAC.DB

与QC相等吗？为什么？

10.如图，。。的半径为2,四力形A8C。内接于。。，圆心。到4c的距离等于

（1）求AC的长；

（2）求NADC的度数.

题组B

11.如图，点A,B,C,D,E在。。上，标所对的圆心角为50°,则NC+NE等于（）

A.155°B.150°C.160°D.162°

12.如图，点A、3、C在OO上，尸为食I：任意一点，ZA=/n,则ND+NE等于（）

2m1-2m

A.B・90C.180°D.45°IT

2卷

13.如图，点A,B,C,D,E都是。。上的点，AC=AE,ZD=128°,则NB=

~D

14.如图.已知四边形ABCD内接干OO•点O在的内部，/0人。+/00。=50°,则/R=

130°.

15.如图，四边形ABCZ）内接于OO,对角线人。过圆心O,且人CLBO,尸为8c延长线上一点，PD

1BD,若4C=10,40=8，则8尸的长为

16.如图，圆内接四边形A笈C。中，N3C/）—90°,AB-A。，点E1在CZ）的延长线上，旦DE-BC,

连接AE,若4E=4,则四边形ABC。的面积为.

I7.$ll®,A、P、B、C是00上的四点，NAPC=NCPB=60",过点C作CM〃BP交见的延长线

于点M.其中正确的结论是（填序号）.

①NMAC=/PBC,

②△ABC是等边三角形,

③PC=^+P8,

④若以=1,PB=2,则△PCM的面积=会巨.

18.如图，圆内接四边形ABCO的对角线人C,BD交于■点E,8D平分N/WC,NBAC=NRDB.

(1)求证08平分N4OC,并求NR4Z)的大小；

(2)过点。作。"〃A。交AA的延长线干点凡若AC=A。,BF=2,求此圆半径的长.

19.如图1,在。。中，弦A。平分圆周角N84C,我们将圆中以A为公共点的三条弦84,CA,DA

构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2,四边形A3C。内接于圆，AB=BC,

(1)证明：圆中存在“爪形。”；

(2)若NAOC=I20°,求证：AD^CD=BD.

20.如图，。。的内接四边形A8CQ两组对边的延长线分别交于点£、F.若NE=NF时,求证：Z

ADC=ZABC.

(1)若NE=N/=42°时，求N4的度数；

(2)若NE=a,ZF=p,且a#0,请你用含有a、0的代数式表示NA的大小.

21.如图，。。的半径为1,4,P,B,C是。。上的四个点，ZAPC=ZCPB=60°.

(1)请判断△A8C的形状？说明理由;

(2)当点P位于标的什么位置时，四边形APAC的面积最大？求出最大面积.

(3)证明：PA+PB=PC.

22.如图，。0为四边形A3C。外接圆，其中赤=肩，其中CE_L48于£

(1)求证：AB=AD+2BE；

(2)若/8—60。，八。一6,△八DC的面积为上5次，求八8的长.

题组C

23.如图，四边形A8CD是。。内接四边形，AB=AE，NBCO=120°,连接AC,£>EJ_AC于点E,

连接BE,若NBED=150：AC=3/，则。E的长为.

24.面积为18的圆内接四边形A5C£＞的对角线AC是直径，AO=OC,DELABE,WJDE=.

25.如图，四边形A8CZ）内接于OO,AD为直径，BC=CD=5,AD=58E为对角线AC上一动

点，连结8E并延长交。。于点F.

（1）若Br_LA。，求证：ZABF=ZACB；

（2）求四边形A/3C。的面积：

（3）若△BCE为等腰三角形，求8尸的长.

26.研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1,已知

四边形ABC。内接于0O,对角线AC=8D,WAC.\BD

（1）求证：AB=CD',

（2）若。。的半径为8,弧3。的度数为120°,求四边形A3CO的面积；

（3）如图2,作OMJ_8c于M,请猜测OM与AO的数量关系，并证明你的结论.

答案与解析

I.已知在圆的内接四边形A8CO中，NA：NB：ZC=2：3：7,则NO等于（）

A.40°B.69°C.100°D.120°

【点拨】根据圆内接四边形的性质得出NA+NC=180°,Zfi+ZD=I8O°，根据NA：ZB：ZC

=2：3：7求出/A：ZB：ZC：ZD=2：3：7：6,再求出NO即可.

【解析】解：•・•四边形ABC。是圆内接四边形，

・・・NA+NC=180°,N3+/O=180°,

VZ4：NB：NC=2：3：7,

AZA：ZB：ZC：ZD=2：3：7：6,

.*.ZD=180oX_^_=120°,

3+6

故选：D.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键.

2.如图，四边形A8CQ内接于OO,E为BC延长线上一点.若NOCE=65°,则N80。的度数是（）

A.65°B.115°C.130°D.140°

【点拨】根据邻补角互补求出NOCB的度数，再根据圆体接四边形对角互补求出NB4Q的度数，

最后根据圆周角定理即可求出N8OO的度数.

【解析】解：・・・NOCE=6f°,

・・・NQC8=18（r-ZDCE=180°-65°=115°,

•・•四边形A4C。内接于OO,

：.ZBAD+ZDCB=\^r,

・・.NBAO=65°,

/.ZBOD=2ZBAD=2X65°=130°,

故选：C.

【点睛】本题考查了园内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键.

3.如图，四边形A4CO内接于GX）,ZA13C=\35°,AC=4,则的半径为（)

b

A

B

A.4B.2V2C.V3D.4V2

【点拨】先根据圆内接四边形对角互补得出NAOC=45°,由圆周角定理得出NAOC=90°,根

据OA=OC可得出答案.

【解析】解：连接。4，0C,

•・•四边形A8CQ内接于。。，ZABC=\35°,

・・・NAQC=45°,

AZAOC=90°,

由勾股定理得：0A2+。。2=4。2,

\,OA=OC,AC=4,

：・0A=2版，

・・・。。的半径为：272.

故选：B.

【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角的关系，解题的关键是熟练运用相关定

理.

4.如图，四边形ABC。是。。的内接四边形，BE是。0的直径，连结CE,DE.若NB4Q=105°,

则NOCE为()

A.10°B.15°C.20°D.25°

【点拨】根据圆内接四边形的性质得出N84D+NACO=180°,求出N8CQ=75°,根据圆周角

定理得出N8CE=90°,再求出NOCE即可.

【解析】解：•・•四边形A8CO是。。的内接四边形，

Z5CD=180°，

•・・/84。=105°,

・・・N8CO=75°,

••RE是。。的直径，

AZBC£=90",

：・NDCE=NBCE-NBCD=96°-75°=15°,

故选：B.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此

题的关键.

5.如图，四边形A3CO内接于。。，若，则NQ的度数为72°.

c

【点拨】根据圆内接四边形的性质计算即可.

【解析】解：：四边形A8C。内接于。0,

，/8+/。=180°,

•・・/B=108°,

AZD=1800-ZB=12°,

故答案为：72°.

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关犍.

6.在圆内接四边形ABCO中，ZD-ZB=40°,则N8=70度.

【点拨】根据圆内接四边形对角互补，直接求出即可.

【解析】解：•・•四边形48C。是圆内接四边形，

・・・/8+/。=180°,

又/。・N8=40°,

AZB=70°；

故答案为：70.

【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，灵活应用圆内接四边形的性质是解决问题的关键.

7.如图，四边形ABC。内接于OO,/W是的直径，连接AC,若NC4B=40°,则NAOC的度

数是130°.

D

AB

【点拨】利川直径所对的圆周角是直角得到NAC8=90°,然后利用直角三角形的两个锐角互余

计算NB=50°,利用圆内接四边形的性质求得/AOC的度数.

【解析】解：〈AB为。。的直径，

AZACB=90°,

AZfi=90°-/CA4=90°-40°=50°,

•・•四边形ABCD内接于OO,

••・NAOC=1800-Z5=I8O°-50°=130°,

故答案为：130°.

【点睛】本题考查/圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是「解圆内接四边形

的对角互补.

8.如图，四边形ABCO内接于。0,AD.4C的延长线相交于点£,46、QC的延长线相交于点足若

NA=55°,ZF=30°,则NE=40°.

【点拨】利用圆内接四边形的外角等于内对角，得到/BCr=NA,根据对顶角相等，得到NOCE

=/BCF,利用三角形内角和定理，求出NAQC的度数，再利用外角的性质，即可得到NE的度

数.

【解析】解：•••NA-55°,ZF-300,

・・・NBC"=NA=55°,ZXDC=18O°-ZF-ZA=180c-55°-30°=95°,

VZECD=ZBCF=55°,

VZADC=ZE+ZDCE,即：95°=/£+55°,

AZ£=40°.

故答案为：40.

【点睛】本题考食圆内接四边形，一一角形内角和以及外角的性质.熟练掌握圆内接四边形的外角

等于内对角，是解题的关键.

9.如图，在OO的内接四边形ABCZ）中，ND4E是四边形ABC。的一个外角，ZDAE=ZDAC.DB

与。。相等吗？为什么？

【点拨】首先利用等腰三亮形的性质得出/O6C=/OC&进而利用圆内接四边形的性质得出/

EAD=/DCB,再利用圆周角定理求出NZ）BC=ZDCB即可.

【解析】解:DB=DC；

理由：・・・ND4E是四边形48CO的一个外角，

:./EAD=/DCB,

'：ZDAE=ZDAC,

：.ZDAC=ZDCB,

又*：/DAC=/DBC,

；,/DBC=/DCB,

:・DB=DC.

【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，得出/

DBC=ZEAD是解题关键.

10.如图，。。的半径为2,四边形A3C。内接于OO,圆心。到AC的距离等于

（1）求4C的长；

（2）求NADC的度数.

B

【点拨】（1）过。作OE.AC于E,连接OA、OC,根据勾股定理求出AE,根据垂径定理求出

AE=CE,再求出AC即可；

（2）根据直角三角形的性质求出N4OE=30°,求出NAOC=60°,根据圆周角定理求出NA8C,

根据圆内接四边形的性质求出NAQC+NABC=180°,再求出答案即可.

【解析】解：（1）过。作OE_LAC于E,连接OA、OC,则NAEO=90°,

B

•・•圆心O到AC的距离等于近，

：・OE=M，

由勾股定理得：AE=^Q^2_Qg2=^22_)2=1»

VOE1AC,OE过圆心O,

*»AE=CE=1»

.\AC=AE+CE=l+l=2：

(2)V0A=2,AE=l,NAEO=90°,

・・・AE=LM,

2

VZAEO=90°,

/.ZAOE=30°,

同理NCOE=30°,

AZAOC=300+30°=60c,

・・・NA8C=//AOC=30°,

•・•四边形ADCB是O。的内接四边形,

/.ZADC+ZABC=\SO0,

AZADC=180°-30°=150°.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，圆周角定理等

知识点，能求出AE的长是解此题的关键.

题组B

如图，点在。。上，标所对的圆心角为

11.A,B,C,D,E50°,则NC+NE等于（)

A.1550B.1500C.160"D.162V

【点拨】连接AE,利用圆内接四边形对角互补求解即可.

【解析】解；连接AE,

•・•四边形4CDE是。。的内接四边形，

・・.NC+NA£O=180°,

•・•懑所对的圆心角为50°,

/.ZAEB=^X50°=25°,

2

AZC+ZBED=1800-ZAEB=\55°,

故选：A.

【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，熟记“圆内接四边形对角互补”是解题的关舞.

12.如图，点A、B、C在O。上，P为标上任意一点，NA=m,则ND+NE等于()

A.2mB.go°—C.180°-IniD.45°4-i-n

【点拨】根据圆内接四边形的性质可得/A+N”C=180°,NA8P+/ACP=180°,从而可得N

EBP+ZPCD=\S0°,再利用平角定义可得NAPC+NBPE=180°,从而可得NA=N8PE=加，

进而可得N8PE=NCPO="2,然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答.

【解析】解：•・•四边形ABPC是。。的内接四边形，

.•・/A+NAPC=180°,N4BP+NACP=I8O°,

ZE«P+ZPCD-360o-(ZABP+Z/ACP)-180°,

•••N4PC+NBPE=180°,

J/A=/BPE=m,

：・/BPE=/CPD=m,

AZE+ZD=360°-(ZBPE+ZCPD+ZEBP+ZPCD)=360°-(2/n+180°)=180J-2m,

故选：C.

【点睛】本题考食了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键.

13.如图，点4,B,C,D,E都是。。上的点，AC=AE,ZD=128°,则NB=116°.

A

B

【点拨】连接AC、CE,根据圆内接四边形的性质求出/CAE,根据圆心角、弧、弦之同的关系定

理求出NACE,根据圆内接四边形的性质计算，得到答案.

【解析】解：连接AC、CE,

•・•点4、C、。、E都是。。上的点，

・・・NC4E+NO=180°,

・・・NC4E=180°-128°=52°,

*：AC=AEt

AAC=AE，

***ZACE=ZAEC=7(180C-52°)=64°,

•・•点A、B、C、E都是OO上的点，

/.ZAEC+ZB=ISO0,

AZB=180°-64°=116e,

故答案为：116.

【点睛】本题考查的是圆直接四边形的性质、等腰三角形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补

是解题的关键.

14.如图，己知四边形ABCD内接于OO,点O在/。的内部，NOAO+NOCD—50°,则

【点拨】由圆的内接四边形的性质以及圆周角定埋，可得/的£>+/8。。=18()",ZB+ZD=

180°,ZAOC=2ZD,由/O4D+NOCO=50°,得出/O4B+NOCB=130°.设/拉=弘则N

5=180°-A,ZAOC=2x.根据四边形OA5C的内角和为360°,列出关于k的方程，解方程求

出臬继而求得答案.

【解析】解：•・•四边形A8C。内接于。。，

VZBAD+ZBCD=l80c,/3+/。=180°,ZAOC=2ZD,

*：ZOAD+ZOCD=5(r,

：.ZOAB+ZOCB=\3(r.

设/£>=x,则/6=18(r-x,z：AOC=2x.

在四边形O4BC中，•••/OA8+NOC8+NB+NAOC=360',

/.130°+180°-x+2v=36Ci°,

/.x=50°,

・・・N3=180°-x=130°.

故答案为130.

【点睛】此题考查了圆内接四边形对角互补的性质，圆周角定理，四边形内角和定理.此题难度

适中，设NO=x,列出关于x的方程是解题的关键.

15.如图，四边形A8CO内接于。0,对角线AC过圆心。，且4C_LB。，P为8c延长线上一点，PD

_L8O,若AC=10,A£>=8，则8。的长为12.

【点拨】根据圆周角定理得到N4QC=90",根据勾股定理得到-AD2=6,推出点C

是尸8的中点，根据直角三角形的性质即可得到结论.

【解析】解：:AC是。0的直径，

••・NAQC=90°,

V4C=10,人。=8,

,CD=VAC2-AD2=6,

*：AC±BD,

平分BD,

•：PD1.BD,

：.AC//PD,

・••点。是P8的中点,

：.PB=2CD=\2,

故答案为：12.

【点睛】本题考查了圆周保定理，垂径定理，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，正确的

识别图形是解题的关键.

16.如图，圆内接四边形/WC。中，ZBCD=90°,48=人。，点E在。。的延长线上，且/)E=BC,

【点拨】如图，连接AC,BD.由△A8C0ZL4QE(SAS),推出NH4C=ND4£AC=AE=4,S

AABC=STDE,推出S四边形ABCD=S"CE,由此即可解决问题；

【解析】解：如图，连接AC,BD.

•••4。是。。的直径，

・・・N8AD=90°,

VZADE+ZADC=\^O°,ZABC+ZADC=\SO°,

，ZABC=ZADE,

'：AB=AD,BC=DE,

：.AABC^/\ADE(SAS),

Z.BAC=ZDAE,AC=AE=4,S4ABC=SdADE,

・・・NC4E=N8AD=90°,

•••5四边形八8。。=54人。£=2乂4乂4=8・

2

故答案为8.

【点睛】木题考杳圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻

找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

17.如图，A、尸、B、。是0O上的四点，/APC=/CPB=60°,过点。作CM〃区。交由的延长线

于点M.其中正确的结论是①@③④(填序号).

①/MAC=NPBC,

②3c是等边三角形，

®PC=PA^PB,

④若网=1,PB=2,则△尸CM的面积=9叵.

4

【点拨】根据圆内接四边形的性质和平角的定义即可得到NMAC=NPBC；故①正确；根据圆周

角定理得到NA3C=N8AC=60°,推出△ABC是等边三角形，故②正确；根据圆内接四边形的

性质得到NM4C=NPBC,NACB+N4PB=180°；根据平行线的性质得到NM+NAP8=180°,

求得NM=NAC8；根据等边三角形的性质得到NACB=/84C=60°,AC=BC；而/8PC=N

8AC=60°,求得NM=NBPC；根据全等三角形的性质得到PB=AM,PA+PB=PA+AM=PM,

根据等边三角形的性质得到PC=B4+P8,故③正确；根据全等三角形的性质得到AM=P8=2,求

得PM=%+AM=l+2=3,由三角形的面积公式得到△PCM的面积=返。"2=会巨，故④正确.

44

【解析】解：TA、P、B、C是。。上的四点，

・・・NP8C+N%C=180°,

•・•/以C+NM4C=18()0,

；・NMAC=NPBC；故①正确；

•••/A尸C-NC尸笈一60°,

/.ZABC=ZAPC=60°,N84C=NBPC=60°,

・・・NA8C=N8AC=60°,

•••△A8C是等边三角形，故②正确；

•・•四边形APBC是。。的内接四边形，

：・NMAC=NPBC,ZACB+ZAPB=IS()°；

,:CM〃BP,

・・・NM+NAPB=180°,

M=N4C氏

又•••△A8C是等边三角形，

/.ZACB=ZBAC=6QC,AC=BC；而N8PC=NBAC=60°,

：・NM=NBPC；

在△ACM与△/《(?尸中，

rZMAC=ZPBC

'ZM=ZBPC，

AC=BC

:.丛ACM叁丛BCP(AAS).

•JB=AM,PA+PB=PA+AM=PMx

•:NM=NBPC=60°,ZAPC=ZABC=60°,

•••△MPC为等边三角形，

：,PC=PM.

••・PC=%+PB,故③止确；

,/△ACM/XBCP,

：.AM=PB=2,

.\PM=PA+AM=\+2=3,

「△PCM是等边三角形，

•••△PCM的面积=返。3=会巨，故④正确,

44

故答案为：①②©④.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质,

正确的识别图形是解题的关键.

18.如图，圆内接四边形八BC。的对角线AC,BD交于■点、E,BD平分NABC,ZBAC=ZADB.

(1)求证。8平分/4OC,并求NBA。的大小；

(2)过点C作C/〃A。交AB的延长线于点F,若AC=4D,B尸=2,求此圆半径的长.

A

【点拨】(1)由圆周角定理得到/BAC=/CO8,而/BAC=NAD8,因此ZAD8=NCT＞从得

到B。平分NADC,由圆内接四边形的性质得到N4BO+/4DB=90°,即可求出/84。=90°；

(2)由垂径定理推出△ACZ)是等边三角形，得到乙4DC=5O°由BDLAC,得到/8OC=2N4OC

=30°,由平行线的性质求出//=90°,由圆内接四边形的性质求出NF8C=NAZ)C=60°,得

至|JBC=28/=4,由直角三角形的性质得到BC=28£),因为是圆的直径，即可得到圆半径的

长是4.

【解析】(1)证明：ZBAC=ZADB,ZBAC=ZCDB,

/.NADB=NCDB,

••・4。平分N4QC,

・.・8。平分NA8C,

'NABD=NCBD,

•・•四边形ABC。是圆内接四边形，

/.ZABC+ZADC=180°,

/.ZABD+ZCBD+ZADB+^CDB=l80a,

A2(ZABD+ZADB)=180°,

ZABD+ZADB=9()°,

AZ«AD=180°-90°=90°；

(2)解：•••/8A£>NDAE-90°,NBAE-々ADE,

・・・NAOE+NO4E=90°,

AZAED=90°,

*：ZBAD=90°,

・・・3。是圆的直径，

・・・8。垂直平分AC,

：.AD=CD,

，：AC=AD,

•••△ACO是等边三角形，

JN4OC=60°

••・N8DC=2NAOC=30°，

2

•:CF"AD,

/.ZF+ZBAD=180°,

-90°,

•••四边形ABCD是圆内接四边形，

・・・N4OC+/ABC=180°，

,：ZFBC+ZABC=\S00,

：,ZFBC=ZADC=60°,

：,BC=2BF=4,

•・・N4CO=90°,ZBDC=30°,

：.3C=1BD,

2

•••8。是圆的直径，

•••圆的半径长是4.

【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边一角形的判定和性质，

关键是由圆内接四边形的性质得到/ABD+N人DB=90°,由垂径定理推出△ACD是等边三角形.

19.如图1,在。。中，弦4。平分圆周角N84C,我们将圆中以A为公共点的三条弦84,CA,DA

构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2,四边形ABC。内接于圆，AB=BC,

(1)证明：圆中存在“爪形。”；

(2)若NA0C=12()°,求证：AD+CD=BD.

图1图2

【点拨】(1)由圆周角的性质直接证明即可；

(2)延长。。至点£,使得CE=A。，连接BE,证明△8AO048CE(SAS),再证明△8OE是

等边三角形，即可求解.

【解析】（1）证明；*：AB=BC,

••AB=BC

，/ADB=/CDB,

•••08平分圆周角NAOC,

•••圆中存在“爪形。”；

(2)证明：延长。。至点E,使得CE=4O,连接

•••/4+/。673=18()",ZECB+ZDCB=180°,

，NA=NECB,

•；CE=AD,AB=BC,

：.^BAD^ABCE(SAS),

・•・/£=ZADB,

VZADC=120°,

/.ZE=ZADB=ZADB=^,

•••△BOE是等边三角形，

图2

【点睛】本题考查园内接四边形的性质，全等三角形的判定及性质，正确地作出辅助线是解题的

关键.

20.如图，。0的内接四边形人8CO两组对边的延长线分别交于点E、F.若NE=N/时，求证：Z

ADC-zLABC.

（1）若NE=N/=42°时，求NA的度数；

（2）若NE=a,/尸=0,且。工仇请你用含有a、0的代数式表示/A的大小.

E

D/

•o

A

B

【点拨】山易得NAOC=/ABC,又山圆的内接四边形的性质，即可求得答案；

（1）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；

（2）连接EF,根据圆内接四边形的性质得NECD=NA,再根据三角形外角性质得NECO=N1+

Z2,则NA=N1+N2,然后根据三角形内角和定理有乙4+/1+/2+乙4£3+乙4卜。=180”,即2

NA+NA£73+NAP'O=18（）0,再解方程即可.

【解析】证明：VZ£=ZF,NDCE=NBCF,NADC=NE+NDCE,NABC=NBCF+NF,

・•・/AOC=/ABC,

⑴解:VZADC=ZABC,

VZEDC=ZABC,

/.ZEDC=ZADC,

/.ZADC=90°,

AZA=90°-42°=48°；

(2)解：连接E凡如图，

•••四边形ABCD为圆的内接四边形，

：.ZECD=ZA,

VZECD=Z1+Z2,

:.ZA=Z1+Z2,

VZ7\+Zl+Z2+ZAEfi+ZAFD=180°,

【点睛】本题考杳了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟

通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来.在应用时要注意是

对角，而不是邻角互补.

21.如图，。。的半径为1,4,P,B,。是。0上的四个点，ZAPC=ZCPB=60°.

（1）请判断△ABC的形状？说明理由：

（2）当点P位于AB的什么位置时，四边形AP8C的面积最大？求出最大面积.

(3)证明；PA\PB=PC.

【点拨】（1）利用圆周角定理可得N8AC=NCP8,ZABC=ZAPC,而NAPC=N仃8=60°,

所以N84C=NA3C=60"，从而可判断△ABC的形状：

（2）过点。作垂足为E,过点C作CELAZL垂足为F,把四边形的面积转化为两个

三角形的面积进行计算，当点〃为标的中点时，PE+C/=PC从而得出最大面积.

（3）在PC上截取得到△AP”为等边三角形，证明△4P80△八“C,根据全等三角形

的性质，结合图形证明即可.

【解析】解：（1）△ABC是等边三角形.理由如下：

在。。中，•••NH4C与NCP6是黄所对的圆周角，N46c与N4PC是立所对的圆周角，

/.ZBAC=4CPB,ZABC=NAPC,

又・・・/4〃。=/67）8=60°,

・・・NA8C=/8AC=60°,

•••△A3C为等边三角形；

（2）当点尸为标的中点时，四边形APBC的面积最大.理由如下：

如图，过点户作PE_LA8,垂足为E.过点C作。FJ_A以垂足为F.

,：SMPB=X\B>PE,S&ABC=LAB・CF,

22

四边形八;>3。=工8・CPE+CF），

2

当点夕为标的中点时，PE-CF=PC,PC为。。的直径，

・•・此时四边形APBC的面积最大.

又・・・。0的半径为1,

・••其内接正三角形的边长AB=吃,

，S四地形

(3)证明：在PC上截取777=%,

VZAPC=60°,

为等边三角形，

：.AP=AH,ZAHP=60°,

在△八P8和△/!”。中，

(ZABP=ZACH

jZAPB=ZAHC=120"»

IAP=AH

：.^APR^/\AHC(AAS}

:・PB=HC,

:.PC=PH+HC=PA+PB.

【点睛】本题考杳了圆周保定理、等边三角形的判定、三角形的面枳公式，正确作出辅助线是解

题的关键.

22.如图，。。为四边形A8CO外接圆，其中赤=忌，其中CE_LA8于£

(1)求证：AB=AD+2BE；

（2）若N8=60"，人。=6,△AQC的面积为,求A8的长.

【点拨】（1）过。点作C凡LAD交A。的延长线于r点.根据全等三角形的判定和性质即可证明;

（2）首先根据三角形的面积公式求得C尸的长，根据全等三角形的性质求得N8=N8b=60。，

从而求得OF的长，结合（1）的结论即可求解.

【解析】（1）证明：过C点作C凡LA。交A。的延长线于F点.

VCD=CB，

：.CD=CB,Z1=Z2.

XVCF1AD,CEA.AB,

：.CF=CE.

：,Rt^ACF^Rt/\ACE(HL),RtACDF^RtACBE(HL),

：.AF=AE,DF=BE,

:.AD+DF=AB-BE,

：,AB=AD+DF+BE=AD+2BE,

：,AB=AD+2BE.

(2)解：VSMDC=^ADXCF=^/3,

・・・CF=_|V^

由(1),得RtZ\COFgRtZ\C8£,

・・・NB=NC。/=60°,

在△，/)/中，求得。尸=2

2

：.AB=AD+2BE=6+^X2=11.

2

【点睛】解决此题的关键是巧妙构造全等三角形，综合运用圆周角定理的推论和全等三角形的判

定及性质.

题组C

23.如图，四边形A8CO是。。内接四边形，AB=AE，ZBCD=\20°,连接AC,OE_L4c于点E,

连接4E,若NBED=150°,AC=3小，则。E的长为五

•o

*D

【点拨】连接80,由第®，得至l]A3=A。，求得△483是等边三角形，根据等边三角形的性

质得到A8=8D,NA8D=/AO8=6(T,求得/ACD=乙4片。=60。，推出C7)=2CE,根据全

等三角形的性质得到AE=C7),求得AE=2CE,得到CQ=AE=2枚，根据勾股定理即可得到结

论.

【解析】解：连接3D,

VAB=AL，

：,AB=AD,

VZBCD=120°,

・・・NB4O=60°,

・•・△/WO是等边一角形，

:・AB=BD,N48O=NAOB=60°,

・・・NACO=/4BO=6(r,

：.ZCDE=30°,

：.CD=2CE,

*：DEVAC,

：,ZAED=ZCED=W,

VZBED=150°,

，N4EB=120°,

rZBAE=ZBDC

在△ABE与△OBC中，，ZAEB=ZDCB=120°,

AB=DB

:AABEm△DBC(AAS),

：.AE=CD,

:,AE=2CE,

-：AC=3^/7,

:,AE=25CE=V7，

：.CD=AE=2y[7,

・•・M=7CD2-CE2=V21，

故答案为：V21.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形

的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键.

24.面积为18的圆内接四边形A8CO的对角线AC是直径,4)=。。,。£_1/18于£：,则。

【点拨】连接B。，发现等腰直角三角形AC。和设。。的半径为R,DE=.x,首先根据AC

把四边形A4CQ分割成的两个三角形的面积进行计算，求得A4+3C=6«,再根据OE把四边形

ABC。分割成的两部分的面积进行计算，即可求解.

【解析】解：如图，连接8D,

因为AC是直径，

所以NAQC=90°.

因为AQ=QC,

所以NACO=45°,

所以NA8O=45°,乂NOE8=90°,

所以AOEB为等腰直角三角形，

所以。£=8E.

设。。的半径为R,DE=x,则

21

18=R+f*AB*BC>

,：AB2+BC1=4R2,

2

・•・CAB+BC)2=4R2+2・AB，BC=4R2+2(36-2/?)=72,

AB+BC=(rj2^

乂/(BC+x)・8卷(AB-x)*x=18,

(A3+6C)x=18,

2

则x=3^J~2.

故答案为：3V2.

D

----个

【点睛】此题的难度较大，综合运用了圆周角定理的推论、勾股定理和图形的面积计算方法.

25.如图，四边形A8CD内接于OO,八。为直径，BC=CD=5,八。=5遥，石为刈角线AC上一动

点，连结8E并延长交。。于点F.

(1)若BFLAD,求证：AABF=ZACBx

(2)求四边形ABC。的面根：

(3)若△4五为等腰三角形，求8F的长.

【点拨】(1)先根据垂径定理可得：AB=AF，再由圆周角定理可得结论；

(2)如图1,过点C分别作A。和相的垂线，垂足分别为G,",证明RtACGDWRtACHB(HL),

则四边形ABCD的面积=四边形CGAH的面积，从而可以解答；

(3)当△BCE为等腰三角形时，可分三种情况：BC=CE,BC=BE,CE=BE,根据公股定理，

三角函数，圆周角定理和相似三角形的性质可以解答.

【解析】(1)证明：・・工。为直径，BF_LA。，

・・・菽=余

JNABF=ZACB；

(2)解：如图1,过点。分别作A。和A8的垂线，垂足分别为G,H,

图1

,;CD=BC,

••CD=BC»

：.ZCAD=ZBAC,

/.CG=CH,

ARtACGD^RtAC™(HL),

・•・四边形ABCD的面积=四边形CGAH的面枳，

，：CG=CH,AC=AC,

：.Rt^ACG^Rl/^ACH(HL),

/.S心CG=S/\ACH,

TA。是直径，

AZACD=90°,

•・・4。=5爪CD=5,

-AC=VAD2-CD2=7(5V5)2-52=16

•••S“CD=2・AC・CQ=LAO・CG,

22

Z.AX5X10=AXW^XCG,

22

:・CG=2低,

由勾股定理得：^G=VAC2-CG2=V102-(2V5)2=4A/5,

・•・四边形48C。的面积=四边形CGAH的面积=25八人CG=2X2XW^X4耐=40；

2

(3)解：分三种情况：

①当8C=CE时，如图2,过点E作EM_L48于M,过点C作CG_L4。于G,连接AF，DF,

"D=BC=CE=5,4c=10,

，AE=IO-5=5,

•・・NC4G+/4CG=90°,/ACG+NOCG=90°,

・•・ZDCG=ZCAG=NEAM,

•・・NCGO=NAME=90°,

:.XAME9XCGD