【2024考研】全国统考数学一冲刺试卷（重难点专项突破）

【2024考研】全国统考数学一冲刺试卷（重难点专项突破）1.设函数$f(x)$在$(a,b)$内连续，在$(a,b)$内除$x_0$点外可导，且$\lim\limits_{x\tox_0}f'(x)$存在，则下列结论正确的是（）A.$f(x)$在$(a,b)$内可导B.$f(x)$在$(a,b)$内除$x_0$点外可导，且$\lim\limits_{x\tox_0}f'(x)=f'(x_0)$C.若$f(x)$在$x_0$点可导，则$f(x)$在$(a,b)$内可导D.若$f(x)$在$x_0$点连续，则$f(x)$在$(a,b)$内可导2.设函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$，则$f'(x_0)$（$x_0\neq0$）的值为（）A.$\sin(x_0^2)$B.$2x_0\sin(x_0^2)$C.$x_0\sin(x_0^2)$D.$2x_0^2\cos(x_0^2)$3.设函数$y=2^x\lnx$，则$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1}$的值为（）A.$2\ln2$B.$2\ln2+1$C.$2\ln2-1$D.$2\ln2+2$4.设函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$，则$f(x)$的极值点为（）A.$x=1$B.$x=e$C.$x=2$D.$x=3$5.设函数$y=xe^{-x}$，则$\left.\frac{d^2y}{dx^2}\right|_{x=1}$的值为（）A.$e^{-1}$B.$-e^{-1}$C.$2e^{-1}$D.$-2e^{-1}$6.设函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$，则$f'(x)$的表达式为（）A.$\sin(x^2)$B.$2x\sin(x^2)$C.$x\sin(x^2)$D.$2x^2\cos(x^2)$7.设函数$y=\ln(1+x^2)$，则$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1}$的值为（）A.$1$B.$2$C.$0$D.$-1$8.设函数$f(x)=x^3-3x^2+2$，则$f(x)$的拐点为（）A.$(1,0)$B.$(2,0)$C.$(1,1)$D.$(2,1)$9.设函数$y=xe^{-x}$，则$\left.\frac{d^2y}{dx^2}\right|_{x=2}$的值为（）A.$e^{-2}$B.$-e^{-2}$C.$2e^{-2}$D.$-2e^{-2}$10.设函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$，则$f(x)$的渐近线为（）A.$y=0$B.$y=1$C.$y=x$D.$y=-x$1.设函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$，则$f'(x)$的表达式为________。2.设函数$y=2^x\lnx$，则$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1}$的值为________。3.设函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$，则$f(x)$的极值点为________。4.设函数$y=xe^{-x}$，则$\left.\frac{d^2y}{dx^2}\right|_{x=1}$的值为________。5.设函数$y=\ln(1+x^2)$，则$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1}$的值为________。6.设函数$f(x)=x^3-3x^2+2$，则$f(x)$的拐点为________。1.（10分）设函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$，求$f'(x)$的表达式。2.（10分）设函数$y=2^x\lnx$，求$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1}$的值。3.（10分）设函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$，求$f(x)$的极值点。4.（10分）设函数$y=xe^{-x}$，求$\left.\frac{d^2y}{dx^2}\right|_{x=1}$的值。5.（10分）设函数$y=\ln(1+x^2)$，求$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1}$的值。6.（10分）设函数$f(x)=x^3-3x^2+2$，求$f(x)$的拐点。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B解析：根据题意，$f(x)$在$(a,b)$内除$x_0$点外可导，且$\lim\limits_{x\tox_0}f'(x)$存在，根据可导与连续的关系，若$f(x)$在$x_0$点连续，则$f(x)$在$x_0$点可导，因此$f(x)$在$(a,b)$内可导。故选B。2.A解析：根据微积分基本定理，$f'(x)=\sin(x^2)$，因此$f'(x_0)=\sin(x_0^2)$。故选A。3.A解析：$y=2^x\lnx$，则$\frac{dy}{dx}=2^x\lnx+\frac{2^x}{x}$，代入$x=1$，得$\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=1}=2\ln2$。故选A。4.B解析：$f(x)=\frac{\lnx}{x}$，则$f'(x)=\frac{1-\lnx}{x^2}$，令$f'(x)=0$，得$x=e$，且当$x<e$时$f'(x)>0$，当$x>e$时$f'(x)<0$，因此$x=e$为极大值点。故选B。5.D解析：$y=xe^{-x}$，则$\frac{dy}{dx}=e^{-x}-xe^{-x}$，$\frac{d^2y}{dx^2}=-2e^{-x}+xe^{-x}$，代入$x=1$，得$\frac{d^2y}{dx^2}\bigg|_{x=1}=-2e^{-1}+e^{-1}=-e^{-1}$。故选D。6.A解析：根据微积分基本定理，$f'(x)=\sin(x^2)$。故选A。7.B解析：$y=\ln(1+x^2)$，则$\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{1+x^2}$，代入$x=1$，得$\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=1}=2$。故选B。8.A解析：$f(x)=x^3-3x^2+2$，则$f'(x)=3x^2-6x$，$f''(x)=6x-6$，令$f''(x)=0$，得$x=1$，且当$x<1$时$f''(x)<0$，当$x>1$时$f''(x)>0$，因此$(1,0)$为拐点。故选A。9.D解析：$y=xe^{-x}$，则$\frac{dy}{dx}=e^{-x}-xe^{-x}$，$\frac{d^2y}{dx^2}=-2e^{-x}+xe^{-x}$，代入$x=2$，得$\frac{d^2y}{dx^2}\bigg|_{x=2}=-2e^{-2}+2e^{-2}=-2e^{-2}$。故选D。10.A解析：$f(x)=\frac{\lnx}{x}$，则当$x\to0^+$时$f(x)\to-\infty$，当$x\to+\infty$时$f(x)\to0$，因此$y=0$为水平渐近线。故选A。二、填空题1.$\sin(x^2)$解析：根据微积分基本定理，$f'(x)=\sin(x^2)$。2.$2\ln2$解析：$y=2^x\lnx$，则$\frac{dy}{dx}=2^x\lnx+\frac{2^x}{x}$，代入$x=1$，得$\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=1}=2\ln2$。3.$e$解析：$f(x)=\frac{\lnx}{x}$，则$f'(x)=\frac{1-\lnx}{x^2}$，令$f'(x)=0$，得$x=e$，且当$x<e$时$f'(x)>0$，当$x>e$时$f'(x)<0$，因此$x=e$为极大值点。4.$-e^{-1}$解析：$y=xe^{-x}$，则$\frac{dy}{dx}=e^{-x}-xe^{-x}$，$\frac{d^2y}{dx^2}=-2e^{-x}+xe^{-x}$，代入$x=1$，得$\frac{d^2y}{dx^2}\bigg|_{x=1}=-2e^{-1}+e^{-1}=-e^{-1}$。5.$2$解析：$y=\ln(1+x^2)$，则$\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{1+x^2}$，代入$x=1$，得$\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=1}=2$。6.$(1,0)$解析：$f(x)=x^3-3x^2+2$，则$f'(x)=3x^2-6x$，$f''(x)=6x-6$，令$f''(x)=0$，得$x=1$，且当$x<1$时$f''(x)<0$，当$x>1$时$f''(x)>0$，因此$(1,0)$为拐点。三、解答题1.解：$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$，根据微积分基本定理，$f'(x)=\sin(x^2)$。2.解：$y=2^x\lnx$，则$\frac{dy}{dx}=2^x\lnx+\frac{2^x}{x}$，代入$x=1$，得$\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=1}=2\ln2$。3.解：$f(x)=\frac{\lnx}{x}$，则$f'(x)=\frac{1-\lnx}{x^2}$，令$f'(x)=0$，得$x=e$，且当$x<e$时$f'(x)>0$，当$x>e$时$f'(x)<0$，因此$x=e$为极大值点。4.解：$y=xe^{-x}$，则$\frac{dy}{dx}=e^{-x}-xe^{-x}$，$\frac{d^2y}{dx^2}=-2e^{-x}+xe^{-x}$，代入$x=1$，得$\frac{d^2y}{dx^2}\bigg|_{x=1}=-2e^{-1}+e