计算机控制系统 课件 第03章 计算机控制系统数学描述

第3章

计算机控制系统数学描述

引言

3.1差分描述3.1.2差分方程微分方程是描述连续系统的方程，差分方程是描述离散系统的方程。现研究图3-1所示系统。其中，图3-1a是一连续系统，它可以用下述微分方程描述：3.1差分描述图3-1离散系统的差分表示

3.1差分描述图3-1离散系统的差分表示

3.1差分描述

3.1差分描述

3.1差分描述

表3-1常用函数z变换

续表3-1常用函数z变换

例3-12利用复域微分定理求

的z变换。解：由于

，于是得例3-13利用复域微分定理求单位加速度

的z变换。解：根据复域微分定理，有再结合单位速度函数z变换结果，有联立上述两式，并整理可得

例3-14试用级数展开法求

z

变换的反变换：解：

由此可得

则对该例，从相关系数中可以归纳得

3.3离散时间系统图3-2离散系统

3.3离散时间系统图3-2离散系统D的参数不随时间变化，即系统D的响应不取决于输入作用的时刻，则系统是常系数的，即定常系统，输入输出的关系为大部分实际系统随时间的增长，其参数都是要发生变化的。如果在系统运行期间，参数变化超过了一定范围，则认为系统是时变系统；如果参数变化范围很小，可以忽略不计，则仍认为是线性常系数系统。线性常系数离散控制系统一般采用差分方程来描述。在图3-2中，系统在某一时刻k的输出不仅取决于本时刻的输入，还与过去时刻的输入数值序列有关，而且还与该时刻以前的输出值有关3.3离散时间系统图3-2离散系统

3.3离散时间系统3.3.2z域描述—离散时间系统的脉冲传递函数1.脉冲传递函数的定义线性离散控制系统中，在零初始条件下，一个系统（或环节）输出脉冲序列的z变换与输入脉冲序列的z变换之比，定义为该系统（或环节）的脉冲传递函数，用公式表示为应当指出，无论是连续系统还是离散系统，都是在零初始条件下的，同时脉冲传递函数也仅取决于系统本身的特性，与输入量无关。3.3离散时间系统

3.3离散时间系统图3-3脉冲传递函数框图

3.3离散时间系统图3-4脉冲响应如在0≤t<T时间间隔内，作用于W(s)的输入脉冲为x(0T)，则W(s)的输出响应为式中，g(t)是系统（或环节）的单位脉冲响应，满足在T≤t<2T时间间隔内，有两个输入脉冲作用于系统：一个是t=0时的x(0T)，它产生的脉冲响应依然存在；另一个是t=T时的x(T)。所以，在此区间的脉冲响应为式中：所以，当系统（或环节）的输入为一系列脉冲时，输出应为各个脉冲响应之和。这样，在kT≤t<(k+1)T时间间隔内，输出响应为式中：3.3离散时间系统

3.3离散时间系统(2)由拉普拉斯变换求出W(z)由图3-3得对等式两边取脉冲采样函数的拉普拉斯变换，由2.2.3节采样信号的频域分析可知，采样信号的频谱为

于是可以得到

所以用z变换式表示为因此，若已知系统（或环节）的拉普拉斯变换式W(s)，即已知连续系统的传递函数模型，则可以直接应用z变换进行离散系统模型W(z)的推导，W(z)=Z[W(s)]，所应用的方法有z变换的部分分式法和留数计算法。3.3离散时间系统（3）由差分方程求出脉冲传递函数W(z)设线性离散控制系统用下列差分方程来描述：在零初始条件下，对上式两边取z变换得所以该离散系统的脉冲传递函数为在处理实际系统时，若给出了系统或环节的差分方程，则可用式（3-32）求其对应的脉冲传递函数。3.3离散时间系统

3.4框图图3-5串联环节间有采样开关对于图3-6所示环节间没有采样开关的情况,根据脉冲传递函数定义，得可以看出,中间没有采样开关时,其总的传递函数等于各环节传递函数相乘后再取z变换。3.4框图图3-6串联环节间没有采样开关

3.4框图2.并联环节的脉冲传递函数对于图3-7a与图3-7b所示的两种情况，根据叠加原理，有上述各环节串联和并联的连接形式，并没有构成闭环的反馈连接形式，因此所得到的系统输出信号Y(z)与输入信号R(z)之间的脉冲传递函数W(z)统称为开环传递函数。3.4框图图3-7两个环节并联

3.4框图图3-8误差离散系统框图

3.4框图图3-8误差离散系统框图2）图3-9所示为具有数字校正装置的闭环离散系统，在该系统的正向通道中，有脉冲传递函数为D(z)的数字校正装置，可由计算机软件来实现，其作用与连续系统中的串联校正装置相同。输出信号的拉普拉斯变换为式中，D*(s)是D(z)的z反变换。则Y(s)的z变换为又因误差信号的拉普拉斯变换为3.4框图图3-9带有数字校正的离散系统框图

3.4框图图3-9带有数字校正的离散系统框图3）图3-10所示为扰动输入时的离散系统，该系统连续部分的扰动输入信号N(s)对输出量的影响是衡量系统性能的一个重要指标。分析方法与连续系统一样，在求输出对扰动的脉冲传递函数时，认为输入量r(t)=0，即R(s)=0。为了求输出与扰动之间的关系，首先将图3-10变换为图3-11，由图3-11得到输出信号的拉普拉斯变换为3.4框图图3-10扰动输入时的离散系统框图图3-11扰动输入时的等效框图

3.4框图图3-11扰动输入时的等效框图3.4框图表3-2几种常见采样系统的z变换几种常见采样系统的框图,以及它们的脉冲传递函数、输出量的z变换列于表3-2中,其中第3、4、6行的框图,因为输入信号没有经过采样,所以只能得到输出量的

z

变换,而不能定义脉冲传递函数。1.数字部分的脉冲传递函数计算机内的控制算法，通常以差分方程表示。图3-12所示的计算机控制系统，输入计算机的为离散的误差信号E(z)，输出计算机的为离散的控制信号U(z)，表示成差分方程为或写成递推形式：3.5典型计算机控制系统的脉冲传递函数图3-12计算机控制系统框图控制算法的差分方程式（3-42）通过在初始值为零的条件下进行z变换，得到的数字部分的脉冲传递函数如下：在z域中设计的计算机控制系统控制算法（或数字控制器）通常都是以z传递函数的形式给出的，编写计算机程序时，可将设计好的z传递函数形式的控制算法化为相应的差分方程式（3-42），进而导出控制信号u(k)的递推计算式（3-43）并进行程序编写。3.5典型计算机控制系统的脉冲传递函数

3.5典型计算机控制系统的脉冲传递函数

3.5典型计算机控制系统的脉冲传递函数3.6.1云台电动机广义脉冲传递函数云台电机用于驱动云台水平、垂直转动，实现摄像大范围监控与目标跟踪，应用于相机、无人机、机器人等领域。MS4005云台电机采用电驱一体高度集成方案，内置无刷电机、协议转换、驱动、编码器及通信接口。理论与实验表明：电枢电感较小时可忽略，电机本体等效为典型二阶系统，传递函数见式（3-49）。分别计算采样周期T=0.01s，0.1s，0.5s时的广义被控对象脉冲传递函数，并对比单位阶跃输入下的系统输出。解：广义被控对象脉冲传递函数为采样周期T=0.01s，0.1s，0.5s时的广义被控对象脉冲传递函数如表3-3所示，系统输出如图3-13所示。可以看出，当采样周期T=0.01s时，离散输出与连续输出最为接近，即采样周期越小，离散系统越接近连续系统。3.6实例仿真3.6实例仿真表3-3不同采样周期下广义被控对象脉冲传递函数（云台电动机）图3-13给定输入u=1的系统输出响应（云台电动机）3.6.2电阻炉广义脉冲传递函数电阻炉温计算机控制系统的结构图如图3-14所示。炉温计算机控制系统工作过程如下：电阻炉温度这一物理量经过热电偶检测后，变成电信号（毫伏级），再经变送器变成标准信号（1～5V或4～20mA）从现场进入控制室；经A/D转换器采样后变成数字信号进入计算机，与计算机内部的给定温度比较，得到偏差信号，该信号经过计算机内部的应用软件，即控制算法运算后得到一个控制信号的数字量，再经由D/A转换器将该数字量控制信号转换成模拟量；3.6实例仿真图3-14炉温计算机控制系统模拟量控制信号作用于执行机构触发器，进而控制双向晶闸管对交流电压（220V）进行PWM调制，达到控制加热电阻两端电压的目的；