湖南省长沙市2026-2027学年高一上学期第一次月考数学自编卷（人教版A）（解析版）

湖南省长沙市2026-2027学年高一上学期第一次月考自编卷数学试题（解析版）题号12345678910答案CBCDCCABBDAD题号11答案ACD1．C【详解】若，则，不符合题意；若，则，所以集合中的元素为、、、、，故集合中的元素个数为，解得，符合题意.综上所述，.2．B【分析】利用集合的基本运算即可解决.【详解】由，可知.3．C【详解】充分性：若，取，，则不满足，所以充分性不成立；必要性：若，则，，，原不等式两边同时乘得，，则必要性成立，所以仅C选项正确.4．D【分析】将三个代数式求和，结合基本不等式得到总和的最小值，再通过特例排除和反证法判断各选项正误.【详解】首先计算三个代数式的和：已知x，y，z均为正数，由基本不等式：对任意正数a，有，当且仅当时等号成立，因此，当且仅当时等号成立，对选项逐一判断：对于A项：当时，三个代数式的值均为2，不满足都大于2，故A错误；对于B项：若三个数都小于2，则三者之和小于6，与三者之和矛盾，故B错误；对于C项：取，此时，存在两个数大于2，故C错误；对于D项：假设三个数都小于2，则三者之和小于6，与三者之和矛盾，因此三个数至少有一个不小于2，故D正确.5．C【分析】利用充分不必要条件的性质将问题转化为恒成立问题，再结合分离参数法求解参数即可.【详解】因为是的充分不必要条件，所以对于，恒成立，化简可得恒成立，令，则即可，令，由二次函数性质得对称轴为，而，，，则，即，可得，故C正确.6．C【分析】求出集合，按集合的特性求出的最值即可.【详解】集合，由每个集合均恰有5个元素，且，知集合的最小元素必为1，最大元素必为20，要使的值最小，则集合的最小元素的一个排列为，除20外，另外3个最大元素尽可能地小，最大元素的一个排列为，因此的最小值为，AB不可能；要使的值最大，则集合的最大元素的一个排列为，除1外，另外3个最小元素尽可能地大，最小元素的一个排列为，因此的最大值为，C可能，D不可能.7．A【分析】根据小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来得到充分性，结合若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入得到不必要性，进而得到结果；【详解】若小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来．若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入，所以“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的充分不必要条件．故选：A.8．B【分析】结合基本不等式及“”的代换，两次利用基本不等式可得最值.【详解】已知，，，则，又，当且仅当，即时，等号成立，所以，故，由，当且仅当，即时等号成立，则，当且仅当，，时等号成立，即的最小值为.9．BD【详解】对于A：集合中含有元素0，属于非空集合，不符合要求，故A错误；对于B：对任意实数，，因此，不存在满足的元素，该集合为空集，符合要求，故B正确；对于C：集合中含有元素，是含1个元素的单元素集合，不是空集，不符合要求，故C错误；对于D：对任意实数，，因此根号内的，实数范围内负数没有算术平方根，不存在符合条件的实数，该集合为空集，符合要求，故D正确.10．AD【分析】利用不等式的基本性质推导即可.【详解】由可得，故A对.由可得，故B错.由，可得，，所以，故C错.由，可得，，所以，即，所以，故D对.11．ACD【分析】对于A，参变分离得；对于B，参变分离得；对于C，根据题意可得，再解不等式即可；对于D，不等式可变形为，则，则，再求出最值即可．【详解】对于A：，则，故A正确；对于B：，则，故B错误；对于C：原式子可化为，则，即，解得，所以实数的取值范围为，故C正确；对于D：不等式可变形为，则，解得，因，则，此时，即，所以的取值范围为，故D正确．12．【详解】，，∴，所以实数的取值范围是.13．【分析】根据题意，结合是的充分不必要条件，列出不等式组，即可求解.【详解】由，，且，因为是的充分不必要条件，可得且等号不能同时成立，解得，经验证和时，满足题意，所以实数的取值范围是.14．【分析】通过分析发现距离1和距离2均满足类似三角不等式的关系，进而得到取值范围，最后通过构造具体的例子验证可以取到的值.【详解】第一空：考虑三个组成的数组，设的距离1为，的距离1为，依定义可知当中有个位置的数字不同，设这个位置构成的集合为，以外的位置也即数字相同的位置构成的集合为，当中有个位置的数字不同，设这些位置属于的有个，不属于也即属于的有个，则，因为数组由构成，所以和数字不同的位置包括的数字不同且的数字相同的位置，有个，和的数字相同且的数字不同的位置，有个，共有个，而，所以的距离1不超过的距离1和的距离1之和，取，则有的距离1和的距离1均为，的距离1为，故的距离1的最大值为.第二空：对于非空整数集合，的距离2记为，记对某个，，类似地，记对某个，，依定义有①，②，同理有③，④，设在中与中数的差值的绝对值的最小值为最大，在中与中数的差值的绝对值的最小值为最大，则有或，结合①③并取③中的为可得，再取为，可得，结合②④并取②中的为可得，再取为，可得，即有，因为的任意性，所以也有，即，同时也有，综上所述，，依题意，则，只能取中的数，取，则有；取，则有；取，则有；取，则有；取，则有，故的距离2的可能值为.15．(1)(2)【分析】（1）解一元二次方程即可求解；（2）由可得，解得，进而得到，再根据包含关系求解即可.【详解】（1）当时，得，解得或，所以．（2）因为，所以，解得，所以．因为，所以，解得，所以b的取值范围是．16．(1)至少读过一本书的有学号为2，3，4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20的同学．(2)同时读了a，b两本书的有学号为6，12，18的同学．【分析】（1）分别写出读过新书和新书的同学的学号，合起来就是至少读过一本书的同学；（2）由（1），可直接写出同时读了a，b两本书的有哪些同学.【详解】（1）由题意知，读过新书的同学有学号为的同学，读过新书的同学有学号为的同学，所以至少读过一本书的有学号为的同学．（2）同时读了a，b两本书的有学号为的同学．17．【详解】因为仓库的长L大于宽W的4倍，所以，因为矩形地基面积小于，所以，则所求不等式组为.18．(1)证明：

由图可知，外接矩形的长、宽分别为，，缺口矩形的长、宽分别为，，因此令，，则又因为均为正整数，所以，从而因此即．(2)(3)证明：存在多边形使得对于任意正整数，取即可得到满足题设角度条件的六边形，且下面对任意正整数构造相应的．当时，取此时，，所以．当，其中时，取其中故均为正整数．又所以因此当，其中时，取其中故均为正整数．又所以因此综上，对任意正整数，均存在满足的六边形．【分析】将凹六边形补成矩形，可得周长和面积的代数表达式．（1）比较六边形与外接矩形；（2）在时利用恒等变形及正整数条件求最小值；（3）按的奇偶性分别构造正整数边长并验证．【详解】（1）略（2）当时，由恒等变形，若，由于均为正整数，有，所以而，故最小值不在时取得．当时，，于是当时，上式等于．当时，；当时，．因此上式在时取得最小值．此时，故的最小值为（3）略19．(1)(2)(3)【分析】（1）由题意可知，不等式对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在时直接检验即可，在时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围；（2）将所求方程变形为，由题意得出，且，结合韦达定理得出，再由韦达定理得出，结合不等式的基本性质可求得的取值范围；（3）令，则，依题意可得关于的方程有四个不等实根，令，则，问题转化为存在使得关于的方程有两个不同正根，利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，结合主元法可求出实数的取值范围.【详解】（1）由得恒成立，故不等式对任意的恒成立，当时，恒成立，符合题意；当时，则，解得；综上所述：实数的取值范围为.（2）由可得，整理得，由题意可知，且，解得或，