2026中考数学热点专练05 反比例函数（学生版+教师版合并）

热点05反比例函数热点聚焦方法精讲能力突破第一部分热点聚焦·析考情聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。第二部分题型引领·讲方法纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。题型01判断反比例函数的性质题型02判断反比例函数的图象题型03根据反比例函数的性质求参数范围（值）题型04根据反比例函数增减性比较函数值大小题型05反比例函数与一次函数的交点★题型06根据k的几何意义解决问题题型07绘制反比例函数图象题型08反比例函数的实际应用题型09反比例函数与几何综合第三部分能力突破·限时练精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：反比例函数部分以选择、填空为主，偶见简单解答题，以基础、中档题为主，个别地区考查题目难度较大。考查形式集中：图象与象限判断、增减性、参数取值、k的几何意义、与一次函数交点、简单实际应用，是中考必考“送分+小区分”题型。·命题特点：命题趋势保持稳定，更侧重k的几何意义与几何小综合，难度不升。重概念、重图象、重几何意义，题干简洁，考点固定，常结合坐标、面积、几何图形命题。·能力要求：强调数形结合与识图能力。能够符号判断、快速识图、面积转化、联立求解。预测2026年：2026年预测整体变化很小，牢记k符号与图象、增减性对应关系；重点突破k的几何意义（面积转化）；熟练与一次函数交点求法；规范计算，避免跨象限直接比大小、漏k≠0、面积忘带绝对值等易错点，立足基础即可满分。题型01判断反比例函数的性质解｜题｜策｜略表达式的三种形式(1)y＝；(2)y＝kx－1；(3)xy＝k(k为常数，k≠0)大致图象k>0k<0坐标特征x，y同号，即xy＞0x，y异号，即xy＜0对称性(1)中心对称性——关于原点成中心对称；(2)轴对称性——关于直线y＝x和y＝－x成轴对称例1（2025·浙江·中考真题）已知反比例函数．下列选项正确的是（

）A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大例2（2025·河北·中考真题）在反比例函数中，若，则（

）A． B． C． D．例3（2026·河北沧州·一模）关于反比例函数，下列说法正确的是（

）A．函数图象经过点 B．函数图象位于第一、三象限C．当时，随的增大而减小 D．当时，【变式1】（2025·江苏南京·中考真题）已知反比例函数，则当时，的最小值是____________．【变式2】（2026·广西钦州·一模）已知点在函数的图象上，下列说法错误的是（

）A．当时，B．点和在此函数图象上C．图象位于第二、第四象限D．当时，y随x的增大而减小题型02判断反比例函数的图象解｜题｜策｜略·根据k值讨论反比例函数的图象法一：①确定参数的的取值范围；②对参数的正负进行分类讨论，分别确定两个图象的的位置．法二：特殊值法表示出满足条件的函数解析式，分别确定两个函数图象所在象限．例1（2025·西藏·中考真题）一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（

）A． B．C． D．例2（2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（

）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限【变式1】2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（

）A．B． C． D．题型03根据反比例函数增减性比较函数值大小解｜题｜策｜略·反比例函数图象上点的纵坐标大小比较(数形结合、分类讨论)：先根据k值画大致图象

(1)在同一象限内，根据函数增减性比较：k>0，y随x的增大而减小；k<0，y随x的增大而增大.

(2)在不同象限内，x轴上方的图象上的点的纵坐标大，下方的小.·关键：画出草图，标上各点，再根据图象在上方的函数值总比图象在下方的函数值大比较。·一般步骤：①先根据k的值确定函数在每个象限内的增减性，比较同一象限内的点的坐标的大小；②比较纵坐标的大小：k>0，第一象限的点的纵坐标一定大于第三象限的点的纵坐标；k<0，第二象限的点的纵坐标一定大于第四象限的点的纵坐标．例1（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（

）A． B． C． D．【变式1】（2025·内蒙古·中考真题）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C．当时， D．当时，【变式2】（2026·浙江宁波·模拟预测）已知点和点都是反比例函数的图象上的两点，下列说法正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，题型04根据反比例函数的性质求参数范围（值）解｜题｜策｜略①根据题意对k进行分类讨论；②根据反比例函数上的点的坐标特征，灵活设参数，表示坐标，运用方程思想解决问题；例1（2025·甘肃·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么_______（请写出一个符合条件的k值）．例2（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（

）A．或 B． C． D．【变式1】（2026·湖南娄底·一模）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______．【变式2】（2026·陕西西安·三模）已知反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则的值为___________．【变式3】（2026·浙江杭州·一模）已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点，若对于，，都有，则a的取值范围是（

）A．或 B． C． D．或题型05反比例函数与一次函数的交点解｜题｜策｜略待定系数法

确定表达式(1)设反比例函数的表达式为y＝(k≠0，k为常数)；(2)将图象上已知的一点P(a，b)代入表达式，得k＝ab；

(3)确定反比例函数的表达式为y＝一次函数与反比例函数交点的坐标特征反比例函数与正比例函数图象的交点关于原点对称，一般设出一个交点坐标可以得到另一个交点坐标.求交点坐标·已知两个函数表达式求交点坐标：将一次函数与反比例函数的表达式联立，解方程组例1（2025·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（

）A． B．例2（2026·安徽芜湖·一模）一次函数的图象经过点，则反比例函数图象与该一次函数图象的交点情况是（

）A．无法确定 B．没有交点 C．有一个交点 D．有两个交点例3（2025·贵州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论：①线段的长为8；②点的坐标为；③当时，一次函数的值小于反比例函数的值．其中结论正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3例4（2025·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，且与y轴交于点C．(1)求一次函数、反比例函数的表达式；(2)连接，求的面积．【变式1】（2026·安徽阜阳·一模）若直线与双曲线在同一直角坐标系中没有交点，那么（

）A． B．， C． D．，【变式2】（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为________．（结果保留）【变式3】（2026·安徽阜阳·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点．(1)求的值和反比例函数的表达式．(2)直线向下平移后与反比例函数的图象交于点，求直线向下平移的距离．【变式4】（2025·青海·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数（为常数）的图象在第二象限交于点．(1)求反比例函数的解析式；(2)求的面积．题型06根据k的几何意义解决问题解｜题｜策｜略与k的几何意义有关的面积计算模型：一个函数单支曲线S△AOP＝S△BOP＝S△ABP＝S△ABC＝OA＝ABS△AOB＝S▱ABCP＝一个函数双支曲线(点A，B关于原点对称)S△ABM＝(点P，P1关于原点对称)S△＝(点B，P关于原点对称)S▱ABCP＝两个函数S△ABO＝S△ABC＝S△AOB＝S矩形ABCD＝其他模型S1＝S2S△AOE＝S梯形CDBES△AOB＝S梯形ACDBS四边形ODBE＝|k1|－|k2|S△DBE＝|k1|-|k2|-S四边形AEDF例1（2026·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，是矩形内的一点，连接，若图中阴影部分的面积为10，则为（

）A．10 B．15 C．20 D．25例2如图，，是反比例函数图象上的点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接，，若，，则的值为_______．例3（2025·宁夏·中考真题）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（

）A． B． C． D．3【变式1】（2026·广西南宁·一模）如图，过点分别作轴、轴的平行线，交直线于，两点，若反比例函数的图象与有公共点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【变式2】（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（

）A． B． C． D．题型07绘制反比例函数图象例1（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点．(1)求t的值；(2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；(3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率．例2（2026·重庆·一模）矩形的边，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度速度沿运动，运动时间为秒且．设面积为的面积与的面积之比为．(1)请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出时，的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过）【变式1】（2025·重庆·中考真题）如图，点为矩形的对角线AC的中点，，，，是上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为．矩形的面积为，的面积为，的面积为，．(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围：(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；(3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．

题型08反比例函数的实际应用解｜题｜策｜略·确定函数表达式已知反比例函数和一次函数图象的一个交点的坐标和另一个交点的横坐标或纵坐标，求两个函数表达式：(1)将已知横、纵坐标的一个交点的坐标代入反比例函数表达式，求出反比例函数表达式；(2)将另一个交点已知的横坐标或纵坐标代入反比例函数表达式，求出该交点的坐标；(3)将两个交点的坐标代入一次函数表达式，求出一次函数表达式.注：有时也会根据三角形面积求出交点坐标，再按以上步骤完成.·常见问题模型：①天平问题：动力动力臂阻力阻力臂；②电阻R、电流I、电压U之间的关系：电流I关于电阻R的函数表达式为．例1（2026·河南平顶山·一模）学校为防控流感病毒，用过氧乙酸溶液对教室内的空气进行熏蒸，过氧乙酸气体在空气中的浓度必须大于才能达到熏蒸消毒要求．王林为测出教室内过氧乙酸气体的浓度，设计了“过氧乙酸气体浓度检测仪”，图1是其简化的工作电路图，图2为过氧乙酸气体传感器(Ω)的阻值随过氧乙酸气体浓度（）变化的关系图象，则下面说法错误的是（

）A．未进行熏蒸时，传感器的阻值为ΩB．传感器的阻值随过氧乙酸气体浓度的增大而减小C．若过氧乙酸气体浓度不低于，则传感器的阻值不低于ΩD．若过氧乙酸气体浓度从增大到，则传感器的阻值减小Ω

例2（2026·河南安阳·一模）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长，这就导致人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿直线前进，但实际上走的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．某学校数学兴趣小组通过实验发现，人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径米与其两腿迈出的步长之差厘米（）拟合后的函数为反比例函数，其图象如图所示．请根据图象中的信息解决下列问题：(1)求与之间的函数表达式；(2)若小昆两腿迈出的步长之差为0.5厘米，则他蒙上眼睛走的大圆圈的半径为多少米？(3)若小明蒙上眼睛走的大圆圈的半径不小于70米，求其两腿迈出的步长之差的取值范围．【变式1】（2026·湖北十堰·一模）现在人们的生活越来越好，很多人在休闲时间外出旅游，为携带方便，人们通常会利用真空压缩机压缩衣物以减小体积，同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（）与密度（）有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度大于时，其体积可以是（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表：点与点的距离123拉力的大小300200150120(1)表格中的值是；(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；(3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由．题型09反比例函数与几何综合解｜题｜策｜略·常用方法：

(1)代数法：通过求点坐标求k；

(2)几何法：通过系数k的几何意义反向求k.

·在与系数k的几何意义有关的面积计算中，找到反比例函数图象上点的横、纵坐标(表示边长)，根据同底等高、等底等高的三角形(或特殊四边形)面积相等可推出面积为1/2|k|或|k|；求面积时利用“坐标”求“线段”，或利用“线段”求“坐标”.

·常用辅助线：(1)连接反比例函数图象上的点与坐标原点；

(2)过反比例函数图象上的点作x轴，y轴的垂线.·几何表达：分析几何关系，用含t的式子表示相关线段的长·一般步骤：①待定系数法求函数的解析式；②联立函数表达式为方程组，求函数图象的交点坐标；③根据反比例函数关系式表示反比例函数图象上的点的坐标；④根据已知的三角形、平行四边形等几何性质表示其他相关点的坐标，列等量关系解题．例1（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（）A． B． C． D．例2（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点．(1)求出直线对应的函数表达式；(2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由；(3)请直接写出关于的不等式的解集．【变式1】（2026·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，已知点的坐标为．(1)求与的值；(2)点为线段上一动点（可与端点重合），过点作轴交轴于点，连接，求面积的最大值．【变式2】（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论：①与的面积一定相等；②与的面积可能相等；③一定是锐角三角形；④可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

题型10与反比例函数的图象有关的规律探究例1（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______．【变式1】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为______．

题型11与反比例函数有关的新定义问题例1（2026·广东佛山·一模）在平面直角坐标系中，我们约定：①不重合的两点与为一对对换点；②若某函数图象上至少存在一对对换点，则称该函数为对换函数．根据约定，解答下列问题：(1)反比例函数是对换函数吗？如果是，直接写出该函数图象上的一对对换点坐标；如果不是，说明理由．(2)若关于x的一次函数是对换函数，则k的值是多少？(3)对换函数中的实数m取满足条件的最小正整数时，求函数图象上的一对对换点坐标．【变式1】（2025·湖南长沙·中考真题）我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题：(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）：①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（

）②函数一定不是“对偶函数”；（

）③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（

）(2)若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和；(3)若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围．

（80分钟限时练）1．（2025·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（

）A． B． C． D．2．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（

）A． B．C． D．3.（2025·湖南·中考真题）对于反比例函数，下列结论正确的是（

）A．点在该函数的图象上B．该函数的图象分别位于第二、第四象限C．当时，随的增大而增大D．当时，随的增大而减小4．（2026·河北衡水·模拟预测）在电压一定的条件下，电流与电阻成反比例关系，电流与电阻之间的函数关系如图所示．当时，I的值可以是（

）A． B． C． D．5.（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（

）A．25 B．26 C． D．6．（2025·湖北武汉·中考真题）在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象分别位于第一、第三象限．写出一个满足条件的的值是_________．7．（2026·安徽蚌埠·一模）点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是________（用“>”连接）．8．（2025·陕西·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为______．9．（2026·山西晋城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在反比例函数和的图象上，C是x轴上的一个动点，连接，，．若轴，且的面积为5，则k的值为______．10．（2026·广东佛山·一模）如图，的边落在x轴上，点C是线段的中点，反比例函数的图像经过点A和点C．若的面积为9，则k的值为_____．11.（2025·山东德州·中考真题）已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为_______．12．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2．(1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标；(2)连接，请直接写出四边形的面积．13.（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点．(1)点的坐标为__________，点的坐标为__________；观察图象，不等式的解集为__________；(2)若轴上存在点，使，求点的坐标．14．（2026·河南平顶山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的顶点，，反比例函数的图象经过正方形的中心Q．(1)求反比例函数的表达式．(2)将边上一点E绕点Q逆时针旋转，若旋转后的点恰好落在的图象上，求点E的坐标．

热点05反比例函数热点聚焦方法精讲能力突破第一部分热点聚焦·析考情聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。第二部分题型引领·讲方法纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。题型01判断反比例函数的性质题型02判断反比例函数的图象题型03根据反比例函数的性质求参数范围（值）题型04根据反比例函数增减性比较函数值大小题型05反比例函数与一次函数的交点★题型06根据k的几何意义解决问题题型07绘制反比例函数图象题型08反比例函数的实际应用题型09反比例函数与几何综合第三部分能力突破·限时练精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：反比例函数部分以选择、填空为主，偶见简单解答题，以基础、中档题为主，个别地区考查题目难度较大。考查形式集中：图象与象限判断、增减性、参数取值、k的几何意义、与一次函数交点、简单实际应用，是中考必考“送分+小区分”题型。·命题特点：命题趋势保持稳定，更侧重k的几何意义与几何小综合，难度不升。重概念、重图象、重几何意义，题干简洁，考点固定，常结合坐标、面积、几何图形命题。·能力要求：强调数形结合与识图能力。能够符号判断、快速识图、面积转化、联立求解。预测2026年：2026年预测整体变化很小，牢记k符号与图象、增减性对应关系；重点突破k的几何意义（面积转化）；熟练与一次函数交点求法；规范计算，避免跨象限直接比大小、漏k≠0、面积忘带绝对值等易错点，立足基础即可满分。题型01判断反比例函数的性质解｜题｜策｜略表达式的三种形式(1)y＝；(2)y＝kx－1；(3)xy＝k(k为常数，k≠0)大致图象k>0k<0坐标特征x，y同号，即xy＞0x，y异号，即xy＜0对称性(1)中心对称性——关于原点成中心对称；(2)轴对称性——关于直线y＝x和y＝－x成轴对称例1（2025·浙江·中考真题）已知反比例函数．下列选项正确的是（

）A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大【答案】C【难度】0.85【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据性质逐一判断即可．根据反比例函数的性质，当时，图象两支位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大．【详解】解：反比例函数中，，因此其图象的两支分布在第二、四象限，对应选项C正确，选项A错误．当时，在第二象限（）和第四象限（）内，随的增大而增大．但选项D未明确“在每个象限内”，若跨象限变化（如从负数到正数），会减小，因此选项D的描述不准确．选项B“随的增大而减小”与时的性质矛盾，错误．故选：C．例2（2025·河北·中考真题）在反比例函数中，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.85【分析】本题考查了反比例数的性质，根据反比例函数性质，将不等式转化为关于的范围求解．【详解】解：∵，，当时，随的增大而减小，当时，，当时，∴当时，，故选：B．例3（2026·河北沧州·一模）关于反比例函数，下列说法正确的是（

）A．函数图象经过点 B．函数图象位于第一、三象限C．当时，随的增大而减小 D．当时，【答案】D【难度】0.85【分析】根据反比例函数的图象与性质，逐一判断各选项即可．【详解】A、因为点的坐标不满足，所以函数图象不经过点，说法错误，该选项不符合题意；B、因为，所以函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，说法错误，该选项不符合题意；C、当时，随的增大而增大，说法错误，该选项不符合题意；D、当时，随的增大而增大，且点和点在函数图象上，所以，当时，，该选项说法正确．【变式1】（2025·江苏南京·中考真题）已知反比例函数，则当时，的最小值是____________．【答案】【难度】0.65【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用相关性质．由反比例函数解析式可得，根据的取值范围和函数的增减性，求最小值．【详解】解：将反比例函数代入中，可得：，，当增大时，也随之增大，则随之减小，因此，在时取得最小值，代入计算，得，故答案为：．【变式2】（2026·广西钦州·一模）已知点在函数的图象上，下列说法错误的是（

）A．当时，B．点和在此函数图象上C．图象位于第二、第四象限D．当时，y随x的增大而减小【答案】D【难度】0.65【分析】对于反比例函数（k为常数，），当时，图象在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小；当时，图象在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，图象关于原点对称，本题中，根据反比例函数的性质逐一分析选项．【详解】解：A项：当时，，A项说法正确，不符合题意；B项：∵点在函数的图象上，∴，即，对于点，将代入函数中，可得，又∵，∴，即点在函数图象上，对于点，将代入函数中，可得，又∵，∴，则，即点在函数图象上，B项说法正确，不符合题意；C项：在反比例函数中，，根据反比例函数性质，当时，图象分别位于第二、四象限，C项说法正确，不符合题意；D项：∵，在反比例函数中，当时，函数图象在第二象限，且在第二象限内y随x的增大而增大，而不是减小，D项说法错误，符合题意，综上，说法错误的是D．题型02判断反比例函数的图象解｜题｜策｜略·根据k值讨论反比例函数的图象法一：①确定参数的的取值范围；②对参数的正负进行分类讨论，分别确定两个图象的的位置．法二：特殊值法表示出满足条件的函数解析式，分别确定两个函数图象所在象限．例1（2025·西藏·中考真题）一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【难度】0.85【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象和性质是解此题的关键．根据三角形的面积公式，得到一边a和高h之间的关系式，再结合的范围逐项判断即可．【详解】解：由题意得，∴a与h的函数关系式为，∴此函数是一个以为自变量的反比例函数，边上的高为，∴，故选：B．例2（2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（

）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限【答案】C【难度】0.85【分析】本题考查的是绝对值的化简，反比例函数图象的性质，由绝对值的性质得出k的符号，再根据反比例函数的图象性质确定其所在象限．【详解】解：确定k的符号：由题设条件且，根据绝对值的非负性，右边，即．又因，故为负数．∵反比例函数的图象位置由的符号决定：当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限．因为负数，故图象在第二、四象限．综上，正确答案为选项C．故选：C【变式1】2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（

）A．B． C． D．【答案】C【难度】0.4【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分类讨论思想是解题的关键．化简绝对值，当或时，分别求出对应函数，确定函数图象所在象限即可．【详解】解：由题意得，当时，，则此时图象分布在第四象限；当时，，则此时图象分布在第三象限；故选C．题型03根据反比例函数增减性比较函数值大小解｜题｜策｜略·反比例函数图象上点的纵坐标大小比较(数形结合、分类讨论)：先根据k值画大致图象

(1)在同一象限内，根据函数增减性比较：k>0，y随x的增大而减小；k<0，y随x的增大而增大.

(2)在不同象限内，x轴上方的图象上的点的纵坐标大，下方的小.·关键：画出草图，标上各点，再根据图象在上方的函数值总比图象在下方的函数值大比较。·一般步骤：①先根据k的值确定函数在每个象限内的增减性，比较同一象限内的点的坐标的大小；②比较纵坐标的大小：k>0，第一象限的点的纵坐标一定大于第三象限的点的纵坐标；k<0，第二象限的点的纵坐标一定大于第四象限的点的纵坐标．例1（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.85【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可．【详解】解：∵，∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大，∵点都在反比例函数的图象上，且，∴；故选D．【变式1】（2025·内蒙古·中考真题）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C．当时， D．当时，【答案】D【难度】0.65【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，分情况讨论的取值范围，比较和的大小关系即可．【详解】解：对于反比例函数的图象上，在各个象限内，随的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值，∵，当时，即时，则，当时，即时，则，当时，即时，则，综上，只有选项D正确，故选：D．【变式2】（2026·浙江宁波·模拟预测）已知点和点都是反比例函数的图象上的两点，下列说法正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】B【难度】0.65【分析】先判断在每个象限内，反比例函数值y随x的增大而增大，然后根据t的范围，结合选项逐一判断A、B两点横坐标的范围，结合反比例函数的性质即可作出判断．【详解】解：由条件可知反比例函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大，A、当时，，，此时与不能判断大小，也就不能判断，故A不正确，不符合题意；B、当时，，，此时点A在第二象限，点B在第四象限，，故B正确，符合题意；C、当时，，，此时与不能判断大小，也就不能判断，故C不正确，不符合题意；D、当时，，，此时点A在第四象限，点B在第二象限，，故D不正确，不符合题意．题型04根据反比例函数的性质求参数范围（值）解｜题｜策｜略①根据题意对k进行分类讨论；②根据反比例函数上的点的坐标特征，灵活设参数，表示坐标，运用方程思想解决问题；例1（2025·甘肃·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么_______（请写出一个符合条件的k值）．【答案】1（答案不唯一）【难度】0.85【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据点，在反比例函数的图象上，且，得到在同一象限内随着的增大而减小，进而得到图象过一，三象限，得到，即可．【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上，又∵，，∴在同一象限内随着的增大而减小，∴双曲线过一，三象限，∴，∴（答案不唯一）；故答案为：1（答案不唯一）．例2（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（

）A．或 B．C． D．【答案】A【难度】0.85【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质．首先将，代入求出，，然后根据得到，然后分两种情况求解即可．【详解】解：∵点、在反比例函数的图像上，∴，，∵，∴∴当时，解得，∴；当时，解得；综上所述，则的取值范围是或．故选：A．【变式1】（2026·湖南娄底·一模）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______．【答案】【难度】0.85【分析】由反比例函数的图象位于第二、四象限得到，然后求解即可．【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，∴，解得．【变式2】（2026·陕西西安·三模）已知反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则的值为___________．【答案】【难度】0.85【分析】根据反比例函数的增减性，分别求出两个反比例函数在范围内的最大值和，再计算即可．【详解】解：对于反比例函数，比例系数，当时，随的增大而减小，因此当时，取得最大值；对于反比例函数，比例系数，当时，随的增大而增大，因此当时，取得最大值；则．【变式3】（2026·浙江杭州·一模）已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点，若对于，，都有，则a的取值范围是（

）A．或 B． C． D．或【答案】A【难度】0.4【分析】本题利用反比例函数的增减性，根据系数的正负分情况讨论，结合对任意都有的条件，列不等式求解的取值范围即可．【详解】解：设，反比例函数为，分两种情况讨论：情况1：，即，得，此时反比例函数的图象在每个象限内随增大而减小．∵对任意，都有，∴小于的最小值，的最小值为，又∵，可得，∵，∴．当时，左边，不等式恒成立，符合条件，当时，两边同乘，得，又∵，∴；情况2：，即，得，此时反比例函数的图象在每个象限内随增大而增大，∵对任意，都有，∴小于的最小值，代入，得，∵，∴，∵，两边同乘，得，与矛盾，∴此情况无解．综上，的取值范围是或．题型05反比例函数与一次函数的交点解｜题｜策｜略待定系数法

确定表达式(1)设反比例函数的表达式为y＝(k≠0，k为常数)；(2)将图象上已知的一点P(a，b)代入表达式，得k＝ab；

(3)确定反比例函数的表达式为y＝一次函数与反比例函数交点的坐标特征反比例函数与正比例函数图象的交点关于原点对称，一般设出一个交点坐标可以得到另一个交点坐标.求交点坐标·已知两个函数表达式求交点坐标：将一次函数与反比例函数的表达式联立，解方程组例1（2025·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（

）A． B．【答案】D【难度】0.85【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，观察函数图象，得出函数图象都在函数图象的上方的自变量的取值范围，即可求解．数形结合是解题的关键．【详解】解：当函数图象都在函数图象的上方时，，由函数图象可得，当或时，，∴不等式的解集为或，故选：D．例2（2026·安徽芜湖·一模）一次函数的图象经过点，则反比例函数图象与该一次函数图象的交点情况是（

）A．无法确定 B．没有交点 C．有一个交点 D．有两个交点【答案】D【难度】0.77【分析】先利用已知点坐标求出一次函数解析式．再联立两个函数解析式，转化为一元二次方程．通过判别式判断根的个数，即可得到交点个数．【详解】解：∵一次函数经过点，∴将代入解析式得，解得：，即一次函数解析式为．联立两个函数解析式得，整理得，此时．∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，即两个函数图象有两个交点．例3（2025·贵州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论：①线段的长为8；②点的坐标为；③当时，一次函数的值小于反比例函数的值．其中结论正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【难度】0.65【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求出点的坐标进而求出的长，判断①，联立两个函数解析式，求出点坐标，判断②，图象法判断③即可．【详解】解：∵点的横坐标为1，∴，∴，∵过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，∴；∴；故①正确；联立，解得：或（舍去）；∴点的坐标为，故②正确；由图象可知，当，直线在双曲线上方，一次函数的值大于反比例函数的值，故③错误；故选C．例4（2025·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，且与y轴交于点C．(1)求一次函数、反比例函数的表达式；(2)连接，求的面积．【答案】(1)；(2)【难度】0.65【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数交点问题的解法．（1）先将代入求出反比例函数解析式，再将代入，求出，将，代入，求解即可；（2）先求出，再利用求解即可．【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，∴将代入，得：，解得：，∴反比例函数的解析式为，将代入，得：，∴，将，代入，得：，解得：，∴一次函数的解析式为；（2）解：当时，，∴，∴，∴．【变式1】（2026·安徽阜阳·一模）若直线与双曲线在同一直角坐标系中没有交点，那么（

）A． B．， C． D．，【答案】C【难度】0.65【分析】联立直线和双曲线可得，根据没有交点可知方程无解，再根据一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：联立，则，整理得：，直线与双曲线在同一直角坐标系中没有交点，方程无解，即，．【变式2】（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为________．（结果保留）【答案】/【难度】0.65【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，扇形的面积，解题的关键是求得，根据题意得到，则A点的纵坐标为1，代入解析式求得A的坐标，进而求得，再利用扇形的面积公式即可求得两个象限中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积之和．【详解】解：当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，∴轴，轴，∵半径为1，∴，∴A点的纵坐标为1，把代入，求得，∴，∴，，∴，∴，∴第一象限中阴影的面积，同理，第三象限中阴影的面积，∴．故答案为：．【变式3】（2026·安徽阜阳·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点．(1)求的值和反比例函数的表达式．(2)直线向下平移后与反比例函数的图象交于点，求直线向下平移的距离．【答案】(1)的值为；反比例函数的表达式为(2)【难度】0.65【分析】（1）将点的纵坐标代入直线解析式求出横坐标，再将点坐标代入反比例函数解析式求出系数，即可确定表达式；（2）先利用反比例函数解析式求出点坐标，再设平移距离为写出平移后的直线解析式，最后将点坐标代入解析式解方程求出．【详解】（1）解：把代入中，得，解得，故点的坐标是；把代入，得，故反比例函数的表达式为．（2）解：设直线向下平移了个单位长度，则平移后的直线表达式为，∵点在反比例函数的图象上，令，解得，∴点的坐标为，将代入直线，可得，解得，∴直线向下平移的距离为．【变式4】（2025·青海·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数（为常数）的图象在第二象限交于点．(1)求反比例函数的解析式；(2)求的面积．【答案】(1)；(2)．【难度】0.65【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．（）先由点代入求出点的坐标为，然后代入即可求解；（）过点作轴于点，然后求出，，再由即可求解．【详解】（1）解：把点代入中得，∴，∴一次函数解析式为，把点代入中，得，∴点的坐标为，把代入中，得，，∴反比例函数解析式为；（2）解：过点作轴于点，∵，∴，把代入得，，∴，∴，∴．题型06根据k的几何意义解决问题解｜题｜策｜略与k的几何意义有关的面积计算模型：一个函数单支曲线S△AOP＝S△BOP＝S△ABP＝S△ABC＝OA＝ABS△AOB＝S▱ABCP＝一个函数双支曲线(点A，B关于原点对称)S△ABM＝(点P，P1关于原点对称)S△＝(点B，P关于原点对称)S▱ABCP＝两个函数S△ABO＝S△ABC＝S△AOB＝S矩形ABCD＝其他模型S1＝S2S△AOE＝S梯形CDBES△AOB＝S梯形ACDBS四边形ODBE＝|k1|－|k2|S△DBE＝|k1|-|k2|-S四边形AEDF例1（2026·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，是矩形内的一点，连接，若图中阴影部分的面积为10，则为（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【难度】0.7【分析】先设出点的坐标，利用矩形面积与反比例函数的几何意义建立联系，再根据阴影部分面积与矩形面积的关系，推导出的值．【详解】解：设点的坐标为，∵点在反比例函数上，∴，由题意可得矩形的面积为，阴影部分面积为矩形面积的一半，∴，∴，∴．例2如图，，是反比例函数图象上的点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接，，若，，则的值为_______．【答案】【难度】0.65【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义．根据等高三角形面积比等于底边之比可得，继而可得，由此得出．【详解】解：如图，连接．，，，，．例3（2025·宁夏·中考真题）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（

）A． B． C． D．3【答案】A【难度】0.65【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．连接，由、轴得到，根据反比例函数系数k的几何意义可得，继而求出，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求解．【详解】解：如图，连接，轴，，，．点A在反比例函数图象上，，，且，∴，∴．故选A．【变式1】（2026·广西南宁·一模）如图，过点分别作轴、轴的平行线，交直线于，两点，若反比例函数的图象与有公共点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.65【分析】根据题意分别求得点、的坐标分别为、，根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点相交时，设反比例函数与线段相交于点时值最大，得出，根据二次函数的性质，即可求解．【详解】解：点，轴，轴，当时，，当时，，解得，点、的坐标分别为、，根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点相交时，最小，设反比例函数与线段相交于点时值最大，则，，当时，值最大为，因此，的取值范围是．【变式2】（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.65【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握值几何意义是关键．延长交于点E，设，则，求出，，进而得到，证明四边形是矩形，再求出，得到，根据，建立方程求解即可．【详解】解：延长交于点E，设，∵，∴，∵轴，轴，∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，∴，∴，∴，，∵反比例函数经过、两点，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴，故选：D．题型07绘制反比例函数图象例1（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点．(1)求t的值；(2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；(3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率．【答案】(1)(2)，见详解(3)【难度】0.65【分析】本题考查了概率公式，反比例函数的性质，一次函数的性质，画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）直接把代入进行计算，得；（2）先得出，再代入直线，求出，即可求出l与y轴交点的坐标，再由两点确定一条直线画出直线的函数图象；（3）先得出格点共有个，分别是再分析得出格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，最后运用概率公式列式计算，即可作答．【详解】（1）解：∵曲线过点．∴；（2）解：由（1）得，故，∵直线也经过点P，∴把代入，得，解得，∴；令，则，∴l与y轴交点的坐标为；直线l的函数图象，如图所示；（3）解：依题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，分别是，∵曲线，则，∴格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，即该格点在曲线G上的概率．例2（2026·重庆·一模）矩形的边，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度速度沿运动，运动时间为秒且．设面积为的面积与的面积之比为．(1)请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出时，的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过）【答案】(1)，(2)见详解(3)【难度】0.52【分析】（1）在矩形中，根据题意可得当时，，当时，，再算出，过点作，算出，表示出，即可表示出．（2）根据（1）中解析式画图，再根据图象如写出函数的一条性质即可．（3）根据（2）中图象解答即可．【详解】（1）解：在矩形中，，根据题意可得当时，点P在上，，当时，点P在上，，∴．，过点作，∵，则，∴，∴，∴．（2）解：如图，即为的图象，函数的一条性质：当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小；或者的最大值是6，当时取得最大值．（3）解：当时，，当时，，当时，，当时，，根据（2）中图象可得当时，．【变式1】（2025·重庆·中考真题）如图，点为矩形的对角线AC的中点，，，，是上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为．矩形的面积为，的面积为，的面积为，．(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围：(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；(3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．【答案】(1)，(2)作图见解析，性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小(3)（或或或或）【难度】0.65【分析】本题考查函数解析式，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，反比例函数与不等式，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关性质，并能正确分段列出动点问题的相关线段是解题的关键．（1）利用矩形性质和勾股定理得出，，分两部分：①当时；②当时，分别列出；过点作于点，利用等面积法求出，即可表示出的面积为，同理可得的面积为，再结合矩形的面积为与，即可列出；（2）根据函数解析式画图即可，再根据函数图象写出性质；（3）根据图象写出的图象在下方时对应的自变量的取值范围即可【详解】（1）解：∵为矩形的对角线AC的中点，，，∴，，∴，当时，，如图，∴；当时，，如图，∴；∴；如图，过点作于点，∵，∴，∴的面积为，同理可得的面积为，又∵矩形的面积为，∴，∴；（2）解：作图如下：性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小；（3）解：结合函数图象，可得时的取值范围为（或<或或或）．题型08反比例函数的实际应用解｜题｜策｜略·确定函数表达式已知反比例函数和一次函数图象的一个交点的坐标和另一个交点的横坐标或纵坐标，求两个函数表达式：(1)将已知横、纵坐标的一个交点的坐标代入反比例函数表达式，求出反比例函数表达式；(2)将另一个交点已知的横坐标或纵坐标代入反比例函数表达式，求出该交点的坐标；(3)将两个交点的坐标代入一次函数表达式，求出一次函数表达式.注：有时也会根据三角形面积求出交点坐标，再按以上步骤完成.·常见问题模型：①天平问题：动力动力臂阻力阻力臂；②电阻R、电流I、电压U之间的关系：电流I关于电阻R的函数表达式为．例1（2026·河南平顶山·一模）学校为防控流感病毒，用过氧乙酸溶液对教室内的空气进行熏蒸，过氧乙酸气体在空气中的浓度必须大于才能达到熏蒸消毒要求．王林为测出教室内过氧乙酸气体的浓度，设计了“过氧乙酸气体浓度检测仪”，图1是其简化的工作电路图，图2为过氧乙酸气体传感器(Ω)的阻值随过氧乙酸气体浓度（）变化的关系图象，则下面说法错误的是（

）A．未进行熏蒸时，传感器的阻值为ΩB．传感器的阻值随过氧乙酸气体浓度的增大而减小C．若过氧乙酸气体浓度不低于，则传感器的阻值不低于ΩD．若过氧乙酸气体浓度从增大到，则传感器的阻值减小Ω【答案】C【难度】0.65【分析】本题主要考查函数的图象，根据函数的图象逐项分析即可．【详解】A、未进行熏蒸时，过氧乙酸气体浓度为，传感器的阻值为Ω，说法正确，该选项不符合题意；B、观察函数图象可知，随着过氧乙酸气体浓度的增大，传感器的阻值逐渐减小，说法正确，该选项不符合题意；C、若过氧乙酸气体浓度不低于0.3，则传感器的阻值不高于10Ω，说法错误，该选项符合题意；D、过氧乙酸气体浓度为和时，传感器的阻值分别为Ω和Ω，所以，若过氧乙酸气体浓度从增大到，则传感器的阻值减小Ω，说法正确，该选项不符合题意．故选：C例2（2026·河南安阳·一模）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长，这就导致人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿直线前进，但实际上走的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．某学校数学兴趣小组通过实验发现，人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径米与其两腿迈出的步长之差厘米（）拟合后的函数为反比例函数，其图象如图所示．请根据图象中的信息解决下列问题：(1)求与之间的函数表达式；(2)若小昆两腿迈出的步长之差为0.5厘米，则他蒙上眼睛走的大圆圈的半径为多少米？(3)若小明蒙上眼睛走的大圆圈的半径不小于70米，求其两腿迈出的步长之差的取值范围．【答案】(1)(2)当某人迈出的步长差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米(3)某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于70米，则其两腿迈出的步长之差【难度】0.66【分析】（1）设反比例函数解析式为，将图象中的点代入解析式求解，即可解题；（2）将代入（1）中解析式求解，即可解题；（3）根据题意建立不等式求解，即可解题．【详解】（1）解：设反比例函数解析式为，由图象可知，反比例函数过点，，，与之间的函数表达式为；（2）解：当时，，∴当某人迈出的步长差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米；（3）解：当时，即，，∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于70米，则其两腿迈出的步长之差．【变式1】（2026·湖北十堰·一模）现在人们的生活越来越好，很多人在休闲时间外出旅游，为携带方便，人们通常会利用真空压缩机压缩衣物以减小体积，同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（）与密度（）有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度大于时，其体积可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.85【分析】设体积v（）与密度（）的反比例函数关系式为，运用待定系数法求出m，得到该反比例函数关系式，进而根据图象即可求解．【详解】解：设体积v（）与密度（）的反比例函数关系式为，从图上可以看出图象过点，将其代入得，解得，∴，当时，，综合各个选项，只有符合．【变式2】（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表：点与点的距离123拉力的大小300200150120(1)表格中的值是；(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；(3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由．【答案】(1)100(2)见解析(3)当的长增大时，拉力减小，理由见解析【难度】0.85【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，画反比例函数图象，根据函数图象判断增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数的定义，判断出是的反比例函数．（1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可；（2）先描点，然后连线，画出函数图象即可；（3）根据反比例函数的性质，得出答案即可．【详解】（1）解：根据表格中的数据发现：，因此点与点的距离与拉力F的乘积不变，∴；（2）解：与之间的函数图象，如图所示：（3）解：由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小．题型09反比例函数与几何综合解｜题｜策｜略·常用方法：

(1)代数法：通过求点坐标求k；

(2)几何法：通过系数k的几何意义反向求k.

·在与系数k的几何意义有关的面积计算中，找到反比例函数图象上点的横、纵坐标(表示边长)，根据同底等高、等底等高的三角形(或特殊四边形)面积相等可推出面积为1/2|k|或|k|；求面积时利用“坐标”求“线段”，或利用“线段”求“坐标”.

·常用辅助线：(1)连接反比例函数图象上的点与坐标原点；

(2)过反比例函数图象上的点作x轴，y轴的垂线.·几何表达：分析几何关系，用含t的式子表示相关线段的长·一般步骤：①待定系数法求函数的解析式；②联立函数表达式为方程组，求函数图象的交点坐标；③根据反比例函数关系式表示反比例函数图象上的点的坐标；④根据已知的三角形、平行四边形等几何性质表示其他相关点的坐标，列等量关系解题．例1（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.65【分析】如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作轴交于点E，首先联立得到，求出，然后由得到，求出，然后代入求出，然后利用勾股定理求解即可．【详解】如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作轴交于点E，∵反比例函数与直线交于点，∴联立得，，解得或，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴将代入，∴，∴．故选：D．【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是掌握以上知识点．例2（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点．(1)求出直线对应的函数表达式；(2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由；(3)请直接写出关于的不等式的解集．【答案】(1)(2)是等腰直角三角形(3)或【难度】0.65【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合，勾股定理的逆定理；（1）先求出点A和C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可；（2）设点D的坐标为，根据作图得到，据此列方程求出d的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状解答即可；（3）先求出点B的横坐标，然后借助图象得到反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答．【详解】（1）解：把代入得，∴点A的坐标为，把代入得，∴点C的坐标为，把点和代入得：，解得，∴直线对应的函数表达式；（2）解：由作图可得，即，设点D的坐标为，则，解得，∴，，∴，∴是等腰直角三角形；（3）解：令，解得，，由图像可得关于的不等式的解集为或．【变式1】（2026·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，已知点的坐标为．(1)求与的值；(2)点为线段上一动点（可与端点重合），过点作轴交轴于点，连接，求面积的最大值．【答案】(1)，(2)【难度】0.63【分析】（1）分别把点B的坐标代入两个解析式，即可求得对应的值；（2）先联立两个解析式，求得点A和点B的横坐标，设点，则，然后根据三角形面积公式，得到面积关于m的表达式，再根据二次函数的性质讨论即可解答．【详解】（1）解：把点代入一次函数中，得，解得，则，把点代入反比例函数中，得，则；（2）解：令，解得或，即点的横坐标为2，点B的横坐标4，设点，则，∴，∵，∴当时，取到最大值为，面积的最大值为．【变式2】（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论：①与的面积一定相等；②与的面积可能相等；③一定是锐角三角形；④可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【难度】0.4【分析】本题考查了反比例函数，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴，∴∴，即与的面积一定相等；故①正确，由①可得当与的面积相等时，如图，连接，∴∴在直线上，则重合，∴与的面积不可能相等，故②不正确，∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确,如图当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误综上，①④正确、②③错误.故选：B．【变式4】（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点C．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)点P为y轴负半轴上一点，连接．若的面积为6，求点P的坐标．【答案】(1)一次函数解析式为：；反比例函数解析式为：；(2)点P的坐标为．【难度】0.65【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用：（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）先求出点坐标，利用三角形面积公式，列出方程求解即可．【详解】（1）解：∵点在一次函数图象上，∴，解得，∴一次函数解析式为：；∵点在一次函数图象上，∴，解得，∴点，∵点在反比例函数图象上，∴∴反比例函数解析式为：；（2）解：∵，∴当时，，∴，由题意得，解得，∵点P为y轴负半轴上一点，∴，∴点P的坐标为．题型10与反比例函数的图象有关的规律探究例1（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______．【答案】【难度】0.85【分析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标．【详解】解：∵点的坐标为，∴点的横坐标为1，∴点的坐标为，∴点的纵坐标为1，∴点的坐标为，同理点的横坐标为，∴点的坐标为，点的坐标为，∴四个点一个循环，∵余1，∴点的坐标与点相同，是，故答案为：．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．【变式1】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为______．【答案】【难度】0.65【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，找规律，由题意得，当时，有最小值；，当时，有最小值；，当时，有最小值；然后通过规律即可求解，找出题中规律是解题的关键．【详解】解：由题意得，当时，有最小值；，当时，有最小值；，当时，有最小值；；，当时，有最小值；故答案为：．题型11与反比例函数有关的新定义问题例1（2026·广东佛山·一模）在平面直角坐标系中，我们约定：①不重合的两点与为一对对换点；②若某函数图象上至少存在一对对换点，则称该函数为对换函数．根据约定，解答下列问题：(1)反比例函数是对换函数吗？如果是，直接写出该函数图象上的一对对换点坐标；如果不是，说明理由．(2)若关于x的一次函数是对换函数，则k的值是多少？(3)对换函数中的实数m取满足条件的最小正整数时，求函数图象上的一对对换点坐标．【答案】(1)是，对换点坐标为和(2)1(3)和【难度】0.15【分析】（1）根据对换点的定义得，可写出对换点；（2）设对换点为与，代入一次函数解析式得，整理得，根据存在不重合的对换点，a不能取任意值，所以时等式不成立可得解；（3）设对换点为与，代入二次函数解析式得，求得，得出，讨论m，a求解即可．【详解】（1）解：设对换点为与，代入反比例函数解析式得：，由①得，由②得，故可得反比例函数是对换函数，取，则，对应对换点坐标为和；（2）解：设对换点为与，代入一次函数解析式得：，由②得，把①代入得：，整理得，又因为存在不重合的对换点，a不能取任意值，所以时等式不成立，故且，解得：；（3）解：设对换点为与，代入函数解析式得：两式相减得，整理得，∵两点不重合，∴，∴，∴，∴代入得：，∴，∴当时，有最小值为，∴，又取最小正整数，∴，此时，，对换点为和．【变式1】（2025·湖南长沙·中考真题）我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题：(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）：①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（

）②函数一定不是“对偶函数”；（

）③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（

）(2)若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和；(3)若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围．【答案】(1)①（√）；②（√）；③（×）(2)(3)【难度】0.4【分析】（1）根据题目中给出的“对偶点”，“对偶函数”的定义结合反比例函数，一次函数，二次函数的性质进行分析得出结果；（2）由题意可得，，得出从而求出，，得出两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，画出图形得出结果；（3）由题意可得，且时，有，整理得到，利用关于的一元二次方程必有实数根，分别根据判别式等于零和大于零求解即可．【详解】（1）解：，且，，，，，，①函数（k是非零常数）的图象上，，满足，，故①正确；②由题意可得，，则点与点且是一对“对偶点”，函数的图像如下图：函数中不存在“对偶点”，一定不是“对偶函数”，故②正确；函数的图象如下图，由题意可得，，则∴“对偶点”在反比例函数图象上，∴函数的图象上存在一对“对偶点”，至少存在两对“对偶点”说法错误，故③错误；故答案为：①（√）；②（√）；③（×）（2）由题意可得，，点与点且是一对“对偶点”，由于是“对偶函数”，则其图象上必存在一对“对偶点”．从而有，两式相减可得，同理可得．两个一次函数为，，由于，都是常数，且，两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如下图所示求得其面积之和；（3）由题意可得，且时，有，以上两式相减可得，从而将，代入①整理可得，此关于的一元二次方程必有实数根，由于时，（不符合题意）．从而必有，解得．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数，反比例函数，二次函数的图形与性质，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握相关性质定理为解题关键．（80分钟限时练）1．（2025·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.85【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键，根据反比例函数图象上点坐标特点进行判断即可．【详解】解：反比例函数的，点所在的反比例函数的，反比例函数的图象一定经过的点是，故选：D．2．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（

）A． B．C． D．【答案】C【难度】0.85【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可．【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意；B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意；C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意；D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意；故选：C．3.（2025·湖南·中考真题）对于反比例函数，下列结论正确的是（

）A．点在该函数的图象上