2017-2026上海十年高考数学专项汇编：专题03 函数的概念与性质（学生版）

专题03函数的概念与性质

10年真题1年模拟

考点分类上海考情（2017-2026）命题规律

基础考定义域、值域、分段函数求值；

考点01函数及其2026创新“最低点”新定义，结合双函

2017-2026持续考查，单选、填空为主

表示数最值逻辑判断，侧重阅读理解与举反

例

基础题考查奇偶、单调、周期判断；近

年变化显著：大量抽象函数、自定义性

考点02函数的基2017-2026年年必考，全题型覆盖，解

质；解答题融合充要条件、排列、导数，

本性质答压轴高频

逻辑证明题增多，综合性、抽象度大幅

提升

考点01函数及其表示

1．（2026·上海·高考真题）对于函数yfx，xD，设Afx,y|yfx,xD.对于点集M，若存

在x0,y0M，使得任取x,yM，总有yy0，则称x0,y0为“最低点”.对于函数yfx和ygx，

以下说法中正确的是（）

A．若yfx和ygx都有最小值，则AfAg有最低点；

B．若AfAg有最低点，则yfx和ygx都有最小值；

C．若yfx或ygx有最小值，则AfAg有最低点；

D．若AfAg有最低点，则yfx或ygx有最小值.

2．（2018·上海·高考真题）设D是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D上的函数，若f(x)的图像绕原点

π

逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，f(1)的可能取值只能是（）

6

33

A．3B．C．D．0

23

1/11

3．（2019·上海·高考真题）下列函数中，值域为0,的是

1

xycosx

A．y2B．yx2C．ytanxD．

1,x0

4．（2025·上海·高考真题）已知f(x)0,x0，a、b、c是平面内三个不同的单位向量．若

1,x0

rr

rrrr

f(ab)f(bc)f(ca)0，则|abc|的取值范围是_______．

5．（2025·上海·高考真题）已知全集U{x∣2x5,xR}，集合A{x∣2x4,xR}，则A_________．

f(x),x0

6．（2024·上海·高考真题）已知f(x)x2,g(x)，求g(x)2x的x的取值范围_______.

f(x),x0

7．（2024·上海·高考真题）函数ylog2x的定义域为_______.

x,x0

8．（2024·上海·高考真题）已知fx,则f3______．

1,x0

2x,x0

9．（2023·上海·高考真题）已知fx，则fx的值域是______；

1,x0

1

10．（2022·上海·高考真题）设函数f(x)满足f(x)f，定义域为D[0,)，值域为A，若集合

x1

{y∣yf(x),x[0,a]}可取得A中所有值，则参数a的取值范围为___________.

考点02函数的基本性质

1．（2025·上海·高考真题）已知A(0,1),B(1,2)，C在:x2y21(x1,y0)上，则ABC的面积（）

A．有最大值，但没有最小值B．没有最大值，但有最小值

C．既有最大值，也有最小值D．既没有最大值，也没有最小值

2．（2023·上海·高考真题）下列函数是偶函数的是（）.

A．ysinxB．ycosxC．yx3D．y2x

3．（2021·上海·高考真题）已知函数yf(x)的定义域为R，下列是f(x)无最大值的充分条件是（）

A．f(x)为偶函数且关于直线x1对称B．f(x)为偶函数且关于点(1,1)对称

C．f(x)为奇函数且关于直线x1对称D．f(x)为奇函数且关于点(1,1)对称

4．（2020·上海·高考真题）若存在aR且a0，对任意的xR，均有f(xa)f(x)f(a)恒成立，则

称函数f(x)具有性质P，已知：q1:f(x)单调递减，且f(x)0恒成立；q2:f(x)单调递增，存在x00使

得f(x0)0，则是f(x)具有性质P的充分条件是（）

A．只有q1B．只有q2

C．q1和q2D．q1和q2都不是

5．（2016·上海·高考真题）设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f(x)g(x)、

f(x)h(x)、g(x)h(x)均为增函数，则f(x)、g(x)、h(x)中至少有一个增函数；②若f(x)g(x)、f(x)h(x)、

g(x)h(x)均是以T为周期的函数，则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数，下列判断正确的是

A．①和②均为真命题

B．①和②均为假命题

C．①为真命题，②为假命题

D．①为假命题，②为真命题

6．（2026·上海·高考真题）已知函数fx是偶函数，当x0时，fxxa，若f43，则

a__________．

7．（2024·上海·高考真题）若函数fxx3axR是奇函数，则实数a______.

a2x1,x0

8．（2022·上海·高考真题）若函数f(x)xa,x0，为奇函数，则参数a的值为___________．

0,x0

9．（2018·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)、B(2,0)，E、F是y轴上的两个动点，

且|EF|2，则AEBF的最小值为________

x

31,x0

10．（2017·上海·高考真题）定义在0,上的函数yfx的反函数为yf1x，若gx

fx,x0

为奇函数，则f1x2的解为________.

1

13

11．（2017·上海·高考真题）已知四个函数：①yx；②y；③yx；④2.从中任

xyx

选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为________

12．（2026·上海·高考真题）已知i,j,k是1，2，3的一个排列，若函数f1x，f2x，f3x，对任意xI，

都有f1xfix且f1xf2xfixfjx，则称i,j,k是关于f1x，f2x，f3x的一个I排列，

则关于f1x，f2x，f3x的I排列总数记为nI．

2

(1)已知I3,，f1xx，f2x0，f3xx1，判断3,1,2是否为I排列；

3/11

2

(2)对I0,，f1xx1，f2xxm，f3xx满足条件的nI6，求m的取值范围；

(3)对x0,，且对任意x0,，0Fx1，令Ia,，f1xFx，

1x

f2xFxaFxa，f3x1e，证明：若Fx严格减，则存在a0，使nI4；若Fx严

2

格增，则存在a0,1，nI2．

13．（2026·上海·高考真题）设fx是定义在R上的函数.定义性质P：若对任意x1,x2R，当x1x2时，

fx1fx2，则称函数fx具有“性质P”.

(1)判断函数fxex是否具有“性质P”；

ax,x0

(2)若分段函数fx具有“性质P”，求所有满足条件的实数a和b的解；

xb,x0

(3)已知fx的值域为0,1，且在0,上是严格增函数，证明：fx是偶函数的充要条件是：fx具有

“性质P”.

14．（2024·上海·高考真题）已知函数fxlogaxa0,a1．

(1)若函数yfx的图象经过点4,2，求解不等式f2x2fx；

(2)若存在x，使得fx1、fax、fx2依次成等差数列，求a的取值范围．

15．（2022·上海·高考真题）已知函数f(x)，甲变化：f(x)f(xt)；乙变化：|f(xt)f(x)|，t0.

(1)若t1，f(x)2x，f(x)经甲变化得到g(x)，求方程g(x)2的解；

(2)若f(x)x2，f(x)经乙变化得到h(x)，求不等式h(x)f(x)的解集；

(3)若f(x)在(,0)上单调递增，将f(x)先进行甲变化得到u(x)，再将u(x)进行乙变化得到h1(x)；将f(x)

先进行乙变化得到v(x)，再将v(x)进行甲变化得到h2(x)，若对任意t0，总存在h1(x)h2(x)成立，求证：

f(x)在R上单调递增.

16．（2018·上海·高考真题）设常数aR，函数f(x)asin2x2cos2x.

(1)若f(x)为偶函数，求a的值；

(2)若f()31，求方程f(x)12在区间[,]上的解.

4

17．（2017·上海·高考真题）设定义在R上的函数f(x)满足：对于任意的x1、x2R，当x1x2时，都有

f(x1)f(x2).

（1）若f(x)ax31，求a的取值范围；

（2）若f(x)为周期函数，证明：f(x)是常值函数；

（3）设f(x)恒大于零，g(x)是定义在R上、恒大于零的周期函数，M是g(x)的最大值.

函数h(x)f(x)g(x).证明：“h(x)是周期函数”的充要条件是“f(x)是常值函数”.

一、单选题

1．（2026·上海黄浦·三模）设U，D均为非空集合，函数yfx的定义域为D，若存在x0D，使得对任

意xD，均有fxfx0U，则称函数yfx具有“U性质”．下列说法中正确的是（）．

A．“x00”是“函数fxx具有‘0,性质’”的充分非必要条件

B．设DR，则“函数yfx具有‘0,性质’”是“yfx具有最小值”的必要非充分条件

C．设DR，“ba2”是“函数fxcosx具有‘a,b性质’”的充分必要条件

D．设DR，“函数yfx具有‘a,b性质’”是“yfx具有‘a1,b1性质’”的既非充分又非必要条

件

2．（2026·上海·三模）设函数yfx定义域为R，且对任意xR，不等式fx2026恒成立，设a、bR，

定义ga,bxfxfaxb．现给出如下两个命题：

①若yfx是周期函数，则对于任意实数aR，函数yga,0x是周期函数；

②函数yfx存在正整数周期，当且仅当函数yg1,1x存在正整数周期；

下列选项中正确的是（）

A．①②都是真命题B．①②都是假命题

C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题

fhf0

3．（2026·上海虹口·三模）已知函数yfx是定义在R上的奇函数，且lim2，则函数yfx

h0h

的表达式可以是（）．

A．fx2ex2B．fxexex

C．fxcos2xD．fxxsinx

4．（2026·上海黄浦·二模）设函数yfx的定义域为R，则下列结论：①若yfx是奇函数或偶函数，

5/11

2233

且在区间0,上严格增，则对任意的x1,x2R，fx1fx2x1x2或x1x2；②若对任意的x1,x2R，

22

22，则是奇函数或偶函数．其中正确的说法是（）．

x1x2fx1fx2yfx

A．①和②均正确B．①正确，②错误C．①错误，②正确D．①和②均错误

5．（2026·上海·二模）设yfx和ygx是两个不同的函数，且定义域和值域均为R，设

Ma,bfagb,a,bR，则对于以下两个结论，说法正确的是（）

结论①：若当a,bM，恒有a,bM，则函数yfx一定是偶函数；

结论②：若当a,bM，恒有a,bM，则函数ygx可以不是偶函数．

A．①和②都正确B．①正确，②错误C．①错误，②正确D．①和②都错误

6．（2026·上海崇明·二模）下列函数中，在R上为严格增函数的是（）

A．yx2B．yxC．ysinxD．yx3

7．（2026·上海闵行·二模）已知定义在R上的偶函数yfx在0,上是严格减函数，若fx1f1，

则x的取值范围为（）

A．0,2B．2,2C．2,0D．1,1

π

8．（2026·上海金山·二模）函数ycos2x是（）

2

A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数

ππ

C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数

22

9．（2026·上海长宁·二模）下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）

A．yx2B．yx3C．y2xD．ylgx

4

10．（2026·上海静安·二模）函数yx3的大致图象是（）

A．B．

C．D．

二、填空题

x5,x1

11．（2026·上海虹口·三模）设函数fx，当x1时，ffx表达式的二项展开式中x3的

x2,x1

系数是______．

12．（2026·上海黄浦·三模）求函数y2sinx1的定义域________.

13．（2026·上海嘉定·二模）将函数yx2，x[0,1]的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角(0)得到

曲线C．若对于每一个角，曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为______．

14．（2026·上海普陀·二模）已知向量a1,2，b1,1，c3,4，函数yfx的表达式为

x1,x2

fx，设dxfxafx2b，若dx//c，则x______.

2x1,x2

x2x,x0

15．（2026·上海·三模）已知f(x)，则fx6的解集是_______．

f(x),x0

16．（2026·上海·三模）已知函数yfx的定义域为1,2,,9，值域A1,2,3,4,5，且对任意正整数

k1,8，有fk1fk3．则符合条件的函数yfx的个数为______．

17．（2026·上海徐汇·二模）如图为一架农业无人机沿固定航线匀速飞行，并在某时刻向下喷洒农药的示意

图.将种植坡面视为坡角为的平面，航线视为直线，无人机视为航线上的点，无人机在任意时刻喷洒农药

的雾滴形成的形状均为以铅垂线为轴､母线与轴夹角为45的圆锥及其内部.若无人机飞行的海拔高度恒定，

航线与种植坡面平行且距离为3米，假设无人机飞行时农药喷洒不间断且不受风速影响；则飞行过程中会

在种植坡面上形成一条宽为L米的“农药条带”.当015时，L的最大值为__________.（结果精

确到0.01）

7/11

x2,xa

18．（2026·上海静安·二模）设a0，函数fxa2x2,axa，给出下列三个结论：

x1,xa

①yfx在区间a1,上单调递减；

②当a1时，yfx存在最大值；

③设Mx1,fx1x1a，Nx2,fx2x2a，则MN1．

其中所有正确结论的序号是______．

19．（2026·上海普陀·二模）设定义域为R的函数yfx的导函数为yfx，令

2

gxfxxx21，若函数yfx和函数ygx皆为偶函数，则不等式fx2f2x3的

解集为______.

20．（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数yfx的最小正周期为2，当0x1时，fxx，

则当7x8时，fx______．

x

21．（2026·上海杨浦·二模）不等式3log2x3的解集为______.

xxb,x0

22．（2026·上海奉贤·二模）已知函数y是奇函数，则b________．

xbx1,x0

2x

23．（2026·上海·三模）若a为常数，且函数fxlga是奇函数，则a的值为__________．

1x

gx,1xk

24．（2026·上海·三模）定义：若fxx，则称f(x)是函数g(x)的k倍伸缩周期函数．设

kf,xk

k

g(x)sin(πx)，且f(x)是g(x)的2倍伸缩周期函数．若对于任意的x(1,m)，都有f(x)8，则实数m的

最大值为__________

三、解答题

25．（2026·上海·三模）设yfx是定义在D上的函数，若对任何实数0,1以及D中的任意两个实数

x1,x2，恒有fx11x2fx11fx2，则称yfx为C函数．

1

(1)判断函数y，x0,是否为C函数，说明理由；

x

(2)已知m是实数，函数yx2mx,x[1,）是C函数，求m的最大值；

(3)若yfx是定义域为R的C函数，求证：“存在实数k，使得fxkx恒成立”是“存在非零实数T，使

得fxTfxfT恒成立”的充要条件．

2a1gx

26．（2026·上海徐汇·二模）已知函数yfx，其中fx,aR且a0.

agx

(1)设gx2x，写出函数yfx的定义域，并判断是否存在正数a，使得函数yfx为奇函数，说明

理由；

(2)设gxlog2x.若关于x的方程fxgx的解集为单元素集合，求正数a的值.

ππ

27．（2026·上海奉贤·二模）已知函数yfx的表达式为fxsinπx，．

22

31

(1)f0，求f的值；

54

1

(2)若f，f1，f2依次成等比数列，求的值．

2

28．（2026·上海金山·二模）若函数yfx,xD，其值域为A．若AD，则称函数yfx在区间D

上为封闭函数．

2x3

(1)已知fx，判断函数yfx是否在区间2,8上为封闭函数，并说明理由；

x1

(2)已知gxx22x，若函数ygx在区间a,b上不为单调函数，但在区间a,b上为封闭函数，求ba

的最大值；

(3)已知函数yhx在区间a,b上连续且为封闭函数，且对于任意的x、ya,b，都有

hxhyLxy0L1成立．若数列xn满足xn1hxn，n1且nN，证明：存在唯一常数

，使得，且对于任意的，都有limxnc．

ca,bhccx1a,bn

29．（2026·上海·三模）设s,tR，对于定义域为D的函数yfx与ygx，hxsfxtgx，若

函数yhx是区间D上的单调函数，则称yfx与ygx在区间D上满足“性质Ms,t”．

(1)设D2,，fxx2，gxx，若yfx与ygx在区间D上满足“性质M1,t”，求t的取

值范围；

3

(2)设s0，D0,1，fxx，gx．若yfx与ygx在区间D上满足“性质Ms,t”，

2x

t

求的取值范围；

s

(3)设DR，若对任意s、t，函数yfx与ygx在R上都满足“性质Ms,t”．求证：存在不全为零

9/11

的实数A、B，使得函数yAfxBgx为常值函数．

30．（2026·上海长宁·二模）设连续函数yfx定义域为I，区间DI，记函数yfx在区间D上的

最大值为MfD，最小值为mf(D).

x

(1)设fxeax，D1,1，若mfDf0，求实数a的值；

32

(2)设fxx3x，Dt,t2，若MfDmfD4，且1t1，求t的值；

(3)已知f00，f11，且对任意闭区间D0,1，MfD与mf(D)均存在.

求证：“yfx在区间0,1上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间D1、D20,1，当MfD1MfD2，

且mfD1mfD2时，均有D1D2.”

31．（2026·上海杨浦·二模）设函数yfx的定义域为D，值域A1,1.若x1,x2D且满足

fx1fx2fx1x2，则称x1与x2构成“函数yfx的线性对”.

π

(1)若fxcosx，判断与π是否构成函数yfx的线性对，并说明理由；

3

1

(2)若fx2x，D,0.若对