2027版53B版新高考版数学总复习分层训练培优19　概率与数列综合

专题九计数原理、概率与统计培优19概率与数列综合目录类型1构造数列类类型2等差、等比证明类类型1构造数列类1.(2026安徽淮南教学质量检测)甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练,第1次由甲将球

传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人.设n次传球后球

在乙手中的概率为pn.(1)求p1,p2;(2)求pn;(3)求

i.解析

(1)记An=“经过n次传球后,球在乙手中”,n=1,2,3,…,当n=1时,p1=P(A1)=

,当n=2时,p2=P(A2)=P(

)P(A2|

)+P(A1)P(A2|A1)=

×

+

×0=

.(2)由pn+1=P(An+1)=P(

)P(An+1|

)+P(An)P(An+1|An)=(1-pn)·

+pn·0=

(1-pn),得pn+1=-

pn+

,∴pn+1-

=-

,∴

是首项为

,公比为-

的等比数列,∴pn-

=

,∴pn=

+

=

-

.(3)由(2)知

-pn=

,令Sn=

i,所以Sn=

×

+

×

+

×

+…+

×

,从而-

Sn=

×

+

×

+

×

+…+

×

,将以上两式相减可得

Sn=

×

+

×

+

×

+…+

×

-

×

=

×

-

×

=-

-

×

.所以Sn=

×

-

.所以

i=

×

-

.2.(2023新课标Ⅰ,21,12分)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此

人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均

为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是

甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率;(2)求第i次投篮的人是甲的概率;(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E

=

记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).解析记Ai=“第i次投篮的人是甲”,Bi=“第i次投篮的人是乙”.(1)因为P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6,所以第2次投篮的人是乙的概率为0.6.(2)设P(Ai)=pi,则P(Bi)=1-pi,所以P(Ai+1)=P(AiAi+1)+P(BiAi+1)=P(Ai)·P(Ai+1|Ai)+P(Bi)P(Ai+1|Bi),

即pi+1=0.6pi+(1-0.8)×(1-pi)=0.4pi+0.2.设pi+1+λ=

(pi+λ),解得λ=-

,则pi+1-

=

,因为p1=

,p1-

=

,所以

是首项为

,公比为

的等比数列,所以pi-

=

×

,即pi=

×

+

.所以第i次投篮的人是甲的概率为

×

+

.(3)因为pi=

×

+

,i=1,2,…,n,所以当n∈N*时,E(Y)=p1+p2+…+pn=

×

+

=

+

,故E(Y)=

+

.类型2等差、等比证明类1.(2026湖北鄂州质量监测)在区块链技术支持的加密资产网络中,设有两个智能合约钱

包(甲钱包与乙钱包),每个钱包初始配置有1枚“黑币”(代表高波动性资产)与2枚“白

币”(代表稳定资产),为平衡资产风险,系统执行如下自动交换协议:每次从两个钱包中

各随机抽取一币,并交换存入对方钱包.记该协议重复执行n(n∈N*)次后,甲钱包中“黑

币”的数量为Xn,甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为Pn.(1)求P1;(2)证明:数列

是等比数列,并求出数列{Pn}的通项公式;(3)求E(Xn).解析

(1)由题意得P1=

×

+

×

=

.(2)当n≥2(n∈N*)时,设甲钱包恰有两枚“黑币”的概率为qn,则没有“黑币”的概率为

1-Pn-qn,Pn=

×

+

×

Pn-1+

×

qn-1+

×

(1-Pn-1-qn-1)=-

Pn-1+

.Pn-

=-

Pn-1+

-

=-

.又P1-

≠0,故

为等比数列.故Pn-

=

×

,∴Pn=

+

×

.(3)由题知Xn的可能取值为0,1,2.其概率分布列为X012P1-Pn-qnPnqn依题意,P(X=0)=P(X=2),即1-Pn-qn=qn.于是Pn+2qn=1,故E(Xn)=0×(1-Pn-qn)+1×Pn+2×qn=Pn+2qn=1.2.(2026福建福州质检)在全球化的现代社会中,物流网络已成为支撑经济发展、促进区

域协同的关键基础设施.物流能否准时送达,将影响到消费者的购物体验,而物流提前送

达往往能够超越客户预期,显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹

至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市,有三种方案供选择:方案A:选择高速支线,物流提前送达的概率为

;方案B:选择高速干线,物流提前送达的概率为

;方案C:选择国道线路,物流提前送达的概率为

.(1)物流公司每次随机选择一种方案,求物流提前送达的概率.(2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统,这套系统的核心算法如下:①第1次,随机选择一种方案;②从第2次起,若前一次物流提前送达,则沿用此方案;若前一次未提前送达,则在三种方

案中随机选择一种.记第n次选择方案A,B,C的概率分别为an,bn,cn.(i)求a2,b2,并证明:数列

为等比数列;(ii)判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率.解析

(1)设选择方案A,B,C分别为事件A,B,C,物流提前送达为事件Z,则P(A)=P(B)=P(C)=

,P(Z|A)=

,P(Z|B)=

,P(Z|C)=

,根据全概率公式得P(Z)=P(A)P(Z|A)+P(B)P(Z|B)+P(C)P(Z|C)=

×

+

×

+

×

=

.(2)(i)由①知a1=b1=c1=

.由②根据全概率公式得a2=

×a1+

×b1+

×c1=

,b2=

×a1+

×b1+

×c1=

.设第n次选择方案A,B,C为事件An,Bn,Cn,第n次物流提前送达为事件Zn,则an=P(An),bn=P(Bn),cn=P(Cn),因为an+bn+cn=1,所以cn=1-an-bn,所以P(Zn)=

an+

bn+

cn=

an+

bn+

(1-an-bn)=

an+

bn+

.由②根据全概率公式得P(An+1)=P(An)·P(An+1|An)+P(Bn)P(An+1|Bn)+P(Cn)·P(An+1|Cn),注意到P(An+1|Bn)=

×

=

,P(An+1|Cn)=

×

=

,而P(An+1|An)=

×

+

×1=

,所以an+1=

an+

bn+

cn=

an+

bn+

(1-an-bn)=

an-

bn+

,同理bn+1=

an+

bn+

cn=

an+

bn+

(1-an-bn)=-

an+

bn+

.注意到an+1+

bn+1-

=

an-

bn+

+

-

an+

bn+

-

=

an+

bn-

=

an+

bn-

,

且a1+

b1-

=-

≠0,所以an+

bn-

≠0,故

=

为定值,即

是以-

为首项,

为公比的等比数列.(ii)由(i)可求an+

bn-

=-

×

,同理an+1-2bn+1+

=

an-

bn+

-2

-

an+

bn+

+

=

an-

bn+

=

an-2bn+

,所以an