第1课时　运用平方差公式分解因式

数学八年级上册(RJ)17.2用公式法分解因式第1课时运用平方差公式分解因式教师备课素材示例●类比导入同学们，你能很快知道992－1是否是100的倍数吗？你是怎么想的？992－1＝(99＋1)×(99－1)，这种方法利用了我们刚学过的哪一个乘法公式？首先我们来做下面两题：1．计算下列各式：(1)(a＋3)(a－3)＝a2－9；(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(3)(2a＋3b)(2a－3b)＝4a2－9b2.2．下面请你根据上面的算式填空：(1)a2－9＝(a＋3)(a－3)；(2)a2－b2＝(a＋b)(a－b)；(3)4a2－9b2＝(2a＋3b)(2a－3b).请同学们对比以上两题，你发现了什么？事实上，像上面第2题那样的因式分解是利用平方差公式进行的，这种利用乘法公式进行因式分解的方法称为公式法．【教学与建议】教学：通过利用平方差公式进行乘法计算，类比用平方差公式进行因式分解．建议：对于开始提出的问题，如果学生还有其他不同的解决方法，教师要给予充分的肯定．●复习导入1.请大家回顾一下，上节课我们学习了什么内容？（学生回答：用提公因式法进行因式分解）2．那么什么叫作因式分解呢？它和整式的乘法有什么关系？（学生回答：把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，叫作因式分解）3．什么叫作提公因式法？（学生回答：把多项式里的公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法）4．你能将下列各式进行因式分解吗？(1)5x3－5x；(2)－2ma3＋6m2a2－4m3a2；(3)a2(b＋c)－9(b＋c)；(4)3x2(x－y)2－12(y－x)2.请四位同学分别作答．观察上面的结果中的多项式，你会有怎样的发现呢？【教学与建议】教学：利用平方差公式进行因式分解的方法称为公式法．建议：发现结果中的多项式分解一定要彻底，如a2－9＝(a＋3)(a－3).·命题角度1运用平方差公式分解因式运用平方差公式分解因式要注意：(1)多项式为二项式，且其中一项为（或可化为）a2的形式，另一项为（或可化为）－b2的形式；(2)这里的a，b可以是数，也可以是整式．【例1】多项式9x2－eq\f(1,16)y2分解因式的结果是(D)A．（3x－eq\f(1,8)y）2B．（3x－eq\f(1,4)y）2C．（3x－eq\f(1,8)y）（3x＋eq\f(1,8)y）D．（3x－eq\f(1,4)y）（3x＋eq\f(1,4)y）【例2】因式分解：(1)4a2－b2＝(2a＋b)(2a－b)；(2)(a－b)2－1＝(a－b＋1)(a－b－1).·命题角度2平方差公式分解因式的应用运用平方差公式分解因式后有时可以将小数转化为整数，使计算简便．【例3】计算：1252－252等于(D)A．750B．1500C．10000D．15000【例4】如图，已知R＝6.75，r＝3.25，则图中阴影部分的面积为35π.高效课堂教学设计1．理解整式乘法与因式分解的互逆关系，并会用平方差公式进行因式分解．2．通过自己的实践活动去领悟、分析，总结技能、技巧，树立学习的自信心．▲重点运用平方差公式进行因式分解．▲难点运用平方差公式进行简便计算．◆活动1新课导入1．乘法的平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.2．计算：(1)(x＋2)(x－2)＝x2－4；(2)(2m＋3n)(2m－3n)＝4m2－9n2；(3)[(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)]＝4xy.◆活动2探究新知1．教材P128思考．提出问题：(1)整式乘法的平方差公式是什么？(2)多项式a2－b2有什么特点？你能将它分解因式吗？学生完成并交流展示．2．教材P128例2.提出问题：(1)x2－y4能用平方差公式分解因式吗？y4应怎样分解？(2)(x＋p)2－(x－q)2能直接用平方差公式分解因式吗？怎样分解？由此题你得到了什么启发？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b).即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.2．分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．◆活动4例题与练习例1教材P128例1.例2分解因式：(1)4m2－9n2；解：原式＝(2m＋3n)(2m－3n)；(2)16x2y2z2－9；解：原式＝(4xyz＋3)(4xyz－3)；(3)(a＋b)2－100；解：原式＝(a＋b＋10)(a＋b－10)；(4)81(a＋b)2－4(a－b)2.解：原式＝[9(a＋b)＋2(a－b)][9(a＋b)－2(a－b)]＝(11a＋7b)(7a＋11b).例3求证：当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．证明：依题意，得(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝8n.∵n是正整数，∴8n是8的n倍，∴当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数.练习1．教材P129练习第1，2题．2．因式分解：(1)－1＋0.09x2；解：原式＝(0.3x＋1)(0.3x－1)；(2)(a＋2b)2－4(a－b)2.解：原式＝[(a＋2b)＋2(a－b)][(a＋2b)－2(a－b)]＝(a＋2b＋2a－2b)(a＋2b－2a＋2b)＝3a(4b－a).3．已知x－y＝2，x2－y2＝6，求x，y的值．解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝6，x－y＝2，∴x＋y＝3.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝2，,x＋y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝\f(1,2)．))◆活动5课堂小结1．平方差公式及其特征．2．运用平方差公式分解因式．1．作业布置(1)教材P132习题17.2第1题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.下列计算正确的是()A.(a3)2=a5 B.(-ab3)3=-ab6C.(a+2)2=a2+4 D.2x12÷x6=2x62.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是()A.a(x-y)=ax-ayB.x2+2x+1=x(x+2)+1C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3D.x3-x=x(x+1)(x-1)3.把多项式x2+ax+b分解因式,得(x+1)·(x-3),则a,b的值分别是()A.a=2,b=3 B.a=-2,b=-3C.a=-2,b=3 D.a=2,b=-34.(xn+1)2(x2)n-1=()A.x4n B.x4n+3 C.x4n+1 D.x4n-15.把多项式x3-2x2+x分解因式正确的是()A.x(x2-2x) B.x2(x-2)C.x(x+1)(x-1) D.x(x-1)26.计算(72x3y4-36x2y3+9xy2)÷(-9xy2)的结果为()A.-8x2y2+4xy-1 B.-8x2y2-4xy-1C.-8x2y2+4xy+1 D.-8x2y2+4xy7.如图①,一个长方形的长为2m,宽为2n(m>n),用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图②那样拼成一个正方形,则中间空白部分的面积是()A.2mn B.(m+n)2C.(m-n)2 D.m2-n28.如图,正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张,如果要拼一个长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形,则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为()A.2,3,7 B.3,7,2 C.2,5,3 D.2,5,7二、填空题9.若多项式x2+kx+16是一个完全平方式,则k的值是.10.设a=192×918,b=8882-302,c=10532-7472,则a,b,c按从小到大的顺序排列,结果是.

11.若a+3b-2=0,则3a·27b的值是.

12.将4个数a,b,c,d排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成abcd,定义abcd=ad-bc.若-三、解答题13.计算:(1)2a5·(-a)2-(-a2)3·(-7a);(2)(x-4y)·(2x+3y)-(x+2y)·(x-y).14.先化简再求值:(1)2x-23y-((2)(3x-y)2-(2x+y)2-5x(x-y),其中x=2,y=1.15.(14分)观察下列三个算式的特点:52-32=8×2,92-72=8×4,152-32=8×27.(1)请你再写两个具有同样规律的算式;(2)用文字写出反映上述算式的规律;(3)验证这个规律的正确性.综合训练一、选择题1.D2.D3.B∵(x+1)(x-3)=x2-2x-3,∴x2+ax+b=x2-2x-3.∴a=-2,b=-3.4.A5.D6.A7.C拼成的正方形的边长为(m+n),它的面积为(m+n)2=m2+2mn+n2.原长方形的面积为4mn,故中间空白部分的面积为m2+2mn+n2-4mn=m2-2mn+n2=(m-n)2.8.A长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形的面积为(a+3b)·(2a+b)=2a2+7ab+3b2.因为一张A类卡片的面积为a2,一张B类卡片的面积为b2,一张C类卡片的面积为ab,所以需要A类卡片2张,B类卡片3张,C类卡片7张.故选A.二、填空题9.±810.a<c<b因为a=192×918=361×918,b=8882-302=(888-30)(888+30)=858×918,c=10532-7472=(1053+747)(1053-747)=1800×306=600×918,所以a<c<b.11.912.-6由新定义知,-53x2+52x2-3=-5(x2-3)-2(3x2+5)=-5x2+15-因为-5所以-11x2+5=6.故11x2-5=-(-11x2+5)=-6.三、解答题13.解(1)原式=2a5·a2-7a6·a=2a7-7a7=-5a7.(2)原式=(2x2+3xy-8xy-12y2)-(x2-xy+2xy-2y2)=2x2-5xy-12y2-x2-xy+2y2=x2-6xy-10y2.14.解(1)原式=2x=x+=x2+19y2+23xy-=x2+19y2当x=1,y=9时,原式=12+19×92=1+9=10(2)原式=(3x-y+2x+y)(3x-y-2x-y)-5x2+5xy=5x·(x-2y)-5x2+5xy=5x2-10xy-5x2+5xy=-5xy.当x=2,y=1时