2017-2026上海十年高考数学专项汇编：专题06 解三角形（学生版）

专题06解三角形

10年真题1年模拟

考点分类上海考情（2017-2026）命题规律

基础题核心考查正弦定理边角互化、余

弦定理求边求角、三角形外接圆半径求

2017-2026年连续考查，题型覆盖单选

解，难度较低；近年变化显著：大量结

题、填空题、解答题；2021-2026年年

考点01正弦定理合三角函数性质、平面向量、基本不等

均有解答题，2025、2026年出现压轴

和余弦定理式综合考查，解答题从基础计算转向三

类解答题，2017-2024年以基础填空、

角形面积最值、多知识点融合的压轴题，

单选为主

2025年起压轴题占比大幅提升，对综合

推理与计算能力要求显著提高

基础题考查方位角、距离测量类实际场

景的解三角形应用；核心变化为2022

2022、2024年有高考真题考查，题型

年创新结合矩形几何图形、切线性质、

考点02解三角形为填空题、解答题；2022年出现2问

函数最值综合考查，2024年新增空间方

的实际应用解答题，2024年考查填空压轴题，2026

位类实际场景，2026年模拟题延伸至球

年模拟题大量出现实际场景建模题

面三角、圆锥几何等拓展场景，对数学

建模与综合应用能力要求大幅提升

考点01正弦定理和余弦定理

ππ

1．（2024·上海·高考真题）三角形ABC中，BC2,A,B，则AB______

34

2．（2023·上海·高考真题）在ABC中，已知a4，b5，c6，则sinA__________．

3．（2022·上海·高考真题）在ABC中，A，AB2，AC3，则ABC的外接圆半径为________

3

△1△

4．（2019·上海·高考真题）在ΔABC中，AC3,3sinA2sinB，且cosC，则AB____________

4

5．（2025·上海·高考真题）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c5．

asinBπ

(1)若,C，求a；

4bsinA2

1/7

(2)若ab20，求ABC的面积的最大值．

6．（2023·上海·高考真题）在ABC中，内角A、B、C所对的边为a、b、c，其中b2

(1)若AC60，且a2c，求边长c的值；

(2)若AC30，a2csinA，求SABC.

7．（2022·上海·高考真题）在如图所示的五边形中，ADBC6，AB20，O为AB中点，曲线CMD上

任一点到O距离相等，角DABABC120，P，Q关于OM对称；

(1)若点P与点C重合，求POB的大小；

(2)求五边形MQABP面积S的最大值，

1

8．（2021·上海·高考真题）已知A、B、C为ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a2,cosC﹒

4

(1)若sinA2sinB，求b、c；

4

(2)若cos(A)，求c．

45

22

xy222

9．（2020·上海·高考真题）双曲线C:1，圆C2:xy4b(b0)在第一象限交点为AxA,yA，

14b2

x2y2

1,xx

曲线4b2A.

222

xy4b,xxA

（1）若xA6，求b；

（2）若b5，C2与x轴交点记为F1,F2，P是曲线上一点且在第一象限，并满足PF18，求∠F1PF2；

b2b

（3）过点S0,2且斜率为的直线l交曲线于M、N两点，用b的代数式表示OMON，并求出

22

OMON的取值范围.

1

10．（2017·上海·高考真题）设fxcos2xsin2x，x0,π.

2

(1)求函数yfx的单调增区间；

(2)设ABC为锐角三角形，角A所对的边a19，角B所对的边b5.若fA0，求ABC的面积.

考点02解三角形的实际应用

1．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，BCCD,存在点A满足

BAC16.5,DAC37，则BCA______(精确到0.1度)

2．（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA

为半径划定圆D作为保护区域，已知AB30m，AD15m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，

满足EF与圆D相切.

(1)若∠ADE20，求EF的长；

(2)当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？

（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²）

3/7

一、单选题

1．（2026·上海黄浦·三模）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，

A,B,C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设Oa表示以O为圆心，且过B,C的圆，同理，圆Ob，Oc的

劣弧AC,AB的弧长分别记为b,c，曲面ABC（阴影部分）叫做曲面三角形，abc，则称其为曲面等边

三角形，线段OA,OB,OC与曲面ABC围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面OABC.设BOC，

AOC，AOB，则下列结论正确的个数是（）

3

①若平面ABC是面积为R2的等边三角形，则abcR

4

②若a2b2c2，则222

π2

③若abcR，则球面OABC的体积VR3

312

π

④若平面ABC为直角三角形，且ACB，则a2b2c2

2

A．1B．2C．3D．4

1

2．（2026·上海·三模）设抛物线C:x24y的焦点为F，斜率为的直线与抛物线交于A,B两点，若

2

AFBF7，则cosAFB的值为（）

437

A．0B．C．D．

524

3．（2026·上海黄浦·三模）ABC中，AC2，AB2，A45，P是ABC外接圆上一点，APABAC，

则的最大值是（）

21213232

A．B．C．D．

2222

二、填空题

23

4．（2026·上海·三模）在ABC中，a2，c，A120,ABC的面积为___________

3

1

5．（2026·上海虹口·三模）在ABC中，若ABsinCACsinB，BC在BA上的投影向量为BA，则

2

cosA_____________．

6．（2026·上海黄浦·三模）在ABC中，A30，BC2，则BA在BC上的数量投影的取值范围为________．

7．（2026·上海·三模）如图，AC为圆锥底面圆O的直径，AC4,SO2,M为AC的中点，点B是圆O上

的动点（点M，B在直径AC同侧），当△SBC的面积最大时，点B到平面SMC距离为______．

8．（2026·上海·二模）某种健身拉力器的手臂固定支架为BE，需运动者将肩关节放置于点B处，手肘放置

于点D处，手掌放置于点E处握拳握住弹力绳的一端，弹力绳的另一端连接于点C处；保持B、D、E、C

四点共线．将小臂视为线段DE，长度为r，大臂视为线段BD，长度为1.3r．在锻炼时要求保持肩关节B和

手肘D不动，运用大臂力量将小臂DE绕着手肘D作圆周运动，始终与BC处于同一平面，弹力绳随之以

紧绷状态从CE拉伸至CA．已知某位运动者健身时CE0.1r，当弹力绳拉至最长时，ABC3ACB，则

此时ACB________度．（结果精确到0.1度）

9．（2026·上海长宁·二模）如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为50cm，宽均为10cm.点A、

B、C、D在同一条直线上，点F在边BE上，点I在边GH上，测得B、C两点间距离为10cm.为了使

BFCHID，则C、D两点间距离为_________cm.（精确到0.1cm）

7

10．（2026·上海·二模）在ABC中，AB1，BC2，BACA，则cosABC________．

5

11．（2026·上海崇明·二模）在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c．若A45，C30，c2，

则a________．

12．（2026·上海奉贤·二模）如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分

别为29.3，38.2，25.1．计划沿直线AC开通穿山隧道，为了求出隧道DE的长度，还测得

AD277米，BE49米，BC320米，则根据以上数据，隧道DE的长度约为________米．（结果精确

5/7

到1米）

13．（2026·上海金山·二模）已知在ABC中，AB2,AC3,BAC60．若点O为ABC外接圆的圆心，

则BCBO__________．

14．（2026·上海黄浦·三模）如图，ABC的顶点C平面，点A,B在平面的同一侧，且AC22,BC2.

若AC,BC与平面所成的角分别为,，则ABC的面积的取值范围为______.

34

15．（2026·上海·三模）如图，要在A和D两地之间修建一条笔直的隧道．现从B地和C地测量得：

DBC24.2，DCB35.4，CBA55.8，BCA52.9．若B、C的直线距离为5.8公里，则隧道AD

长为____________公里．（结果精确到0.1公里）

三、解答题

1

16．（2026·上海·三模）已知三角形ABC的角A，B，C所对的边为a，b，c，且b2，bccosBa，

2

延长BC到点D．

(1)若CD3，求AD的长；

(2)若B2D，3BC4CD，求AD的长．

17．（2026·上海·三模）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．

1

(1)若a、b、c成等比数列，求证：cosB；

2

(2)若A、