2025年圆与多边形相交问题解析及经典习题

圆与多边形

教学目的：1、掌握圆有关的概念，理解圆心角、弦、弦心距之间的关系

2、掌握垂径定理及其推论，并能建立简朴的数学模型处理实际问题。

3、理解直线和圆、圆和圆的位置关系，掌握切线的概念。

重难点：垂径定理、直线与圆、圆与圆的位置关系。

知识梳理：

（-）圆的基本性质

1、圆确实定：不在同一直线上的三个点确定一种圆.

2、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对

的弦的弦心距相等，

推论：在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距

得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其他三组量也分别相等。

3、垂径定理：假如圆的一条直径垂直于•一条弦，那么这条直径平分这条弦，并H平分这条

弦所对的弧。

推论：①平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

②平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；

（二）直线与圆、圆与圆的位置关系

1、直线与圆的位置关系

切线的鉴定定理：通过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.

2、圆与圆的位置关系

定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

定理：相切两圆的连心线通过切点。

（三）三角形的内心和外心

（1）三角形的外心：

（2）三角形的内心:

（四）正多边形与圆

经典例题，

考点1、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

例1、下列命题中，对的的命题是（）

A.平分一条弦的直径，垂直平分这条弧所对的弦

B.平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧

C.在OO中，AB、CD是弦，若AC=BD,则AB〃CD

D.圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径

n

例2、圆0的直径AB=10cm,CD长是圆。的六分之一，AE_LCD于E,BF_LCD于F。

(1)求证：EC=FD

(2)求AE+BF

考点2、垂径定理及其推论

例3、如图所示，。。的直径AB和弦CD相交于点E,已知，AE=6cm,EB=2cm,ZCEA=30\

求CD的长。

例4、如图，已知。。的半径长为25,弦AB长为48,C是弧AB的中点.求AC的长.

考点3、直线与圆、圆与圆的位置关系（中考综合题型）

例5、如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,P是边BC延长线上的一点，连接AP交边CD于

点E,把射线AP沿直线AD翻折，交射线CD于点Q,设CP=x,DQ=y,

（1）求证：△ADQS/^PBA,并求出y有关x的函数解式；

（2）当点P运动时，的面积S与否会发生变化？若发生变化，请阐明理由：若不发

生变化，祈求出S的值；

（3）当以4为半径的。Q与直线AP相切，且（DA与。Q也相切时，求。A的半径.

例6、已知：在RtZ\ABC中，NACB=90°,BC=6,AC=8,过点A作直线MNJ_AC,点E是直线

MN上的一种动点，

（1）如图1,假如点E是射线AM上的一种动点（不与点A重叠），连接CE交AB于点P.若

AE为x,AP为y,求y有关x的函数解析式，并写出它的定义域；

（2）在射线AM上与否存在一点E,使以点E、A、P构成的三角形与△ABC相似，若存在求

AE的长，若不存在，请阐明理由；

（3）如图2,过点B作BD_LMN,垂足为D,以点C为圆心，若以AC为半径的。C与以ED

为半径的。E相切，求。E的半径.

图1

课堂练习：

1、已知:AB是。0的直径，弦CDJ_AB于点P,CD=10cm,AP:PB=l:5,则。。的半径为

2、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3,则两条平行弦之间的距离为

3、如图，在。0中，0A是半径，弦AB=10石cm,D是弧AB的中点，0D交AB于点C,若

Z0AB=30°,则。0的半径cm。

4、在。0中,半径0A=10cm,AB是弦,C是AB弦的中点，且0C:AC=3:4,则AB=

3题图

5、在弓形ABC中，弦AB=24,高CD=6,则弓形所在圆的半径等于。

6、已知,半圆0的半径0A=4,P是0A延长线上一点,过0P中点B做垂线交。0于点C,射线

PC交00与点D,连接0D,

(1)若弧AC=MCD,求弦CD的长

(2)若C在弧AD上，设FA=xCD=y,求y与x的函数解析式x的取值范围

(3)设CD中点为E,射线BE和射线0D交于点F,当DF=1时，求lan/P的值

各用用

作业：

如图，。。的半径为6