上海高桥中学2025-2026学年高一下学期数学期末试卷（2026.6）(含简略答案)

高桥中学2025-2026学年第二学期高一年级数学期末2026.6一、填空题（本大题满分36分，每题3分，共12题）1．已知，则______．2．已知扇形半径为1，圆心角为150°，则面积为______．3．函数的最小值为______．4．已知函数，为偶函数，则______．5．如果直线的一个法向量为，则k的值为______．6．已知为一个单位向量，，若在上的投影向量为，则与的夹角为______．7．已知中，，若，，则用、表示______．8．若，则______．9．已知复数的虚部为4，则______．10．下列说法中正确的是______．（填序号）①若，其中，，则必有②；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在；⑤若，则对应的点在复平面内的第一象限．11．在复平面上，复数2和2i所对应的点分别为A、B，复数所对应的点在线段AB上移动，若，则复数对应点所构成图形的面积为______．12．设，若关于x的方程有两个不相等的实根，，则a的取值范围是______．二、选择题（本大题满分12分，每题3分，共4题）13．已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角为（）A． B． C． D．14．一条光线从点射出，与x轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（）A． B．C． D．15．已知i是虚数单位，关于x的方程有解，则正实数（）A．9 B．10 C．11 D．1216．已知中，，且O为的外心，若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（）A． B． C． D．三、解答题（本大题满分52分）17．已知复数满足．（1）求复数z；（2）若复数z是关于x的方程的一个根，求的值．18．已知直线，，其中m为实数．（1）当时，求m的值；（2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程．19．在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点出发，发现一个目标机器人在点处正欲逃跑．追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍．假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动．（1）若追踪机器人在点P处成功拦截目标机器人，求点P的轨迹方程；（2）问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区（的区域）内成功拦截？并说明理由．20．已知函数．（1）求的严格增区间；（2）求不等式在上的解集；（3）对于任意的，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围．21．极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题．1．极化恒等式：，公式推导：；2．平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点，则；3．三角形模式：如图，在中，设D为BC的中点，则．推导过程：由（1）如图，在边长为4的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，求的值；（2）“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）．某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，MN是圆O的一条直径，且正八边形ABCDEFGH内切圆的半径为，．若点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，求的取值范围；（3）已知中，，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，求的最小值． 参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.①⑤；11.12.11．在复平面上，复数2和2i所对应的点分别为A、B，复数所对应的点在线段AB上移动，若，则复数对应点所构成图形的面积为______．【答案】【解析】由题意，，复数所对应的点在线段上移动，若，则复数对应点所构成图形为一个矩形与两个半圆，其中矩形的长为，宽为2，半径的半径为1，则复数对应点所构成图形的面积为故答案为：．二、选择题13.D14.A15.C16.B15．已知i是虚数单位，关于x的方程有解，则正实数（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】由复数相等的充要条件得解②式得或，当时，代入①式可得，

当时，代入①式可得，舍去．综上，正实数.16．已知中，，且O为的外心，若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，则，所以，即三点共线．因为为的外心，即有，

所以为五角三角形，因此为半径的中点．因为，所以为锐角．如图．过点作，垂足为．

因为在上的投影向量为，所以，所以在上的投影向量为．

又因为，所以．

因为，所以，故的取值范围为．故选B．三、解答题17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）（2）否20．已知函数．（1）求的严格增区间；（2）求不等式在上的解集；（3）对于任意的，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）令，解得.

所以的单调递增区间为.

（2）由，可得，即.

则，解得.当时，；当时，，即，但，所以舍去.

所以不等式在上的解集为.

（3）当时，.则.

令，则，不等式可化为.

令.当时，，不满足恒成立.当时，二次函数的图象开口向下，在上单调递减，，不满足恒成立.

当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为.

若，即在上单调递增，，解得，所以.

若，即，即，因为，所以，解得或，与矛盾，舍去.若，即在上单调递减，，解得,与矛盾，舍去.

综上，实数的取值范围是.21．极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题．1．极化恒等式：，公式推导：；2．平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点，则；3．三角形模式：如图，在中，设D为BC的中点，则．推导过程：由（1）如图，在边长为4的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，求的值；（2）“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）．某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，MN是圆O的一条直径，且正八边形ABCDEFGH内切圆的半径为，．若点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，求的取值范围；（3）已知中，，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）．

由极化恒等式可得：

（2）如图