专题2.2求函数的解析式（5类必考点分类集训）（教师版）

专题2.2求函数的解析式TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：已知函数类型求解析式】 1【考点2：配凑法求解析式】 4【考点3：换元法求解析式】 5【考点4：解方程组法求解析式】 7【考点5：求分段函数解析式或求函数的值】 9【考点1：已知函数类型求解析式】1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是一次函数，若，则______．【答案】或【详解】设，则.又，所以.即，解得，或.所以或．2．（2025高三·全国·竞赛）设是二次函数，且，则_____.【答案】【分析】利用题目条件构建函数结合，求出值后代入即可求出.【详解】由，可得：代入，所以.故答案为：3．（25-26高一上·全国·期末）已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________．【答案】【分析】设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式.【详解】设，根据题意得，解得，所以．故答案为：．4．（2026高三·全国·专题练习）已知是一次函数，，且，函数满足，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】设，利用待定系数法，结合已知方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论.【详解】依题意可设，由可得，因此可得，解得或；又因为，所以，即，即A正确，B错误；又可得，令，所以，因此，所以，可得C错误，D错误.故选：A.5．（25-26高三·全国·一轮复习）若一次函数满足，求的函数解析式.【答案】或【分析】利用待定系数法求函数解析式即可得到答案.【详解】由题意设，则，所以，解得或，所以的函数解析式为或.【考点2：配凑法求解析式】6．（2027高三·全国·专题练习）若函数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先将已知表达式通分后配方，发现它是中间变量的平方，再通过换元得到函数的解析式.【详解】，所以．故选：D.7．（24-25高一上·广东·期中）已知函数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】用配凑法得到含有的解析式，即可得.【详解】因为函数，所以函数.故选：A8．（25-26高一上·江西赣州·期中）若，则当时，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用配凑法即可解答.【详解】因为，且，所以.故选：A9．（25-26高一上·重庆·期中）已知，则函数的解析式为（

）.A． B．C． D．【答案】B【分析】由利用配方法和换元法求函数解析式.【详解】，且，所以，故选：B10．（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，则的解析式是（

）.A． B．C． D．【答案】C【分析】利用配凑法求函数解析式．【详解】因为，所以，则.故选：C【考点3：换元法求解析式】11．（25-26高一上·河北唐山·期中）函数，则（

）A．14 B．1 C．0 D．13【答案】A【详解】换元求解【点睛】令，则，12．（25-26高一·全国·暑假作业）已知函数，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用换元法求解即可.【详解】令，则，因为，所以，由，可得，所以．13．（25-26高一上·安徽淮北·期中）已知，则___________________．【答案】【分析】利用换元法求函数的解析式，即可得出的表达式.【详解】令，则,由，得,所以，即.14．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知，求函数的解析式___________．【答案】【分析】利用换元法令，进而求函数的解析式，注意函数的定义域.【详解】令，则，可得，所以.15．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知，则函数的解析式为_________.【答案】，【分析】使用换元法求解即可，设，那么，再代入即可求得函数的解析式.【详解】设，那么，则，所以，.【考点4：解方程组法求解析式】16．（25-26高一上·河北承德·期末）已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（

）A． B．1 C．2 D．【答案】A【分析】用代替得到，联立即可得，再通过换元，得到结合对勾函数单调性即可求解.【详解】因为，①所以用代替得．②①②得．设．当时，；当时，可转化为函数．又因为在单调递减，在单调递增，当时，得到最小值2，所以当时，，则，因为在单调递减，在单调递增，当时，得到最大值，当时，，则，综上，当时，取得最大值，为．所以当时，取得最大值，为．故选：A．17．（25-26高一上·河南·期末）已知函数满足，则函数的解析式为_______【答案】【分析】应用方程组法计算求解解析式.【详解】因为函数满足，所以，解得.故答案为：18．（2027高三·全国·专题练习）已知函数对任意的都有，则________．【答案】【分析】将原式中的替换为得到新方程，联立两个方程组成方程组，消去求解．【详解】∵，①∴，②由得解得：．故答案为：．19．（2025高三·全国·竞赛）设函数的定义域为，且满足，则的最小值为_____.【答案】1【分析】利用方程组思想求出的解析式，再结合基本不等式求最值.【详解】由得，解方程组得，因为的定义域为，所以等号成立时.所以的最小值为1.故答案为：20．（25-26高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式．【答案】且【分析】利用解方程组法，分别用，代换题设式子中的，得到方程组求解即可.【详解】，①将①中的用代换得②再将①中的用代换得③则由得且．【考点5：求分段函数解析式或求函数的值】21．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数，则（

）A．2025 B．2026 C．2027 D．2028【答案】B【详解】由题意得：当时，，所以，则.22．（25-26高一上·福建泉州·期中）如图，菱形的边长为2，且，记菱形位于直线的左侧图形的面积为，则_____，_____．【答案】【分析】分情况写出函数解析式，然后求得.讨论的范围，由函数解析式，求得.【详解】过作轴交轴于，过作轴交轴于，∴，即，∴.①当时，如图，，②当时，如图，，③当时，如图，，∴，当时，，，当时，，，当时，，，∴，故答案为：，23．（26-27高一·全国·暑假作业）已知函数，求；【答案】.【分析】根据分段函数的定义域和值域求解.【详解】由题设知：时，时，时，又因为，所以.24．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知二次函数满足且．(1)求的解析式；(2)画出函数的简图并求出该函数的值域．【答案】(1)(2)值域.【分析】（1）设，利用待定系数法，求出a，b的值，根据，可得c值，即可得答案.（2）由（1）可得解析式，分别求出和的解析式，根据一次函数的单调性，可得的值域，作出图象即可.【详解】（1）由题意，设，则，整理得，即，则，解得，又，所以.（2）由（1）得，定义域为R，当时，，单调递减，所以；当时，，单调递增，所以，综上，的值域为，的图象如图，25．（25-26高一上·广东茂名·期末）已知二次函数满足，且，为偶函数，且当时，．

(1)求的解析式；(2)在给定的坐标系内画出的图象；(3)讨论函数（）的零点个数．【答案】(1)(2)作图见解析(3)答案见解析【分析】（1）设出解析式，根据题目条件得到方程组，求出，得到解析式；（2）根据函数的奇偶性得到的解析式，从而画出函数图象；（3）在（2）的基础上，得到函数零点个数【详解】（1）设，则因为，故，所以，解得，因此；（2）当时，，当时，，则，为偶函数，故，故，综上，，画出函数图象如下：

（3）由图可知，，，当时，函数没有零点，当时，函数只有两个零点，当时，函数有四个零点，当时，函数有三个零点，当时，函数有两个零点一、单选题1．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知，则函数的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用换元法求解即可.【详解】令，则，所以，所以.故选：D2．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数，且，则的值为（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】令，利用换元法求出的解析式，再计算即可得解.【详解】令，则，因为，所以，又，即，解得，所以的值为2.故选：B3．（25-26高一上·江西赣州·期中）若，则当时，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用配凑法即可解答.【详解】因为，且，所以.故选：A4．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数满足，则等于（

）A． B．1 C．5 D．9【答案】C【分析】应用赋值法计算求解.【详解】令得，令得，联立解得.故选：C.5．（25-26高一上·湖南永州·期中）已知函数满足，则的解析式为（

）.A．， B．C． D．【答案】C【分析】利用立方差公式以及换元法可求出函数的解析式.【详解】因为函数满足，即，令，则，故.故选：C.6．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数满足，，且，则的最大值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】交换可得，进而可得再令可得，最后根据基本不等式可得答案.【详解】，①．则交换可得，,化为②由①②可得③，③中令可得，化简可得，当时等号成立，所以的最大值等于．故选：A二、多选题7．（25-26高一上·浙江丽水·期末）下列函数中，满足的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】对各选项解析式分别求出即可判断.【详解】对于A：，则，故A正确；对于B：，则，故B错误；对于C：，则，而，所以，故C错误；对于D：，则，故D正确.故选：AD8．（25-26高三·全国·一轮复习）下列命题中正确的有（

）A．若一次函数满足，则函数的解析式为B．若，则函数的定义域为C．若，则函数的解析式为D．若函数满足关系式，则【答案】BCD【分析】设一次函数比对系数判定A错误，换元确定对数型函数定义域知B正确，配方变形推出对应函数解析式证C正确，联立倒数替换所得方程组解出函数式得D正确，最终BCD正确A错误.【详解】对于A，设，则，因为，所以，解得或，故函数的解析式为或，A错误；对于B，令，则，则，，故函数的定义域为，B正确；对于C，，且的取值范围是R，所以，C正确；对于D，由，得，联立解得，D正确．三、填空题9．（25-26高一上·陕西延安·期中）若，则的解析式为___________．【答案】【分析】利用换元法求函数解析式.【详解】设，则，且.所以，.所以.故答案为：10．（25-26高一上·重庆·期中）若，且，则______.【答案】【分析】令，利用换元法求解.【详解】令，则，因为，所以，故.故答案为：.四、解答题11．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知二次函数满足，且的图象经过点.(1)求的解析式；(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）设，利用条件等式和图象经过的点，列出方程组，确定的值，即得函数的解析式；（2）等价转化原不等式为在上的恒成立问题，结合二次函数的图象可得含参数的不等式，解之即得.【详解】（1）设，由可得：，即得，解得，故得，又的图象经过点，则，故；（2）由可得，依题意，对，不等式恒成立，故，解得，即实数的取值范