2026届福建厦门双十中学高三上学期开学检测数学试卷含答案

第1页/共4页厦门双十中学2025-2026学年（上）阶段练习是符合题目要求的.RAaaB.A.B.)D.3.已知{an}是各项均为正整数的递增数列，{an}前n项和为Sn，若Sn=2024，当n取最大值时，an的A.63B.64C.71D.724.我市某中学高二学生到一工厂参加劳动实践，欲将一个底面直径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面上，若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大侧面积 5.已知tan，tanα=-，则2β-α的值是()A.-B.C.D.6.已知拋物线C1:y2=2px(p>0)，其焦点F到准线的距离为2，过焦点F且斜率大于0的直线l交拋物线于A,B两点，以AB为直径的圆C2与准线相切于点Q(-1,2)，则圆C2的标准方程为()A.(x-3)2+(y-2)2=16B.(x-2)2+(y-3)2=16C.(x-3)2+(y-2)2=8D.(x-2)2+(y-3)2=87.已知函数f(x)=coswx-·sinwx(ω>0若f（x）在区间[0,2π]上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是()第2页/共4页D.23(2024,23(2024,9.已知复数z，z1，z2，z是z的共轭复数，则下列说法正确的是()A.存在实数x0使得f,(x0)=f(x0)B.当a=2时，f(x)有三个零点C.点(0,2)是曲线y=f(x)的对称中心D.若曲线y=f(x)有两条过点(—1,0)的切线，则f(a)=211.已知VABC的面积为，若cos2A+cos2B+2sinC=2,cosAcosBsinC=，则( 2BB.AB=212.在等差数列{an}中，a1=2020，其前n项和为Sn，若=2，则S2022=.tanC______tanC______ 三棱锥OABC的内切球半径为；若AP=2·2，则三棱锥OPBC体积的最大值为.第3页/共4页四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或（1）求角B；（2）若上B的角平分线交AC于点D,BD=3，点E在线段AC上，EC=2EA，求VBDE的面积.16.已知三棱锥P-ABC中，侧面PAC是边长为2的正三角形，AC=2,BC=4,AB=2,平面AEF与底面ABC的交线为直线l.（2）若三棱锥P-ABC的体积为Q为交线l上的动点，若直线PQ与平面AEF的夹角为α,求sinα的取值范围.17.已知椭圆C的方程为右焦点为F(,0)，且离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线 （1）当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（2）是否存在a，b，使得曲线关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理（3）若f(x)在(0,+∞)存在极值，求a的取值范围.第4页/共4页19.“熵”常用来判断系统中信息含量的多少，也用来判断概率分布中随机变量·的不确定性大小，一般熵越大表示随机变量的不确定性越明显．定义：随机变量X对应取值xi的概率为pi=P(X=xi)，其单位为bit的熵为pilog2pi，且pi=1时对应H(X)的大小，并根据你的理解说明结论的实际含义；（2）若拋掷一枚质地均匀的硬币n次，设X表示正面向上的总次数，Y表示第n次反面向上的次数（0或1p)表示正面向上x1次且第n次反面向上y1次的概率，如n=3时，p对于两个离散的随机变量X,Y，其单位为bit的联合熵记为(ⅰ)当n=3时，求H(X,Y)的值；求证：H第1页/共27页厦门双十中学2025-2026学年（上）阶段练习是符合题目要求的.RA【答案】D【解析】【分析】根据集合交并补运算，结合选项即可逐一求解.【详解】对于A，2∈B，故A错误，故选：D2.已知，则在方向上的投影向量为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量投影向量公式结合平面向量数量积、模长公式计算即可.222-2a故选：D3.已知{an}是各项均为正整数的递增数列，{an}前n项和为Sn，若Sn=2024，当n取最大值时，an的A.63B.64C.71D.72第2页/共27页【答案】C【解析】【分析】因为Sn=2024是定值，要使当n取最大值时an也取得最大值，{an}需满足前m(m=n-1)项是首相为1，公差为1的等差数列，通过计算{am}的前63项和与Sn=2024作比较，前64项和与Sn=2024作比较即可得出an的最大值.【详解】因为Sn=2024是定值，要使当n取最大值时an也取得最大值，{an}需满足各项尽可能取到最小为1，公差为1的等差数列，其中m=n-1；{am}的前m项和为62故选：C.4.我市某中学高二学生到一工厂参加劳动实践，欲将一个底面直径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面上，若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大侧面积 【答案】C【解析】【分析】设圆柱的底面半径为O1A=r，高为OO1=x，体积为V，由几何关系得x=3-3r，再根据圆柱的侧面积公式可得圆柱侧面积关于r的函数，最后根据二次函数的最值即可求解.【详解】如图，设圆柱的底面半径为O1A=r，高为OO1=x，侧面积为S，在VPOB中，因为O1A//OB，第3页/共27页所以圆柱的侧面积为S(r)=2πr(3-3r)=-6πr2+6πr=-6π(r2-r)=-6π(r-)2+，故圆柱的最大侧面积为，故选：C.5.已知tan，tanα=-，则2β-α的值是()A.-B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据tanβ=tan(β-α)+α求出tanβ,从而可得α,β的范围，即可得出2β-α的范围，再求tan2β和tan(2β-α)的值，即可得结果.可知，则2β-α∈第4页/共27页所以2β-α=-故选：D.6.已知拋物线C1:y2=2px(p>0)，其焦点F到准线的距离为2，过焦点F且斜率大于0的直线l交拋物线于A,B两点，以AB为直径的圆C2与准线相切于点Q(-1,2)，则圆C2的标准方程为()A.(x-3)2+(y-2)2=16B.(x-2)2+(y-3)2=16C.(x-3)2+(y-2)2=8D.(x-2)2+(y-3)2=8【答案】A【解析】【分析】由焦点F到准线的距离为2，求出p，即得焦点坐标，准线方程，抛物线方程，直线AB斜率为正，C2Q//x得C2点纵坐标，用点差法可求得直线AB斜率，再得C2点横坐标，同时得出圆半径，得圆方程.【详解】抛物线C1的焦点到准线距离为2，则p=2（因为p>0焦点为F(1,0)，准线方程是x=-1，抛物线方程是y2=4x，又C2Q//x轴，Q(-1,2)，所以C2的纵坐标为2，设A(x1,y1),B(x2,y2)，C2(x0,2)，两式相减得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2)，即C2(3,2)，所以圆C2半径为r=3-(-1)=4，故选：A.第5页/共27页7.已知函数f(x)=coswx-sinwx(ω>0若f（x）在区间[0,2π]上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先根据三角函数恒等变换将三角函数化简成余弦型函数，根据自变量x的取值范围求解出的取值范围，进而根据已知条件结合三角函数图像求得w的取值范围【详解】函数f(x)=coswx-·sinwx所以由于函数f(x)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点和2条对称轴，根据函数的图像：第6页/共27页故选：D.【答案】A【解析】【分析】先构造函数,x>0，利用导数分析函数的单调性和最值，从而比较a,b，再构造函数=lnx+-1,x>0，通过分析函数的最值，再利用指对互化，比较c的范围，即可判断a,b,c的大小关系.∴f(x)在(0,e)单调递增，在(e,+∞)单调递减，第7页/共27页故选：A.9.已知复数z，z1，z2，z是z的共轭复数，则下列说法正确的是()【答案】ACD【解析】【分析】结合复数的四则运算，共轭复数的定义及复数模长的公式可判断A；结合特殊值法可判断B；结合复数模长的性质可判断C；结合复数的几何意义可判断D.222zz222222222zz1z2正确；2)为圆心，半径为1的圆，第8页/共27页故选：ACD10.已知函数f(x)=x3-ax-2，则()A.存在实数x0使得f,(x0)=f(x0)B.当a=2时，f(x)有三个零点C.点(0,-2)是曲线y=f(x)的对称中心D.若曲线y=f(x)有两条过点(-1,0)的切线，则f(a)=2【答案】AC【解析】【分析】对A，求出f(x)=x3-ax-2的导函数，使其和f(x)=x3-ax-2相等，解方程看是否有实数根，即可求得；对B，根据f(x)的导函数确定单调区间以及极值点，看f(x)与x轴交点即可判断；对C，根据中心对称公式即可判断；对D，设f(x)=x3-ax-2过(-1,0)的切线的切点为(x0,y0)，由条件可得2x+3x+2-a=0有两个根，结合导数研究方程的根即可.【详解】对A，根据已知f,(x)=3x2-a的导函数，令f,(x0)=f(x0)则x3-ax-2-3x2+a=0，令g(x)=x3-ax-2-3x2+a， 对B，根据题意知f,(x)=3x2-2，令f,(x)=3x2-2=0得到x=±,在和>0，所以f在和单调递增，在<0，所以f在单调递减，f((|-),|是f(x)的极大值，且f(x)的极大值大于f(x)极小值，第9页/共27页所以f(x)在定义域内有且只有一个零点，故B错误；对C，令g(x)=x3-2x，该函数定义域为R，所以g(x)为奇函数，(0,0)是g(x)=x3-2x的对称中心，将g(x)=x3-2x向下移动两个单位得到f(x)的图像，所以点(0,-2)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确；对D，f(x)=x3-ax-2过(-1,0)的切线的切点为(x0,y0)，切线斜率为f,(x0)=3x-a，则切线方程为y-y0=(3x-a)(x-x0)，(-∞,-1)和(0,+∞)上大于零，所以u(x0)在(-∞,-1)和(0,+∞)上单调递增，(-1,0)上小于零，所以u(x0)在(-1,0)单调递减，要使u(x0)=0有两个解，一个极值一定为0，所以f(a)=f(2)=23-2×2-2=2，故D不正确.故选：AC11.已知VABC的面积为，若cos2A+cos2B第10页/共27页 2BB.AB=2【答案】ABC【解析】【分析】对cos2A+cos2B+2s的大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础上，利用和差化积公式，回避讨论过程然后利用cosAcosBsinC=算出A,B取值，最后利用三角形面积求出三边长，即可判断每个选项.整理可得，sinC=sin2A+sin2B，下证.方法一：分类讨论若A+B=，则sinA=cosB,sinB=cosA可知等式成立；与条件不符，则A+B<不成立；方法二：边角转化第11页/共27页2A2B若C∈(0,)，则A+B>，注意到cosAcosBsinC=，则cosAcosB>0，于是cosA>0,cosB>0（两者同负会有两个钝角，不成立于是A,B∈结合A+B>A>-B，而A,-B都是锐角，则sinA>sin=cosB>0，故C∈(0,)不成立，则C=方法三：结合射影定理（方法一改进）于是asinA+bsinB=acosB+bcosA，则a(sinA-cosB)+b(sinB-cosA)=0，可同方法一种讨论的角度，推出A+B=方法四：和差化积（方法一改进）续法三：a(sinA-cosB)+b(sinB-cosA)=0，可知sinA-cosB,sinB-cosA同时为0或者异号，即(sinA-cosB)(sinB-cosA)≤0，展开可得，sinAsinB-sinAcosA-cosBsinB+cosAcosB≤0，即cos(A-B)-)≤0，结合和差化积，cos(A-B)(1-sin(A+B))≤0，由上述分析， 可知由cosAcosBsinC==cosAcosB，由A+B=，则cosB第12页/共27页由两角和差的正弦公式可知+sin选项正确由两角和的正切公式可得，tan于是AB=(J6+、)t=，B选项正确，由勾股定理可知，AC2+BC2=2，D选项错误.故选：ABC12.在等差数列{an}中，a1=-2020，其前n项和为Sn，若=2，则S2022=.【答案】2022【解析】[Sn)【分析】根据题意，由条件可得{lnJ}是以-2020[Sn)即可得到结果.【详解】设等差数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn，则=An+B，所以是等差数列.所以是以-2020为首项，1为公差的等差数列，第13页/共27页故答案为：2022【答案】2【解析】再由两角和的正弦公式及同角三角函数的基本关系计算可得.所以sinAcosC=2sinAcosC+2sinCcosA，即sinAcosC=2sinCcosA，故答案为：2 三棱锥OABC的内切球半径为；若AP=2·2，则三棱锥OPBC体积的最大值为. 【解析】【分析】根据题意，可求得三棱锥O—ABC各个面的面积，设三棱锥O—ABC内切球的半径为r，利用等体积最大，建立空间直角坐标系设点P坐标，利用向量法求出点P到平面OBC的距离最大值得解.:AB=AC=2，BC=2-2，第14页/共27页所以AB丄AC，设BC的中点为O1，则O1是VABC外接圆的圆心，则OO1设三棱锥OABC内切球的半径为r，则所以当点P到平面OBC的距离最大时，三棱锥O一PBC的体积最大，如图，以O1为坐标原点，O1A,O1B,O1O为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(,0,0)，O(0,0,)，所以 又平面OBC的一个法向量为所以点P到平面OBC的距离为所以点P到平面OBC的最大距离为·,所以三棱锥OPBC的体积最大值为VOPBC= 第15页/共27页【点睛】思路点睛：第一空，先求出三棱锥O-ABC各个面的面积，利用等体积法可求得内切球的半径；第二空，根据三棱锥等体积转换，VO-PBC=VP-OBC，又S△OBC=2，当点P到平面OBC的距离最大时，三棱锥O-PBC的体积最大，建系用向量法求出答案.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或（1）求角B；（2）若7B的角平分线交AC于点D,BD=3，点E在线段AC上，EC=2EA，求VBDE的面积.【解析】【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简可求得tanB=-结合角的取值范围可求得角B(a+c)2-ac=36，两式联立可得a=c=2然后利用三角形的面积公式可求得VBDE的面积.【小问1详解】 所以sinBcosC=sinBcosC+cosBsinC+sinCsinB，【小问2详解】由可知，B=又外接圆的半径为2；由正弦定理可知第16页/共27页第17页/共27页 16.已知三棱锥P-ABC中，侧面PAC是边长为2的正三角形，AC=2,BC=4,AB=25，,平面AEF与底面ABC的交线为直线l.（2）若三棱锥P-ABC的体积为Q为交线l上的动点，若直线PQ与平面AEF的夹角为α,求sinα的取值范围.【答案】（1）证明见解析【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明PC丄平面AEF，由线面垂直的性质定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，设Q(1,y,0)，求出平面AEF的法向量，根据空间角的向量求法，结合不等式知识，即可求得答案.【小问1详解】由题意，∴E,F分别为棱PC,PB的中点，∴EFⅡBC，“△PAC为等边三角形，E为PC中点，:PC丄AE.又EF∩AE=E,EF,AE平面AEF，:PC丄平面AEF，“AF平而AEF，:PC丄AF；【小问2详解】第18页/共27页如图，在底面ABC内过点A作BC的平行线l,，即为平面AEF与底面ABC的交线l，（因为EFⅡBC，则EFⅡl,，A为平面AEF与底面ABC的公共点，故l,为平面AEF与底面ABC的交线l）故底面VABC的面积为AC.BC=4，设底面VABC上的高为×4h，于是，注意到侧面PAC是边长为2的正三角形，取AC中点D，取AB中点M，连接DM，则DM丄AC，于是，以点D为坐标原点．DA,DM,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系设平面AEF的一个法向是为=(x0,y0,1)，第19页/共27页[x017.已知椭圆C的方程为右焦点为F(,0)，且离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线 2【解析】【分析】（1）由离心率公式可得a=，进而可得b2，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN=·3；充分性：设直线MN:y=kx+m,(km<0)，由直线与圆相切得m2=k2+1，联立直线与椭圆方程结合弦2又b2=a2-c2=1，所以椭圆方程为+y2=1；当直线MN的斜率不存在时，直线MN:x=1，不合题意；当直线MN的斜率存在时，设M(x1,y1),N(x2,y2)，必要性：第20页/共27页所以x1所以必要性成立；充分性：设直线MN:y=kx+m,(km<0)即kx-y+m=2-所以x1所以MN=..(x122-4x1.x2 2-4.所以{[l1-s2或所以直线MN:y=x-·i2或y=-x+s2， 所以直线MN过点F(2,0)，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是|MN|=·3.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.第21页/共27页（1）当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；.（2）是否存在a，b，使得曲线关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理（3）若f(x)在(0,+∞)存在极值，求a的取值范围.存在a=,b=-满足题意，理由见解析..【解析】【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数b的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数a的方程，解方程可得实数a的值，最后检验所得的a,b是否正确即可；(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数g(x)=ax2+x-(x+1)ln(x+1)，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论a≤0，a≥和0<a<三中情况即可求得实数a的取值范围.【小问1详解】当a=-1时，f据此可得f(1)=0,f,(1)=-ln2函数在(1,f(1))处的切线方程为y-0=-ln2(x-1)，【小问2详解】第22页/共27页函数的定义域满足即函数的定义域为(-∞,-xx定义域关于直线x=-对称，由题意可得b=-，由对称性可知经检验,b=-满足题意，故a=,b=-.即存在,b=-满足题意.【小问3详解】由函数的解析式可得由f(x)在区间(0,+∞)存在极值