2027版53B版新高考版数学总复习重难突破培优1　三次函数性质综合

培优1三次函数性质综合1.三次函数的图象和性质对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),求导得f'(x)=3ax2+2bx+c,当Δ=4(b2-3ac)>0时,

不妨设f'(x)=0的两个实根是x1,x2,且x1<x2.

a>0a<0f(x)图象

f'(x)图象Δ>0Δ≤0Δ>0Δ≤0

单调区间单调递增区间:(-∞,x1)和(x2,+∞);单调递减区间:(x1,x2)单调递增区间:(-∞,+∞)单调递增区间:(x1,x2);单调递减区间:(-∞,x1)和(x2,+∞)单调递减区间:(-∞,+∞)极值f(x1)为极大值f(x2)为极小值无极值f(x1)为极小值f(x2)为极大值无极值对称中心任何三次函数图象都有对称中心,且对称中心的坐标为

注意三次函数要么无极值点,要么有两个,不可能只有一个.若三次函数只有2个零点,

则必有一个零点与极值点重合.2.一元三次方程的根的情况

f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0时)对应的方程根的情况:

b2-3ac>0b2-3ac≤0图象

f(x1)·f(x2)<0

f(x1)·f(x2)=0

f(x1)·f(x2)>0

f(x)=0根的个数3211类型1三次函数的极(最)值例函数f(x)=ax3-bx2+cx的图象如图,且f(x)在x=x0与x=1处取得极值,给出下列判断,其中

正确的是

()A.c>0B.a<0C.f(1)+f(-1)>0

C

D.函数y=f'(x)在区间(0,+∞)上单调递减解析观察函数图象,发现当x→+∞时,f(x)→+∞,所以a>0,故B中判断错误;函数的两个

极值点x0(x0<-1)和1是f'(x)=0的两根,可以利用根与系数的关系确定b,c的正负.f'(x)=3ax2-2bx+c,令f'(x)=0,则x0和1是f'(x)=0的两根,由根与系数的关系得

所以

故A中判断错误;f(1)+f(-1)=-2b>0,故C中判断正确;f'(x)=3ax2-2bx+c图象的开口向上,对称轴x=

<0,所以函数f'(x)在(0,+∞)上单调递增,故D中判断错误.故选C.方法总结

对于三次函数的图象,要熟知总体的变化趋势,x3的系数a的正负与单调区间直接相

关;由极值点的正负,f'(x)=0,结合根与系数的关系可确定其他未知数的正负.类型2三次函数的对称问题例给出定义:设f'(x)是函数y=f(x)的导函数,f″(x)是函数f'(x)的导函数,若方程f″(x)=0

有实数解x=x0,则称(x0,f(x0))为函数y=f(x)图象的“拐点”.经研究发现所有的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象都有“拐点”,且该“拐点”也是函数y=f(x)的图象的对

称中心.已知函数f(x)=

x3-

x2+3x-

.(1)求f(x)图象的对称中心;(2)求f

+f

+…+f

的值.解析

(1)根据题中信息由f″(x)=0可求出f(x)图象对称中心的横坐标,然后把横坐标代

入解析式.由题意得f'(x)=x2-x+3,f″(x)=2x-1,令f″(x)=0,可得x=

,又f

=1,所以f(x)图象的对称中心为

.(2)若f(x)的图象关于点(a,b)对称,则f(x)+f(2a-x)=2b,由(1)知f(x)图象的对称中心为

,则f(x)+f(1-x)=2,想到倒序相加法求和.设A=f

+f

+…+f

,则A=f

+f

+…+f

,所以2A=f

+f

+f

+f

+…+f

+f

=2×2022,故A=2022,即f

+f

+…+f

=2022.类型3三次函数的零点例已知函数f(x)=ax3+bx2-3x(a,b∈R),且f(x)在x=1和x=3处取得极值.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设函数g(x)=f(x)+t,若函数g(x)有且仅有一个零点,求实数t的取值范围.解析

(1)因为极值点处的导数为零,所以1和3是f'(x)=0的根,可以利用根与系数的关系

列出方程组求a,b.因为f'(x)=3ax2+2bx-3,f(x)在x=1和x=3处取得极值,所以x=1和x=3是方程f'(x)=0的两个根,则

解得

经检验,符合已知条件,(注意:f'(x0)=0是f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件,所以求出参数值后,必须检验是否符合题意)所以f(x)=-

x3+2x2-3x.(2)g(x)有且仅有一个零点,即方程f(x)+t=0,亦即方程f(x)=-t有且仅有一个根,问题转化为

y=f(x)的图象与直线y=-t有且仅有一个交点,可根据函数y=f(x)的单调性画出其大致图

象,再根据图象求得答案.由(1)知f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上单调递减,在(1,3)上单调递增,又f(1)=-

+2-3=-

,f(3)=-9+18-9=0,所以f(x