2027版中考数学难题速递：推理与论证、轨迹

2027年中考数学复习难题速递之推理与论证、轨迹（2026年7月）

一．选择题（共4小题）

1．如图，已知圆心O及圆上四点A、B、C、D，若这5个点各用一个1～10之间不同的数字代表．当A、

O、C三点数字和等于9，B、O、D三点数字和等于11，A、B、C三点数字和等于8，B、C、D三点数

字和等于13，C、D、A三点数字和等于12时，则O、A、B、C、D从小到大排序为（）

A．A＜B＜O＜D＜CB．B＜A＜O＜C＜DC．B＜A＜C＜O＜DD．A＜B＜O＜C＜D

2．如图，一只蚂蚁沿着棱长为3的正方体表面从点A出发，经过3个面爬行到点B，则它运动的最短路

径的长为（）

A．B．C．D．9

3．在狼3人1杀0游戏中，有一个板9子2叫做“灯影预言家3”，5规则如下：好人阵营有“真预言家”和“灯影预

言家”两名预言家，但两人均不知道自己是否是灯影，两人每晚可查验一名玩家：1．真预言家若查验

到好人，则显示为好人，若查验到狼人，则显示是狼人；2．灯影预言家若查验到狼人，则显示为好人，

若查验到好人，则显示是狼人．现在有12人玩游戏，4个狼人，1个预言家，1个灯影预言家，1个女

巫，1个守卫，1个骑士，3个平民．第一天白天时，1号起跳预言家报明4号为好人，4号起跳报1号

好人，5号起跳报1号狼人，8号起跳报4号狼人，若没有好人假跳预言家，则这4个人中是狼人的组

合可能是（）

A．1号和4号B．4号和5号C．1号和5号D．5号和8号

4．古希腊著名的约瑟夫环问题讲的是：共有127个士兵，围成一个环，从一号位的士兵开始，每个存活

下来的人依次杀死相邻的下一位士兵．若一名叫做约瑟夫的士兵想要存活到最后，那么他最开始应当站

在几号位上？（）

第1页（共22页）

A．1B．63C．127D．31

二．填空题（共10小题）

5．数学课上，老师在一副扑克牌中随机抽取了5张牌，分别记为A、B、C、D、E，牌面上的数字均为1～

13之间的正整数．已知相邻两张牌上的数字之和如下表所示，则数字第二大的牌是．（填字

母）

牌A+BB+CC+DD+EE+A

数字之和138151012

6．桌上有6张正面向上的扑克牌，每次翻动其中任意4张（包括已翻过的牌），使它们从一面向上变为

另一面向上，至少翻动次后，能使6张扑克牌都反面向上；若桌上有n（n＞6）张正面向上的

扑克牌，按同样的翻动方式，每次翻动其中任意（n﹣2）张，则至少翻动次后，能使所有的牌

都反面向上．

7．O是△ABC的内切圆，与AB，BC边分别相切于点M，N，AB＝5，BC＝3，AC＝4，若点P在O

内⊙部（含边界）且满足∠PNM≤PMN，则所有点P组成的区域的面积为．⊙

8．如图，在等边△ABC中，AB＝10，BD＝4，BE＝2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD

为边在PD右侧作等边△PDF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是．

9．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB′

C′，点B的运动轨迹为弧，连=接2B3′C，则图中阴影部分的面积为．

��'

第2页（共22页）

10．如图，一个长为8，宽为6的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成30°

夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面l上，则木板上点

A滚动所经过的路径长为．（结果保留）

π

11．如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB＝15cm，用

扳手拧动螺帽旋2转31�2�0°，则点A在该过程中所经过的路径长为cm．

12．如图，在正方形ABCD中，AD＝8，点H在边AD上，AH＝3，点E，G是正方形ABCD的边AB，

CD上的动点，以E，H，G，F四点构造菱形EFGH．在点E，G运动变化过程中，点F到CD的距离

为；点F的运动路径（起点到终点）长度为．

13．如图，正方形ABCD的边长为6，P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥PA交CD边于点Q．当点

P从B运动到C时，线段AQ的中点M所经过的路径长为．

第3页（共22页）

14．一次数学考试共有8道判断题，每道题10分，满分80分．规定正确的画√，错误的画×．甲、乙、

丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则m的值为．

题号学生12345678得分

甲×√×√××√×60

乙××√√√××√50

丙√×××√√√×50

丁×√×√√×√√m

三．解答题（共1小题）

15．图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其

侧面示意图，此时点A和点C在同一水平线上，已知AB⊥CD，AE⊥l，CF⊥l，垂足分别为B，E，F，

AB＝1.9m，∠BAE＝109°．（参考数据：sin19°≈0.33，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34）

（1）求AC的长；

（2）碓工作时，DC从图2的位置逆时针旋转到最高处（如图3所示），此时∠BAE＝128°，求点C

的运动路径长（结果保留）．

π

第4页（共22页）

2027年中考数学复习难题速递之推理与论证、轨迹（2026年7月）

参考答案与试题解析

一．选择题（共4小题）

题号1234

答案DABC

一．选择题（共4小题）

1．如图，已知圆心O及圆上四点A、B、C、D，若这5个点各用一个1～10之间不同的数字代表．当A、

O、C三点数字和等于9，B、O、D三点数字和等于11，A、B、C三点数字和等于8，B、C、D三点数

字和等于13，C、D、A三点数字和等于12时，则O、A、B、C、D从小到大排序为（）

A．A＜B＜O＜D＜CB．B＜A＜O＜C＜DC．B＜A＜C＜O＜DD．A＜B＜O＜C＜D

【考点】推理与论证．

【专题】计算题；推理能力．

【答案】D

【分析】运用方程思想进行推理，判断各点大小．

【解答】解：已知：1．A+O+C＝92．B+O+D＝113．A+B+C＝84．B+C+D＝135．C+D+A＝12用方

程1减去方程3：（A+O+C）﹣（A+B+C）＝9﹣8O﹣B＝1O＝B+1用方程4减去方程3：（B+C+D）

﹣（A+B+C）＝13﹣8D﹣A＝5D＝A+5用方程5减去方程⇒3：

（C+D+A）﹣（A+B+C）＝12﹣⇒8D﹣B＝4D＝B+4结合D＝A+5和D＝B+4，可得：A+5＝B+4A＝B

﹣1将A＝B﹣1，O＝B+1代入方程3：⇒⇒

（B﹣1）+B+C＝82B+C＝9C＝9﹣2B再将C＝9﹣2B，O＝B+1代入方程1验证：（B﹣1）+（B+1）

+（9﹣2B）＝99＝⇒9（成立）⇒再将D＝B+4，C＝9﹣2B代入方程4验证：B+（9﹣2B）+（B+4）＝1313

＝13（成立）因⇒为A、B、C、D、O是1～10之间不同的正整数，所以：C＝9﹣2B＞0B＜4.5，即⇒B

≤4，⇒

第5页（共22页）

A＝B﹣1＞0B＞1，即B≥2

尝试B＝2：⇒A＝1，O＝3，C＝5，D＝6，所有数字均不同且在1～10之间，符合条件．此时：A＝1＜B

＝2＜O＝3＜C＝5＜D＝6，

故选D．

【点评】这道题通过设定变量、列方程组并结合整数条件推理，巧妙把几何背景转化为代数求解，逻辑

清晰又能考察方程应用能力．

2．如图，一只蚂蚁沿着棱长为3的正方体表面从点A出发，经过3个面爬行到点B，则它运动的最短路

径的长为（）

A．B．C．D．9

【考3点1】0轨迹；平面展开﹣9最2短路径问题．35

【专题】展开与折叠；运算能力；推理能力．

【答案】A

【分析】先将正方体展开，然后找出最短路线，利用勾股定理直接计算即可．

【解答】解：如图，将正方体的三个侧面展开，找出最短路线，连接AB，则AB最短，

∴．

22

故选��：=A．(3×3)+3=310

【点评】本题考查平面展开﹣最短路径问题，轨迹，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．

3．在狼人杀游戏中，有一个板子叫做“灯影预言家”，规则如下：好人阵营有“真预言家”和“灯影预

言家”两名预言家，但两人均不知道自己是否是灯影，两人每晚可查验一名玩家：1．真预言家若查验

到好人，则显示为好人，若查验到狼人，则显示是狼人；2．灯影预言家若查验到狼人，则显示为好人，

第6页（共22页）

若查验到好人，则显示是狼人．现在有12人玩游戏，4个狼人，1个预言家，1个灯影预言家，1个女

巫，1个守卫，1个骑士，3个平民．第一天白天时，1号起跳预言家报明4号为好人，4号起跳报1号

好人，5号起跳报1号狼人，8号起跳报4号狼人，若没有好人假跳预言家，则这4个人中是狼人的组

合可能是（）

A．1号和4号B．4号和5号C．1号和5号D．5号和8号

【考点】推理与论证．

【专题】推理填空题；推理能力．

【答案】B

【分析】先明确好人预言家的查验规则和“4个跳预言家的人中恰好2个好人、2个狼人”的前提，

再对每个选项假设其狼人组合成立，验证剩余两人能否分别满足真预言家和灯影预言家的查验结果，存

在符合规则的身份分配则选项正确，所有分配均矛盾则排除，即可得出答案．

【解答】解：关键规则：预言家（好人）：查好人→显示好人，查狼人→显示狼人；灯影预言家（好人）：

查狼人→显示好人，查好人→显示狼人：跳预言家的4人（1、4、5、8）中，只有2个好人（真预言家

和灯影预言家），另外2个是狼人（无好人假跳）．

报验情况：

1号跳预言家：报4号为好人，

4号跳预言家：报1号为好人，

5号跳预言家：报1号为狼人，

8号跳预言家：报4号为狼人，

选项A：1号和4号是狼人

若1、4是狼人，则5、8是真预言家和灯影预言家：

5号报1号为狼人（1是狼人），若5是真预言家，符合规则；若5是灯影预言家，查狼人应显示好人，

矛盾→5只能是真预言家．

8号是灯影预言家，查4号（狼人）应显示好人，但8号报4号为狼人，矛盾，故A错误，该选项不符

合题意．

选项C：1号和5号是狼人

若1、5是狼人，则4、8是真预言家和灯影预言家：

4号是灯影预言家，查1号（狼人）→显示好人，与4号报1号为好人一致．

8号是真预言家，查4号（好人）→应显示好人，但8号报4号为狼人，矛盾，故C错误，该选项不符

合题意．

第7页（共22页）

选项B：4号和5号是狼人

若4、5是狼人，则1、8是真预言家和灯影预言家：

1号是灯影预言家，查4号（狼人）→显示好人，与1号报4号为好人一致，符合规则．

8号是真预言家，查4号（狼人）→显示狼人，与8号报4号为狼人一致，符合规则．

5号（狼人）报1号为狼人（1是好人）、4号（狼人）报1号为好人（1是好人），均为狼人乱报，无

矛盾．故B正确，该选项符合题意．

选项D：5号和8号是狼人

若5、8是狼人，则1、4是真预言家和灯影预言家：

1号是真预言家，查4号（好人）→显示好人，与1号报4号为好人一致．

4号是灯影预言家，查1号（好人）→应显示狼人，但4号报1号为好人，矛盾，故D错误，该选项不

符合题意．

故选：B．

【点评】本题考查推理与论证，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．

4．古希腊著名的约瑟夫环问题讲的是：共有127个士兵，围成一个环，从一号位的士兵开始，每个存活

下来的人依次杀死相邻的下一位士兵．若一名叫做约瑟夫的士兵想要存活到最后，那么他最开始应当站

在几号位上？（）

A．1B．63C．127D．31

【考点】推理与论证．

【专题】推理填空题；推理能力．

【答案】C

【分析】按淘汰规则逐步推导每一轮剩余士兵即可得到最终存活位置．

【解答】解：∵共有127个士兵，围成一个环，从一号位的士兵开始，每个存活士兵杀死相邻下一位，

第一轮淘汰所有偶数号位士兵，剩余，，，，共个士兵，

135⃯12764

淘汰完126号后轮到127动手，127杀死下一个1号，

第二轮按规则淘汰后剩余，，，，共个士兵，

3711⃯12732

最后仍轮到127动手，

重复该淘汰过程，每一轮结束后127始终存活，直到最后仅剩127号士兵，

∴最开始应当站在127号位．

故选：C．

【点评】本题考查推理与论证，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．

第8页（共22页）

二．填空题（共10小题）

5．数学课上，老师在一副扑克牌中随机抽取了5张牌，分别记为A、B、C、D、E，牌面上的数字均为1～

13之间的正整数．已知相邻两张牌上的数字之和如下表所示，则数字第二大的牌是D．（填字母）

牌A+BB+CC+DD+EE+A

数字之和138151012

【考点】推理与论证．

【专题】推理填空题．

【答案】D．

【分析】根据题意列出所有相邻和的等式，先求出五个数的总和，再依次计算出每个字母对应的数字，

将数字从大到小排序后即可得到第二大数字对应的字母．

【解答】解：根据题意得：�+�=13，

�+�=8

�+�=15

�+�=10

将五个等式左右两边分别相加�得+：�=12

2（A+B+C+D+E）＝13+8+15+10+12＝58，

化简得：A+B+C+D+E＝29，

依次计算每个字母对应的数字：

E＝29﹣（A+B）﹣（C+D）＝29﹣13﹣15＝1，

由E+A＝12得：A＝12﹣E＝12﹣1＝11，

由A+B＝13得：B＝13﹣A＝13﹣11＝2，

由B+C＝8得：C＝8﹣B＝8﹣2＝6，

由C+D＝15得：D＝15﹣C＝15﹣6＝9，

∵11＞9＞6＞2＞1，

∴数字第二大的牌为D，

故答案为：D．

【点评】本题主要考查了推理与论证，掌握其相关知识点是解题的关键．

6．桌上有6张正面向上的扑克牌，每次翻动其中任意4张（包括已翻过的牌），使它们从一面向上变为

另一面向上，至少翻动3次后，能使6张扑克牌都反面向上；若桌上有n（n＞6）张正面向上的扑

克牌，按同样的翻动方式，每次翻动其中任意（n﹣2）张，则至少翻动3次后，能使所有的牌都反

面向上．

第9页（共22页）

【考点】推理与论证．

【专题】推理填空题．

【答案】3，3．

【分析】每张牌从正面向上变为反面向上需要翻动奇数次，总翻动次数需和牌的数量同奇偶，分析得翻

动1次和2次都无法满足所有牌翻奇数次的要求，构造翻动3次可满足条件，因此最少翻动次数为3．

【解答】解：每张扑克牌变为反面向上，需要翻动奇数次；

当共6张牌，每次翻动4张时：

若翻动1次，仅4张被翻动，剩余2张未翻动，次数为偶数，不满足要求；

若翻动2次，最多仅能使4张牌翻动次数为奇数，无法满足所有牌均需翻动奇数次的要求，故不满足要

求；

构造3次翻动：第一次不翻第1、2张，翻其余4张；第二次不翻第1、3张，翻其余4张；第三次不翻

第2、3张，翻其余4张；各牌翻动次数为1次或3次，均为奇数，可使所有牌反面向上，故至少翻动

3次；

当共n张牌，n＞6，每次翻动n﹣2张时：

若翻动1次，仅n﹣2张被翻动，剩余2张未翻动，次数为偶数，不满足要求；

若翻动2次，最多仅能使4张牌翻动次数为奇数，无法满足所有牌均需翻动奇数次的要求，不满足要求；

构造3次翻动：第一次不翻第1、2张，翻其余n﹣2张；第二次不翻第1、3张，翻其余n﹣2张；第三

次不翻第2、3张，翻其余n﹣2张；

各牌翻动次数：第1、2、3张各翻动1次，其余牌各翻动3次，所有次数都是奇数，满足所有牌反面向

上，因此至少翻动3次，

故答案为：3，3．

【点评】本题主要考查了推理与论证，掌握其相关知识点是解题的关键．

7．O是△ABC的内切圆，与AB，BC边分别相切于点M，N，AB＝5，BC＝3，AC＝4，若点P在O

内⊙部（含边界）且满足∠PNM≤PMN，则所有点P组成的区域的面积为．⊙

�

2

【考点】轨迹；勾股定理的逆定理；切线的性质；三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算．

第10页（共22页）

【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．

【答案】．

�

【分析】过2点O作OD⊥MN，交O于点E，F，连接OA，OB，OC，由题意易得EF垂直平分MN，

根据线段垂直平分线的性质可知要⊙使点P在O内部（含边界）且满足∠PNM≤∠PMN，则有所有点P

组成的区域为EF的下方半圆O，然后根据内⊙心的性质可得O的半径r＝1，进而问题可求解．

【解答】解：过点O作OD⊥MN，交O于点E，⊙F，连接OA，OB，OC，如图所示：

⊙

∴即EF垂直平分MN，

1

∴当��点=P�在�E=F2上�时�，则根据线段垂直平分线的性质可知：PM＝PN，

∴∠PNM＝∠PMN，

∴要使点P在O内部（含边界）且满足∠PNM≤∠PMN，

则有所有点P⊙组成的区域为EF的下方半圆O，

∵AB＝5，BC＝3，AC＝4，BC2+AC2＝25＝AB2，

∴∠ACB＝90°，

∴，O是△ABC的内切圆，

1

�△���=��⋅��=6⊙

∴点O到△2ABC的三边距离都是O的半径r，

△���△𝐴�△𝐴�△𝐴�1

．⊙�=�+�+�=2(��+��+��)⋅

�∴=r＝61，

∴半圆O的面积为，

12�

�×1=

即所有点P组成的区2域的面积为2．

�

故答案为：．2

�

【点评】本题2考查轨迹，勾股定理的逆定理，三角形的内切圆与内心，切线的性质，解题的关键是掌握

相关知识的灵活运用．

8．如图，在等边△ABC中，AB＝10，BD＝4，BE＝2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD

第11页（共22页）

为边在PD右侧作等边△PDF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是8．

【考点】轨迹；等边三角形的性质．

【专题】三角形；图形的全等；运算能力；推理能力．

【答案】8．

【分析】连结DE，作FH⊥BC于H，如图，根据等边三角形的性质得∠B＝60°过D点作DE′⊥AB，

则则点E′与点E重合，所以∠BDE＝30°，，接着证明△DPE≌△

1

FD�H�'得=到2��=2，于是可判断点F运动的路径为一�条�线=段，3�此�线=段2到3BC的距离为2，当

点P在E点𝐹时=，�作�等=边2三3角形DEF1，则DF1⊥BC，当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作3F2Q

⊥BC于Q，则△DF2Q≌△ADE，所以DQ＝AE＝8，所以F1F2＝DQ＝8，于是得到当点P从点E运动

到点A时，点F运动的路径长为8．

【解答】解：连结DE，作FH⊥BC于H，如图，

∵△ABC为等边三角形，＝∠B＝60°，过D点作DE′⊥AB，则，

1

∴点E与点E重合，��'=2��=2

∴，

∵△∠�D�P�F=为3等0°边��三=角形3，��=23

∴∠PDF＝60°DP＝DF，

∴∠EDP+∠HDF＝90°，

∵∠HDF+∠DFH＝90°，

∴∠EDP＝∠DFH，

在△DPE和△FDH中，

第12页（共22页）

，

∠���=∠𝐹�

∠���=∠�𝐹

∴�△�=DP�E�≌△FDH（AAS），

∴，

∴�点�P=从�点�=E运2动3到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为2，

当点P在E点时，作等边三角形DEF1，∠BDF1＝30°+60°＝90°，3

则DF1⊥BC，当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，则△DF2Q≌△ADE，

所以DQ＝AE＝10﹣2＝8，

∴F1F2＝DQ＝8，

∴当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8．

故答案为：8．

【点评】此题考查轨迹，等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理．

9．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB′

C′，点B的运动轨迹为弧，连=接2B3′C，则图中阴影部分的面积为．

��'�+6−33

【考点】轨迹；旋转的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；扇形面积的计算．

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．

【答案】．

【分析】�先+利6用−等3腰3三角形的性质与三角函数求出△ABC的面积，再根据旋转性质推导角度关系，分

别计算出△AB′C的面积和扇形ABB'的面积，最后通过割补法求出阴影部分的面积．

【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠ABC＝30°，

∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，

如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，

第13页（共22页）

在Rt△ABD中，

，

1

��=��⋅𝑠�30°=23×=3

2，

3

∵��△=AB�C�是⋅�等��3腰0三°=角2形3，×AD2⊥=BC3，

∴D为BC的中点，

∴BC＝2BD＝6，

∴．

△���11

∵由�旋转=的2性⋅质��可⋅�知�，=2×6×3=3，3旋转角∠BAB'＝30°，且△ABC≌△AB'C'，

∴∠B'AC＝∠BAC﹣∠B�A�B='＝�1�2'0=°2﹣330°＝90°，

∵，

∴△��A'B='C�为�等=腰2直3角三角形，

∴．

△��'�11

∵扇�形AB=B2'的⋅�圆�心'⋅角��∠=BA2B×'＝2303°×，2半3径=6，

�=��=23

∴扇形，

2

30°×�×(23)

���'

�=360°=�

∴阴影扇形，

���'△��'�△���

故答�案为=：�+�．−�=�+6−33

【点评】本�题+考6查−了3圆3的基本性质，扇形面积等，解题的关键是将阴影部分的面积转化为S扇形ABB'+SΔ

AB'C﹣S△ABC．

10．如图，一个长为8，宽为6的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成30°

夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面l上，则木板上点

A滚动所经过的路径长为．（结果保留）

23

�π

3

【考点】轨迹；矩形的性质．

第14页（共22页）

【专题】平移、旋转与对称；推理能力．

【答案】．

23

�

【分析】点3A滚动所经过的路径长由两段弧长组成，第一次翻滚是以点M为圆心，AM长为半径，旋

转角度为60°，第二次翻滚是以点N为圆心，矩形对角线长为半径，旋转角度为90°，利用弧长公式

计算即可．

【解答】解：由勾股定理得，矩形的对角线长为，

22

8+6=10

第一次翻滚，点A经过的路径长为，

60�×88

�1==�

第二次翻滚，点A经过的路径长为1803，

90�×10

�2==5�

则点A滚动所经过的路径长为180，

823

�+5�=�

故答案为：．33

23

�

【点评】本题3考查了轨迹，正确掌握轨迹是解题的关键．

11．如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB＝15cm，用

扳手拧动螺帽旋2转31�2�0°，则点A在该过程中所经过的路径长为12cm．

π

【考点】轨迹；生活中的旋转现象；线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用；正多边形和圆．

【专题】多边形与平行四边形；推理能力．

【答案】12．

【分析】利π用正六边形的性质得出△ODC是等边三角形，得出，利用勾股定

理求出OB的长度，进而得到OA的长度，根据弧长公式进行计�算�即=可�．�=��=23𝑐

【解答】解：连接OD，OC，

第15页（共22页）

∵∠DOC＝360°+6＝60°，OD＝OC，

∴△ODC是等边三角形，

∴，

∵O��B⊥=C�D�，=��=23𝑐

∴，

∴��=��=3𝑐，

22

∵A�B�＝=15c�m�，−��=3𝑐

∴OA＝OB+AB＝18cm，

∴点A在该过程中所经过的路径长，

120⋅�⋅18

故答案为：12．=180=12�(𝑐)

【点评】本题考π查了等边三角形的性质，勾股定理等，掌握等边三角形的性质是解题的关键．

12．如图，在正方形ABCD中，AD＝8，点H在边AD上，AH＝3，点E，G是正方形ABCD的边AB，

CD上的动点，以E，H，G，F四点构造菱形EFGH．在点E，G运动变化过程中，点F到CD的距离

为3；点F的运动路径（起点到终点）长度为．

43+4

【考点】轨迹；菱形的性质；正方形的性质．

【专题】几何图形；运算能力．

【答案】3，．

【分析】如图4，3过+F4作FQ⊥DC于Q，延长AB，GF交于点K，证明△AHE≌△FQG，可得AH＝FQ

＝3，可得点F到CD的距离为3，F在线段FF′上运动，记FF′与BC的交点为N，此时FF′⊥BC，

且CN＝3，可得BN＝5，当D，G重合时，如图，HE′＝HD＝8﹣3＝5，当E，B重合时，同理：

，再进一步求解即可．𝐹=��=

22

3+8=73第16页（共22页）

【解答】解：如图，过F作FQ⊥DC于Q，延长AB，GF交于点K，

∵AB＝CD＝AD＝BC＝8，∠A＝90°＝∠FQG，AB∥CD，

∴∠QGF＝∠AKG，

∵HE＝FG，HE∥FG，

∴∠AEB＝∠AKG，

∴∠AEB＝∠QGF，

∴△AHE≌△FQG，

∴AH＝FQ＝3，

∴点F到CD的距离为3，

∴点F的运动轨迹是一条平行于DC的线段，且与DC相距3，在DC下方，

当D，G重合时，F′位置为点F起始位置，当B，E重合时，点F在终点

记FF′与BC的交点为N，此时FF′⊥BC，且CN＝3，

∴BN＝5，

当D，G重合时，如图，

HE′＝HD＝8﹣3＝5，

∴，BE′＝F′N＝8﹣4＝4，

22

当�E�，'=B重5合−时3，=4

同理：，

22

∴𝐹=��=3+8，=73

22

∴��=��−��=43，

∴�点�'F=的�运'�动+轨�迹�（=起4+点4到终3点）长度为．

故答案为：3，．4+43

43+4第17页（共22页）

【点评】本题考查轨迹，正确进行计算是解题关键．

13．如图，正方形ABCD的边长为6，P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥PA交CD边于点Q．当点

P从B运动到C时，线段AQ的中点M所经过的路径长为．

3

2

【考点】轨迹；相似三角形的判定与性质；正方形的性质．

【专题】几何图形；运算能力．

【答案】．

3

【分析】利2用二次函数求最值得问题，连接AC，取AC的中点O，连接MO，由中位线的性质得MO∥

DC，且，所以点M的运动路径是一条线段，求运动路径就是求CQ的最大值的一半．设BP

1

＝x，CQ�＝�y=，2建�立�x，y的函数关系式，讨论函数y的最大值．

【解答】解：正方形ABCD的边长为6，P为BC边上的动点，连接AP，连接AC，取AC的中点O，

连接MO，

由中位线的性质得MO∥DC，且，

1

∵OM∥CQ，得点M运动路径是�经�过=点2O𝐶且平行于CD的一条线段，

设BP＝x，CQ＝y，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B＝∠C＝90°，AP⊥PQ，

∴∠APB+∠CPQ＝90°，

∵∠APB+∠BAP＝90°，

第18页（共22页）

∴∠BAP＝∠QPC，

又∵∠B＝∠C，

∴△ABP∽△PCQ，

∴，

𝐶��

=

∴����，得，

2

�6−�−�+6�123

=�==−(�−3)+

∴当�x＝63时，CQ的最6大值为，62

3

∴OM的最大值为，2

3

即点M的运动路径4从O到M再到O，路径长．

33

=×2=