第四章必刷大题9解三角形

必刷大题9解三角形[分值：60分]1.(13分)(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2(1)求bc；(5分)(2)若acosB−bcosA解(1)由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA，所以b2+c2−a解得bc=1.(2)由正弦定理可得acosB=sinAcos=sin(A−=sin(A−变形可得sin(A-B)-sin(A+B)=sinB，即-2cosAsinB=sinB，而0<sinB≤1，所以cosA=-12又0<A<π，所以sinA=32故△ABC的面积为S△ABC=12bcsinA=12×1×322.(15分)(2025·郑州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2-a2=2bc，2sin(C-A)=sinB.(1)求sinC；(7分)(2)设a=10，求BC边上的高.(8分)解(1)在△ABC中，∵b2+c2-a2=2bc，∴cosA=b2+c2−而A为三角形内角，∴A=π4∵2sin(C-A)=sinB，∴2sinC−π4整理得2(sinC-cosC)=22(cosC+sinC)，得sinC=3cosC又sin2C+cos2C=1，且sinC>0，∴sinC=310(2)由(1)得，sinC=310则cosC=1010，C∈0，∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=25由正弦定理得asinA=∴c=asinA×sinC=1022×设BC边上的高为h，则h=c×sinB=65×255∴BC边上的高为12.3.(15分)(2026·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sinB+sinC=2sinAcosB.(1)证明：a2-b2=bc；(5分)(2)如图，点D在线段AB的延长线上，且AB=3，BD=1，当点C运动时，探究CD-CA是否为定值？(10分)(1)证明sinB+sinC=2sinAcosB，由正弦定理可得b+c=2acosB，又cosB=a2∴b+c=a2∴bc+c2=a2+c2-b2，∴a2-b2=bc.(2)解由(1)知b+c=2acos∠CBA，∴cos∠CBA=b+c2在△BCD中，BC=a，BD=1，∴cos∠CBD=a2又∵cos∠CBD=cos(π-∠CBA)=-cos∠CBA，∴-b+32a∴-b-3=1+a2-CD2，∴CD2=4+a2+b，又∵a2-b2=bc，c=3，∴CD2=4+b2+3b+b=b2+4b+4=(b+2)2，∵CD>0，∴CD=b+2，∴CD-CA=b+2-b=2.综上所述，CD-CA为定值2.4.(17分)(2025·南通模拟)已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，5(asinA-bsinB)=3csinC.(1)求证：tanA=4tanB；(7分)(2)若B∈π6，π(1)证明由正弦定理得5(a2-b2)=3c2，∴cosB=a2+c2−∴5acosB=4c，∴5sinAcosB=4sinC=4sin(A+B)=4sinAcosB+4cosAsinB，∴sinAcosB=4cosAsinB，∴tanA=4tanB.(2)解tanC=-tan(A+B)=-tan=-5tanB1−4tan∵π6<B<π4，∴33<tan令tanB=t，∴33<t<1tanC=54令y=4t-1t由于y=4t，y=-1t在3则y=4t-1t也在33∴33<4t-1t<3，∴53<tanC即tanC的取值范围为53，5成套的课件成套的