《线性代数与空间解析几何》

《线性代数与空间解析几何》哈工大数学系代数与几何教研室

王宝玲2007.9第二章

矩阵2矩阵的概念及运算可逆矩阵*矩阵的初等变换与初等阵矩阵的秩分块矩阵本章主要内容1.矩阵的定义由

m

n

个数排成的m行、n列的矩形数表称为阶数为的矩阵.2.1.1.矩阵的概念2.1矩阵的概念简记为当

m=n

时称为n

阶方阵.

矩阵同形

它们行数和列数相同.

矩阵相等

它们同形且对应元素相等.2.特殊矩阵

零矩阵:

方阵的行列式:

或.

对角矩阵:

单位矩阵:E,In或

数(纯)量矩阵:

上三角矩阵:

下三角矩阵:

行矩阵:

列矩阵:2.2矩阵运算

矩阵的线性运算

矩阵的乘法运算

方阵的幂及行列式的乘法公式

矩阵的转置8

加法:负矩阵:减法:(

A与B

要同形).2.2.1矩阵的加法:

运算性质:

运算性质:2.2.2

数乘其中,则

2.2.3矩阵乘法

可乘原则:前列数=后行数.

乘积元素:cij是A的第i行的元素与B

的第j列对应元素乘积之和.

乘积阶数:AB阶数为前行数×后列数.总结如下:

运算性质:学习矩阵运算,尤其要注意其不具备什

么熟知的运算规律.特别是乘法运算.(A是m

n的矩阵)

设求

AB.解注意:

在这个例子中

BA

无意义.例1则注意:

在这个例子中,虽然

AB

与BA

均有意义,但是AB是

2×2

矩阵,而BA是

1×1

矩阵.例2设则注意:(1)AB与BA是同阶方阵,但AB不等于BA.(2)虽然A,B都是非零矩阵,但是AB=0.例3设求

AB及

AC.解注意:

虽然A不是零矩阵,而且AB=AC,

但是B不等于C.这说明消去律不成立!例4

总结一下矩阵乘法的一些反常性质:不满足交换律:

不满足消去律:可能有零因子:

如果

AB=BA,

则称

A

与

B

可交换.18祝大家中秋节快乐预习2.3-2.4!192.2.4方阵的幂

AA有意义当且仅当A为方阵.

对于方阵相乘可以定义乘幂的概念:

因为矩阵乘法不满足交换律,所以对于同阶方阵A与

B,

一般运算性质:20矩阵多项式仍是方阵.设为A的矩阵多项式,A是方阵,则称21

由

n阶方阵A的元素按原来的位置组成的行列式称为方阵A的行列式,记为

|A|,即2.2.5

方阵的行列式及乘法公式22(行列式乘法公式)运算性质(定理2.1):设A,B,

为

n

阶方阵,k

为数,则有23例1

设A为3阶方阵,B为4阶矩阵,且|A|=3,

|B|=-2,则||B|A|=

.解

||B|A|=|-2A|=(-2)3|A|=(-8)3=-24.例2

设A为n阶矩阵,k为非零常数,则

|-k

A|=

.

(A)–k|

A|(B)k|A|

(C)(-1)nk

n|A|(D)kn|A|-24

24

定义称为A的转置矩阵.2.2.6

矩阵的转置25

运算性质26

特殊矩阵对称矩阵:

AT=A反对称矩阵:

AT=-A272.

矩阵与行列式有什么区别?问题:28本节主要内容

逆矩阵的定义

可逆的条件

伴随矩阵2.3

逆矩阵29

在解方程

ax=b

的时候,如果

a

0,

等式两边同乘以

a-1,

得

x=a-1b.

线性方程组

AX=b,

能否在一定条件下引进

A-1

的概念,使得解为

X=A-1b?由a-1

a=1想到

A-1A=E.问题的提出:A应当满足什么条件?如何定义A-1?30定义

A为n阶方阵,若存在n阶方阵B,

使

AB=BA=E

则称A为可逆矩阵,称B为A的逆矩阵.

记作B

=

A-1.2.3.1逆矩阵的定义注

定义中矩阵

A与B的地位是相同的,

如果

A可逆,且B是

A的逆,则B也可逆,

且A也是B的逆,即A与B互逆.31问题:

你学过的方阵中,哪些是可逆阵,

哪些是不可逆阵

?

1.

E-1=E2.

当

k1k2…kn≠0

时,有:32性质若矩阵A可逆,则A的逆矩阵唯一、证设B,C都是矩阵A的逆矩阵,则有33可推广至有限个积可逆阵还具有如下性质:A,B可逆34

如何判断一个矩阵是否存在逆矩阵?

如何求一个可逆矩阵的逆矩阵?复习行列式的展开性质若A,B可逆,而A+B

不一定可逆，

即使可逆即乘法的消去律成立.可以推出

当A可逆时,由35伴随矩阵:A为n阶方阵2.3.2可逆的条件36称为矩阵A的伴随矩阵.

A*

是用方阵A的元素的代数余子式组成的矩阵.37AA﹡=A﹡A=｜A｜E｜A｜≠０A(

A﹡)=(

A﹡)A

=E引理2.1(基本公式)A为n阶方阵38设

A

为数域

F

上

n

阶方阵,则1.A

可逆｜A｜≠02.A

可逆时,

A-1=定理2.2从而|A|

0.必要性得证.证若A可逆,则39故矩阵A可逆,且

在|A|

0时,若

|A|

0,则由

也可逆40

｜A｜=0

时,称

A为奇异阵｜A｜≠0

时,称

A为非奇异阵41例1讨论并求

2

阶矩阵的逆矩阵解

当时A

可逆,

利用伴随矩阵求逆矩阵42求满足矩阵方程AX=B的矩阵X,

解

｜A｜=-27≠0,X=A-1B=还可以用初等变换求解例2其中43解设设,计算则例34445

总结关于方阵A

:A可逆

|A|

0AA*=A*A=|A|E在|A|

0时,求逆公式:46本节内容提要

矩阵的初等变换

矩阵的等价

矩阵的等价标准形2.4

矩阵的初等变换47解线性方程组的过程中经常用到:问题的引入1.互换两个方程的位置.2.用一个非零常数乘某个方程.3.把一个方程的倍数加到另一个方程上去.

这三种变换不改变方程组的解,且对应与矩阵的三种变换.48

矩阵的三种初等行变换:

换法变换:ri

rj

倍法变换:

ri(

0)

ri

消法变换:krj+ri

ri

矩阵的三种初等列变换:

换法变换:ci

cj倍法变换:

ci(

0)

ci

消法变换:kcj+ci

ci2.4.1

矩阵的初等变换49问题如果矩阵A经过初等变换变为B,那么A与B之间究竟有何种关系?定义

矩阵的三种初等行变换和三种初等

列变换统称为矩阵的初等变换.初等变换可逆.第三种初等变换保持行列式值不变.初等变换保持矩阵可逆性不变.A

B记为50

性质:

自反性A与

A等价;对称性若A与B等价,则B与A等价;传递性若A与B等价,B与C等价,则A与C等价.初→

若A

B，则称A与

B等价.2.4.2

矩阵的等价

A与B等价A与B同形且等秩.512.4.3矩阵的等价标准形定义

满足下面两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵或阶梯形矩阵:(1)

零行全部位于非零行下方;(2)非零行的左起第一个非零元素的列数由上至下严格递增.

例11.行阶梯形522.行最简形定义如果阶梯形矩阵A满足:

(1)非零行左起第一个非零元素都是1;(2)非零行左起第一个非零元所在列只有一个非零元.则称A为行最简形矩阵.例2533.矩阵的等价标准形定理3.3

任意矩阵A都与一个形如矩阵等价.A的等价标准形定义

如果一个矩阵的左上角为单位矩阵,

其余元素都是零.则称这个矩阵为

标准形

矩阵（唯一).54的矩阵都是标准形矩阵.

用分块矩阵的表示方法,形如:55结论

1任一矩阵A都可经初等行变换化成行阶梯形;2任一矩阵A都可经初等行变换化成行最简形;3任一矩阵A都可经初等变换化成标准形.A

行阶梯形行→行→A

行最简形→A标准形初56

32345931021501326106468122432345901324400002600000010-10010/301320-8000013000000100000010000001000000000行→行→列→行阶梯形行最简形标准形E3

00

0=例3

化简57预习完2.6(^-^)Bye!58祝大家国庆节快乐预习2.4,2.5!59设A,B是三阶方阵,则解例1由60

设A为3阶方阵,A*为A的伴随矩阵,且|A|=1/2,则|(3A)-1-2A*|的值为().(A)16/27(B)-4/3(C)5(D)-16/27分析

已知条件涉及A*,应该立即联想到公式AA*=A*A=|A|E,A还可逆,利用这个公式可以得到A*=|A|A-1.解

|(3A)-1-2A*|=|(1/3)A-1-2|A|A-1|=|(1/3)A-1-A-1|=|(-2/3)A-1|=(-2/3)3|A-1|=(-8/27)2=-16/27例261设A是n阶方阵,的伴随矩阵,试证:证由下面分三种情况讨论:(1)若则(2)若且则显然结论成立:有例362(3)若而下面证明反证:若则可逆,所以这与矛盾.632.5

矩阵的秩本节内容提要

矩阵的秩的概念

矩阵的秩的求法642.5.1

矩阵的秩的概念定义

矩阵A的子方阵的行列式称为矩阵A

的一个子式.

1子矩阵定义

划去A的某些行或列后剩下的元素,

按原顺序构成的矩阵称为矩阵A的一

个子矩阵.2子式653矩阵秩的定义A的非零子式的最高阶数r.记作:

r(A)=r并规定:r(0)=0.,

例23阶子式只有一个,且,所以r(A)=r

A中存在一个r阶非零子式,但其中任意r+1阶子式都等于零.

r(A)=2.

A的秩:664

运算性质若A是m×n矩阵,则1.0

≤r(A)≤min{m,n}2.r(AT)=r(A)3.r(kA)=0

k=0r(A)k≠04.r(A1)≤r(A),(A1为

A的子阵)67定理2.3

初等变换不改变矩阵的秩.求法:A

行阶梯形阵初→1.2.行阶梯形矩阵的秩=非零行的个数.2.5.2秩的求法可以通过初等变换把矩阵化为阶梯形来求矩阵的秩.68注称A为行满秩.,称A为列满秩.n方阵A可逆,称A为满秩阵.69例1其中解1并求可求7000思考71本节内容提要

初等矩阵与初等变换的关系

求逆矩阵的初等变换法

矩阵等价的充要条件2.6

初等矩阵72问题:为什么要引入"初等矩阵”呢？

如果对于单位矩阵E进行一次初等变

换,它会变成什么样?

如果矩阵A经过一次初等变换变为B,

那么A与B间如何建立等量关系?73定义单位矩阵E经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵:2.6.1

初等矩阵的概念741.(换法)交换单位矩阵E的第i行与第j行

（或交换E的第i列与第j列):第i

行第j

行第i列第

j

列75第

i

行第

i

列2.(倍法)给单位矩阵

E

的第

i

行乘以非零数

(或给

E

的第

i列乘以非零数):763.(消法)将单位矩阵

E的第

j行的

k

倍加到第

i

行:第

j

行第

i

行第

i

列第

j

列

或看作是将

E

的第

i列的k

倍加到第

j

列.77性质1初等阵可逆且逆还是初等矩阵.2.6.2

初等矩阵的性质78

初等矩阵转置还是初等矩阵.性质3用初等矩阵左乘一个矩阵,相当于对它进行一次相应的初等行变换.用初等矩阵右乘一个矩阵,相当于对它进行一次相应的初等列变换.性质279例1808182计算解原式例283

对一般情况我们有:总结:84A

B一次行存在相应初等阵P

使:PA=BA

B一次列存在相应初等阵Q使:AQ=B

初等阵与一次初等变换的关系85A

B行存在初等阵P1P2…Ps使:P1P2…PsA=BA

B列存在初等阵Q1Q2…Qt使:AQ1Q2…Qt=B存在初等阵P1P2…PsQ1Q2…Qt使:P1P2…PsAQ1Q2…Qt=B

A

B（AB

）初初等阵与初等变换的关系86(^-^)Bye!预习完

2.787*定理2.4A可逆

初等阵使:证显然A可逆

A

E初

仍是初等阵.即存在初等阵

P1P2…PsAQ1Q2…Qt=E使2.6.3

矩阵等价的充要条件r(A)=n(A可分解为初等阵的积)88设A,B都是m

n阶矩阵,则A

Bm阶可逆矩阵P,n阶可逆矩阵Q

使证是初等阵之积,故可逆且使A

B

初A

B

令存在初等阵P1P2…Ps

AQ1Q2…Qt=B使推论189设A

是m

n阶矩阵,P是m阶可逆阵,

Q

是n阶可逆矩阵,则推论3设A

是可逆矩阵,

则A

E行因为初等变换不变秩.证

A可逆,则使可逆,所以存在初等阵推论290由A可逆,有

说明A仅经过初等行(列)变换可化为

En.

完全相同的变换可以把

En化为

A-1.2.6.4求逆矩阵的初等变换法可得91由此可得到求逆矩阵的初等变换法:构造一个n(2n)矩阵:构造一个

(2n)n矩阵:行列*方法1方法292用初等行变换求矩阵A的逆矩阵:解先将A化为行阶梯阵,再化为单位阵例393可验证94例4则

B=().(A)AP1P2

(B)

AP2P1

(C)P1P2A(D)P2P1A95注

可用初等变换法求矩阵方程可逆方法为:行例5用初等变换法求矩阵方程其中96解故97本节内容提要

分块矩阵的运算

分块矩阵的初等变换2.7

分块矩阵98

处理有特点的大矩阵时需要进行分块

分法:

将矩阵用纵线和横线分成若干小矩阵,每个小矩阵称为原矩阵的

子块.

2.7.1

分块矩阵的概念定义

以子块为元素的矩阵称为分块阵.

矩阵分块的三个原则:

体现原矩阵特点.

根据问题需要.

能够把子块看作元素进行运算.

99

加法:

原矩阵同形且分块方式相同

数乘:

分块方式任意2.7.2

分块矩阵的运算100

乘法:

AB=C(Amp,Bpn)

A的列数

=B的行数

A的列的分法

=B的行的分法101例1102

转置:特别103例2104尤其要注意AB=0时的特殊情况:说明B

的每一列都是齐次线性方程组AX=0的一个解.

*例3A为一子块105(^-^)Bye!预习2.81062.7.3特殊的分块矩阵

分块对角矩阵如107|A|=|A1||A2|…|As|Ai是方阵时,|Ai|≠0时,即Ai可逆时,A可逆108109Ai是方阵时,|A|=|A1||A2|…|As|A可逆

|Ai|≠0（i=1,2,…,s)

分块三角矩阵可逆或110本节内容提要

利用分块矩阵的初等变换求秩

分块矩阵的初等变换2.8

分块矩阵的初等变换

分块初等阵111

对分块矩阵同样可以引进初等变换和初等矩阵的概念.分块矩阵关于子块的一次初等变换,可以看作是关于元素的一批初等变换的合成.我们只以分成4块的情况简单解释.设2.8.1

分块矩阵的初等变换112定义

下面三种针对分块矩阵M的变形,

统称为分块矩阵的初等变换:

初等行变换

初等列变换(1)换法:(2)倍法:

(3)消法:

这里要假定运算满足可行性原则.

为什么要求P可逆?可逆矩阵113分块初等阵分块单位阵一次初等变换2.8.2

分块初等阵换法:倍法:消法:114

分块初等变换不改变分块阵的秩.

消法分块初等变换保持行列式值不变.

用分块初等变换求逆.

对分块阵进行一次初等行(列)变换,相当于对原矩阵进行一系列初等行(列)变换.

分块行分块列115例1

求

其中A