2025-2026年重庆市苏教版高二数学第8章函数练习题

2025-2026年重庆市苏教版高二数学第8章函数练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，则f(x)的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|表示数轴上点x到点1和点－2的距离之和，当x在区间[－2,1]内时，距离之和最小，为3，故选C。2.函数f(x)＝ln(x²－2x＋3)的定义域为（）A．(－∞,1)∪(1,+∞)B．[1,+∞)C．(－∞,－1)∪(－1,+∞)D．R解析：由x²－2x＋3＞0得函数定义域为全体实数R，故选D。3.若函数f(x)＝2ax－1在(1,+∞)上单调递增，则a的取值范围是（）A．a＞0B．a＜0C．a≥0D．a≤0解析：函数f(x)为一次函数，斜率2a＞0即a＞0时函数单调递增，故选A。4.函数f(x)＝sin(2x＋π/3)的最小正周期为（）A．πB．2πC．3π/2D．π/2解析：正弦函数sin(kx)的最小正周期为2π/k，此处k＝2，故周期为π，故选A。5.函数f(x)＝e^x－3x在R上的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3解析：令f(x)＝0得e^x＝3x，函数y＝e^x与y＝3x的图像有两个交点，故零点个数为2，故选C。6.函数f(x)＝log_a(x－1)在(1,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜1B．a＞1C．a＝1D．0＜a≤1解析：对数函数log_a(x－1)单调性与底数a相关，a∈(0,1)时函数单调递减，故选A。7.函数f(x)＝|x|在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为（）A．2，0B．4，－1C．2，－2D．4，0解析：绝对值函数|x|在[－2,2]上取值范围为[0,2]，故最大值为2，最小值为0，故选A。8.函数f(x)＝x³－3x＋1的极值点个数为（）A．0B．1C．2D．3解析：f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1，f′′(x)＝6x，f′′(1)＞0为极小值点，f′′(－1)＜0为极大值点，故有两个极值点，故选C。9.函数f(x)＝2cos²x－1在[0,2π]上的零点个数为（）A．2B．3C．4D．5解析：f(x)＝cos(2x)，令cos(2x)＝0得2x＝π/2+kπ，k∈Z，在[0,2π]内解为x＝π/4,3π/4,5π/4,7π/4，共4个零点，故选C。10.函数f(x)＝x－lnx在(0,1)上的图像大致为（）A．B．C．D．解析：f′(x)＝1－1/x，f′(x)＞0，函数单调递增，且f(1)＝0，图像为上升曲线，故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)＝|x－2|＋|x＋1|的值域为________。参考答案：[3,+∞)解析：函数表示数轴上点x到点2和点－1的距离之和，最小值为3，故值域为[3,+∞)。2.函数f(x)＝sin(x＋π/6)－cos(x－π/3)的最小正周期为________。参考答案：2π解析：sin(x＋π/6)与cos(x－π/3)的周期均为2π，故函数周期为2π。3.函数f(x)＝ln(x²－4x＋3)的定义域为________。参考答案：(－∞,1)∪(3,+∞)解析：由x²－4x＋3＞0得(x－1)(x－3)＞0，解得x∈(－∞,1)∪(3,+∞)。4.函数f(x)＝e^x－2x在R上的零点个数为________。参考答案：1解析：f′(x)＝e^x－2，令f′(x)＝0得x＝ln2，f(ln2)＝e^ln2－2ln2＝2－2ln2＞0，函数在R上单调递增且过原点，故有唯一零点。5.函数f(x)＝2cos²x－3sinx＋1的最小正周期为________。参考答案：2π解析：函数可化为cos(2x)－3sinx＋2，周期由cos(2x)决定，为2π。6.函数f(x)＝log_1/2(x－2)在(2,+∞)上的单调性为________。参考答案：单调递减解析：对数函数log_a(x)当0＜a＜1时单调递减，此处底数为1/2，故单调递减。7.函数f(x)＝x³－3x＋2的极值点为________。参考答案：x＝1解析：f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1，f′′(1)＜0为极大值点，f′′(－1)＞0为极小值点，但极大值点为x＝1。8.函数f(x)＝|x|在区间[－1,1]上的最大值为________，最小值为________。参考答案：1，0解析：绝对值函数在[－1,1]上取值范围为[0,1]，最大值为1，最小值为0。9.函数f(x)＝sin(π/3－x)的图像可由y＝sinx的图像________得到。参考答案：向右平移π/3个单位解析：根据诱导公式sin(π/3－x)＝sin(π/3+x)，图像向右平移π/3个单位。10.函数f(x)＝x－lnx在(0,1)上的图像大致为________。参考答案：上升曲线解析：f′(x)＝1－1/x，f′(x)＞0，函数单调递增，且f(1)＝0，图像为上升曲线。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)＝cos(x＋π/2)的图像与y轴相交于点(0,1)。参考答案：×解析：cos(x＋π/2)＝sinx，图像与y轴相交于点(0,0)。2.函数f(x)＝e^x在R上单调递增且无界。参考答案：√解析：指数函数e^x单调递增且当x→+∞时y→+∞，故无界。3.函数f(x)＝|x|在R上处处可导。参考答案：×解析：绝对值函数在x＝0处不可导。4.函数f(x)＝sin(2x)的最小正周期为π。参考答案：√解析：正弦函数sin(kx)的最小正周期为2π/k，此处k＝2，周期为π。5.函数f(x)＝ln(x＋1)在(－1,+∞)上单调递增。参考答案：√解析：对数函数ln(x＋1)在定义域内单调递增。6.函数f(x)＝x³－3x＋1在R上存在唯一零点。参考答案：×解析：令f(x)＝0得x³－3x＋1＝0，此方程有三个实根，故有三个零点。7.函数f(x)＝cos²x在[0,2π]上的值域为[－1,1]。参考答案：×解析：cos²x＝(1+cos2x)/2，值域为[0,1]。8.函数f(x)＝log_2(x－1)在(1,+∞)上单调递增。参考答案：√解析：对数函数log_a(x)当a＞1时单调递增，此处底数为2，故单调递增。9.函数f(x)＝|x－1|在R上处处可导。参考答案：×解析：绝对值函数在x＝1处不可导。10.函数f(x)＝sin(x－π/6)的最小正周期为2π。参考答案：√解析：正弦函数sin(kx)的最小正周期为2π/k，此处k＝1，周期为2π。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|的最小值及取值范围。参考答案：最小值为3，值域为[3,+∞)解析：函数表示数轴上点x到点1和点－2的距离之和，最小值为两点间距离3，故值域为[3,+∞)。2.求函数f(x)＝ln(x²－2x＋3)的定义域。参考答案：x∈(－∞,1)∪(1,+∞)解析：由x²－2x＋3＞0得(x－1)²＋2＞0，解得x∈R，故定义域为全体实数。3.判断函数f(x)＝sin(2x)在[0,π/2]上的单调性。参考答案：单调递减解析：f′(x)＝2cos(2x)，在[0,π/2]上2x∈[0,π]，cos(2x)单调递减，故f(x)单调递减。4.求函数f(x)＝e^x－2x在R上的零点个数。参考答案：1解析：f′(x)＝e^x－2，令f′(x)＝0得x＝ln2，f(ln2)＝2－2ln2＞0，函数在R上单调递增且过原点，故有唯一零点。5.求函数f(x)＝cos²x－sinx＋1的最小正周期。参考答案：2π解析：函数可化为(1+cos2x)/2－sinx＋1，周期由cos2x决定，为2π。6.判断函数f(x)＝log_1/2(x－2)在(2,+∞)上的单调性。参考答案：单调递减解析：对数函数log_a(x)当0＜a＜1时单调递减，此处底数为1/2，故单调递减。7.求函数f(x)＝x³－3x＋2的极值点。参考答案：x＝1为极大值点，x＝－1为极小值点解析：f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1，f′′(1)＜0为极大值点，f′′(－1)＞0为极小值点。8.求函数f(x)＝|x|在区间[－2,2]上的最大值与最小值。参考答案：最大值为2，最小值为0解析：绝对值函数在[－2,2]上取值范围为[0,2]，最大值为2，最小值为0。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋1|的最小值为2，求实数a的值。参考答案：a＝－1或a＝1解析：函数表示数轴上点x到点a和点－1的距离之和，最小值为两点间距离|a＋1|，由|a＋1|＝2得a＝－1或a＝1。2.求函数f(x)＝sin(x＋π/6)－cos(x－π/3)的最小正周期。参考答案：2π解析：sin(x＋π/6)与cos(x－π/3)的周期均为2π，故函数周期为2π。3.求函数f(x)＝ln(x²－4x＋3)的定义域。参考答案：x∈(－∞,1)∪(3,+∞)解析：由x²－4x＋3＞0得(x－1)(x－3)＞0，解得x∈(－∞,1)∪(3,+∞)。4.求函数f(x)＝e^x－2x在R上的零点个数。参考答案：1解析：f′(x)＝e^x－2，令f′(x)＝0得x＝ln2，f(ln2)＝2－2ln2＞0，函数在R上单调递增且过原点，故有唯一零点。5.求函数f(x)＝2cos²x－3sinx＋1的最小正周期。参考答案：2π解析：函数可化为cos(2x)－3sinx＋2，周期由cos(2x)决定，为2π。6.求函数f(x)＝log_1/2(x－2)在(2,+∞)上的值域。参考答案：[－∞,0)解析：对数函数log_a(x)当0＜a＜1时值域为(－∞,+∞)，此处底数为1/2，故值域为[－∞,0)。7.求函数f(x)＝x³－3x＋2的极值点。参考答案：x＝1为极大值点，x＝－1为极小值点解析：f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1，f′′(1)＜0为极大值点，f′′(－1)＞0为极小值点。8.求函数f(x)＝|x－1|在区间[－2,2]上的最大值与最小值。参考答案：最大值为3，最小值为0解析：绝对值函数在[－2,2]上取值范围为[0,3]，最大值为3，最小值为0。六、案例分析题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）1.某工厂生产某种产品，成本函数为f(x)＝x²－4x＋5（x为产量），求产量x＝2时的边际成本。参考答案：边际成本为0解析：边际成本为成本函数的导数f′(x)＝2x－4，当x＝2时f′(2)＝0。2.某商品的需求函数为p＝10－0.1x（p为价格，x为需求量），求需求量x＝50时的需求弹性。参考答案：需求弹性为0.5解析：需求弹性E＝｜p/x•dp/dx｜＝｜(10－0.1x)/x•(－0.1)｜，当x＝50时E＝｜(10－5)/50•(－0.1)｜＝0.5。3.某城市人口增长模型为P(t)＝1000e^0.02t（t为年数），求5年后的人口数量。参考答案：约1132人解析：P(5)＝1000e^0.02×5≈1132人。4.某投资项目的收益函数为R(t)＝2000(1－e^－0.1t)，求5年后的收益。参考答案：约1747元解析：R(5)＝2000(1－e^－0.5)≈1747元。5.某产品的成本函数为C(x)＝x²－6x＋10，求成本最小值及对应的产量。参考答案：最小成本为4，对应产量x＝3解析：C′(x)＝2x－6，令C′(x)＝0得x＝3，C′′(3)＞0为极小值点，C(3)＝4。6.某商品的需求函数为p＝20－0.05x，求需求量x＝100时的总收益。参考答案：总收益为1000元解析：总收益R＝px＝(20－0.05x)x，当x＝100时R＝1000元。7.某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)＝x²－4x＋5，求产量x＝3时的平均成本。参考答案：平均成本为2解析：平均成本C(x)/x＝(x²－4x＋5)/x，当x＝3时C(3)/3＝2。8.某产品的需求函数为p＝15－0.02x，求需求量x＝200时的需求弹性。参考答案：需求弹性为0.4解析：需求弹性E＝｜p/x•dp/dx｜＝｜(15－0.02x)/x•(－0.02)｜，当x＝200时E＝｜(15－4)/200•(－0.02)｜＝0.4。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述函数单调性的判定方法及其应用。参考答案：（1）判定方法：①若f′(x)在区间I上恒大于0，则f(x)在I上单调递增；②若f′(x)在区间I上恒小于0，则f(x)在I上单调递减。（2）应用：可判断函数的单调区间，求函数的最值，证明不等式等。2.论述函数极值与最值的区别与联系。参考答案：（1）区别：极值是局部性概念，最值是全局性概念；（2）联系：闭区间上的连续函数的最值一定在极值点或端点处取得。3.论述对数函数的性质及其应用。参考答案：（1）性质：底数a＞1时单调递增，0＜a＜1时单调递减，过定点(1,0)，值域为R；（2）应用：描述指数增长或衰减现象，如人口增长、放射性衰变等。4.论述绝对值函数的性质及其图像特征。参考答案：（1）性质：f(x)＝|x|在x＝0处不可导，图像关于y轴对称；（2）图像特征：V形图像，顶点为原点，两支分别为y＝x和y＝－x。5.论述三角函数的周期性及其应用。参考答案：（1）周期性：sin(kx)和cos(kx)的最小正周期为2π/k；（2）应用：描述周期性现象，如简谐运动、波动等。6.论述导数在经济分析中的应用。参考答案：（1）边际分析：导数表示边际成本、边际收益等；（2）弹性分析：导数用于计算需求弹性、供给弹性等；（3）最优化：通过导数求函数最值，如利润最大化、成本最小化等。7.论述函数零点存在性定理及其应用。参考答案：（1）定理：若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)＜0，则f(x)在(a,b)上至少有一个零点；（2）应用：判断方程根的存在性，如求函数零点个数。8.论述函数图像变换的规律。参考答案：（1）平移：y＝f(x)＋k向上平移k个单位，y＝f(x－h)向右平移h个单位；（2）伸缩：y＝af(x)纵向伸缩a倍，y＝f(bx)横向伸缩b倍；（3）对称：y＝－f(x)关于x轴对称，y＝f(－x)关于y轴对称。9.论述函数定义域的求法及其意义。参考答案：（1）求法：①分式函数分母不为0；②对数函数真数大于0；③根式函数被开方数非负；④综合考虑各部分限制条件；（2）意义：函数有意义的x值集合，是函数概念的基础。10.论述函数值域的求法及其应用。参考答案：（1）求法：①配方法（二次函数）；②分离变量法（指数、对数函数）；③数形结合法（绝对值、三角函数）；（2）应用：确定函数取值范围，如求最大值、最小值等。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.D3.A4.A5.C6.A7.A8.C9.C10.B解析：2.绝对值函数表示数轴上点x到点1和点－2的距离之和，最小值为两点间距离3，故选C。3.对数函数ln(x²－2x＋3)的真数x²－2x＋3＝(x－1)²＋2＞0，定义域为R，故选D。4.一次函数f(x)＝2ax－1的单调性由斜率2a决定，2a＞0即a＞0时函数单调递增，故选A。5.正弦函数sin(2x＋π/3)的周期为2π/2＝π，故选A。6.函数f(x)＝e^x－3x在R上单调递增，且f(1)＝e－3＜0，f(2)＝e^2－6＞0，由零点存在性定理知存在唯一零点，故选C。二、填空题1.[3,+∞)12.2π13.(－∞,1)∪(3,+∞)14.115.2π2.单调递减17.x＝118.1，019.向右平移π/3个单位20.上升曲线解析：3.绝对值函数表示数轴上点x到点1和点－2的距离之和，最小值为两点间距离3，故值域为[3,+∞)。4.sin(x＋π/6)与cos(x－π/3)的周期均为2π，故函数周期为2π。三、判断题1.×22.√23.×24.√25.√26.×27.×28.√29.×30.√解析：2.cos(x＋π/2)＝sinx，图像与y轴相交于点(0,0)，故错误。3.指数函数e^x单调递增且无界，故正确。四、简答题1.最小值为3，值域为[3,+∞)解析：绝对值函数表示数轴上点x到点1和点－2的距离之和，最小值为两点间距离3，故值域为[3,+∞)。2.x∈(－∞,1)∪(1,+∞)解析：由x²－2x＋3＞0得(x－1)²＋2＞0，解得x∈R，故定义域为全体实数。3.单调递减解析：f′(x)＝2cos(2x)，在[0,π/2]上2x∈[0,π]，cos(2x)单调递减，故f(x)单调递减。4.1解析：f′(x)＝e^x－2，令f′(x)＝0得x＝ln2，f(ln2)＝2－2ln2＞0，函数在R上单调递增且过原点，故有唯一零点。5.2π解析：函数可化为cos(2x)－3sinx＋2，周期由cos2x决定，为2π。6.单调递减解析：对数函数log_a(x)当0＜a＜1时单调递减，此处底数为1/2，故单调递减。7.x＝1为极大值点，x＝－1为极小值点解析：f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1，f′′(1)＜0为极大值点，f′′(－1)＞0为极小值点。8.最大值为2，最小值为0解析：绝对值函数在[－2,2]上取值范围为[0,2]，最大值为2，最小值为0。五、应用题1.a＝－1或a＝1解析：函数表示数轴上点x到点a和点－1的距离之和，最小值为两点间距离|a＋1|，由|a＋1|＝2得a＝－1或a＝1。2.2π解析：sin(x＋π/6)与cos(x－π/3)的周期均为2π，故函数周期为2π。3.x∈(－∞,1)∪(3,+∞)解析：由x²－4x＋3＞0得(x－1)(x－3)＞0，解得x∈(－∞,1)∪(3,+∞)。4.1解析：f′(x)＝e^x－2，令f′(x)＝0得x＝ln2，f(ln2)＝2－2ln2＞0，函数在R上单调递增且过原点，故有唯一零点。5.2π解析：函数可化为cos(2x)－3sinx＋2，周期由cos2x决定，为2π。6.[－∞,0)解析：对数函数log_a(x)当0＜a＜1时值域为(－∞,+∞)，此处底数为1/2，故值域为[－∞,0)。7.x＝3为极大值点，x＝－1为极小值点解析：f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1，f′′(1)＜0为极大值点，f′′(－1)＞0为极小值点。8.最大值为3，最小值为0解析：绝对值函数在[－2,2]上取值范围为[0,3]，最大值为3，最小值为0。六、案例分析题1.边际成本为0解析：边际成本为成本函数的导数f′(x)＝2x－4，当x＝2时f′(2)＝0。2.需求弹性为0.5解析：需求弹性E＝｜p/x•dp/dx｜＝｜(10－0.1x)/x•(－0.1)｜，当x＝50时E＝｜(10－5)/50•(－0.1)｜＝0.5。3.约1132人解析：P(5)＝1000e^0.02×5≈1132人。4.约1747元解析：R(5)＝2000(1－e^－0.1×5)≈1747元。5.最小成本为4，对应产量x＝3解析：C′(x)＝2x－6，令C′(x)＝0得x＝3，C′′(3)＞0为极小值点，C(3)＝4。6.总收益为1000元解析：总收益R＝px＝(20－0.05x)x，当x＝100时R＝1000元。7.平均成本为2解析：平均成本C(x)/