2025-2026年重庆市北师大版高中数学高二年级上册第7章综合测试卷

2025-2026年重庆市北师大版高中数学高二年级上册第7章综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在直角坐标系中，若点A（1，2）和点B（3，a）关于直线y=x对称，则实数a的值为（）A.1B.2C.3D.42.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.2C.3D.43.若函数g(x)=√(x^2+px+q)的定义域为（-∞，-1）∪（3，+∞），则实数p、q的取值范围分别为（）A.p>4，q>4B.p<-4，q<-4C.p=4，q=4D.p=-4，q=-44.不等式|x-2|>3的解集为（）A.（-∞，-1）∪（5，+∞）B.（-∞，-1）C.（5，+∞）D.R5.若函数h(x)=x^3-3x+1在区间（-2，2）上的最大值与最小值分别为M、m，则M-m的值为（）A.4B.8C.12D.166.已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图像开口向上，且顶点在直线y=-x上，则b与ac的关系为（）A.b>acB.b<acC.b=acD.b≤ac7.若函数F(x)=f(x)-x在（-∞，+∞）上单调递增，且f(0)=1，则f(x)的图像一定经过点（）A.（1，1）B.（0，1）C.（-1，1）D.（1，0）8.已知函数f(x)=√(x^2+px+q)在x=1时取得最小值，且f(0)=3，则f(2)的值为（）A.3B.4C.5D.69.若函数g(x)=x^2-2ax+a^2-1在区间（-∞，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A.a≤0B.a≥2C.0≤a≤2D.a∈∅10.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则关于x的不等式f(x)<5的解集为（）A.（-4，3）B.（-3，4）C.（-4，4）D.（-3，3）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=|x-a|在区间[1，3]上的最小值为1，则实数a的取值范围是________。2.不等式|x+1|<2的解集为________。3.函数g(x)=x^3-3x+1在x=1处的切线方程为________。4.若函数h(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图像经过点（1，0），且对称轴为x=-1，则b/a的值为________。5.已知函数F(x)=f(x)-x在（-∞，+∞）上单调递增，且f(0)=2，则f(1)________f(2)（填“>”“<”或“=”）。6.若函数f(x)=√(x^2+px+q)在x=2时取得最小值，且f(0)=5，则p+q的值为________。7.函数g(x)=x^2-2ax+a^2-1在区间（-∞，2）上单调递减，则实数a的取值范围是________。8.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则关于x的不等式f(x)≥4的解集为________。9.若函数h(x)=x^3-px+1在x=1处取得极值，则实数p的值为________。10.函数F(x)=f(x)-x在（-∞，+∞）上单调递增，且f(x)为偶函数，则f(0)________0（填“>”“<”或“=”）。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=|x-a|在区间[1，3]上的最小值为1，则实数a一定在区间[1，3]内。2.不等式|x-2|>1的解集为（-∞，1）∪（3，+∞）。3.函数g(x)=x^3-3x+1在x=1处的切线斜率为0。4.若函数h(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图像经过点（1，0），且对称轴为x=-1，则a+b+c=0。5.已知函数F(x)=f(x)-x在（-∞，+∞）上单调递增，则f(x)的图像一定在y=x的上方。6.若函数f(x)=√(x^2+px+q)在x=1时取得最小值，则p=2，q=1。7.函数g(x)=x^2-2ax+a^2-1在区间（-∞，a）上单调递减。8.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则关于x的不等式f(x)<5的解集为（-4，3）。9.若函数h(x)=x^3-px+1在x=1处取得极值，则p=3。10.函数F(x)=f(x)-x在（-∞，+∞）上单调递增，且f(x)为奇函数，则f(0)=0。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3，3]上的最大值和最小值。2.解不等式|x+1|<|x-2|。3.求函数g(x)=x^3-3x+1在区间[-2，2]上的最大值和最小值。4.若函数h(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图像经过点（1，0），且对称轴为x=-1，求a、b、c的关系式。5.已知函数F(x)=f(x)-x在（-∞，+∞）上单调递增，且f(x)为偶函数，求证f(x)的图像关于y轴对称。6.若函数f(x)=√(x^2+px+q)在x=2时取得最小值，且f(0)=5，求p、q的值。7.求函数g(x)=x^2-2ax+a^2-1在区间（-∞，1）上的单调区间。8.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求关于x的不等式f(x)≥5的解集。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每生产一件产品需成本10元，售价为每件20元。若生产量为x件，求该工厂的利润函数表达式，并求生产多少件产品时利润最大。2.某城市出租车的计费标准为：起步价10元（含3公里），之后每公里2元。若某乘客乘坐出租车行驶了x公里（x>3），求该乘客需要支付的车费函数表达式。3.某物体做自由落体运动，初始速度为0，加速度为9.8m/s^2。求该物体在t秒内下落的距离函数表达式，并求物体下落5秒时的速度。4.某商场促销活动规定：购买商品满200元打8折，不满200元不打折。若某顾客购买商品花费了x元（x>200），求该顾客实际需要支付的金额函数表达式。5.某公司投资一个项目，初始投资为100万元，预计年收益率为10%。求该项目的投资收益函数表达式，并求投资5年后的收益。6.某学校组织学生参加植树活动，计划在一条直线道路上植树，每隔10米植一棵树。若道路长度为x米（x>0），求需要植树的数量函数表达式。7.某城市自来水公司收费标准为：每月用水量不超过10吨时，每吨水价2元；超过10吨时，超过部分每吨水价3元。若某用户每月用水量为x吨（x>10），求该用户每月需要支付的水费函数表达式。8.某旅行社推出旅游套餐，基础套餐费用为2000元，若选择额外服务，每项服务费用为500元。若某游客选择了n项额外服务，求该游客需要支付的总费用函数表达式。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C解析：点A（1，2）关于直线y=x对称的点为（2，1），即（3，a）=（2，1），故a=2。2.C解析：函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像由三条直线段组成，分别在x=-2、x=1处转折。当x∈[-2，1]时，f(x)取得最小值3。3.D解析：函数g(x)=√(x^2+px+q)的定义域为（-∞，-1）∪（3，+∞），则x^2+px+q＜0的根为-1和3，由韦达定理得p=-4，q=-3。4.A解析：不等式|x-2|>3等价于x-2>3或x-2<-3，解得x>5或x<-1。5.B解析：函数h(x)=x^3-3x+1的导数为h'(x)=3x^2-3，令h'(x)=0得x=±1。计算h(-2)=10，h(-1)=1，h(1)=-1，h(2)=0，故M=10，m=-1，M-m=11。6.A解析：函数f(x)=ax^2+bx+c的顶点为（-b/2a，-Δ/4a），由题意得-b/2a=-(-1)，即b=2a，又a>0，故b>ac。7.B解析：函数F(x)=f(x)-x在（-∞，+∞）上单调递增，则f'(x)-1≥0，即f'(x)≥1，故f(0)=1时，f(x)的图像经过点（0，1）。8.C解析：函数f(x)=√(x^2+px+q)在x=1时取得最小值，则x^2+px+q在x=1时取得最小值，且f(0)=3，解得p=-4，q=5，故f(2)=√(4-8+5)=√1=1。9.B解析：函数g(x)=x^2-2ax+a^2-1在区间（-∞，1）上单调递减，则对称轴x=a≥1。10.A解析：函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像由三条直线段组成，分别在x=-2、x=1处转折。当x∈[-2，1]时，f(x)取得最小值3，故f(x)<5的解集为（-4，3）。二、填空题1.a∈[1，3]解析：函数f(x)=|x-a|在区间[1，3]上的最小值为1，则a=1或a=3。2.（-3，1）解析：不等式|x+1|<2等价于-2<x+1<2，解得x∈（-3，1）。3.y=-2x+4解析：函数g(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数为g'(x)=3x^2-3，g'(1)=0，g(1)=-1，故切线方程为y=-2x+4。4.-2解析：函数h(x)=ax^2+bx+c的对称轴为x=-1，则-1=-b/2a，又h(1)=0，解得b=-2a。5.>解析：函数F(x)=f(x)-x在（-∞，+∞）上单调递增，且f(0)=2，则f(1)>f(0)=2，f(2)>f(0)=2，故f(1)>f(2)。6.-3解析：函数f(x)=√(x^2+px+q)在x=2时取得最小值，则x^2+px+q在x=2时取得最小值，且f(0)=5，解得p=-4，q=5，故p+q=-3。7.a≥2解析：函数g(x)=x^2-2ax+a^2-1在区间（-∞，2）上单调递减，则对称轴x=a≥2。8.（-∞，-4）∪（3，+∞）解析：函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像由三条直线段组成，分别在x=-2、x=1处转折。当x∈[-2，1]时，f(x)取得最小值3，故f(x)≥4的解集为（-∞，-4）∪（3，+∞）。9.2解析：函数h(x)=x^3-px+1在x=1处取得极值，则h'(1)=3-1-p=0，解得p=2。10.=解析：函数F(x)=f(x)-x在（-∞，+∞）上单调递增，且f(x)为偶函数，则f'(x)≥1，且f(-x)=f(x)，故f(0)=0。三、判断题1.×解析：实数a可以在区间[1，3]内，也可以在区间[1，3]外，例如a=0时，f(x)=|x|在区间[1，3]上的最小值为1。2.√解析：不等式|x-2|>1等价于x-2>1或x-2<-1，解得x>3或x<1。3.×解析：函数g(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数为g'(x)=3x^2-3，g'(1)=0，故切线斜率为0。4.√解析：函数h(x)=ax^2+bx+c的对称轴为x=-1，则-1=-b/2a，又h(1)=0，解得a+b+c=0。5.×解析：函数F(x)=f(x)-x在（-∞，+∞）上单调递增，则f(x)的图像可以在y=x的上方，也可以在y=x的下方，例如f(x)=x+1。6.×解析：函数f(x)=√(x^2+px+q)在x=1时取得最小值，则x^2+px+q在x=1时取得最小值，且f(0)=5，解得p=-4，q=5。7.√解析：函数g(x)=x^2-2ax+a^2-1在区间（-∞，a）上单调递减，因为对称轴为x=a。8.√解析：函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像由三条直线段组成，分别在x=-2、x=1处转折。当x∈[-2，1]时，f(x)取得最小值3，故f(x)<5的解集为（-4，3）。9.×解析：函数h(x)=x^3-px+1在x=1处取得极值，则h'(1)=3-1-p=0，解得p=2。10.√解析：函数F(x)=f(x)-x在（-∞，+∞）上单调递增，且f(x)为奇函数，则f'(x)≥1，且f(-x)=-f(x)，故f(0)=0。四、简答题1.最大值5，最小值3解析：函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像由三条直线段组成，分别在x=-2、x=1处转折。当x∈[-2，1]时，f(x)取得最小值3；当x∈（-∞，-2）∪（1，+∞）时，f(x)取得最大值5。2.（-3，2）解析：不等式|x+1|<|x-2|等价于(x+1)^2<(x-2)^2，解得x∈（-3，2）。3.最大值3，最小值-1解析：函数g(x)=x^3-3x+1的导数为g'(x)=3x^2-3，令g'(x)=0得x=±1。计算g(-2)=-1，g(-1)=1，g(1)=-1，g(2)=3，故最大值3，最小值-1。4.a+b+c=0解析：函数h(x)=ax^2+bx+c的对称轴为x=-1，则-1=-b/2a，又h(1)=0，解得a+b+c=0。5.证明：由f(x)为偶函数，得f(-x)=f(x)，则F(-x)=f(-x)-(-x)=f(x)+x=F(x)，故F(x)为偶函数，其图像关于y轴对称。6.p=-4，q=5解析：函数f(x)=√(x^2+px+q)在x=2时取得最小值，则x^2+px+q在x=2时取得最小值，且f(0)=5，解得p=-4，q=5。7.单调递减区间（-∞，1），单调递增区间（1，+∞）解析：函数g(x)=x^2-2ax+a^2-1的导数为g'(x)=2x-2a，令g'(x)=0得x=a。当x∈（-∞，a）时，g'(x)<0，函数单调递减；当x∈（a，+∞）时，g'(x)>0，函数单调递增。8.解集（-∞，-4）∪（3，+∞）解析：函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像由三条直线段组成，分别在x=-2、x=1处转折。当x∈[-2，1]时，f(x)取得最小值3，故f(x)≥5的解集为（-∞，-4）∪（3，+∞）。五、应用题1.利润函数L(x)=10x-10x-100=10x-100，生产20件产品时利润最大。解析：利润函数L(x)=售