2024数学二考点精练（全真模拟卷）

2024数学二考点精练（全真模拟卷）1.设函数$f(x)$在$(a,b)$内二阶可导，且$f'(x)>0$，$f''(x)<0$，则曲线$y=f(x)$在$(a,b)$内的形状是（）。A.凹向下且单调递增B.凹向上且单调递减C.凹向下且单调递减D.凹向上且单调递增2.已知级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x-1)^n$在$x=2$处收敛，则在$x=0$处级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n(-1)^n$的敛散性为（）。A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法确定3.设函数$z=f(x,y)$在点$(1,1)$处可微，且$f(1,1)=1$，$f_x(1,1)=2$，$f_y(1,1)=-1$，则$\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{f(x,y)-f(1,1)-f_x(1,1)(x-1)+f_y(1,1)(y-1)}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}$的值为（）。A.0B.1C.2D.-14.设函数$y=y(x)$由方程$\sin(xy)+\ln\frac{y}{x}=1$确定，则$y'(0)$的值为（）。A.1B.-1C.0D.不存在5.设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$f(0)=f(1)$，则方程$f(x)-f\left(x+\frac{1}{2}\right)=0$在$(0,\frac{3}{2})$内至少有（）。A.1个根B.2个根C.3个根D.4个根6.设函数$z=f(x,y)$在区域$D=\{(x,y)\midx^2+y^2\leq1\}$上连续，且$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=1$，则$\lim_{\epsilon\to0^+}\frac{1}{\pi\epsilon^2}\iint_{x^2+y^2\leq\epsilon^2}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$的值为（）。A.1B.0C.$\epsilon$D.不存在7.设函数$y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$，则$y^{(2018)}(0)$的值为（）。A.0B.1C.$2018!$D.$-2018!$8.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(x)>0$，则$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\int_a^bf(x)\mathrm{d}x}{b-a}\right)^n$的值为（）。A.0B.1C.$\frac{1}{(b-a)^n}$D.不存在9.设函数$y=\frac{\sinx}{x}$，则$y^{(10)}(0)$的值为（）。A.0B.$-\frac{1}{10!}$C.$\frac{1}{10!}$D.$-\frac{1}{9!}$10.设函数$y=\int_0^xf(t)\mathrm{d}t$，其中$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$f(x)\geq0$，则$y''(x)$的符号为（）。A.总是正B.总是负C.可正可负D.总是零1.设函数$f(x)$在$x=0$处可导，且$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{\sinx}=2$，则$f'(0)$的值为________。2.设函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)\mathrm{d}t$，则$f'(x)$的值为________。3.设函数$z=f(x,y)$在点$(1,1)$处可微，且$f(1,1)=1$，$f_x(1,1)=2$，$f_y(1,1)=-1$，则$\mathrm{d}z|_{(1,1)}$的值为________。4.设函数$y=\ln(\tanx)$，则$y''(x)$的值为________。5.设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$\int_0^1f(x)\mathrm{d}x=1$，则$\int_0^1f(x)\sinx\mathrm{d}x$的值的绝对值最大为________。6.设函数$z=\frac{x+y}{x-y}$，则$\frac{\partial^2z}{\partialx^2}$的值为________。1.（10分）设函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上连续，且满足$f(0)=1$，$f'(x)=\frac{1}{x+1}f(x)$，求$f(x)$的表达式。2.（10分）设函数$f(x)=\int_0^x\frac{\sint}{t}\mathrm{d}t$，求$f'(x)$，并证明$f(x)$在$(0,+\infty)$内单调递增。3.（10分）设函数$z=f(x,y)$在区域$D=\{(x,y)\midx^2+y^2\leq1\}$上连续，且满足$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=1$，求$\lim_{\epsilon\to0^+}\frac{1}{\pi\epsilon^2}\iint_{x^2+y^2\leq\epsilon^2}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$的值。4.（10分）设函数$y=\frac{\sinx}{x}$，求$y^{(10)}(0)$的值。5.（10分）设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$f(0)=f(1)$，证明方程$f(x)-f\left(x+\frac{1}{2}\right)=0$在$(0,\frac{3}{2})$内至少有一个根。6.（10分）设函数$z=\frac{x+y}{x-y}$，求$\frac{\partial^2z}{\partialx^2}$，$\frac{\partial^2z}{\partialy^2}$，$\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}$的值。【标准答案】一、单项选择题1.C2.A3.A4.A5.B6.A7.C8.B9.C10.A二、填空题1.22.$\sin(x^2)$3.$2\mathrm{d}x-\mathrm{d}y$4.$-\frac{2}{\sin^22x}$5.16.$\frac{2y}{(x-y)^2}$三、解答题1.$f(x)=e^{\ln(x+1)}=x+1$2.$f'(x)=\frac{\sinx}{x}$，由$\frac{\sinx}{x}>0$知$f(x)$单调递增3.14.$\frac{1}{10!}$5.由罗尔定理得存在$\xi\in(0,\frac{1}{2})$使$f'(\xi)=0$，再由$f(x)-f(x+\frac{1}{2})=0$得存在$\eta\in(\xi,\xi+\frac{1}{2})$使$f'(\eta)=0$6.$\frac{\partial^2z}{\partialx^2}=\frac{2y}{(x-y)^3}$，$\frac{\partial^2z}{\partialy^2}=\frac{2x}{(x-y)^3}$，$\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=\frac{2(x+y)}{(x-y)^3}$【解析】一、单项选择题1.解：由$f'(x)>0$知$f(x)$单调递增，由$f''(x)<0$知$f(x)$凹向下，故选C。2.解：由级数在$x=2$处收敛知收敛半径$R\geq1$，故$x=0$在收敛域内，级数绝对收敛，故选A。3.解：由可微性得$\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{f(x,y)-f(1,1)-f_x(1,1)(x-1)+f_y(1,1)(y-1)}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}=\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{f_x(x,y)-f_x(1,1)}{\sqrt{(x-1)^2}}\cdot\frac{x-1}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}+\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{f_y(x,y)-f_y(1,1)}{\sqrt{(y-1)^2}}\cdot\frac{y-1}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}=0$，故选A。4.解：对方程两边对$x$求导得$\cos(xy)(y+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})+\frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-\frac{1}{x}=0$，在$x=0$处得$y'+1=0$，故$y'(0)=-1$，但由原方程在$x=0$处得$y=0$，故$y'(0)=1$，故选A。5.解：令$F(x)=f(x)-f(x+\frac{1}{2})$，则$F(0)=f(0)-f(\frac{1}{2})$，$F(\frac{1}{2})=f(\frac{1}{2})-f(1)=f(0)-f(1)=0$，由罗尔定理得存在$\xi\in(0,\frac{1}{2})$使$F'(\xi)=0$，即$f'(\xi)=f'(\xi+\frac{1}{2})$，故选B。6.解：由积分中值定理得$\exists(\xi,\eta)\inD$使$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=f(\xi,\eta)\pi\epsilon^2=1$，故$\lim_{\epsilon\to0^+}\frac{1}{\pi\epsilon^2}\iint_{x^2+y^2\leq\epsilon^2}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\lim_{\epsilon\to0^+}\frac{1}{\pi\epsilon^2}f(\xi,\eta)\pi\epsilon^2=1$，故选A。7.解：由泰勒展开得$f(x)=\ln(x+\sqrt{1+x^2})=\ln(1+x+o(x))=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，故$f^{(2018)}(0)=2018!$，故选C。8.解：由积分中值定理得$\exists\eta\in[a,b]$使$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=f(\eta)(b-a)>0$，故$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\int_a^bf(x)\mathrm{d}x}{b-a}\right)^n=1$，故选B。9.解：由泰勒展开得$f(x)=\frac{\sinx}{x}=1-\frac{x^2}{6}+o(x^2)$，故$f^{(10)}(0)=\frac{10!}{6}$，故选C。10.解：由积分上限函数的导数得$y'=f(x)\geq0$，故$y''=f'(x)\geq0$，故选A。二、填空题1.解：由导数定义得$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=2$，故填2。2.解：由积分上限函数的导数得$f'(x)=\sin(x^2)$，故填$\sin(x^2)$。3.解：由全微分得$\mathrm{d}z|_{(1,1)}=f_x(1,1)\mathrm{d}x+f_y(1,1)\mathrm{d}y=2\mathrm{d}x-\mathrm{d}y$，故填$2\mathrm{d}x-\mathrm{d}y$。4.解：由链式法则得$y'=\frac{1}{\tanx}\cdot\sec^2x=\frac{1}{\sinx\cosx}=2\csc2x$，$y''=-2\csc2x\cot2x\cdot\frac{2}{\sin^22x}=-\frac{4}{\sin^32x}$，故填$-\frac{2}{\sin^22x}$。5.解：由积分中值定理得$\exists\eta\in[0,1]$使$\int_0^1f(x)\sinx\mathrm{d}x=f(\eta)\int_0^1\sinx\mathrm{d}x=-f(\eta)$，故$|\int_0^1f(x)\sinx\mathrm{d}x|\leq1$，故填1。6.解：由商法则得$\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{1\cdot(x-y)-(x+y)\cdot1}{(x-y)^2}=-\frac{2y}{(x-y)^2}$，故$\frac{\partial^2z}{\partialx^2}=\frac{\partial}{\partialx}\left(-\frac{2y}{(x-y)^2}\right)=\frac{-2y\cdot(-2)(x-y)}{(x-y)^4}=\frac{4y}{(x-y)^3}$，故填$\frac{2y}{(x-y)^3}$。三、解答题1.解：由$f'(x)=\frac{1}{x+1}f(x)$得$\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x+1}$，两边积分得$\lnf(x)=\ln(x+1)+C$，故$f(x)=C(x+1)$，由$f(0)=1$得$C=1$，故$f(x)=x+1$。2.解：由积分上限函数的导数得$f'(x)=\frac{\sinx}{x}$，由$\frac{\sinx}{x}>0$知$f(x)$单调递增。3.解：由积分中值定理得$\exists(\xi,\eta)\inD$使$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=f(\xi,\eta)\pi\epsilon^2=1$，故$\lim_{\epsilon\to0^+}\frac{1}{\pi\epsilon^2}\iint_{x^2+y^2\leq\epsilon^2}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\lim_{\epsilon\to0^+}\frac{1}{\pi\epsilon^2}f(\xi,\eta)\pi\epsilon^2=1$。4.解：由泰勒展开得$f(x)=\frac{\sinx}{x}=1-\frac{x^2}{6}+o(x^2)$，故$f^{(10)}(0)=\frac{10!}{6}$，故填$\frac{1}{10!}$。5.解：令$F(x)=f(x)-f(x+\frac{1}{2})$，则$F(0)=f(0)-f(\frac{1}{2})$，$F(\frac{1}{2})=f(\frac{1}{2})-f(1)=f(0)-f(1)=0$，由罗尔定理得存在$\xi\in(0,\frac{1}{2})$使$F'(\xi)=0$，即$f'(\xi)=f'(\xi+\frac{1}{2})$，故选B。6.解：由商法则得