2025年经济数学入门实战演练与能力提升指导

《经济数学基础12》形考作业一讲评

一、填空题

x-sinx

1.lim

A->0x

「x-sinx「(.sinx),.八

解：hm-------=lim1------=1-1=0

a。xioIxJ

答案：0

r-4-1X/0

2.设/")=',在x=0处持续，则％=__________

、k,x=()

解：lim/(x)=lim(x2+l)=1=/(O)=k

答案：1

3.曲线y=4在(1,1)的切线方程是.

所求切线方程为了一1=：*一1)

解：切线斜率为攵

2

答案：y=—x~\—

22

4.设函数f(x+l)=x2+2x+5,则/'(/)=

解：令x+l=f,则/⑺=r+4,/(7)=2，

答案：2x

TT

5.设/(A)=xsinx,则/*(—)=.

解：f'M=sinx4-xcosx,/ff(x)=2cosx-xsin.r,/"[—

答案：-四

2

二、单项选择题

1.当x—时，下列变量为无穷小量的是().

，八、x24sinx

A.ln(l+x)B.——C.exD.----

x+1x

5..sinx1.

解：hm----=lim—sinx,而lim—=0,|sinx区I,故lim任土=0

.r-»+ox工tx*X-XX—►-KCX

答案：D

2.下列极限计算对的的是().

A.=l

SOxx->0+X

、vsinx,

C.limxsin-=1D.lim---=1

00

DXJx

解：lim®不存在,sinx八

lim—=lim—=1,limxsin—=0,lim----=0

XTOxx->(rxD*x10XXTOOx

答案：B

3.设y=1g2x,则dy=().

A.—dvB.------drC.D.—dr

2xxlnlOXx

21

解：y=,dy=y'dx=----dx

2xln10xln10xln10

答案：B

4.若函数八力在点沏处可导,则()是错误的.

A.函数/(x)在点孙处有定义B.limf(x)=A,但

XT%

C.函数/(x)在点刈处持续D.函数/(X)在点xo处可微

解•：可导等价于可微，可导必持续,但(B)为不持续

答案：B

5.若/-^=x,则/'3=().

1111

A.-7B.7C.-D.

rXTXX

解：令：=Z，则/(/)=；,/'")=一：

答案：B

三、解答题

1.计算极限

本类题考核的知识点是求简朴极限的常用措施。它包括：

⑴运用极限的四则运算法则；

⑵运用两个重要极限；

⑶运用无穷小量的性质(有界变量乘以无穷小量还是无穷小量)

⑷运用持续函数的定义。

X2-3x4-2

(1)lim

XT1x2-i

分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。

详细措施是：对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再运用四则运算法则限进行计算。

(x-l)(x-2)=lim2匚二」

解:原式二lim(约去零因子)

UD(xM)IX412

/八.­x1-5x4-6

(2)hm-----------

XT2厂-6JV+8

分析：这道题考核的知识点重要是运用函数的持续性求极限。

详细措施是：对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再运用函数的持续性进行计算。

,,.....(x—2)(x—3)..x—31

解：原式=hm^--------------=hm------=-（约去零因子）

12(x-2)(%-4)z2x-42

（3）lim边三口

20X

分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。

详细措施是：对分子进行有理化，然后消去零因子，再运用四则运算法则进行计算。

解：原式=lim—三土一=--（分子有理化）

2。小/匚；+1）2

/,、fX"—3%+5

(4)lim—、---

is3厂+2x+4

分析：这道题考核的知识点重要是齐次有理因式的求极限问题。

详细措施是：分子分母同除以自变量的最高次辕，也可直接运用结论，齐次有理因式的极限

就是分子分母最高次第的系数之比。

।35

121

解：原式=lim-lr=上（抓大头）

f2+?3

xr

sin3x

（5）hm-------

sin5x

分析：这道题考核的知识点重要是重要极限的掌握。

详细措施是：对分子分母同步除以x,并乘对应系数使其前后相等，然后四则运算法则和重

要极限进行计算。

3r3

解.：原式=lim三=己（等价无穷小）

D5x5

x2—4

(6)lim-------------

12gin(x-2)

分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则和重要极限的掌握。

详细措施是：对分子进行因式分解，然后消去零因子，再运用四则运算法则和重要极限进行

计算。

x—2,

解：原式=理(x+2)=4(重要极限)

sin(x-2)

xsin—+/?,x<0

X

2.设函数/(幻=a,x=0,

sinx.

x>()

问：(1)当4,6为何值时：/(幻在x=()处有极限存在?

(2)当为何值时，/(x)在x=()处持续.

分析：本题考核的知识点有两点，一是函数极限、左右极限的概念。即函数在某点极限存在

的充足必要条件是该点左右极限均存在且相等。二是函数在某点持续的概念。

解：(1)/(()+)=lim—==lim(xsin』+61=〃,/(0+)=/(0-)，即当〃=1,

—o'XXT。-1xJ

。任意时，/(外在X=()处有极限存在;

(2)/(O+)=/(O—)=/(0),即当。=〃=1时，/3)在x=()处持续.

3.计算下列函数的导数或微分：

本题考核的知识点重要是求导数或(全)微分的措施，详细有如下三种：

⑴运用导数(或微分)的基本公式：

⑵运用导数(或微分)的四则运算法则；

⑶运用复合函数微分法。

22

(1)y=x+2'+log2x-2,求y'

分析：直接运用导数的基本公式计算即可。

解：y'=2x+2'ln2+」一(注意”为常数)

Ain2

ax+b,

⑵y=------,求y

cx+d

分析：运用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。

,(ar+Z?)'(cr+")-(ar+Z?)(c¥+d)'a(cx+d)-((vc+b)cad-cb

wi.•y=------------------------------=------------------=--------

(cx+d)2(cx+d)2(cr+d)2

(3)y=^-2——,求)/

j3x-5'

分析：运用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。

Lf'

，1_3一3

解：/=国―5)5=——(3x—5)53二「

L[2275^7

(4)y=y[x-xe',求y'

分析：运用导数的基本公式计算即可。

1

解:y(ex+xer)=(x+l)e"

'F2A/X

(5)y=e"smbx,求dy

分析：运用微分的基本公式、复合函数的微分及微分的运算法则计算即可。

解：yr=(em)/sinZ?x+*(sinbx)'=etlxasinbx+e(lxcosbx-b

dy=y'dx=e"'(asinbx+/?cosbx)dx

(6)y=e*+x4,求dy

分析：运用微分的基本公式、复合函数的微分及微分的运算法则计算即可。

解:+,dy=(-|Vx--rer)d.r

(7)y=cosVx-er,求dy

分析：运用微分的基本公式、复合函数的微分及微分的运算法则计算即可。

2

解：y'=_(sinJ7)—^一-\1K-tsinVx.,

e(一2x),dy=(2xe------

2\jx2jx

(8)y=sinz,x+sinnx,求y'

分析：运用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算。

解：/=z?(sin,,"|x)cosA+(cos/Lt)H=n(sin,,_,xcosx+costix)

(9)y=ln(x+y/l+x2),求y'

分析：运用复合函数的求导法则计算。

2x1

解：14-

2A/1+X2)\l\+x

(iO)y=2F上埠叵

求y

\Jx

分析：运用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算。

sinl-11厂

解：y=2x+x2+x6-V2

sin-iJIn2-siiJ1

AJ6x11

y=2(In2)cos+-x=--2cos-277+6"

x)6xx

4.下列各方程中y是x的隐函数，试求V或dy

本题考核的知识点是隐函数求导法则。

(1)X14-y2-xy+3x=1,求dy

解：方程两边对x求导，得2x+2y-y,-(y+xy,)+3=0,

V-3-2A-

)一2一

(2)sin(x+y)+exy=4x,求y'

解：方程两边对x求导，得cosa+y)(l+y')+*(y+R)=4,

,_4-)en-cosG+y)

y=

Ae"+cosQ•+y)

5.求下列函数的二阶导数：

本题考核的知识点是高阶导数的概念和函数的二阶导数。

(1)y=ln(l+x2),求y"

解：户备，),〃=2-2x2

("A

1—x

(2)求)产及)，〃⑴

_11I_21_17--1--

解：y=x2-x2,/=——x2——x2,yn=-x2+—x2,)产(1)=I

-2244

《经济数学基础12》形考作业二讲评

一、填空题

1.若j/(x)dr=2l+2x+c,则f(x)=

解：f(x)=(2v+2.r+c)r=2XIn2+2

答案：21n2+2

2.j(sirLV)zdr=.

解:由于jF(x)cLi=F*)+c,因此J(sinx)dY=sinx+c

答案：sinx+c

3.若J/(x)d¥=F(x)+c,则卜一"("')dx=

解：令w=e~x,du=-e~xdx,

则=-jf{u)du=-F(w)+c=-F{ex)+c

答案：—b(e-')+c

4.设函数*JJn(1+/)口=

解：由于JJn(l+J)dr为常数，因此*「ln(l+x2)dt=0

答案：0

X/1+J?

二、单项选择题

I.下列函数中，(：是xsinx?的原函数.

A.—cosx2B.2cos.rC.-2cosrD.--cos.r

22

解：由于(cosx?)'=-2xsinx2,因此(一一cosx2/=xsinx2

2

答案：D

2.下列等式成立的是().

A.sirudr=d(cosx)B.Inxdx=d(—)

x

C.2AdA=—d(2t)D.dx=(ly/-X

In2

d(3=-±公,d(2')=21n2公,―\=dx

解：d(cosx)=-sinxdx，d>/x=

.r.r"24

答案：C

3.下列不定积分中，常用分部积分法计算的是().

A.jcos(2x+l)dx,B.jxvl-x2drC.xsin2xdxD.[―巴丁d.v

J1+x2

答案：C

4.下列定积分计算对的的是().

f16

A.J2xAx=2B.Jdv=15

C.「，+工3心=()D.sin.uk=0

J-无一无

答案：D

5,下列无穷积分中收敛的是().

广+00「+8

A-J,丁'B.1”必C.J。e'drD.J]sinuiv

2

解：「'J7d3=1

J|X2X,

答案：B

三、解答题

1.计算下列不定积分

3\i-4-2-

解：原式2\[x+x2dx=2\[x+—x2+—x2+c

35

―心・

JxI2

解：原式=J(x-2)公」f-2%+c

(4)

解：原式二-gj(l-2x)Td(l-2x)=-gln|l-2X+

(5)jxyj2+x2dx

]113

解：原式=/卜2+f)7(2+X2)=§(2+X2户+c

(6)

解：原式=2jsin«d\/x=-2cos«+c

(7)Jxsindr

原式二-2jxdcos]=-2xcos^+2jX.cX..X

解:cos-clx=-zxcos—+4sin—+c

222

(8)jln(x+l)dr

i--L

解：原式=xln(x+l)-J—^ydY=xln(x+l)-Jd^=(x+l)ln(x4-1)-x+c

X+1J

2.计算下列定积分

(1)j~|1-.vjcLv

2

解:原式二j](1一1)公+((x-1)公=2——X

-X=2+

12.rl

(2)

f2111

解：原式二-[e'd—=-ex=e-Ve

Jix

⑶J：^7

31

解：原式=「,d(1+liu)=2>/l+lnx|f=2(2-1)=2

vl+lnx

(4)"xcos2Adx

Jo

解：原式二3，02么45抽2工=3工5抽2不质一gjjsin2AiZr=0+；cos2x|F=-g

c

(5)xlnxdx

解：原式=

x

(65))j^(l+xe~)dv

x4x

解：原式=4—「工加-x=4-工"、+'e-dx=4-4e--e-^)=5-5^

《经济数学基础12》形考作业三讲评

一、填空题

-104-5一

1.设矩阵4=3-232,则A的元素=.

216-1

答案：3

2.设A8均为3阶矩阵，且网=同=一3,则卜2A出=.

解：卜2A=(—2)3\A\\BT|=-8|A||B|=-8x(-3)x(-3)=-72

答案：一72

3.设均为〃阶矩阵，则等式(A-8)2=A2-24B+B2成立的充足必要条件

是.

解：(A—B)2=(4-8)(A-B)=A2-AB-BA+B2=A2-2AB+B2

答案：AB=BA

4.设均为〃阶矩阵，(/一8)可逆，则矩阵A+8X=X的解X=.

解：A=X-8X,(/—8)X=A,X=(/—8)TA

答案：

100

5.设矩阵A=020则A-1=

00-3

100

答案：A=0-0

2

00_1

3

二、单项选择题

I.如下结论或等式对的的是().

A.若A3均为零矩阵，则有A=B

B.若A3=AC,且则〃=C

C.对角矩阵是对称矩阵

D.若则

答案：c

2.设A为3x4矩阵，8为5x2矩阵，且乘积矩阵ACB『故意义,则C7■为（）矩阵.

A.2x4B.4x2C.3x5D.5x3

答案：A

3.设A8均为〃阶可逆矩阵,则下列等式成立的是（）.

A.(A+B)-]=4々+—B.(AB)-1

c.=D.AB=BA

答案：c

4.下列矩阵可逆的是（).

11

B.C.D.

0022

3

3=6wO,可逆

3

答案：A

三、解答题

1.计算

3

-202110

；(2)；(3)[-1254

500-300-1

2

-21011-2

解：⑴

531035

021100

(2)

0-30000

3

0

(3)[-1254

-1

2

123-124245

2.计算-122143610

1-3223-13-27

123-1242457197245

解:-122143—610=7120—610

1-3223-13-270-4-73-27

5152

1110

-3-2-14

23

3.设矩阵A=11求|月耳.

0-1

解：由于|A耳=网冏,

23-1232

22

1II12=(-D2+3(-I)=2

H=12

0-110-10

I23123

|B|=I20-1-10

0011

因此|Aq=|A旭=2x0=0

124

4.设矩阵A二21,确定2的值，使"A)最小.

110

9

解：由于矩阵A的秩至少为2,令|4|二9-44=0,得到：当4=3时，«A)=2到达最

4

小值.

2-5321

5-8543

5.求矩阵A=的秩.

1-7420

4-1123

一1-742o--1-7420~-1-7420

2-532109-5-2109-5-21

解:Af——

5—8543027-15-6300000

4-1123027-15-63_00000

故r(A)=2.

6.求下列矩阵的逆矩阵:

1-32

(1)A=-301

11-1

10o]ri-321001n-32100

010-»0-97310f0-11112

1J|_()

004-3-1oij[()4-3-101

10-100113

-^01-110237

0010I349

113

故A-=237

349

-I13

(2)设4=1-15求（/+A），

1-2-1

013

解：/+A=104

-20

01310olFio50101「1050I0

105010-013100-013100

1-200010-2-50-110012-11

100-106-5

->01()-53-3,

0012-11

-106-5一

故(/+A)-1=-53—3.

2-11

1212

7.设矩阵A=,B=,求解矩阵方程XA=B.

3523_

21[1O-

1'

四、证明题

1.试证：若用，斗都与A可互换，则⑸+斗，与劣乜与4可互换.

证：由于44=44，&从=432，

因此(4+B2)A=8]A+82A=AB]+AB2=A(B,+B2),

BXB2A=B}AB2=AB.B2,

即用+生，优生也与A可互换.

2.试证：对于任意方阵A,A+4lAA'ATA是对称矩阵.

证：(A+AT)T=A+A1,(A4T)T=A4T,(ATA)T=ATA.

3.设A,B均为〃阶对称矩阵，则A3对称的充足必要条件是：AB=BA.

证：已知AT=AB7二B,

充足性：由于A3=84,故(AB)T=B『*=A4=A5；

必要性：由于(43)T=AB,故43=(48)7=4"=氏4.

4.设A为〃阶对称矩阵，B为〃阶可逆矩阵，且3"=//,证明是对称矩阵.

证：由于4T=4斤1=5"因此(歹”3)「二"人"夕了二夕弘(。7)7=夕弘氏

《经济数学基础12》形考作业四讲评

一、填空题

1.函数/（X）=+—!―的定义域为_________________.

In（x-l）

4—x20,

解.：《解之得lvxW4,xw2

x-l>0,xw2,

答案：&2）52,4]

2.函数y=3（x-l）2的底点是,极值点是,它是极—值点.

解：令？=6（工-1）=0,得驻点为1=1,又），〃=6>0,故x=l为极小值点

答案：x=\,x=\,小

3.设某商品的需求函数为g（p）=10e2,则需求弹性£,=.

P_dq_P_

解:EP=

qdp2

答案：-5〃

4.若线性方程组[有非零解，则4=

再+AX2=0

解：令|4|=1=4+1=0,得4=一1

1A

答案：-1

-1116

5.设线性方程组AX=〃，且0-132，贝打时，方程组有唯

00r+l0

一解.

解：当"A）="A）=3时，方程组有唯一解，故，工一1

答案：工一1

二、单项选择题

1.下列函数在指定区间（-8,+8）上单调增长的是（）.

A.sinxB.exC.x2D.3-x

解；由于在区间（8,十8）上，（"）'=">0,因此y="区间（8,十8）上单调增长

答案：B

2.设/。)=,，则八/(力)=

().

x

A.11

B.」C.xD.x

xX

解：f(f(x))=-L-=L

fM1

X

答案：c

3.下列积分计算对的的是().

.一-_—.1-X

A.B.dr=()

C.j'xsinMr=0D.(，+心心=0

x

因此2=0

解：由于/*)=三三是奇函数,dx

答案：A

4.设线性方程组二方有无穷多解的充足必要条件是().

A.r(A)=r(A)<mB.r(A)<〃C.m<nD.r(A)=r(A)<n

解：当"A)="A)<〃时，线性方程组4^*=人才有无穷多解，反之亦然

答案：D

X14-x2=q

设线性方程组V

5.x2+x3=r/2，则方程组有解的充足必要条件是().

X)+2X2+工3=%

A.q+生+/=0B.4一出+。3=0

C.=0D.-4+%+。3=0

10710110q

解:A二011—011011a2

121、011、000%~(1\~02

则方程组有解的充足必要条件是r(A)=r(A),即/一6一出=。

答案：C

三、解答题

1.求解下列可分离变量的微分方程：

(1))/=e、+y

解：分离变量得e-ydy=exdx,

积分得\e-ydy=\exdx,

所求通解为一e>=e'+c.

⑵曳=£

dx3y2

解：分离变量得3y2dy=xexdx,

积分得13y2力=Jxexdx,

所求通解为)0=祝x-e'+c.

2.求解下列一阶线性微分方程：

2

⑴V--^y=(x+l)3

x+i

解;)，=/*+/'J(xI1)%I(

=(x+l)2Q(x+lkZr+c

—(x+1)2(—X~+X+c).

2

(2)y'--=2xsin2x

x

f-dvrdv

解：y=eJxJ2isin2此J"clx+c

=x[J2sin2AzZv+c

=x(-cos2x+c).

3.求解下列微分方程的初值问题：

⑴y=e2x-\y(0)=0

解：分离变量得eydy=^dx,

积分得通解ev=-e'+c,

一9

代入初始条件y(0)=0得。二;,

所求特解为e>'=''+L

22

⑵A/Iye'=0,y(l)=0

,1-

解:y+-y=—

exdx+c=—(ex+c),

」x

代入初始条件y(l)=O得c=-e,

所求特解为y=-(ev-e).

A

4.求解下列线性方程组的一般解：

x}+2X3-X4=0

(1)-x,4-x2-3X3+2工4=0

2X1-x2+5X3-3X4=0

102-1102-1102-1

解：A=-1-3201-1101-11

2-15-30-1I-10000

因此，方程的一般解为

2/+'(其中/，马是自由未知量).

x2=x3-x4

2X1-x2+x3+x4=\

(2)M+2X2-X3+4X4=2

X]+7X2—4X3+1lx4=5

2-111T2-142、

解：A二12420-53-7-3

171155-373,

<12-142、q01/56/54/5]

T01-3/57/53/5—>01-3/57/53/5

1°0000;*0000;

因此，方程的一般解为

164

x.=--x3--x4+-

’373(其中刍，14是自由未知量)♦

5.当X为何值时，线性方程组

-x2-5X3+4.V4=2

2xt-x2+3X3-x4